DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

SET 5880 – SOLICITAÇÕES NORMAIS EM ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE

CONCRETO

AÇÕES DINÂMICAS E FADIGA EM ESTRUTURAS DE CONCRETO SEGUNDO ABNT - NBR 6118:2003

HIDELBRANDO JOSÉ FARKAT DIOGENES

CÓDIGO USP: 6556317

SÃO CARLOS/SP

MAIO 2010

AÇÕES DINÂMICAS E FADIGA EM ESTRUTURAS DE CONCRETO SEGUNDO A ABNT - NBR 6118:2003

Hidelbrando José Farkat Diógenes & Ana Lúcia Homce de Cresce El Debs

Resumo

Este trabalho tem como objetivo apresentar as recomendações da ABNT - NBR 6118:2003 quanto às verificações necessárias para as estruturas sujeitas as ações dinâmicas no tocante a fadiga. As ações dinâmicas no concreto armado podem provocar estados limites de serviço e estados limites últimos por vibração excessiva ou por fadiga dos materiais. A ABNT - NBR 6118:2003 permite que a verificação a fadiga seja realizada considerando-se um único nível de solicitação, para a combinação mais desfavorável de ações, adotando-se a combinação frequente. A condição de fadiga será satisfeita desde que as tensões solicitantes estejam abaixo da resistência de cálculo à fadiga do concreto e do aço. Foram também aqui apresentadas quais estruturas estão sujeitas a fadiga, cabendo ao projetista considerar a atuação das cargas dinâmicas nestas estruturas e conhecer os efeitos que tais ações podem a vir provocar nas mesmas, particularmente nas estruturas de concreto armado e protendido. Palavras-chave: ações dinâmicas, fadiga, concreto armado.

1 INTRODUÇÃO

A fadiga é um fenômeno associado às ações dinâmicas repetidas que levam a um processo de modificação progressiva e permanente da estrutura interna de um material. Ocorre o fenômeno da diminuição da resistência dos materiais pela formação e propagação de trincas na estrutura interna em consequência de esforços repetidos.

Os efeitos das ações dinâmicas começaram a despertar interesse a partir do início do século XIX numa época que correspondia ao início da revolução industrial quando muitos maquinários começaram a ser desenvolvidos. Verificava-se com frequência a ruptura de componentes mecânicos metálicos, mas foi a partir da década de 1850, com o engenheiro alemão Wöhler, que se iniciaram os primeiros estudos científicos a respeito do assunto.

Para a construção civil este assunto não despertava muito interesse, já que as estruturas desenvolvidas na época eram extremamente robustas e as cargas móveis não eram muito significativas com relação às cargas permanentes. No entanto, esse assunto tem despertado cada vez mais interesse já que podem ser observados os seguintes pontos:

a) a aspectos econômicos, arquitetônicos e pela melhor utilização dos materiais, as estruturas estão cada vez mais esbeltas;

b) ao aumento de solicitações devido à cargas móveis tanto em valor como em número de eixos, no caso de pontes;

c) ao surgimento de novas tipologias de construção como por exemplo plataformas marítimas e edifícios de grande altura (acima de 300m), entre outras;

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d) ao crescimento das zonas habitáveis muitas vezes ocupando regiões sujeitas a grandes efeitos tempestivos da natureza, tais como furacões, terremotos e maremotos;

e) à utilização mais frequente da protensão parcial que, por considerar o concreto fissurado, leva a uma maior variação dos valores de tensões nas armaduras e um decréscimo na magnitude da frequência natural porventura da diminuição da rigidez;

f) à identificação dos efeitos desfavoráveis nas estruturas existentes devido as ações dinâmicas, entre elas a formação de fissuras não existentes, aumento da fissuração já existente e aumento de deformação. Assim, os tipos de estruturas mais suscetíveis à fadiga são:

a) pontes e viadutos (rodoviários ou ferroviários); b) pavimentos de concreto (rodoviários ou de pistas de aeroportos); c) dormentes; d) estruturas sujeitas a variação de temperaturas; e) estruturas sujeitas a vibração de modo geral, provocadas por:

- ondas de vento ou água; - funcionamento de máquinas; - movimento rítmico de origem humana, tais como caminhar, correr e dançar. E cita-se como exemplo de solicitações dinâmicas pessoas caminhando nestas

estruturas sujeitas a fadiga, ação de ventos e ondas e terremoto. Este trabalho terá como ênfase apresentar ações dinâmicas segundo o item 23 da

norma ABNT - NBR 6118:2003 e o fenômeno da fadiga tratado segundo o mesmo item da referida norma e por outras instituições normativas do exterior. As ações dinâmicas podem provocar estados limites de serviço e estados limites últimos por vibração excessiva ou por fadiga dos materiais.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Processo de Fadiga

A experiência mostra que no caso de carregamentos dinâmicos são geradas tensões alternadas, capazes de interferir no modo de ruptura do material. Um material pode romper depois de um determinado número de ciclos, porém o mesmo material pode permanecer intacto quando submetido à tensão constante.

Figura 1: Tensões induzidas por carregamento cíclico

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O número de ciclos que antecede a ruptura do material depende da variação da tensão (diferença entre a máxima e a mínima tensão), como indicado na Figura 1, e varia dentro de limites bastante amplos. Quando σ∆ é grande, um número reduzido de ciclos pode provocar a destruição do material. Entretanto, para valores menores o material é capaz de suportar milhões ou até bilhões de ciclos, ou mesmo trabalhar durante um período ilimitado, contanto que a tensão seja inferior a certo limite, definido como limite de resistência à fadiga.

Estas flutuações de tensões, em certos níveis, induzem nos materiais uma mudança estrutural permanente e progressiva podendo culminar em fissuração intensa, trincas ou fraturas, após um número suficiente de ciclos.

2.2 Fadiga no concreto

O comportamento do concreto frente a carregamento cíclico pode ser evidenciado pela Figura 2, onde se percebe uma diminuição tanto no módulo de elasticidade como na resistência a compressão, provocada pelo aumento gradual de fissuração do concreto, e consequente perda de rigidez. Assim, em estruturas de concreto sob ações repetidas, a fadiga pode ser associada com fissuração excessiva e aumento das deformações.

Figura 2: Concreto sob carregamento uniaxial cíclico (Metha e Monteiro, 1994)

A fadiga se intensifica para alternância de carga em tração e compressão, e parece ser semelhante na tração ou compressão pura. É oportuno destacar que em virtude da combinação de diferentes tipos de solicitações haverá respostas diferentes no comportamento do concreto à fadiga.

