Artigos Matemáticos

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    01-Jul-2015
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Livro de Leandro Bertoldo

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  • 1. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGOS MATEMTICOSLeandro Bertoldo

2. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosDedico esta obra minha querida meAnita Leandro Bezerra,que com grande esforo, sabedoria e esmerada dedicao foi bem sucedida em educar-me nos caminhos da honestidade, da responsabilidade e do conhecimento. 3. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosNada realmente grande,seno o que eterno em suas propenses. Ellen Gould White Escritora, conferencista, conselheira e educadora norte-americana.(1827-1915) 4. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosPREFCIO Os artigos apresentados nesta obra resultado da intensa atividadeintelectual desenvolvida pelo autor como pesquisador nas reas da Fsicae da Matemtica. Neste livro encontram-se reunidos uma parcela dosartigos matemticos produzidos pelo autor entre 1978 a 1984, quandoainda era estudante colegial e universitrio. Os artigos esto sendo publicados da forma como foramoriginalmente produzidos, sem qualquer alterao significativa. claroque eles no pretendem ser um texto completo sobre o assunto queaborda, mas procura apenas apresentar a tese central defendida pelo autor. Estes artigos abrangem diversos campos da Matemtica. Todosrepresentando idias, solues e reflexes originais cogitadas pelo autor,e possuem um certo grau de inovao no mundo da Matemtica. As teses aqui apresentadas foram escritas e demonstradas numalinguagem algbrica elementar. Sendo que em alguns poucos casos, ondeeram indispensveis, os artigos foram ilustrados com grficos ou figurasgeomtricas, com o nico propsito de facilitar a visualizao da tese queo autor defende no artigo considerado. Destarte, o conhecimento deMatemtica exigido, para a perfeita compreenso de cada uma das tesesdefendidas neste livro, corresponde ao programa do Ensino Mdio. A obra que o leitor possui em mos constituda por trinta e seisartigos matemticos, cada qual totalmente independente dos demais.Portanto, os artigos podem ser individualizados e estudadosisoladamente. Aqui o leitor encontrar idias como: Distribuio deCombinaes; Progresso Fatorial Especial; Produtos Invariveis;Clculo Varivel; Pacotes de Classes Numricas; Nmeros Virtuais;Propriedades dos Nmeros Primos; Teoria dos Grupos; Legitimao;Clculo Modular; Modulao; Clculo Seguimental; GeometriaSeguimental. esperana do autor que esta obra possa de alguma forma ser til atodos aqueles que estudam e apreciam a Matemtica como um amplo einesgotvel campo de pesquisas cientficas. Leandro [email protected] 5. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos SUMRIOArtigo I: Clculo ModularArtigo II: ModulaoArtigo III: Soma de Uma ProgressoArtigo IV: Progresso Fatorial EspecialArtigo V: Produtos InvariveisArtigo VI: TricaisArtigo VII: PrensoArtigo VIII: LegitimaoArtigo IX: Diferena Sucessiva Entre PotnciasArtigo X: Clculo VarivelArtigo XI: Pacotes de Classes NumricasArtigo XII: Equao SucessivaArtigo XIII: Espiral CaracolArtigo XIV: Nmeros VirtuaisArtigo XV: Determinao do Raio a Partir do ArcoArtigo XVI: Selo na AdioArtigo XVII: Selo de MultiplicaoArtigo XVIII: Razes ArcomtricasArtigo XIX: Frmula de Juros MensaisArtigo XX: Leandronizao (I)Artigo XXI: Arco QuadrilteroArtigo XXII: Incluses GeomtricasArtigo XXIII: Propriedades dos Nmeros PrimosArtigo XXIV: DivisibilidadeArtigo XXV: Teoria dos GruposArtigo XXVI: Srie do Quadrado PerfeitoArtigo XXVII: Srie ao CuboArtigo XXVIII: Clculo de reas de Algumas FigurasArtigo XXIX: Valor BiaArtigo XXX: Distribuio de CombinaesArtigo XXXI: Grfico Quadriculado (I)Artigo XXXII: Grfico Quadricular (II)Artigo XXXIII: Grfico Quadricular (III)Artigo XXXIV: Geometria EstticaArtigo XXXV: Clculo SeguimentalArtigo XXXVI: Geometria SeguimentalBibliografia 6. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO ICLCULO MODULAR1. IntroduoO clculo modular uma tese altamente cientfica e poderosa paraa soluo de vrios problemas de engenharia. Verdade que ageneralidade desse clculo permite sua aplicao nos mais diversos ramosdo conhecimento humano.O clculo modular que apresento, pode ser considerado como umaimportante inovao da matemtica, desde o mtodo matemtico dasfluxes de Newton, que originaria o clculo diferencial e integral. Essainovao no somente caracterizada pelo clculo em si; mas, pelomtodo que foi composto.2. Fi de uma grandezaUma definio matemtica implica que o fi de uma grandeza arazo entre um valor posterior pelo valor anterior da referida grandeza.De uma maneira geral, representando a grandeza por G e o seu fipor G, onde (fi), corresponde letra maiscula do alfabeto grego;ento, posso escrever que: G = valor posterior de G/valor anterior de GSimbolicamente, posso escrever que:G = GB/GA Deve-se observar que no presente artigo, a letra grega indicamdulo ou fi de uma grandeza desconhecida.3. Empregos do Clculo ModularO clculo modular de Leandro largamente empregado na fsica.Um dos exemplos mais simples o seu emprego nas grandezasadimensionais, como o coeficiente de atrito; o coeficiente de restituio;certos coeficientes dinamoscpicos e tantos outros. 7. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos4. FunesQuando dois fis esto relacionados de modo tal que o valor doprimeiro conhecido quando se expressa o valor da segunda, digo que oprimeiro fi uma funo do segundo.5. Grandezas fis e ConstantesToda grandeza fi quando apresenta um nmero ilimitado devalores. J uma grandeza uma constante, quando apresenta um valorfixo.Os fis so indicados pelas ltimas letras do alfabeto e as constantespelas primeiras.6. Fis Independentes e DependentesUm fi, qual se podem atribuir valores arbitrariamente escolhidos,diz-se fi independente. O outro fi, cujo valor determinado quando se do valor do fi independente, diz-se fi dependente ou funo.7. Notao das Funes O smbolo f(x) usado para indicar uma funo de x. Para indicardistintas funes, basta simplesmente mudar a primeira letra como emT(x), d(x) etc.8. Intervalo de um FiCom uma certa freqncia, emprega-se o smbolo (a, b) sendo amenor do que b, para caracterizar todos os nmeros compreendidos nointervalo a e b, eles inclusive, a menos que o contrrio seja estabelecido.9. Fi ContnuoUm fi x fia continuamente em um intervalo (a, b) quando x crescedo valor a, para o valor b, de tal modo a tomar todos os valorescompreendidos entre a e b na ordem de suas grandezas; ou quando xdecresce de x = b para x = a tomando sucessivamente todos os valoresintermedirios. 8. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos10. UnitsimoUm fi v, que tende a um, digo unitsimo. E escreve-se: lim v = 1 ou v 1 Isto significa que os valores sucessivos de v se aproximam de um. Se lim v = l, ento lim v/l = 1, isto , a razo entre o fi e o seulimite um unitsimo. 9. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO IIMODULAO1. Introduo Vou investigar o modo pelo qual uma funo muda de valorquando o fi independente sofre modulao.2. Acrscimo ModularO acrscimo modular de um fi que muda de um valor numricopara outro a razo entre este segundo valor e o primeiro. Um acrscimomodular de x indicado pelo smbolo x, que se l fi de x.Um acrscimo modular pode ser positivo se o fi cresce e negativose decresce. Paralelamente, posso afirmar que:a - x indica um acrscimo modular de x;b - y indica um acrscimo modular de y,c - f (x) indica um acrscimo modular de f(x);d - etc.Se em y = f(x) o fi independente x toma um acrscimo modular x,ento y indicar o correspondente acrscimo modular do fi dependentey.O acrscimo modular y , pois, a razo entre o valor que a funotoma em x . x e o valor da funo em x.3. Comparao de Acrscimo Modulares Primeiramente considere a seguinte funo:y = x2Tomarei um valor inicial para x e darei a este valor um acrscimomodular x. Evidentemente y receber um acrscimo modularcorrespondente y, e tem-se: 10. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos y . y = (x . x)2ou y . y = x2 . x2Dividindo a referida igualdade por: y = x2, resulta que: y . y/y = x2 . x2/x2Eliminando os termos em evidncia: y = x2 Dessa forma, obtm-se o acrscimo modular y em termos de x. Para achar a diferena entre os acrscimos modulares, subtraem-seambos os membros da ltima igualdade por x; tem-se:y - x = x2 - x4. Taxa de Acrscimos ModularesConsidere uma funo contnua e os nmeros reais x0 e x. Arelao:[f(x)/f(x0)] (x/x0)A referida diferena chamada por taxa de acrscimo modular def em x0 , est bem definida para todo x pertencendo a o intervaloqualquer do corpo dos nmeros reais, diferente de x0, porm no para x =x0.5. Modulada de uma Funo de um FiA definio de modulada, fundamental no clculo modular aseguinte: Modulada de uma funo o limite da diferena do acrscimomodular da funo para o acrscimo do fi independente, quando esteltimo tende a um.Quando existe o limite mencionado, digo que a funo modulvel.Modulao de uma funo:y = f(x) 11. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos, pois, o seguinte: Suponho que x tenha um valor fixo, d-se a x um acrscimomodular x; ento a funo y recebe um acrscimo modular y, e se tem:y . y = f(x . x)Ou seja, tendo y = f(x) presente, vem que: y . f(x) = f(x . x)y = f(x . x)/f(x)Subtraindo ambos os membros pelo acrscimo modular do fi, x,tem-se que:y - x = [f(x . x) x]/f(x)Que a diferena entre os acrscimos modulares y e x. O limitedesta diferena quando x 1, , por definio, a modulao de f(x), queindico pelo smbolo my mx. Portanto, pode-se escrever que: my mx = lim(x1) [f(x . x) - x]/f(x)Vem a definir a modulao de f(x) em diferenciao a x.Da penltima relao, obtm-se que: my mx = lim(x1) y - xSemelhantemente, se u uma funo de t, ento: mu mt = lim(x1) u - t = modulada de u em relao a t O processo para se achar a modulao de uma funo denominado por modulao.6. Smbolos para as ModuladasComo y e x so nmeros, a diferena caracterizada por: y - xO smbolo: 12. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos my - mxContudo, no representa uma diferena; ela o valor do limite dey - x, quando x tende a um. Em uma srie de casos o smbolo secomporta como se fosse uma diferena.Como a modulao de uma funo de x tambm uma funo de x,o smbolo f(x) tambm usado para indiciar a modulao de f(x). Logo,se: y = f(x)Posso escrever que:my mx = f(x) Que se diz: modulao de y em diferena a x igual a f apstrofo dex. O smbolo: m mx considerado como um todo, chama-se operador de Leandro eindica que uma funo escrita sua direita deve ser modulada emdiferena a x. Assim,a) my mx ou m mx y, indica a modulao de y em diferena a x;b) m mx f(x), indica a modulao de f(x) em diferena a x;O smbolo y uma forma abreviada para caracterizar my mx.O smbolo pode ser usado para representa m mx Portanto,se: y = f(x)Ento, posso escrever que:y = my mx = m mx y = m mx f(x) = f(x) = f(x) Deve-se observar que quando se faz x tender a um, x, e no x,o fi. O valor de x foi fixado de incio. Para pr em destaque o valor de xfixado de incio direi x = x0, escrevo que:f(x0) = lim(x1) [f (x0 . x) - x]/f(x0) 13. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos7. Funes Modulveis A teoria dos limites implica que se a modulada de uma funoexiste e infinita para um certo valor do fi independente, ento a funo contnua para esse valor de fi. Porm, existem funes que so contnuaspara um certo valor do fi e, no entanto no so modulveis para essevalor. Contudo, tais funes, no aparecem com muito muita freqncia.8. Regra Generalizada de ModulaoDa definio de modulada, vem que o processo para determinar amodulao de uma funo y = f(x) consiste em tornar os seguintesprocedimentos distintos.A - Procedimento PrimeiroSubstitui-se x por x . x e calcula-se o novo valor da funo, y . yB - Procedimento SegundoDivide-se o dado valor da funo do novo valor, achando-se assimy, (que corresponde ao acrscimo modular da funo).C - Procedimento TerceiroEfetua-se a subtrao de y por xD - Procedimento Quarto Acha-se o limite da diferena quando x tende a um. Este limite a modulao. Esse procedimento pode ser denominado por procedimentoABCD. 14. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO IIISOMA DE UMA PROGRESSO1. Primeira Parte Sn = a01 + a12 + a23 + ... + apn = a1 . (qn 1)/(q 1) Como (q = a) pode-se escrever: Sn = a01 + a12 + a23 + ... + apn = a1 . (na 1)/(a 1) Como (p = n 1), ou seja, (n = p + 1), conclui-se que: Sn = a01 + a12 + a23 + ... + apn = a1 . (ap+1 1)/(a 1) Como (a1 = 1), pode-se escrever que: Sn = a01 + a12 + a23 + ... + apn = (ap+1 1)/(a 1) Portanto vem que:Sn = a0 + a1 + a2 + ... + ap = (ap+1 1)/(a 1)2. Segunda Parte Considere agora as seguintes expresses:a0 + b 0 = 2a1 + b1 = c1a2 + b 2 = d 2a3 + b3 = e3a4 + b4 = f4 A soma de todos os termos pode ser expressa por:S = 2 + c1 + d2 + e3 + f4 Portanto, pode-se escrever que: S = a0 + b0 + a1 + b1 + a2 + b2 + a3 + b3 + a4 + b4 = 2 + c1 + d2 + e3 + f4 15. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos Separando convenientemente os termos, pode-se escrever que:S = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + b0 + b1 + b2 + b3 + b4 = 2 + c1 + d2 + e3 + f4 Como foi demonstrado: Sn = a0 + a1 + a2 + ... + ap = (ap+1 1)/(a 1)Ento, substituindo convenientemente as duas ltimas expresses egeneralizando-as pode-se escrever que:S = 2 + c1 + d2 + e3 + f4 + ... + xp = [(ap+1 1)/(a 1)] + [(bp+1 1)/(b 1)] 16. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO IVPROGRESSO FATORIAL ESPECIAL1. DefinioDenomino por progresso fatorial especial (PF) uma sucesso denmeros no nulos (resultado de uma fatorial ordenada) em que oquociente de cada um deles, a partir do segundo, pelo seu antecessor epela diferena do seu correspondente ndice fatorial sempre o mesmo.Este quociente constante chamado por razo da progresso fatorialespecial.2. Fatorial OrdenadaDefino a fatorial ordenada como sendo o resultado de n fatorialcaracterizado por uma ordem bem definida atravs de um trapzioretngulo.Considere a seguinte ilustrao como um exemplo esclarecedor:1 x 2 = a11 x 2 x 3 = a21 x 2 x 3 x 4 = a31 x 2 x 3 x 4 x 5 = a41 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = a51 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = a6 Observa-se que os nmeros que compem o conjunto da fatorialordenada formam uma figura geomtrica denominada por trapzioretngulo. No exemplo os valores a1, a2, a3, a4, a5 e a6, so os resultados dafatorial ordenada, ou seja, a sucesso de nmeros no nulos. Evidentemente, tais resultados podem ser generalizados at n-egsimo valor: a1, a2, a3, a4, ..., an3. Razo da Progresso Fatorial Especial De acordo com a definio apresentada, a razo da progressofatorial especial caracterizada matematicamente por: 17. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos q = [(a2/a1) a] = [(a3/a2) 1] = [(a4/a6) 2] = ... = [(an/an-1) r]4. ndice FatorialAs grandezas (0, 1, 2, ..., r), so os chamados ndices fatoriais.5. Frmula Fatorial do Termo Geral Toda vez que a seqncia (a1, a2, a3, a4,..., an) for uma progressofatorial especial, de razo fatorial q, ento, posso escrever que:a2 = a1 . (q + 0)a3 = a2 . (q + 1)Substituindo convenientemente as duas ltimas expresses, resultaque:a3 = a1 . (q + 0) . (q + 1)Depois, posso escrever que:a4 = a3 . (q + 2)Novamente, substituindo convenientemente as duas ltimasexpresses, vem que:a4 = a1 . (q + 0) . (q + 1) . (q + 2)Da mesma forma posso escrever que:a5 = a1 . (q + 0) . (q + 1) . (q + 2) . (q + 3)a6 = a1 . (q + 0) . (q + 1) . (q + 2) . (q + 3) . (q + 4)Generalizando os referidos resultados, posso escrever que:an = a1 . [q + (n n)] . {q + [n (n 1)]} . {q + [n (n 2)]} . {q + [n (n 3)]} . {q + [n (n 4)]} . ... . [q + (n 2)]Tal frmula representa o desenvolvimento da equaogeneralizada. Uma outra maneira de apresentar a equao generalizada aseguinte: 18. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosan = a1 . (q + 0) . (q + 1) . (q + 2) . (q + 3) . ... . (q + r)Observando, para tanto, que em qualquer caso vlida a seguinteigualdade:r=n2 19. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO VPRODUTOS INVARIVEIS1. Equao Geomtricaa) Considere a seguinte equao geomtrica: y = 2xTal equao permite obter os seguinte resultados:20 = 121 = 222 = 423 = 824 = 1625 = 3226 = 64 Ento, o produto dos referidos valores em ordem crescente por suaordem decrescente, permite escrever que:(1 x 64) = 64(2 x 32) = 64(4 x 16) = 64(8 x 8) = 64(16 x 4) = 64(32 x 2) = 64(64 x 1) = 64b) Considere a seguinte equao geomtrica y = 3xEnto, posso escrever que:30 = 131 = 332 = 933 = 2734 = 8135 = 243 20. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos36 = 729O produto dos referidos valores em ordem crescente por sua ordemdecrescente, permite escrever que:(1 x 729) = 729(3 x 43) = 729(9 x 81) = 729(27 x 27) = 729(81 x 9) = 729(243 x 3) = 729(729 x 1) = 729c) Considere a seguinte equao geomtrica: y = 4xEnto, posso escrever que:40 = 141 = 442 = 1643 = 6444 = 25645 = 102446 = 4096O produto dos referidos valores por sua ordem crescente edecrescente permite escrever que:(1 x 4096) = 4096(4 x 1024) = 4096(16 x 256) = 4096(64 x 64) = 4096(256 x 16) = 4096(1024 x 4) = 4096(4096 x 1) = 4096Agora, considere a seguinte seqncia de uma equao geomtricaqualquer:(p0, p1, p2, p3, p4,..., pn)O produto dos referidos valores por sua ordem crescente edecrescente permite escrever que: 21. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos (p0 . pn) (p1 . p4) (p2 . p3) (p3 . p2) (p4 . p1) ... (p . p0) n A soma dos referidos resultados permite afirmar que:(p0 . pn) + (p1 . p4) + (p2 . p3) + (p3 . p2) + (p4 . p1) + ... + (pn . p0) = (n +1) . pn O produto de tais resultados permite escrever que:(p0 . pn) . (p1 . p4) . (p2 . p3) . (p3 . p2) . (p4 . p1) . ... . (pn . p0) = (pn)(n + 1) Observe a seguinte igualdade:p0 + p1 + p2 + p3 + p4 + ... + pn = pn/p0 + pn/p1 + pn/p2 + pn/p3 + pn/p4 +... + pn/pn Agora, considere o produto de:S = p0 . p1 . p2 . p3 . p4 . ... . pnS = pn . p4 . p3 . p2 . p1 . ... . p0 Ento, posso concluir que:S = p0 . p1 . p2 . p3 . p4 . ... . pnS = pn . p4 . p3 . p2 . p1 . ... . p0S2 = (p0 . pn) . (p1 . p4) . (p2 . p3) . (p3 . p2) . (p4 . p1) . ... . (pn . p0)S2 = pn . pn . pn . pn . pn . ... . pnS2 = (pn)(n + 1) ou seja:S2 = pn . n + n Assim, posso escrever que: S = p0 . p1 . p2 . p3 . p4 . ... . pn = (pn . n2 + n)Apenas por pura curiosidade, apresento ao leitor, a realidade daseguinte expresso: 22. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos2n = 2n 1 + 2n 2 +2n 3 + ... + 2n n + 1Tambm, apresento as seguintes propriedades:y=w+z y x = (w + z) xy x = (w x/2) + (z x/2)y=w+z+s y x = (w + z + s) xy x = (w x/3) + (z x/3) + (s x/3) y = w + z + s + ... + vy x = (w + z + s + ... + v) xy x = (w x/n) + (z x/n) + (s x/n) + ... + (v x/n)Onde n, representa o nmero de termos. 23. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO VITRICAIS1. DefinioProponho os seguintes problemas:a) 2 0,5 = 2, pois 2 2 = 0,5Isso me permite escrever a seguinte equivalncia: 2 0,5 = 2 2 2 = 0,5Com isto, estou afirmando que:[(2 : 2) : 2] = 0,5 que equivale ao smbolo 2 2 = 0,5b) 2 0,33 = 3, pois 3 2 = 0,33Isso me permite escrever a seguinte equivalncia: 2 0,33 = 3 3 2 = 0,33Simplesmente, estou afirmando que:[(3 : 3) : 3] = 0,33 que representada por: 3 2 = 0,33Logo, posso afirmar que: Base n-sima de um nmero real a, um nmero real b, que ficando prensa n d como resultado o valorde a.A referida definio permite escrever a seguinte equivalncia: n a = b b n = a2. ElementosIndicando:na = b, denomino: de Trical 24. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosa de tricandon de elemento da tricalb de base n-sima de aObservao: para se fincar uma base indicada a uma prensa, cujoexpoente seja igual ao ndice da base, basta suprimir o sinal da trical,obtendo como resultado o tricando. Ou seja:na n = a3. Primeira Propriedade das TricaisPode-se verificar que: n a . b = n a . n bPela propriedade simtrica da igualdade, posso escrever que: n a . n b = n a . b4. Segunda Propriedade das TricaisSe: n a n = aEnto: n a n = aLogo, posso escrever que:a = n a n = n a n5. Terceira Propriedade das Tricais possvel demonstrar que: n a/b = n a / n bPela propriedade simtrica da igualdade, posso escrever que: n a / n b = n a/b6. Quarta Propriedade das Tricais 25. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosPara elevar uma trical a uma potncia, eleva-se o tricando a essapotncia.De modo geral: ( a ) = n am m n7. Equao de Grau Trical n Denomino por equao de grau trical n com uma varivel, todaequao da seguinte forma:a . x 0 + b . x 1 + c . z 2 + d . x 3 + ... + y . x n = 0Com a, b, c, d, ..., y R e 0. 26. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO VIIPRENSO1. PreliminaresApresento as seguintes questes:a) 2 2 = 0,5Com isto, estou afirmando que:2 2 = [(2 : 2) : 2] = 0,5b) 4 2 = 0,25Com isto, estou dizendo que:4 2 = [(4 : 4) : 4] = 0,25c) 8 2 = 0,125Simplesmente, estou caracterizando que:8 2 = [(8 : 8) : 8] = 0,125d) 2 3 = 0,25Com isto, digo que:2 3 = {[(2 : 2) : 2] : 2} = 0,25 Em termos lineares, estou afirmando que fincando dois (2) prensatrs (3) igual a dois, dividido por dois. Sendo que este primeiroresultado novamente dividido por dois, e este segundo resultado novamente dividido por dois tendo como resultado final: 0,25.2. DefinioEm termos matemticos defino prenso como sendo um nmero,dividido por si mesmo um certo nmero de vezes.O referido enunciado expresso simbolicamente por: 27. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosb=an3. ElementosIndicando:an = b, denomino: a por base por prensa n por expoente4. Propriedade da PrensoPara as prenses que apresentam por base um nmero real e comoexpoente um nmero racional relativo, so perfeitamente vlidas asseguintes propriedades:a) Primeira Propriedade Prensala0=a Logo, posso afirmar que qualquer base prensada a zero (0), temcomo resultado o valor de tal base (a).b) Segunda Propriedade Prensala1=1 Desse modo, posso dizer que qualquer base prensada a um (1), temcomo resultado do expoente um (1).c) Terceira Propriedade PrensalPode-se verificar facilmente que o produto entre bases distintas expressa por:(a . b) n = (a n) . (b n)Pela propriedade simtrica da igualdade, posso afirmar que:(a n) . (b n) = (a . b) n 28. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosd) Quarta Propriedade PrensalPode-se verificar facilmente que o produto entre bases idnticas expressa por:(a m) . (a n) = a (m + n) 1Pela propriedade simtrica da igualdade, posso afirmar que:a (m + n) 1 = (a m) . (a n)e) Quinta Propriedade Prensal Numa prenso sucessiva, a ordem dos expoentes no altera oresultado. Logo, posso escrever que: b=amn=anmf) Sexta Propriedade PrensalA seguinte igualdade uma realidade elementar:(a m n + 1) / (a m n + 0) = b1/b0 = a mg) Stima Propriedade PrensalPode-se verificar que:a m n + 0 = b1a m n + 1 = b2a m n + 2 = b3a m n + 3 = b4a m n + 4 = b5 ...a m n + y = b y+1h) Oitava Propriedade PrensalA soma de prenses com mesmos expoentes e base dois resulta naseguinte igualdade: (2 n) + (2 n) = 2 n 1 29. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos5. Equao Equivalente de Leandro Pode-se demonstrar facilmente que a equao equivalente deLeandro expressa pela seguinte igualdade: b n = 1/b n - 16. Prenso SucessivaBaseada na equao equivalente de Leandro possvel demonstrarque: a m n = a (m 1) . (n 1)Pela propriedade simtrica da igualdade, posso escrever que: a (m 1) . (n 1) = a m n7. Produto Entre PrensesPela equao equivalente de Leandro, posso escrever a seguinteigualdade: (b m) . (a n) = 1/b m - 1 . a n 1Porm, se as bases forem idnticas, resulta que:(a m) . (a n) = a (m 1) + (n 1)8. Soma Entre PrensesA equao equivalente de Leandro permite escrever que: = (b m) + (a n) = 1/b m 1 + 1/a n 1, portanto, vem que: = (b m 1 + a n 1)/(b m 1 . a n 1) 30. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos9. Diviso Entre Prenses Por intermdio da equao equivalente de Leandro, posso escreverque:(b m)/(a n) = (a n 1)/(b m 1)10. Potncia Entre Prenses possvel demonstrar atravs da equao equivalente de Leandroque:(a n)m = 1/a (n . m) m11. Propriedade Equivalente Sendo a > 0 e n 2 vlida a seguinte relao:b = n a b n = a A igualdade: b n = a, somente ser verdadeira quando: b = a . bn Logo, posso escrever que:na = b n a = a . bn12. Equao Notvel A equao notvel representada simbolicamente por: (a + b) n = 1/(a + b) n 1 Ou seja, a equao notvel o inverso do binmio de Newton. 31. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO VIIILEGITIMAO1. PreliminarConsidere a seguinte expresso:ax=NSendo que: (a e N reais).a) Se a = 0, existe uma variedade de valores reais, no nulos, de x quetornam N = 0.b) Se a = 1, existe uma infinidade de valores reais de x que tornam N = 1.c) Se a 0 1, existe para cada valor de N, um s valor real de x queobserva a expresso apresentada. Dessa maneira, digo que dados dois nmeros reais e positivos a eN, o primeiro dos quais difere da unidade, existe um nico nmero real x,tal que:ax=NDenomino esse nmero real x de legitimao do nmero N, nabase a.Portanto, o clculo do nmero x a que se deve prensar o nmero apara obter o nmero N vem a ser a operao inversa da prenso.2. DefinioDenomino legitimao de um nmero real positivo N, em uma basea, positiva e distinta de um (01), ao expoente real x, o qual se deveprensar a base a para obter o valor de N.Ento, escreve-se que:[a] N = xPosso ento apresentar a seguinte igualdade:a [a] N = N 32. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos3. Sistema de Legitimao [ ]Sistema de legitimao [ ] o conjunto de legitimaes de todos osnmeros reais positivos diferentes de um (1), que emprega uma basecorrespondente ao seguinte: a = 0, cujas legitimaes so denominadaspor elementares.4. Propriedadesa) Primeira PropriedadeA legitimao de um nmero a em um sistema de base a zero.De fato:a 0 = a, portanto: [a] a = 0b) Segunda PropriedadeA legitimao e um um, em qualquer sistema.Realmente:a 1 = 1, logo: [a] 1 = 1c) Terceira PropriedadeTodo nmero positivo apresenta uma legitimao.5. Operaes com LegitimaesSejam x e y as legitimaes de A e B na base a, ou seja: [a] A = x portanto A = a x [a] B = yB=ayDe acordo com as regras de operaes com prenses, tem-se: 33. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosa) a . B = (a x) . (a y) = a (x + y) 1 Portanto: [a] (A . B) = (x + y) 1b) a . B = (a x) . (a y) = 1/a(x 1) + (y 1) Portanto:[a] (A . B) = [(x 1) + (y 1)] -1c) A/B = (a x)/(a y) = (ay 1)/(ax 1) = a(y 1) (x 1) Portanto: [a] (A/B) = (y 1) (x 1)d) Am = (a x)m = 1/a(x . m) m Portanto: [a] Am = [(x . m) m]-1 Substituindo x e y por seus valores, tem-se:I) [a] (A . B) = ([a] A + [a] B) 1II) [a] (A : B) = {([a] A 1) + ([a] B 1)}-1III) [a] (A : B) = ([a] B 1) ([a] A 1)IV) [a] Am = {[a] (A . m) m}-16. Variao de BaseSeja um nmero N e sejam x e y suas legitimaes em doissistemas de bases a e b, respectivamente. Se: [a] N = x [b] N = y Tem-se, pela definio que: 34. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosax=Nby=NPortanto, resulta que:ax=by Calcularei as legitimaes de ambos membros da ltima igualdade,no sistema de base a:([a] a 1) . (x 1) = ([a] b 1) . (y 1)Portanto, posso escrever que:(y 1)/(x 1) = ([a] a 1)/( [a] b 1) A referida expresso permite concluir a possvel variao de base. A expresso ([a] a 1) . (x 1) = ([a] b 1) . (y 1) facilmentedemonstrvel, considerando que:[a] A = x, portanto A = a xDe acordo com a regra de operao de prenso, tem-se que:A m a(x 1) . (m 1)Portanto:[a] (A m) = (x 1) . (m 1)Substituindo x por seu valor, tem-se:[a] (A m) = ([a] A 1) . (m 1)7. Ilegitimao Denomino por ilegitimao de um nmero legitimao dessenmero. E escreve-se:N = [N] 35. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos8. IlegalizaoChamo por ilegalizao de um nmero legitimao do inversodesse nmero.E escreve-se simbolicamente por:N = [1]/NPorm, pode-se concluir que:[1]/N = ([1] 1) ([N] 1)Porm: [1] = 1Assim, vem que:[1]/N = (1 1) ([N] 1)[1]/N = ([N] 1)Ento, posso escrever que: N = ([N] 1)Denominando ([N] 1) por mono de Leandro, cujo smbolo representado por N, tem-se: [N] 1 = NDesse modo, posso escrever que:N = N Com relao referida expresso, posso estabelecer que:ilegalizao de um nmero o simtrico do mono de Leandro dessenmero. Da referida concluso, posso afirmar que subtrair o mono deLeandro de um nmero o mesmo que somar a ilegalizao dessenmero.9. Legitimaes Elementares 36. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos Legitimaes elementares so legitimaes pertencentes ao sistemadecimal (base a = 10).Representarei: [10] N por [N].Suas principais vantagens so:a) Primeira VantagemSer facilmente determinado, em virtude do sistema de numeraouniversalmente adotada ser decimal.b) Segunda VantagemSendo (m) um nmero inteiro, ([10] m), o nmero de zeros esquerda da unidade ser representado por:(m 1) 37. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO IX DIFERENA SUCESSIVA ENTRE POTNCIAS1. IntroduoO presente artigo visa simplesmente demonstrar que a diferenaentre potncias sucessivas sempre resulta num valor constante, desde quesubtrada sucessivamente.2 - Primeiro Exemplo11 21 31 41 51 61 71 81 (1)1 2 3 4 5 6 7 8 111 1 1 1 1Nesse exemplo a diferena final o valor numrico um.3 - Segundo Exemplo12 22 32 42 52 62 72(1)1 4 9 16 25 36 493 5 7 9 11 13 (2)2 2 2 2 2Nesse exemplo a diferena numrica final dois. 38. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos4. Terceiro Exemplo 13 23 33 43 53 63 73(1) 1 8 27 64 125 216 34319 3761 91 127 (2) 12 18 24 30 36(3) 6 6 6 6Nesse exemplo a diferena numrica final seis.5. Quarto Exemplo14 24 34 44 54 64 741 16 81 256 625 1296 2401 (1) 15 65 175 369 671 1105(2) 50 110 194 302434 (3) 60 84 108 132 (4)24 24 24Nesse exemplo a diferena numrica final vinte e quatro.6. Quinto Exemplo15 25 35 455565 75 851 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 (1)31 211 781 2101 4651 9031 15961(2)180 570 1320 2550 4380 6930(3)390 750 1230 18302550(4)360 480600 720 (5) 120 120 120 39. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosNesse exemplo a diferena numrica final cento e vinte.7. Termo Geral1n 2n 3n 4n 5n 6n 7n ... Nna b c d e f g ... z a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f1 g 1a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f2 x xx x xNesse modelo a diferena algbrica final x.Nesse modelo tem-se que: 1n = a; 2n = b; 3n = c; 4n = d; 5n = e; 6n = f; 7n = g; Nn = zTambm se tem que:b a = a1b1 a1 = a2 b 2 a2 = xc b = b1c1 b 1 = b 2 c2 b 2 = xd c = c1d1 c1 = c2 d 2 c2 = xe d = d1e1 d 1 = d 2 e2 d 2 = xf e = e1f1 e1 = e2 f2 e 2 = xg f = f1g1 f1 = f2z g = g1Onde (a1) representa a primeira subtrao, (a2) a Segundasubtrao, e assim sucessivamente.8. Frmula Geral Nos exemplos anteriores apresentados a chamada diferena finalformou uma srie tal que: x = 1, 2, 6, 24, 120Se dividirmos o nmero posterior pelo anterior, obtm-se que: 2/1 = 2; 6/2 = 3; 24/6 = 4; 120/24 = 5 40. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosOs valores obtidos representam a potncia (n) na qual as sriesforam elevadas. Portanto posso escrever que:n2 . n1 = 2n3 . n2 . n1 = 6n4 . n3 . n2 . n1 = 24n5 . n4 . n3 . n2 . n1 = 120Assim verifica-se que estamos diante de n fatorial. Logo se podeescrever que:x = n!Onde a letra (n) representa a potncia na qual a srie foi elevada e aletra (x), representa ao que tenho chamado por diferena final dasubtrao da srie.9. Observaes Gerais1 O valor chamado aqui por diferena final na realidade a razoconstante da progresso aritmtica, obtida aps sucessivas subtraes.2 A ltima subtrao da srie inicial caracteriza a sucesso daprogresso aritmtica, pois a diferena entre cada elemento a partir dosegundo e o seu anterior sempre constante.3 Com relao ao termo geral (8) apresentado no presente artigo pode-se escrever que: f2 = a2 + (m 1) . xOnde (m) representa a quantidade de termos numricos da ltimasubtrao.4 A quantidade de termos final de (x) caracterizada pela seguinteigualdade: mx = N n5 Na primeira subtrao a diferena entre potncias sucessivas sempre um nmero impar. Todas as demais subtraes sucessivas sopares.6 A subtrao entre nmeros impares sempre vai resultar em nmerospares. E a subtrao entre nmeros pares sempre vai resultar em nmerospares. 41. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos7 Numa sucesso crescente de nmeros elevados potncia, semprevai ocorrer uma alternncia entre nmeros impares e pares, de tal formaque a diferena entre eles resulta em nmeros impares. Isso explicaporque a subtrao da primeira srie impar e tambm porque as demaissubtraes decorrem em nmeros pares. 42. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO XCLCULO VARIVEL1. Introduo O presente estudo visa estabelecer algumas definies bsicas quepossam indicar o modo como uma funo muda de valor quando suavarivel dependente sofre variaes uniformes. Tem por objetivoapresentar um novo mtodo matemtico fundamentado dentro do maisestrito rigor para o estudo de funes que variam de forma uniforme.2. Variao de Uma Funo A variao de uma funo ocorre quando existe uma modificaode um valor para outro. Ela definida como sendo a diferena entre osegundo valor pelo primeiro. Simbolicamente escreve-se:x = x1 x03. Razo Entre VariveisPara encontrar a razo entre variveis deve-se dividir a variveldependente (y) pela varivel independente (x).Portanto, (y) e (x) so valores numricos e a razo entre eles oquociente de (y) por (x).Simbolicamente pode-se escrever que:f(x) = y/x4. Variao de Uma VarivelA caracterstica de variao a seguinte: Variao de uma variveldependente a razo da variao da dependente para a variao davarivel independente, quando esta ltima tende a manter-se.Logo, quando existe a variao relatada, pode-se afirmar que existeuma varivel.Para ilustrar o que foi afirmado, considere a seguinte variao: c . x = y 43. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosDando-se um acrscimo (y); ento (c) recebe um acrscimo (c),e se obtm: (c + c) . x = y + ySubstituindo convenientemente as duas ltimas expresses, pode-seescrever que:(y/x + c) . x = y + yEliminando os termos em evidncia primeiro termo, resulta: y + c . x = 2yNovamente eliminando os termos em evidncia, vem que:c . x = yOu seja: c = y/xAssim fica apresentada a regra geral de variao.5. Operador de VariaoConsidere o seguinte smbolo:/x O referido smbolo deve ser considerado como um todo. Podeperfeitamente ser chamado por operador de variao. Ele indica que todafuno expressa sua direita deve ser variada em relao a (x).6. Exemplo de Operador de Variaoa) A relao y/x expressa por: /x y, e mostra que a variao de (y)deve ocorrer em relao a (x).b) /x f(x) mostra que a variao de f(x) deve ocorrer em relao a (x).Portanto pode-se escrever que: 44. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosy/x = /x y = /x f(x)7. Varivel SucessivaA razo entre variveis dependente e independente pode sertambm uma funo varivel de (x). Nestas condies, a nova funopode ser varivel e neste caso a varivel da varivel primeira definidacomo varivel segunda. E da mesma forma a varivel da varivel segunda chamada varivel terceira e assim por diante. Portanto a varivel davarivel (n 1)-egsima pode perfeitamente ser classificada comovarivel n-egsima.8. Exemplos de Variveis Sucessivasa) Considere que (y/x = c). Porm se (c) variar uniformemente de talmaneira que:c = c - c0Obtm-se o seguinte resultado:/x (y/x) = db) Entretanto, se (d) sofrer uma variao uniforme de tal forma que: d = d d0Obtm-se que: /x[/x . (y/x)] = f9. Smbolos de Variveis SucessivasAs variveis sucessivas podem perfeitamente ser representadapelos seguintes smbolos:a) /x (y/x) = 2y/x2b) /x (2y/x2) = 3y/x3E assim por diante. 45. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos O clculo varivel apresentado no presente artigo de formaabreviada resultado de investigaes com problemas da mecnicaclssica. 46. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XIPACOTES DE CLASSES NUMRICASA) Considere uma grandeza numrica que cresce numa sucesso quetende ao infinito.Por exemplo: n1, n2, n3, n4, n5, ..., nn Tal valor pode ser um grupo de alunos ou objetos numerados emordem crescente de n1 a nn. Onde n1 = 1, n2 = 2, n3 = 3,..., etc.B) Considere uma outra grandeza numrica finita e limitada, agrupadanuma ordem fixa crescente e invarivel. Sendo que eu denominei areferida grandeza por classe (A).Por exemplo: A1, A2, A3Onde A1 = 1, A2 = 2, A3 = 3C) Considere que a grandeza numrica finita classes (A1, A2, A3),acompanhem continuamente a grandeza infinita, e repetem-sesucessivamente na mesma ordem. Sendo que o valor de uma grandezacorresponde de forma biunvoca ao da outra.Por exemplo: n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8, n9, n10, n11, n12, n13 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1IIIIIIIVVD) Considere que cada repetio completa da grandeza finita (classe), sedenomina pacote. Logo se torna evidente que o pacote (I) se estende den1 a n3; o pacote (II) se estende de n4 a n6; o pacote (III) se estende de n7a n9 e assim sucessivamente. Evidentemente, observa-se que os pacotesso caracterizados por um determinado nmero de classes, que noexemplo anterior caracteriza trs classes (A1, A2, A3). Simbolicamente:N = 3E) Ento para se saber quais os valores de n1, n2, n3,..., nn, quecaracterizam A1 ou A2 ou A3, basta empregar a seguinte equao queapresento a seguir: 47. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosN = p . N + AOnde p = 0, 1, 2, 3, 4, ...Onde N representa o nmero de classes do pacote.Onde A representa a classe em particular.F) Para efeito de exemplo, considere uma escala constituda por quatroclasses (A1, A2, A3, A4), onde dezoito alunos (n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8,n9, n10, n11, n12, n13, n14, n15, n16, n17, n18) sero distribudos. Ento, esquematizando a distribuio de alunos nas classes, possoescrever que: n1, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8, n9, n10, n11, n12, n13, n14, n15, n16, n17, n18 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 I II III IV V Ento, posso concluir que a classe A1 recebeu os alunos n1, n5, n9,n13 e n17. A classe A2 recebeu os alunos n2, n6, n10, n14 e n18. A classe A3recebeu os alunos n3, n7, n11, e n15. A classe A4 recebeu os alunos n4, n8,n12, n16. Agora, aplicando a equao que apresentei anteriormente, possoconcluir que a classe A1 apresenta: n= p . N + A 1= 0 x 4 + 1 5= 1 x 4 + 1 9= 2 x 4 + 1 13 = 3 x 4 + 1 17 = 4 x 4 + 1Sendo que os referidos resultados esto em perfeito acordo comaqueles que foram obtidos pela esquematizao apresentada.Agora, considere os alunos da classe A2. n =p . N + A 2 =0 x 4 + 2 6 =1 x 4 + 2 10 = 2 x 4 + 2 14 = 3 x 4 + 2 18 = 4 x 4 + 2 Sendo que os referidos resultados esto em perfeito acordo com arealidade da questo. 48. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosAgora, considere os alunos que ocuparo a classe A3.n =p x N + A3 =0 x 4 + 37 =1 x 4 + 311 = 2 x 4 + 315 = 3 x 4 + 3Sendo que tais resultados esto de acordo com a realidade.Agora, considere os alunos que ocuparo a classe A4.n =p . N + A4 =0 x 4 + 48 =1 x 4 + 412 = 2 x 4 + 416 = 3 x 4 + 4Novamente os referidos resultados esto de acordo com a realidadedo problema. 49. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XII EQUAO SUCESSIVA Considere a seguinte igualdade: xkx1 n1 Por regra de trs simples, posso escrever que:A) x1 = n1 . x/k Agora considere o seguinte:x1 kx2 n2 Por regra de trs simples, posso concluir que:B) x2 = x1 . n2/k Substituindo convenientemente as expresses (a) e (b), obtm-seque:C) x2 = n1 . n2 . x/k2 Considere o seguinte:x2 kx3 n3 Por regra de trs simples direta, posso estabelecer que:D) x3 = x2 . n3/kSubstituindo convenientemente as expresses (c) e (d), possoconcluir que:x3 = n1 . n2 . n3 . x/k3 Generalizando tais sucesses, posso escrever a seguinte equao: 50. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosxp = n1 . n2 . n3 . ... . np . x/kpUtilizando tais conceitos em porcentagem, tem-se o seguinte:x 100%x1 n1%Assim, vem que: x1 = n1% . x/100%Tambm, vem que: x1 100% x2 n2%Ou seja:x2 = n2% . x1/100%Portanto, posso escrever que:x2 = n1% . n2% . x/(100%)2Ao generalizar a referida expresso, obtm-se que: xp = n1% . n2% . n3% . ... . np% . x/(100)p 51. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XIII ESPIRAL CARACOL1. ComposioCom um compasso deve-se traar um semicrculo. A seguir, com aponta seca numa das extremidades de semicrculo, deve-se abrir ocompasso at a outra extremidade desse semicrculo. E a partir dessaextremidade deve-se proceder a descrio de um novo semicrculo,seguindo o sentido de fechamento da curva. Aps deve-se repetirnovamente todo o processo com o novo semicrculo formado: coloca-se aponta seca na extremidade do ltimo semicrculo descrito, ento se deveabrir o compasso at a outra extremidade onde termina esse ltimosemicrculo e a seguir, procede-se a descrio de um novo semicrculoseguindo o sentido do fechamento da curva. E assim procede-seindefinidamente, tantas vezes quanto se desejar.O procedimento acima descrito resulta na composio do que tenhochamado de espiral caracol.2. Dimetro da Espiral Caracol (I)Descrevendo a figura pode-se constatar que o dimetro da espiralpode ser calculado em funo do tamanho do raio do primeirosemicrculo inscrito na figura, de acordo com a seguinte equao: D=2.rD = 2 . r0 + 4 . r0 + 8 . r0 + 16 . r0 + 32 . r0 + ...D = r0 . (2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...)Portanto pode-se perceber a existncia de uma progresso quecresce com o dobro do nmero anterior. Desse modo posso escrever que: D = 2 n . r0Na referida expresso a letra (D) representa o dimetro total daespiral. A letra (n) representa o nmero de semicrculos que constituem aespiral. A letra (r0) representa o comprimento do raio inicial (raio doprimeiro semicrculo). 52. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos3. Dimetro da Espiral Caracol (II)O dimetro da espiral pode ser calculado em funo do dimetro doprimeiro semicrculo, conforme apresentado na seguinte demonstrao:Sabe-se que o dimetro o dobro do raio, ento se pode escreverque:D = 2 . r0 + 2 . (2 . r0) + 4 . (2 . r0) + 8 . (2 . r0) + 16 . (2 . r0) + ... Como:d0 = 2 . r0 Pode-se escrever que:D = d0 + 2 . d0 + 4 . d0 + 8 . d0 + 16 . d0 + 32 . d0 + ... D = d0 . (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) Portanto posso concluir que:D = 2n 1 . d0 Na referida equao a letra (d0) representa o comprimento dodimetro inicial (dimetro do primeiro semicrculo).4. Raio da Espiral CaracolSabe-se que o raio a metade do dimetro. Ento fundamentadonas expresses anteriores pode-se escrever que:1) R = D/22) R = 2n . r0/23) R = 2n 1 . d0/25. Comprimento da Espiral CaracolO comprimento da espiral caracol, evidentemente, a soma dossemicrculos individuais. Desse modo posso escrever que: C = C1 + C2 + C3 + ... + Cn Sabe-se que o comprimento de um semicrculo a metade dopermetro de um crculo. 53. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos Dessa forma pode-se escrever que: Cs = p/2 Tambm se sabe que o permetro de um crculo igual ao valo depi () multiplicado pelo dimetro do crculo. Simbolicamente pode-se escrever que: p=.d Como o dimetro (d) do crculo igual ao dobro do valor do raio(r), pode-se escrever que: d=2.r Substituindo convenientemente a referida expresso com a anterior,obtm-se que: p=.2.rSubstituindo a referida expresso com a do comprimento dosemicrculo, vem que: Cs = 2 . r/2 Eliminando os termos em evidncia, vem que: Cs = . r Tambm se pode escrever que: Cs = . d/2O comprimento de cada semicrculo que constitui a espiral pode serapresentado da seguinte maneira:C1 = . d0/2 = . (2r0)/2 = . 20 . (2r0)/2C2 = . d1/2 = . 