Treliça – Método de Ritter

Dioni A. Squena, Ivan Leguizamón, Paulo R. Ghiot, Vinicius E. Grigolo Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR

Via do Conhecimento, Km1 – CEP 85503-390 – Pato Branco/PR. s.qu.ena@hotmail.com, ivleg@hotmail.com, paulo.ghiot@gmail.com,

viniciusgrigolo@gmail.com

Resumo. Este presente artigo reúne informações sobre o que é uma treliça simples e como utilizar o Método de Ritter para calcular seus esforços e reações. Palavras-Chave: Treliça, método de Ritter, método das seções, estaticidade. 1. INTRODUÇÃO

Treliça é uma estrutura que consiste na união de barras retas interligadas por suas extremidades, denominados “nós”, os quais podem ser considerados pinos sem atrito, que não podem transmitir momento sobre as barras. Nenhuma barra é contínua através da junta. Essa estrutura é projetada com o objetivo de suportar cargas aplicadas somente em seus nós.

As treliças são classificadas quanto à lei de formação podendo ser estas: simples, compostas ou complexas. Consideraremos, no entanto, as treliças simples neste momento.

Neste contexto, uma treliça simples é gerada pela adição sucessiva de pares de barras aos nós já existentes a uma base triangular e também unindo as duas novas barras em um novo nó. Assim sendo uma treliça simples sempre terá um número ímpar de barras.

Hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas são as classificações de uma treliça quanto a sua estaticidade, e suas equações são dadas a seguir, respectivamente:

nbr 2<+ nbr 2=+ nbr 2>+

onde: - r é o número de reações; - b é o número de barras; - n é o número de nós.

Estaticidade é um número que

caracteriza o equilíbrio entre os

movimentos de um corpo rígido e as vinculações de uma estrutura, possibilitando classificar os sistemas estruturais citados anteriormente.

Apesar das equações antes descritas definirem a estaticidade de uma treliça, é preciso uma avaliação mais aprofundada para garantir a classificação desta.

Ao se construir uma treliça, o objetivo buscado é uma estrutura capaz de aguentar cargas aplicadas diretamente nos nós. Essas cargas transmitem forças de tração ou compressão nas barras pertencentes ao nó em questão.

Sabendo a magnitude da carga, assim como qual nó está recebendo este esforço, é possível quantificar as reações de apoio e a força de tração ou compressão exercida nas barras da treliça.

Para isso, utilizam-se diferentes métodos, entre os quais se podem citar o método dos nós, método de Cremona e o método de Ritter, sendo esse último a base de estudo desse artigo. 2. METODOLOGIA

O método de Ritter, também

conhecido como método das seções, é a maneira mais prática e rápida de se calcular os esforços em determinadas barras, sem se fazer necessário calcular as forças das demais vigas da treliça. Tal método consiste em secionar a treliça em duas partes. Para tanto, faz-se um plano de corte imaginário nas barras que se deseja avaliar. Esse corte pode ser não somente linear como também, curvilíneo (Figura 2.1). Se possível, esse corte não deve interceptar mais do que três barras.

Sob o ponto de vista estático, esta seção SS’ não afetará o equilíbrio da parte isolada da treliça, desde que se substituam as barras cortadas pelos esforços normais nelas atuantes.

Para tanto, adota-se um critério: admite-se que todas as barras sejam tracionadas; assim, as barras submetidas à tração são positivas e as submetidas à compressão são negativas.

Figura 2.1

Tendo agora as duas partes separadas

(Figura 2.2), fica a critério de o avaliador escolher qual lado deseja-se trabalhar e, obviamente, escolhe-se aquele que conduzirá a um menor trabalho numérico na obtenção dos esforços normais.

Figura 2.2

A determinação das forças N13, N23 e

N24 interceptadas pela seção SS’ podem ser feita através das três equações universais da estática plana, devendo ser escolhidas e usadas de tal forma que permitam a determinação direta de cada uma das incógnitas. Quando duas barras cortadas por uma seção de Ritter são paralelas (Figura 2.1) é mais cômodo utilizar duas equações de momentos e uma equação de projeção numa direção, como equações de equilíbrio da estática.

∑

∑

∑

=

=

=

23

243

132

NF

NM

NM

y

Uma vez determinados os esforços nas barras secionadas, podemos tomar a treliça original e proceder de forma análoga para outras barras, até se obter todos os esforços desejados. 2.1. Exemplo prático de resolução de treliça

Tomamos como exemplo a treliça abaixo. A Figura 2.3 apresenta as dimensões e a Figura 2.4 apresenta as forças aplicadas e as reações de apoio.

Figura 2.3

Figura 2.4

Primeiramente, calculamos as reações XA, YA e YH .