2.3 Fadiga no aço de estruturas de concreto

Além da variação da tensão e do número de ciclos de carregamento, a fadiga no aço depende:

a) conformação superficial: as nervuras das barras, projetadas para melhor aderência entre o aço e o concreto, acarretam uma significativa redução da resistência à fadiga, comparativamente às barras lisas, devido à concentração de tensões;

b) diâmetro das barras: a resistência à fadiga das barras reduz com o aumento do seu diâmetro; uma barra de diâmetro de 40mm pode ter resistência à fadiga 25% menor que uma barra de 16mm, mantidas iguais as demais condições. Provavelmente isto ocorre pela maior probabilidade da ocorrência de falhas no processo de fabricação,

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sendo que estas falhas dão origem à concentração de tensões em seu entorno; c) barras dobradas: o dobramento das barras reduz a sua resistência à fadiga em

relação a barra reta, devido à geração de tensões localizadas, esta redução é função da relação entre o diâmetro de dobramento e o diâmetro da barra;

d) emendas por traspasse: ensaios experimentais, com traspasse de 20 a 35 vezes o diâmetro das barras, mostram que este tipo de emenda não apresenta redução significativa de resistência à fadiga, em comparação às situações similares sem emendas;

e) emendas por solda: nas barras emendadas por solda, por eletrodo ou por caldeamento, ocorre uma redução da resistência à fadiga de até 50% em relação à barra sem emenda.

3 ESTADO LIMITE DE VIBRAÇÕES EXCESSIVAS

Segundo a ABNT - NBR 6118 a análise de vibrações pode ser feita em regime linear no caso das estruturas usuais.

Para assegurar comportamento satisfatório das estruturas sujeitas a vibrações, deve-se afastar o máximo possível a frequência própria da estrutura (f) da frequência crítica (fcrit), que depende da destinação da respectiva edificação. Assim deve ser respeitada a equação abaixo:

critff 2,1> (1)

onde: fcrit é a frequência crítica conforme tabela 01. O comportamento das estruturas sujeitas a ações dinâmicas cíclicas que originam vibrações pode ser modificado por meio de alterações em alguns fatores, como ações dinâmicas, frequência natural (pela mudança da rigidez da estrutura ou da massa em vibração) e aumento das características de amortecimento. A norma faz um alerta quando a ação crítica é originada por uma máquina, principalmente quando a máquina é ligada já que ocorre o efeito da sobreposição dos efeitos do movimento permanente e do transitório. Neste caso a norma recomenda um estudo mais apurado e devem-se utilizar recursos de aumentar a massa ou o amortecimento da estrutura caso necessário.

No caso de frequências críticas originadas pela ação de pessoas, a norma permite, na falta de valores determinados experimentalmente, adotar os seguintes valores para fcrit conforme tabela 1.

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Tabela 1: Frequência crítica para alguns casos especiais de estruturas submetidas a vibrações pela ação de pessoas (Tabela 23.1 da ABNT - NBR 6118:2003)

Caso fcrit (Hz)

Ginásio de esportes 8,0

Salas de dança ou de concerto sem cadeiras fixas 7,0

Escritórios 3,0 a 4,0

Salas de concerto com cadeiras fixas 3,4

Passarelas de pedestres ou ciclistas

1,6 a 4,5

Alguns exemplos de estruturas atingiram o Estado Limite de Vibração Excessiva

(ELS-VE) são: a) Ponte Tacoma Narrows: ponte pênsil com 1600 metros de comprimento, situada

no estado de Washington, Estados Unidos. O acidente ocorreu no dia 07 de novembro de 1940, após a ação dinâmica do vento entrar em ressonância com a ponte. Ressonância é o estado no qual a frequência da fonte de excitação se iguala, a da estrutura, nesta situação as amplitudes de vibração são máximas

b) Millenium Bridge: passarela projetada por Norman Foster, localizada em Londres, Inglaterra. No dia seguinte da sua inauguração a passarela foi interditada para ser reforçada devido à vibração excessiva, oriunda do caminhar de pessoas.

Figura 3: Vista da passarela Millenium Bridge

Um exemplo de cálculo e verificação do ELS-VE é apresentado no Anexo C deste trabalho.

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4 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE FADIGA

4.1 Ações cíclicas

Existem dois casos de ações de fadiga:

a) fadiga de alta intensidade: danos com menos de 20.000 repetições; b) fadiga de média e baixa intensidade: danos com até 2.000.000 repetições.

A ABNT - NBR 6118:2003 trata apenas do caso b. Supõe-se inicialmente que um corpo pode tolerar apenas certa quantidade de dano

D. Se experimentalmente o corpo for submetido a Di (i=1...N) de N ciclos, então pode-se esperar que a ruptura ocorrerá se:

DD

N

ii =∑

=1 (2) ou de maneira equivalente

0.1

1=∑

=

N

i

i

DD

(3) Pode-se utilizar este conceito linear de dano na fadiga considerando a situação onde a componente é submetida a n1 ciclos em tensões alternadas σ1; n2 ciclos submetidos a tensões σ2; nN ciclos em σN tensões. Da curva S-N do material apresentada na figura 03, pode-se determinar o número de ciclos para ruptura N1 em σ1, N2 em σ2,..., NN em σN.

Figura 04: Curva S-N do material

Para a combinação de ações de um determinado espectro de cargas, considera-se a regra de Palmgren-Miner diz que a ruptura à fadiga ocorre quando:

1Nn

i

i ≤∑ (4)

sendo:

in é o número de repetições aplicadas sob condição particular de tensões;

iN é o número de repetições que causaria a ruptura por fadiga para a mesma condição de tensões aplicadas.

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A regra de Palmgren-Miner supõe que os danos de fadiga acumulam-se linearmente com o numero de ciclos aplicado a certo nível de tensões. Assume-se dessa forma que a vida útil de um corpo pode ser calculada somando a porcentagem de vida consumida por cada ciclo de tensão. No Anexo A, é apresentado um exemplo de cálculo de dano em um material sujeito a ações cíclicas. O Anexo B apresenta um exemplo de cálculo para a verificação da fadiga de uma viga de ponte rolante protendida.

