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MATEMÁTICA TOTAL

PACOTE EXPERIMENTAL

Prof Armando Moura

V

E

S

T

I

B

U

L

A

R

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Uma empresa devedora de um título de R$ 80 000,00 para 3 anos , a juros compostos , deseja resgatá-lo com dois pagamentos iguais , um no final do primeiro ano e outro no final de 2 anos . Sabendo que a taxa é de 20% ao ano , calcule o valor total dos pagamentos que serão concretizados antes dos vencimentos .

CONHECIMENTOS NECESSÁRIOS MONTANTEiCM n 1

VALOR ATUAL DE UM TÍTULO PAGO ANTES DO VENCIMENTO

Período n MC

nT

A iV

V

1

PAGAMENTODOMOMENTONO

ATUALVALORVTÍTULOV

Resolução

30,46296$

2,0180000

030 RVV

R$ 80 000,00

V0

3 anos

V1

2 anos

V2 1 anoCálculo dos valores atuais

30,462962,012,01

22

1

VV

xVV 21

continuação

30,4629620,144,1

xx

30,4629644,12,1 xx

06,60606$03,30303$67,666662,2

RTotalRxx

ARITMÉTICA Os naturais n , n < 100 , de dois algarismos que

divididos por 4 , 6 , 8 dão sempre resto 3 , têm por soma :

a ) 177 b ) 201 c ) 252 d ) 276 e ) 304

RESOLUÇÃO

Analisando concluímos o número n – 3 será divisível por 4 , 6 , 8 ao mesmo temo , logo será múltiplo do m.m.c. Entre eles , ou seja 24 .

99963757235148327243

243

nnnnnnnn

mn

A soma dos números será

252

PRODUTO CARTESIANO

BAareryRyBexRxASe

mindet63/52/

543210

RESOLUÇÃO : Como os conjuntos são infinitos apresentaremos uma solução gráfica .

6

5

4

3

2

1

BA

FUNÇÃO Determinar o gráfico de

21

x

y

RESOLUÇÃO : Observa-se que a função não existe quando x = 2 . Deveremos portanto atribuir valores maiores que 2 e menores que 2 , principalmente os valores na vizinhança de 2 .

Conjunto de valores para x

,.....1,0,1,......5,4,3

xx direitapeladevizinhose 2

esquerdapeladevizinhose 2

RESOLUÇÃO

2 31

21

x

y

TRIGONOMETRIA No alto de uma montanha há uma torre vertical de 60 m .

Do topo da torre observa-se um ponto na planície sob ângulo de depressão de 30 graus e do topo da montanha observa-se o mesmo ponto sob ângulo de depressão de 15 graus . Calcule a altura da montanha , sabendo-se que

32150 tgUtilizar 7,13

RESOLUÇÃO

300

150

6030.6030 00

tgxHxHtg

H

x

60 m

00 15.15 tgxHxHtg 32150 tg

RESOLUÇÃO ( CONCLUSÃO)

300

150

326033156030 00 xxtgxtgx

H

x

60 m

77,2306026,03,06056,0 xxxx

mHHtgxH

23,693,077,23015. 0

De quantos modos é possível encaçapar cinco bolas, uma em seguida à outra numa mesa de sinuca com seis caçapas ?

Temos 6 maneiras de encaçapar cada bola . Como são cinco bolas podemos escolher as cinco bolas de 120 maneiras diferentes

ANÁLISE COMBINATÓRIA

56!5

PROBABILIDADE

Seis amigos entram numa praça de alimentação de um shopping para beber refrigerante . Eles se sentam , numa mesa retangular com três lugares de cada lado . Determine a probabilidade de dois desses amigos ficarem sentados sempre um em frente do outro .

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RESOLUÇÃO

Seis amigos A B C D E F

Sejam A e B os amigos que vão sentar sempre um na frente do outro

A

BC , D , E , F podem sentar nos demais lugares livremente .

Análise : Sabemos que probabilidade da ocorrência de um evento é número de casos favoráveis , dividido pelo número de casos possíveis .

continuação

Resumindo

720!6 N

Seis amigos A B C D E F

Sejam A e B os amigos que vão sentar sempre um na frente do outro

A

B

C , D , E , F podem sentar nos demais lugares livremente .

Cálculo do número de casos possíveis ( N ) , se todos pudessem sentar em qualquer lugar

Cálculo do número de casos favoráveis ( n ) , considerando-se que , A e B devem ficar um na frente do outro .