∑ =⇒= 00 Ax XF

∑ =+⇒= 750 HAy YYF

Tendo em vista a distribuição homogênea de cargas entre os nós em toda a treliça, é fácil concluir que as reações verticais

][5,37 tYY HA == . Adotamos como critério que todas as barras são tracionadas (positivas). Corte 1 – Do equilíbrio vem:

∑ =−+= 015)º60(.senABYF Ay

][98,25 tAB −= (compressão)

∑ =+= 0)º60cos(. ACABFx

][99,12 tAC = (tração)

Corte 2 – Do equilíbrio vem:

∑ =−−= 0)º60(.30 senBEYF Ay

][66,8 tBE = (tração)

∑ =++= 0)º60cos( BDBECEFx

∑ =+−= 064,34.)20.5,22( CEM B

][99,12 tCE = (tração) Logo:

][32,17 tBD −= (compressão) Corte 3 – Do equilíbrio vem:

∑ =−= 020.)20.15( FGM H

][15 tFG = (tração)

∑ =++= 0)º60(.5,7 senFHFGFy

][98,25 tFH −= (compressão)

∑ =−−= 0)º60cos(.FHEGFx

][99,12 tEG = (tração)

Determinados os esforços das barras AB, AC, BE, CE, BD, FG, FH e EG, podemos concluir que os esforços nas outras barras são equivalentes aos já calculados, pois a treliça é simétrica. Desse modo:

][98,25 tFHAB −== (compressão)

][32,17 tDFBD −== (compressão)

][66,8 tFEBE == (tração)

][15 tFGBC == (tração)

][99,12 tGHEGCEAC ==== (tração) O esforço na barra DE é nulo, não sendo comprimida nem tracionada. Na elaboração do projeto dessa estrutura, portanto, a barra DE poderia ser descartada. Mas se avaliarmos essa treliça quanto a sua estaticidade, verificaremos que ela obedece à equação:

162 ==+ nbr Sendo assim, ela é uma estrutura isostática. Por isso, mesmo que a barra DE sofra nenhum tipo de esforço, é importante não descartá-la do projeto, para assim garantir a estabilidade dessa estrutura.

3. APLICAÇÃO PRÁTICA A treliça resolvida no exemplo

anterior pode ser retratada em uma ponte ferroviária.

Figura 3.1

A Figura 3.1 nos traz a união

destas, na qual as forças aplicadas continuam se distribuindo uniformemente se for o caso de mais treliças (de mesma simetria) serem adicionadas a essa estrutura, assim sendo, os esforços calculados são os mesmos, uma vez que, temos simetria de estrutura.

Dessa maneira, quando uma carga concentrada é aplicada entre duas juntas, ou quando uma carga distribuída é suportada pela treliça, como no caso dessa treliça de ponte, um sistema de piso deve ser previsto, o qual, através do uso de vigas longitudinais (longarinas) e de vigas transversais (transversina), transmite a carga às juntas (BEER E JOHNSTON, 1994).

É interessante ressaltar que o uso de treliças não se restringe apenas a pontes. Sua aplicação é vasta em diversas áreas da Engenharia. Torres para antena de telecomunicações, tesoura em telhados (Figura 3.2), e a famosa Torre Eiffel, em Paris, são modelos reais de estruturas treliçadas.

Figura 3.2 – Treliça de telhado

Fonte: www.serralheria7.hpg.com.br/images/portic

4. CONCLUSÃO O peso de um trem depende do

número total de vagões e do peso individual de cada vagão, que é variável. Supõe-se, então, um trem com 10 vagões, esse podendo pesar em torno de 1400 toneladas, incluindo o peso da locomotiva. Tendo em vista que cada vagão pese 130 toneladas (carregado), e que apenas dois de cada vez estarão atuando sobre um pedaço da ponte (ver Figura 3.1), podemos descartar o restante do trem e calcular os esforços levando em consideração apenas dois vagões. Em outras palavras, a estrutura treliçada dessa ponte será capaz de suportar dois vagões sucessivamente, ou seja, suportar 260 toneladas. Vale ressaltar que, tais cálculos foram feitos considerando uma margem de 10 toneladas a mais, por motivo de precaução (5 toneladas de margem para cada vagão).

O sistema de piso construído para essa ponte é responsável por transferir uniformemente toda a carga recebida para as treliças, que por estarem paralelas entre si, suportam metade da carga total.

Levando em consideração o método de Ritter, o qual foi aplicado para a resolução do exemplo apresentado, pode-se afirmar que esse é o método mais simples para encontrar o esforço em uma determinada barra, desconsiderando o esforço das outras vigas, tendo em vista que esse método é tão preciso quanto os outros métodos conhecidos. 5. REFERÊNCIAS BEER, Ferdinand P, E Russel Johnston Jr. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo. 5ª ed. revisada. Editora Pearson Mekron Books. 1994. http://www.dec.isel.ipl.pt/anexos_disciplinas/Mecanica_Aplicada/CapIV.pdf Data de acesso: 10 de junho de 2010 www.serralheria7.hpg.com.br/images/portic Data de acesso: 12 de junho de 2010