4.2 Combinações de ações

Dada a complexidade na modelagem de carregamentos cíclicos, responsáveis pelos efeitos acumulativos e deletérios causadores da fadiga, a ABNT - NBR 6118:2003 permite que a verificação à fadiga seja realizada considerando-se um único nível de solicitação, para a combinação mais desfavorável de ações, expresso pela combinação frequente de ações, dada a seguir:

kjq

n

2jj2k1q1

m

1ikigser,d FFFF ∑∑

==

ψ+ψ+= (5)

onde: Fd,ser é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço;

Fgik é o valor característico das ações permanentes diretas;

Fq1k é o valor característico das ações variáveis principais diretas;

Fqjk é o valor característico das outras ações variáveis diretas;

1ψ é o fator de redução de combinação frequente para o Estado Limite de Serviço,

conforme indicado na tabela 02;

2ψ é o fator de redução de combinação quase permanente para o Estado Limite de Serviço, conforme indicado na tabela 03.

Tabela 2: Fator de redução 1ψ (Item 23.5.2 da ABNT - NBR 6118:2003)

Tipo de obra Peça estrutural (verificação) 1ψ

Pontes rodoviárias Vigas 0.5

Transversinas 0.7 Lajes de tabuleiro 0.8

Pontes ferroviárias Em geral 1.0

Vigas de rolamentos de pontes rolantes Em geral 1.0

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Tabela 3: Fator de redução 2ψ (Parte tabela 11.2 da ABNT - NBR 6118:2003)

Ações 2ψ

Cargas acidentais de

edifícios

Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas 2)

0,3

Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas 3)

0,4

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,6 Vento

Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0

Temperatura

Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,3

2) Edifícios residenciais. 3) Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos.

4.3 Modelo de cálculo

Para verificação da fadiga, seja do concreto ou do aço, os esforços solicitantes podem ser calculados em regime elástico. O cálculo das tensões decorrentes de flexão composta pode ser feita no estádio II, onde é desprezada a resistência à tração do concreto.

O cálculo das tensões decorrentes da força cortante em vigas deve ser feito pela aplicação do modelo I ou II, conforme item 17.4.2.2 e 17.4.2.3, respectivamente da ABNT - NBR 6118:2003.

Genericamente, a resistência do elemento estrutural numa determinada seção transversal, submetida à força cortante, deve ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as seguintes condições:

2rdsd VV ≤ (6)

swc3rdsd VVVV +=≤ (7)

onde:

sdV é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;

2rdV é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, de acordo com o processo indicado no modelo I ou no modelo II;

swc3rd VVV += , é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração

diagonal, onde cV é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares

ao de treliça e swV a parcela resistida pela armadura transversal, de acordo com o modelo I ou modelo II

Especificamente, considerando a verificação à fadiga, deve-se considerar a redução da contribuição do concreto, como segue:

a) no modelo I o valor de Vc deve ser multiplicado pelo fator redutor 0,5;

b) no modelo II a inclinação das diagonais de compressão, θ , deve ser corrigida pela

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equação: 1tgtg cor ≤θ=θ .

Deve-se adotar os seguintes coeficientes de segurança:

a) para majoração dos esforços solicitantes: 1f =γ ,0

b) para minoração das resistências: 4,1c =γ (concreto) e 1s =γ ,0 ( aço)

Os esforços solicitantes podem ser calculados em regime elástico-linear, seja no aço ou no concreto, a partir da combinação mais desfavorável de ações conforme exposto no item 3.2 (combinação de ações) com relação entre o módulo de elasticidade do aço e do concreto igual a:

10==c

se E

Eα (8)

4.3.1 Calculo das tensões Para o cálculo das tensões no aço da armadura passiva ou ativa aderente, pode-se

considerar o comportamento elástico linear compatibilizando as deformações e multiplicando a tensão no aço pelo fator sη para levar em conta a diferença de aderência entre o aço de protensão e o aço da armadura passiva.

1

AA

1

AA

1

p

s

s

p

s

p

s ≥

φφ

ξ+

+=η (9)

onde:

sA é a área de armadura passiva;

pA é a área da armadura ativa;

sφ é o menor diâmetro do aço da armadura passiva na seção considerada;

pφ é o diâmetro do aço de protensão (para feixes, peq A6,1=φ , onde: pA é a área da

seção transversal do feixe);

ξ é a relação entre as resistências de aderência do aço de protensão e do aço da armadura passiva (alta aderência), os valores estão indicados na tabela 04.

Tabela 04: Valores deξ (item 23.5.3 da ABNT - NBR 6118:2003)

Tipo ξ

Pós-tração

Aço de protensão liso 0,2 Cordoalhas 0,4

Fios entalhados 0,6 Barras nervuradas 1,0

Pré-tração Cordoalhas 0,6 Aços entalhados 0,8

11

Percebe-se, da expressão que 1s =η , na ausência de armadura ativa.

4.4 Verificação da fadiga do concreto

4.4.1 Concreto em compressão A verificação é feita considerando-se que a máxima tensão de cálculo no concreto

comprimido seja inferior a resistência de cálculo à fadiga na compressão, conforme a seguinte expressão:

fad,cdmax,cfc f≤σγη (10)

onde:

cdfadcd f45,0,f = (11)

σ

σ−

=η

2c

1cc

5,05,1

1 (12)

h

y

cc I

MAN

±±=σ (13)

onde :

fadcdf , é a resistência de cálculo do concreto à fadiga na compressão;

cη é um fator que considera o gradiente de tensões de compressão no concreto;

cσ é o valor da tensão;

1Cσ é o menor valor, em módulo, da tensão de compressão a uma distância não maior que

300 mm da face sob a combinação relevante de cargas (Figura 5);

2Cσ é o maior valor, em módulo, da tensão de compressão a uma distância não maior que

300 mm da face sob a mesma combinação de carga usada no cálculo de 1cσ (Figura 5).

Figura 5: Definição das tensões 1cσ e 2cσ (Figura 23.1 da ABNT - NBR 6118:2003)

Observa-se que na compressão axial 1c =η (gradiente nulo), enquanto que na

flexão 1c <η (redução na tensão de cálculo em virtude do gradiente).

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4.4.2 Concreto em tração Neste caso, a máxima tensão de cálculo no concreto tracionado deve ser inferior à

resistência de cálculo à fadiga na tração, conforme a expressão seguinte:

fad,ctdmax,ctf f≤σγ (14)

onde:

infctdfadctd ,f3,0,f = (15)

4.4.3 Verificação da fadiga na armadura Nas armaduras de aço a máxima variação de tensão de cálculo deve ser inferior à

resistência de cálculo à fadiga. A variação da tensão no aço é calculada para um único nível de solicitação

A verificação é realizada pela seguinte expressão:

fadsdSsf ,f∆≤σ∆γ (16)

CSSs σαησ ..= (17)

onde:

Sη é o fator de aderência entre as armaduras;

α é a relação entre o módulo de elasticidade do aço e do concreto.