NnP

144213 4 P

51

720144

P

PROBLEMA ( PUC - PR )

ZYXWVUTSRQPONMLJIHGFEDCBA

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Um batalhão do Exército resolveu codificar suas mensagens através de multiplicação de matrizes . Primeiramente , associa as letras do alfabeto aos números , segundo a correspondência abaixo considerada :

continua25...,.........3,2,1 ZCBASe

continuação

22

Supondo-se que o batalhão deseja enviar a mensagem “PAZ” , pode-se formar uma matriz da forma

Tomando-se a matriz - chave C para código , isto é ,

continua

025

115Mtabelaaseusandoque

ZAP

"",2132

PAZmensagemasetransmiteC

continuação

Através da multiplicação das matrizes M e C

Ou através da cadeia de números 31 47 50 75Desta forma , utilizando-se a mesma matriz - chave C , a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão de que palavra ?

75504731

2132

.025115

.CM

Resolução

wzyx

Palavra a ser transmitida

1498151

2132

.wzyx

IyyxVxyx

9812321512

AWWzDZwz

123492

Palavra transmitida : VIDA

PROBLEMA TABELA DE CLASSE DE STURGES

CLASSE 1,5

0 /------ 1,5

X F5

1,5 / ----- 3 73 / ------ 4,5 164,5 / ----- 6 96 / ------ 7,5 7

F 54

0 , 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2 , 22 , 2 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 44 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 , 55 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , 6 , 6 , 66 , 7 , 7 , 7 , 8 , 8 , 8 , 8 , 8 , 89 , 9 , 9 , 10

7,5 / ----- 99 / ------- 10,5

64

HISTOGRAMA

Utilizando sistema de eixos cartesiano

X

F

0 1, 5 3 4,5 6 7,5 9 10,5

5

7

9

16

PROBLEMA O ponto simétrico de A ( 1 , 1 ) em relação à reta de

equação x + y + 1 = 0 é : a ) ( - 2 , - 2 ) b ) ( - 1 , - 1 ) c ( 0 , 0 ) d ) ( 3 , 3 ) e ) ( - 3 , - 3 )

A

x + y + 1 = 0A

R

090

PROBLEMA RESOLUÇÃO

Ax + y + 1 = 0

A

Determinar equação da reta S perpendicular à reta R: x + y + 1 = 0 . Posteriormente calcular a intersecção das retas R e S , determinando o ponto médio do segmento que une os pontos simétricos .

R

S

Equação da reta S

111

BAmR

11

11

RS m

m

xyxyxy

xxmyy

11111

11

090

PROBLEMA RESOLUÇÃO

A

x + y + 1 = 0A

Calculo do ponto P interseção das retas R e S

R

S

P

21

2112

0101

yxxxy

xxyx

221

21

221

21

AA

AA

yy

xx

090

P r o b l e m a

rxxr 83

83

Uma taça tem a forma de um cone com altura 8 cm e raio da base 3 cm . Queremos enchê-la com quantidades iguais de suco e água . Para que isso seja possível calcule a altura x atingida pelo primeiro líquido colocado .

x

8

3

r

Volume do cone maior é o dobro do cone menorDos triângulos semelhantes temos

363..2

38.9.

2

2

xr

r

rxxr 83

83

continuação Teremos o sistema

36

832xr

rx83xr

6436936.8

3 32

xx

x

333 44644644 xxx

PROBLEMA 36 Um micróbio de tamanho desprezível parte da origem de um sistema de coordenadas . Inicialmente ele se desloca uma unidade e chega ao ponto ( 1 , 0 ) . Aí ele vira 90 graus no sentido anti - horário e anda 1 / 2 unidade até o ponto ( 1 , 1 / 2 ) . Ele continua dessa maneira , sempre descrevendo ângulos de 90 graus no sentido anti - horário e andando a metade da distância da vez anterior . Continuando indefinidamente , ele vai se aproximar cada vez mais de um determinado ponto . Quais são as coordenadas desse ponto ?

a ) ( 1 , 1 / 2 ) b ) ( 1 , 0 ) c ) ( 1 / 16 , 1 / 32 )

d ) ( 4 / 5 , 2 / 5 ) e ) ( - 1 / 4 , - 1 / 8 )

RESOLUÇÃO

qa

S

1

1

As coordenadas do vetor posição do micróbio serão

x = 1 - 1 / 4 + 1 / 16 - 1 / 64 + ..............

y = 1 / 2 - 1 / 8 + 1 / 32 - 1 / 128 + ...........

Posição do micróbio ( 4/5 , 2/5 )

Temos portanto duas progressões geométricas

oscilantes de razão q = - 1/4

4/111

x 4/112/1

y

x = 4 / 5 y = 2 / 5