Os valores de fadsd,f∆ para 2.000.000 ciclos encontram-se nas tabelas 05 e 06. Se o número de ciclos não é de 2.000.000, deve-se utilizar as tabela 05 ou 06 e a tabela 07, que fornecem parâmetros necessários para o traçado das curvas S-N, e assim estimar fadsd,f∆ para outro número de ciclos.

Por exemplo, para barras de 16 mm de CA-50 determina-se, da tabela 5, que fadsd,f∆=190 MPa e o tipo é 1Τ . Para o tipo 1Τ a tabela 07 fornece k1=5 e k2=9. Com estes parâmetros é possível construir uma curva S-N como ilustrado na Figura 6. As curvas S-N são representadas em escala logxlog, por seguimentos de retas, de modo que

=×∆ Nf mfadsd ),( constante.

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Tabela 5: Parâmetros para as curvas S-N (Wöhler) para os aços dentro do concreto (parte tabela 23.2 da ABNT - NBR 6118:2003)

Valores de min,, fadsdf∆ , para 2x106 ciclos ( MPa ) Armadura passiva, aço CA-50

CASO φ (mm) 10 12,5 16 20 22 25 32 40 TIPO

Barras retas ou dobradas com D φ≥ 25 190 190 190 185 180 175 165 160 1Τ

Barras retas ou dobradas com D φ< 25 D= <φ5 20mm D= 208 ≥φ mm

105 105 105 105 100 95 90 85 1Τ

Estribos D= ≤φ3 10mm 85 85 85 - - - - - 1Τ

Ambiente marinho Classe IV 65 65 65 65 65 65 65 65 4Τ

Barras soldadas (incluindo soldas por pontos ou das extremidades) e conectores mecânicos

85 85 85 85 85 85 85 85 4Τ

Tabela 6: Parâmetros para as curvas S-N (Wöhler) para os aços dentro do concreto

(parte tabela 23.2 da ABNT - NBR 6118:2003)

Armadura ativa

Valores de min,, fadsdf∆ , para 2x106 ciclos ( MPa ) Tipo

Pré-tração, fio ou cordoalha reto 150 1Τ

Pós-tração, cabos curvos 110 2Τ

Cabos retos 150 1Τ

Conectores mecânicos e ancoragens 70 3Τ

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Figura 6: Formato das curvas de resistência característica à fadiga - curvas S-N (Figura 23.2 da

ABNT - NBR 6118:2003)

Tabela 7: Tipos de curva S-N (Tabela 23.3 da ABNT - NBR 6118:2003)

Tipo N* k1 k2 T1 106 5 9 T2 106 3 7 T3 106 3 5 T4 107 3 5

Existem algumas recomendações sobre o aço:

a) em nenhum caso deve-se considerar resistência à fadiga maior que a da barra reta; b) no caso em que se possa comprovar experimentalmente que o aço a ser utilizado na

estrutura apresenta características de resistência à fadiga superiores às aqui indicadas, permite-se o uso dessas características no cálculo;

c) no caso das marcas de identificação do fabricante, este deve apresentar os valores de resistência à fadiga consequentes de eventual concentração de tensões provocadas pelo formato do relevo da marca na barra;

d) considera-se que os valores apresentados para a resistência à fadiga dos aços da armadura passiva referem-se a barras nervuradas de alta aderência, nas quais as saliências transversais e longitudinais não se cruzam nem apresentam: r/h<0,5; onde: h é a altura da saliência e r é o raio da curva de concordância da saliência com o corpo da barra;

e) na falta de dados experimentais específicos que comprovem que barras que não respeitem essa configuração satisfazem as tabelas 05 ou 06, permite-se utilizá-las com uma redução de 30% da flutuação da tensão limite dada nestas tabelas .

5 ESTADO LIMITE DE SERVIÇO

As modificações introduzidas pela repetição das solicitações podem afetar significativamente as estruturas do ponto de vista do seu comportamento em serviço, particularmente no que diz respeito ao aparecimento de fissuras não existentes sob ações

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estáticas, ao agravamento de fissuração já existente e ao aumento de deformações. Assim, torna-se imprescindível estimar as deformações das estruturas ou dos

elementos estruturais nas situações de serviço, conforme o número de ciclos de carregamento.

O aumento das deformações é progressivo sob ações dinâmicas cíclicas e soma-se ao aumento de deformações decorrentes da fluência. Na falta de dados experimentais conclusivos, o efeito cíclico pode ser estimado pela expressão:

)]05,0exp(5,05,1[ 25,01 naan −−= (18)

onde:

na é a deformação no enésimo ciclo devido à carga máxima;

1a é a deformação no primeiro ciclo devido à carga máxima;

n é o número de ciclos.

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6 CONCLUSÃO

Foi possível observar que estruturas solicitadas por um número elevado de ciclos de carregamento podem sofrer o efeito da fadiga, sendo que tanto o concreto como o aço podem romper a níveis de tensões inferiores às suas resistências. O dano observado é gradual, sendo capaz de produzir aumento na fissuração, abertura das fissuras e deformações no aço. O comportamento conjunto entre o aço e o concreto depende do tipo de estrutura. O modelo de análise utilizado pela ABNT - NBR 6118:2003 considera apenas uma intensidade de tensão, a de média e baixa intensidade e adota um número de ciclos constantes, com análise do carregamento dentro da previsão de vida útil da estrutura.

As solicitações repetidas impostas às estruturas, mesmo que produzindo tensões inferiores à resistência do material, medida em ensaio estático, gera um estado de fissuração intenso que culmina com a desagregação das seções resistentes, caracterizando um estado limite de utilização da estrutura.

Desta forma, entende-se que o aprofundamento dos conhecimentos do fenômeno da fadiga do concreto, que permita dimensionar estruturas duráveis e econômicas trará vários benefícios aos projetistas estruturais, que atualmente se baseiam em estimativas da vida útil das estruturas à fadiga. Com relação ao ELS-VE, a referida norma é limitada, porém segura, haja vista que ela aponta valores referentes aos 2º e 3º harmônicos da força de excitação, o que embora seja um procedimento simplificado é coerente na sua essência.

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7 REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (2003). ABNT - NBR6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro. EL DEBS, M. K.; TAKEYA, T. Comportamento à fadiga do concreto armado e protendido – Notas de aula. Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos. 39p, 1992. CREPALDI, A. A. P., DJANIKIAN, J. G. Contribuição ao estudo da fadiga do concreto. Boletim Técnico da EPUSP, São Paulo, 2001. LARANJEIRAS, A. C. R. Fadiga das estruturas de concreto, II Simpósio EPUSP sobre estruturas de concreto, Anais vol. 1, pp 101-131, 1990. MEHTA, P.K.;MONTEIRO,P.J.M. Concrete: structure, properties and materials. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1993.

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ANEXO A

Um componente é submetido a tensões aplicadas consecutivamente e sem simultaneidade, conforme apresentado na Tabela A. Determinar o dano por fadiga no material. A resistência à fadiga ou o número de ciclos para a ruptura para um dado numero de ciclos aplicados é obtida através da curva S-N do material, apresentada na Figura A.

Tabela A – Quadro de tensões aplicadas

Tensão (MPa)

Número de ciclos

aplicados

Número de ciclos para ruptura

(S-N)

360 8 000 20 000

340 10 000 40 000

280 40 000 200 000

Figura A1 – Curva S-N para componente.

Segundo a regra de Palmgren-Miner a ruptura à fadiga ocorrerá quando

Dessa forma os danos acumulados corresponderão a:

0.18.020000040000

4000010000

200008000

<=++.

O corpo provavelmente não romperá na fadiga uma vez que as ações aplicadas produzem um dano inferior à resistência do material.

1.0i

i

nN

∑ =

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ANEXO B

EXEMPLO DE VERIFICAÇÃO À FADIGA EM UMA VIGA DE ROLAMENTO PRÉ-FABRICADA PROTENDIDA.

ponte rolante - capacidade 7 tf

0,0

7000

5000

4660

Figura A1 - Esquema do galpão

Objetivo do exemplo

Pretende-se, com este exemplo, mostrar a sequência de cálculos para a verificação dos estados limites últimos e de serviço em relação à fadiga. Especificamente, verificam-se os estados limites à fadiga de um elemento estrutural protendido. A sequência foi realizada com base no capitulo 23 da ABNT - NBR 6118:2003 (ações dinâmicas e fadiga).

Finalidade do elemento estrutural

A viga foi projetada para servir de apoio para os trilhos de uma ponte rolante em um galpão que será utilizado como laboratório de estruturas. A viga em questão se apóia em consolos engastados nos pilares conforme mostrado na Figura A1.

Tipo de protensão utilizado

Para a produção de elementos pré-moldados em pistas de protensão utiliza-se protensão com aderência inicial.

Será utilizada protensão limitada, uma vez que a viga está sujeita a cargas móveis; a utilização de protensão completa levaria a situações críticas de "estado em vazio".

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Dados dos materiais utilizados

Tabela A1- Dados dos materiais utilizados Concreto

ckf = 30 MPa 3

c m/kN25=γ

ckc f560085,0E ⋅= MPa26072Ec =

Armadura passiva Longitudinal

CA-50 2

wmin,s cm71,1hb%15,0A == 2

s cm01,2A = ( mm162φ ) Transversal

CA-60 2

sw cm393,0A = cm5,16.C0,591φ

Armadura ativa Cordoalhas Tipo CP 190 RB

ptkf = 190 kN/cm2

pykf = 171 kN/cm2 2

p cm/kN124=σ ∞

Ap = 6,33 cm2 ( mm7,125φ ) kgf80000P =∞

Características geométricas

Esquema longitudinal

A viga se apóia em consolos através de neoprenes. Portanto, trata-se de um elemento de barra bi-apoiado (Figura A2).

15,0 m

Figura A2 - Esquema longitudinal da viga

Esquema transversal

A forma de seção transversal foi projetada visando eficiência e economia. 40,0 cm

6,77,36,7 7,312,0

40,0 cm

10,0

10,0

95,047,5

5,0

22,5

6,0 6,0

cg

20

(a)

(b)

Figura A3 – (a) Seção transversal da viga, (b) Detalhe do consolo

21

Cálculos

Os cálculos das tensões serão realizados no estádio 1, pois através de um cálculo expedito,verificou-se que as tensões de tração não provocam a formação de fissuras.

Cálculos das características geométricas da seção:

• Características da seção de concreto não homogeneizada no estádio 1:

Centróide: cm40,46y1 =

Área da seção de concreto : 2c cm1994A =

Momento de inércia: 4cm2030289I =

• Características da seção de concreto homogeneizada no estádio 1: Cálculo do centro de gravidade e do momento de inércia para a área

homogeneizada:

CGCGh ∆ y

yp

y1 y2

cm5yp = ( armadura de protensão)

pc

pp1c2 AA

y.Ay.Ay

+

+=

cm27,4633,6994.1

0,533,64,46994.1y2 =+

⋅+⋅=

cm13,0yyy 21 =−=∆

2p2pp

2cH )yy(A)1()yAI(I −−α+∆+=

22H )27,41(33,6)9()13,019942030289(I +⋅+=

2H cm2127355I =

Sendo: 10E/E cpp ==α ( relação entre os módulos de elasticidade, o valor 10 é recomendado por norma).

Figura A4 – Distâncias para o cálculo da inércia da seção homogeneizada

Módulos resistentes elásticos:

Bordo inferior (i):

3H cm 0,4597727,46

2127355yI

W ===Ι

Ι

22

Bordo superior (s):

3

s

Hs cm 0,43656

73,482127355

yI

W ===

Obs.: Não se levou em consideração a área de armadura passiva nos cálculos, por tratar-se de armadura mínima.

Ações sobre o elemento

• Carga permanente indireta: força de protensão

kgf80000P =∞

• Carga permanente direta: peso próprio Área da seção transversal: Ac = 2259 cm2 ( desconsiderando os furos dos trilhos)

g = 25 kN/m3 × 0,2259 m2 = 5,6475 kN/m

15,00 m

g = 5,6475 kN/m

Figura A5- Carregamento do peso próprio

• Carga acidental: carga móvel da ponte rolante

A carga máxima por roda da ponte rolante considerada é de 69 kN e a distância mínima entre rodas é de 3,6 m conforme esquema abaixo:

3600 mm

69 kN 69 kN

Figura A6 - Carga por roda da ponte rolante

Combinação de ações:

kjq

n

2jj2k1q1

m

1ikigser,d FFFF ∑∑

==

ψ+ψ+=

11 =ψ (valor tabelado para ponte rolante)

23

Os esforços solicitantes serão calculados separadamente, para a combinação mais desfavorável de ações, e em seguida seus valores serão sobrepostos.

Esforços solicitantes:

• Esforços normais:

Força de protensão: kgf80000P =∞

• Momentos fletores: Momento fletor devido a protensão:

mkN2,330cmkgf330160027,4180000ePM pp ⋅−=⋅−=⋅−=−= ∞ (ao longo do vão)

Momento fletor máximo devido ao peso próprio (meio do vão)

m.kN8,1588

156475,5M2

g =×

=

Momento fletor máximo devido à carga móvel (meio do vão)

m.kN400Mq = (obtido da linha de influência)

• Força cortante: Força cortante máxima devido ao peso próprio ( região dos apoios)

kN4,422

156475,5Vg =×

=

Força cortante máxima devido a carga móvel (região dos apoios)

kN125Vq = (obtido da linha de influência)

Esforços solicitantes de cálculo:

No caso de fadiga, considera-se: 1f =γ ( Majoração dos esforços solicitantes)

Assim:

KN800PPd −== ∞

mkN6,2284008,1582,330MMMM qgpd ⋅=++−=++=

mkN4,1671254,42VVV qgd ⋅=+=+=

24

Tensões

O cálculo das tensões no concreto e no aço pode ser feito considerando-se regime elástico linear:

Sendo: 3cm0,45977W =Ι , 3

s cm0,43656W = , 2c cm0,1994A = e MPa0,26072Ec =

Tem-se:

• No concreto bordo superior

)compressão(cm/kN925,04365622860

1994800

WM

AP 2

s

d

c

dmáx,c −=−

−=−

−=σ

bordo inferior

)tração(cm/kN095,04597722820

1994800

WM

AP 2

i

d

c

dmáx,ct =+

−=+

−=σ

• No aço Armadura ativa: A tensão de protensão é obtida dividindo-se a força de protensão pela área de

armadura ativa:

2

pp cm/kN127

33,6800

AP

===σ ∞∞

Tensão no concreto ao nível da armadura ativa ( cpσ )

)tração(cm/kN045,02127355

)527,46(228201994

800IyM

AP 2

H

sd

c

dcp =

−⋅+

−=+

−=σ

Esta tensão provocará na armadura ativa uma variação de tensão da ordem de: 2

cpesp cm/kN45,0045,010 =⋅=σα=σ∆

Sendo 10E/E cse ==α ( recomendado pela norma)

Armadura passiva:

Tensão no concreto ao nível da armadura ( csσ )

)tração(cm/kN063,02127355

)327,46(228201994

800IyM

AP 2

H

sd

c

dcs =

−⋅+

−=+

−=σ

Tensão na armadura passiva:

25

22cses cm/KN63,0cm/kN063,010 =⋅=σα=σ

Este valor corresponde a própria variação de tensão na armadura passiva.

Correção dos valores calculados: Para levar em conta a diferença de aderência entre o aço de protensão e aço da

armadura passiva, deve-se multiplicar as tensões encontradas pelo seguinte coeficiente:

1

AA

1

AA

1

p

s

s

p

s

p

s ≥

φφ

ξ+

+=η

Sendo:

2s cm01,2A = ( área de armadura passiva);

2p cm33,6A = ( área da armadura ativa);

mm16s =φ (menor diâmetro do aço da armadura passiva);

mm7,12p =φ (diâmetro do aço de protensão);

6,0=ξ (para cordoalhas em regime de pré-tração);

assim:

032,1

7,12166,0

33,601,21

33,601,21

s =

+

+=η

Tensões corrigidas

Armadura ativa: 2pssSsp cm/kN47,045,0032,1 =⋅=σ∆η=σ∆

Armadura passiva: 2ssSs cm/kN65,063,0032,1 =⋅=ση=σ∆

Verificações ao estado limite último de fadiga

Verificação da fadiga do concreto

• Concreto em compressão:

26

fad,cdmax,cfc f≤σγη

sendo:

cdfadcd f45,0,f =

σ

σ−

=η

2c

1cc

5,05,1

1

Figura A7: Definição das tensões 1cσ e 2cσ (Figura 23.1 da ABNT - NBR 6118:2003)

Cálculos:

2

s

d

c

d

sc2c cm/kN925,0

4365622860

1994800

WM

AP

WM

AN

−=−−

=−−

=+=σ

2

H

d

c

d

Hc1c cm/kN200,0

2127355)3073,48(22860

1994800

IyM

AP

IyM

AN

−=−⋅

−−

=⋅

−−

=⋅

+=σ

Assim:

718,0

925,0200,05,05,1

1

5,05,1

1

2c

1cc =

−

=

σ

σ−

=η ;

2

c

ckcdfadcd cm/kN964,0Mpa64,9

4,13045,0

f45,0f45,0,f ==⋅=

γ== ;

Verificação:

fad,cdmax,cfc f≤σγη

2max,cmax,c cm/kN34,1964,01718,0 ≤σ⇒≤σ⋅⋅

Do item 8.6.6, obteve-se: 2máx,c cm/kN925,0=σ

Portanto, o concreto em compressão não romperá por fadiga.

• Concreto em tração:

fad,ctdmax,ctf f≤σγ

sendo:

infctdfadctd ,f3,0,f =

Cálculos:

MPa83,44,1

)303,0(7,0)f3,0(7,0f7,0ff

3/2

c

3/2ck

c

ctm

c

inf,ckinf,ctd =

⋅⋅=

γ⋅

=γ

=γ

=

MPa45,183,43,0,f3,0,f infctdfadctd =⋅==

27

MPa45,1MPa45,11f max,ctmax,ctfad,ctdmax,ctf ≤σ⇒≤σ⋅⇒≤σγ

Do item 8.6.6, obteve-se: MPa95,0cm/kN095,0 2máx,ct ==σ

Portanto, o concreto em tração não romperá por fadiga.

Verificação da fadiga no aço

• Armadura ativa Sistema de pré-tração com cordoalhas

fadsdpSsf ,f∆≤σ∆γ

Para pré-tração, em cordoalhas, a tabela 5 fornece: MPa150,f fadsd =∆ (para 6102× ciclos).

Assim:

MPa150MPa1501 pSspSs ≤σ∆⇒≤σ∆⋅

Do item 8.6.6, obteve-se: MPa7,4cm/kN47,0 2pSs ==σ∆

Portanto, o aço protendido não romperá por fadiga.

• Armadura passiva CA-50, com diâmetro de 16 mm.

fadsdSsf ,f∆≤σ∆γ

Para barras de Aço CA-50, com diâmetro de 16mm e diâmetro de dobradura menor que vinte e cinco vezes o diâmetro da barra ( situação mais desfavorável), a tabela 4 fornece: MPa105,f fadsd =∆ ( para 6102× ciclos).

Assim:

MPa105MPa1051 SsSs ≤σ∆⇒≤σ∆⋅

Do item 8.6.6, obteve-se: MPa5,6cm/kN65,0 2Ss ==σ∆

Portanto, o aço da armadura passiva não romperá por fadiga.

Verificação ao cisalhamento

Para à verificação ao cisalhamento será utilizado o modelo I:

O modelo I admite diagonais de compressão inclinadas de °=θ 45 em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar cV tenha valor constante, independente de sdv .

• Bielas em compressão:

28

88,0)250/301()250/f1( ck2v =−=−=α

kN2,56893124,1388,027,0dbf27,0V wcd2v2Rd =⋅⋅⋅⋅=α=

• Armadura transversal:

Estando os estribos na vertical, toma-se °=α 90 , assim:

Parcela resistida pela armadura transversal:

kN7,8615,43939,0)5,16/393,0()cossen(fd9,0)s/A(V ywdswsw =⋅⋅⋅⋅=α+α=

Parcela resistida por mecanismos complementares ao da treliça :

0Vc = nos elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção

0cc VV = na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando seção

0cmáx,Sd00cc V2)M/M1(VV ≤+= na flexo-compressão

Portanto, na situação em questão:

0cmáx,Sd00cc V2)M/M1(VV ≤+= , onde dbf6,0V winf,ctd0c = , assim:

MPa83,44,1

)303,0(7,0)f3,0(7,0f7,0ff

3/2

c

3/2ck

c

ctm

c

inf,ckinf,ctd =

⋅⋅=

γ⋅

=γ

=γ

=

kN41,3239312483,06,0db,f6,0V winfctd0c =⋅⋅⋅== ;

Sendo, oM o momento que anula a tensão de compressão da seção mais solicitada e máx,sdM o momento resultante quando se desconsidera o momento de protensão ,tem-se:

0cmáx,Sd00cc V2kN12,557)55880/8,403811(41,323)M/M1(VV ≤=+⋅=+=

• Resistência total: Especificamente, considerando a verificação à fadiga, deve-se considerar a redução

da contribuição do concreto, multiplicando-se o valor de cV por 0,5, assim:

kN3,3657,8612,5575,0VV5,0V swc3Rd =+⋅=+=

• Verificações:

2Rdsd VV ≤

3Rdsd VV ≤

Do item 8.6.5, obteve-se: mkN4,167Vsd ⋅= e sendo kN2,568V 2Rd = e kN3,365V 3Rd = , conclui-se que ambos materiais, concreto e aço, não romperão por fadiga

em virtude do cisalhamento.

29

Estado Limite de Serviço

As deformações totais ao longo do tempo podem ser estimadas, na ausência de dados experimentais conclusivos, considerando-se o efeito progressivo sob as ações dinâmicas cíclicas , pela seguinte expressão:

)]n05,0exp(5,05,1[aa 25,01n −−=

Sendo:

na a deformação no enésimo ciclo devido à carga máxima;

1a a deformação no primeiro ciclo devido à carga máxima;

n o número de ciclos.

Em se tratando de uma viga de rolamento é de interesse estimar a flecha máxima ao longo de sua vida útil, pois valores elevados comprometerão o movimento da ponte rolante. Assim se 1a representa o flecha inicial, na representará a flecha após 6102n ×= ciclos.

Cálculo da Flecha inicial:

• Carga móvel

Figura A8: Pior configuração do trem tipo.

Sendo: kN69q = , 2Hc cmkN554643995621273552,2607IE ⋅=⋅= , tem-se:

cm61,1)570415003(554643995624

57069)a4L3(IE24

qaf 2222

Hcq =⋅−⋅

⋅⋅

=−=

• Carga permanente

Figura A9: Peso próprio

cm/kN106475,5g 2−×=

30

cm67,05546439956384

1500106475,55IE384

gL5f42

Hc

4

g =⋅

⋅×⋅==

−

• Força de protensão

Figura A10: Momento de protensão

Em cabos retilíneos o momento de protensão é constante ao longo de toda a viga:

cmkN0,3301627,41800ePM pp ⋅−=⋅−=−= ∞ .

cm67,155464399568

15000,33016IE8

LMf

2

Hc

2p

p −=⋅

⋅−==

Flecha total inicial: cm61,067,167,061,1fffa pgq1 =−+=++=⇒

Cálculo da flecha final

Flecha após 6102n ×= ciclos:

cm87,0)102(05,0exp(5,05,1[61,0)]n05,0exp(5,05,1[aa 25,0625,01n =×⋅−−⋅=−−=

A este valor, deve-se, ainda, adicionar a parcela decorrente da fluência e, em seguida, verificar se o valor total atende ao limite recomendado por norma:

Limite recomendado por norma (aspecto visual):

cm6250

1500250LfLim ===

31

ANEXO C

Dado um elemento de piso pré-moldado, de concreto armado, com

características unidirencionais, simplesmente apoiado, com as seguintes

características mecânicas e geométricas:

Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝐴𝐴) = 0,408𝑚𝑚2

𝐼𝐼𝐼𝐼é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝐼𝐼) = 0,023065𝑚𝑚4

𝑃𝑃𝑟𝑟𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑟𝑟𝑃𝑃𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟í𝑓𝑓𝑟𝑟𝑟𝑟𝑃𝑃 (𝜌𝜌) = 25𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚³

𝐼𝐼𝐼𝐼é𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 (𝐼𝐼) = 0,023065𝑚𝑚4

𝑀𝑀ó𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝐸𝐸𝑑𝑑𝑟𝑟𝑃𝑃𝐸𝐸𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 = 35𝐺𝐺𝑃𝑃𝑟𝑟

𝐶𝐶𝑃𝑃𝑚𝑚𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟𝑚𝑚𝑟𝑟𝐼𝐼𝐸𝐸𝑃𝑃 (𝐿𝐿) = 15𝑚𝑚

𝑔𝑔 = 9,807 𝑚𝑚/𝑃𝑃²

Pede-se:

a) Verificar o ELS-VE segundo ABNT – NBR 6118:2003, sabendo que o

pavimento formado por estes elementos será ocupado por uma academia

de dança de salão e um escritório de cálculo estrutural.

b) Caso o ELS-VE não seja atendido para alguma das ocupações descritas

no item anterior, quais as soluções possíveis para o problema?

a) O primeiro passo é calcular a frequência natural fundamental (𝑓𝑓𝐼𝐼) do elemento,

pois este é o parâmetro de comparação da norma. Logo:

Solução

𝑓𝑓𝐼𝐼 = 𝑅𝑅.�𝐸𝐸. 𝐼𝐼.𝑔𝑔𝑤𝑤. 𝐿𝐿4

onde: 𝑅𝑅 = 0,56 ( 𝑟𝑟𝐼𝐼𝑔𝑔𝑟𝑟𝑃𝑃𝐸𝐸𝑟𝑟 − 𝑏𝑏𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝐼𝐼ç𝑃𝑃 ) 𝑅𝑅 = 1,57 (𝑟𝑟𝑒𝑒𝑃𝑃𝑟𝑟𝑃𝑃 − 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑃𝑃𝑟𝑟𝑃𝑃)

𝑅𝑅 = 2,45 (𝑟𝑟𝐼𝐼𝑔𝑔𝑟𝑟𝑃𝑃𝐸𝐸𝑟𝑟 − 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑃𝑃𝑟𝑟𝑃𝑃) 𝑅𝑅 = 3,56 (𝑟𝑟𝐼𝐼𝑔𝑔𝑟𝑟𝑃𝑃𝐸𝐸𝑟𝑟 − 𝑟𝑟𝐼𝐼𝑔𝑔𝑟𝑟𝑃𝑃𝐸𝐸𝑟𝑟).

𝑓𝑓𝐼𝐼 = frequência natural fundamental (Hz);

𝐸𝐸 = módulo de elasticidade (N/m²);

𝐼𝐼 = momento de inércia da seção bruta (m4)

𝑔𝑔 = aceleração da gravidade (9,81m/s²);

𝑤𝑤 = carga distribuída, por unidade de comprimento (N/m);

𝐿𝐿 = comprimento do vão (m).

32

Esta é a expressão de frequência natural associada para o 1º modo de vibrar de

vigas, obtida a partir do modelo contínuo de 4ª ordem disponível nas bibliografias

específicas do tema. Assim:

𝑓𝑓𝐼𝐼 = 1,57.�35 × 109 × 0,023065 × 9,807

0,408 × 25 × 103 × 154 = 𝟔𝟔,𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏

Desta forma se o limite estabelecido pela ABNT – NBR 6118:2003 é:

𝑓𝑓𝐼𝐼 ≤ 8, 4 𝐻𝐻𝐻𝐻 Salas de dança ou de concerto com cadeiras fixas;

𝑓𝑓𝐼𝐼 ≤ 4,8 𝐻𝐻𝐻𝐻 Escritórios.

Logo, o pavimento é atendido apenas para a utilização na forma de escritório.

b) Como para a utilização como academia de dança de salão não foi atendida,

deve-se proceder o ajuste no valor da frequência natural, de maneira a atender o

prescrito na norma, os procedimentos passíveis de ser aplicados são:

• Redução das ações: em algumas situações, não é necessário fazer modificações no sistema estrutural para que o problema de vibrações seja resolvido. A solução pode estar na eliminação da fonte causadora da perturbação e remoção ou alteração de alguns elementos não estruturais que vibram em ressonância com o movimento do piso. Existem casos em que a fonte causadora das vibrações pode ser transferida para outro local. No caso de vibrações por equipamentos, o problema pode ser resolvido pela retirada da fonte causadora para uma área mais isolada do resto da estrutura. Já nas áreas em que pessoas executam atividades aeróbicas, por exemplo, a realocação das atividades de um dado piso, para uma área no primeiro andar ou térreo da edificação poderia resolver o problema, dependendo do tipo da atividade e da disponibilidade de espaço;

• Redução de massa: quando se pensa em elementos ou sistemas estruturais submetidos à vibração não-amortecida, a opção pela redução de massa aparentemente constitui em uma boa solução. No entanto, em estruturas civis, esta geralmente não é uma solução muito efetiva, pois acarreta diminuição da resistência inercial ao impacto ou a vibração ressonante. Ocasionalmente, a redução da massa de um sistema estrutural pode levar a um aumento da frequência natural, afastando a estrutura da ressonância;

• Enrijecimento: aumentar a rigidez da estrutura pode levar ao aumento das frequências naturais, diminuindo a possibilidade da ressonância. Todavia o aumento da rigidez pode ser uma medida bastante trabalhosa e custosa, além de requerer trabalho especializado. Esta solução deve ser desenvolvida,

33

preferentemente, com utilização de materiais leves e rígidos, para que não promova um aumento considerável da massa do sistema;

• Aumento do nível de amortecimento: a sensibilidade a vibrações pode ser reduzida pelo aumento do amortecimento da estrutura. Além da maior ou menor capacidade intrínseca de amortecimento do material da estrutura, pode-se contar com o efeito de elementos não-estruturais, tais como acabamentos, divisórias, forros, móveis, etc. É importante ressaltar que a capacidade de amortecimento a se alcançar depende das condições de carregamento a que a estrutura está submetida. Os carregamentos que acarretem ciclos de grandes deformações inelásticas corresponderão níveis mais elevados de amortecimento;

• Dispositivos mecânicos de controle passivo: são dispositivos capazes de atenuar vibrações, os chamados TMDs (Tuned Mass Dampers). Um TMD pode ser um sistema composto por massas, molas e amortecedores incorporados ao sistema estrutural. Pelo seu movimento, com frequência próxima à natural da estrutura ― porém em oposição de fase ―, gera forças de inércia que se contrapõem às forças de inércia produzidas na estrutura pelas ações externas. Via de regra ele é posicionado na região de máxima amplitude de vibração do elemento estrutural. É considerada uma solução barata, pois não precisa de suprimento de energia para atuar, posto que é acionado pelo próprio movimento da estrutura;

• Sistemas de controle ativo: um dos sistemas de controle ativo é o do atuador de massa, que requer suprimento de energia externa para controlar e operar. Por exemplo, um atuador servo-hidráulico associado a uma massa determinada, recebe um sinal de entrada decorrente das medições de acelerômetros posicionados na estrutura, e a ele responde, em oposição ao movimento, de modo a reduzir a amplitude da vibração. O sistema de controle requer manutenção periódica e o suprimento constante de energia eleva o seu custo operacional.