2 . (2r0)/2 = . 21 . (2r0)/2C3 = . d2/2 = . 4 . (2r0)/2 = . 22 . (2r0)/2C4 = . d3/2 = . 8 . (2r0)/2 = . 23 . (2r0)/2 54. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosComo o comprimento total da espiral a soma do comprimento detodos semicrculos que constituem a espiral, pode-se escrever que:C = C1 + C2 + C3 + ... + Cn Ento, substituindo as ltimas expresses, vem que:C = . 20 . (2r0)/2 + . 21 . (2r0)/2 + . 22 . (2r0)/2 + . 23 . (2r0)/2 + ...C = . (2r0)/2 . (20 + 21 + 22 + 23 + ...)C = . (2r0) . 2n - 1/2 Eliminando os termos em evidncia, resulta que: C = . r0 . 2n-1Na referida expresso a letra (C) representa o comprimento total daespiral caracol. A letra (r0) representa o raio inicial (raio do primeirosemicrculo inscrito). A letra (n) representa o nmero de semicrculos queconstituem a espiral.Tambm se sabe que o dimetro o dobro do raio:d=2.r Porm como: C = . 2r0 . 2n-1/2Podem-se substituir convenientemente as duas ltimas expresses,obtendo-se que: C = . d0 . 2n-1/2 Na referida expresso a letra (d0) representa o dimetro inicial(dimetro do primeiro semicrculo inscrito na espiral).6. rea da Espiral Caracol Sabe-se que a rea de um crculo expressa por: A = . R2 55. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosEnto se torna evidente que a rea do semicrculo a metade darea do crculo. Ou seja: a = . R2/2Analisando a espiral caracol pode-se verificar que a sua rea expressa por:a = a1 + a2 + (a3 a1) + (a4 a2) + (a5 a3) + ... + (an an-2) Tambm se pode escrever que:a = a1 + a2 + (a3 a3-2) + (a4 a4-2) + (a5 a5-2) + ... + (an an-2)Onde a letra (a) representa a rea de cada semicrculo e o ndice aolado da letra a representa a identificao do semicrculo.O raio de cada semicrculo pode ser expresso pela seguinteexpresso:r0 = 2 . r0/2r1 = 4 . r0/2r2 = 8 . r0/2r3 = 16 . r0/2r4 = 32 . r0/2 Portanto a rea de cada semicrculo pode ser expressa por:a1 = /2 . (2 . r0/2)2 a1 = . r02/2 a1 = /2 . (20 . r0)2 a1 = /2 . (21-1. r0 )2a2 = /2 . (4 . r0/2)2 a2 = /2 . (2 . r0)2 a2 = /2 . (21 . r0)2 a2 = /2 .(22-1 . r0)2a3 = /2 . (8 . r0/2)2 a3 = /2 . (4 . r0)2 a3 = /2 . (22 . r0)2 a3 = /2 .(23-1 . r0)2a4 = /2 . (16 . r0/2)2 a4 = /2 . (8 . r0)2 a4 = /2 . (23 . r0)2 a4 = /2. (24-1 . r0)2a5 = /2 . (32 . r0/2)2 a5 = /2 . (16 . r0)2 a5 = /2 . (24 . r0)2 a5 =/2 . (25-1 . r0)2Substituindo convenientemente as referidas expresses naquela queestabelece a rea da espiral, pode-se escrever que: 56. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos a = a1 + a2 + (a3 a1) + (a4 a2) + (a5 a3) + ... + (an an-2)a = /2 . (21-1 . r0)2 + /2 . (22-1 . r0)2 + [/2 . (23-1 . r0)2 - /2 . (21-1 . r0)2] +[/2 . (24-1 . r0)2 - /2 . (22-1 . r0)2] + [/2 . (25-1 . r0)2 - /2 . (23-1 . r0)2] + ... +[/2 . (2n-1 . r0)2 - /2 . (2n-3 . r0)2] Tambm posso escrever que:a = /2 . [(21-1 . r0)2 + (22-1 . r0)2] + /2 . [(23-1 . r0)2 - (21-1 . r0)2] + /2 . [(24-1. r0)2 - (22-1 . r0)2] + /2 . [(25-1 . r0)2 - (23-1 . r0)2] + ... + /2 . [(2n-1 . r0)2 -(2n-3 . r0)2] Novamente pode-se escrever que:a = /2 . {[(21-1 . r0)2 + (22-1 . r0)2] + [(23-1 . r0)2 - (21-1 . r0)2] + [(24-1 . r0)2 -(22-1 . r0)2] + [(25-1 . r0)2 - (23-1 . r0)2] + ... + [(2n-1 . r0)2 - (2n-3 . r0)2]} Pode-se tambm escrever que:a = /2 . {[(21-1 . r0)2 + (22-1 . r0)2] + [(23-1 . r0)2 - (23-3 . r0)2] + [(24-1 . r0)2 -(24-3 . r0)2] + [(25-1 . r0)2 - (25-3 . r0)2] + ... + [(2n-1 . r0)2 - (2n-3 . r0)2]} 57. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XIVNMEROS VIRTUAIS A equao (a2 = y) indica que a imagem y do nmero real x2 estsendo observada sob a ptica do mesmo plano matemtico. Entretantosob tal ptica, a equao (x2 = - y), implica que na natureza no existenmero real que seja raiz de ndice par, de um nmero negativo. Talequao (x2 = - y), somente apresenta uma soluo satisfatria, quando seconsidera que a parte x2 seja um nmero real e a parte y, um nmerovirtual. Portanto, a imagem y do nmero real x2, observada em relaoa um plano real para um plano virtual. Naturalmente para se visualizartais conceitos so necessrios considerar as seguintes definies:Considere um grfico cartesiano num plano geomtrico real; ao coloc-loem frente de uma superfcie refletora retilnea (s), aparece um planovirtual com um grfico cartesiano virtual. Conforme se pode observar noseguinte esquema: x x plano virtual Vyy (s)yy xx plano realRDesse modo, pode-se concluir que existem as seguintespropriedades:a) Os nmeros y e x so denominados por nmeros virtuais em relao superfcie refletora;b) Os nmeros x e y so denominados de nmeros reais;c) Logicamente o nmero real x e o nmero virtual x, so simtrico emrelao superfcie refletora plana; 58. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosd) O nmero real e virtual tem natureza contrria: se o nmero real, aimagem virtual e vice-versa, naturalmente em referncia aos planos deobservao. Um nmero complexo jamais deve ser apresentado em um grficocartesiano no mesmo plano; porm, em grfico de planos matemticossimtricos. Tal negligncia vem sendo cometida por todos matemticos, eisto porque criaram conceitos de plano imaginrios com eixo real eimaginrio no mesmo grfico do sistema cartesiano. Tais conceitos estototalmente contrrios razo matemtica; pois a equao x = y ao serrepresentada no grfico cartesiano, impede a representao de x = yi(imaginrio), onde naturalmente yi o reflexo de y, do plano real para oplano virtual. 59. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XVDETERMINAO DO RAIO A PARTIR DO ARCO1. Introduo O presente mtodo tem por objetivo procurar determinar o centrode um circulo, partindo apenas de um arco inscrito. At a determinao do raio da circunferncia, que inscreveu o arcoem questo, tm-se oito procedimentos.2. Procedimentosa) O primeiro procedimento ter um arco: ab) O segundo procedimento consiste em inscrever uma corda nasextremidades do arco. a bc) O terceiro procedimento consiste em inscrever uma flecha cujasextremidades divide o arco e a corda na metade. ai1 i2 c bDesse modo obtm-se dois sub-arcos simtricos (i1 e i2).d) O quarto procedimento consiste em inscrever uma corda em um dossub-arcos. ai1 i2 c d b 60. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticose) O quinto procedimento consiste em inscrever uma corda no outro sub-arco. ai1 i2 c e d bf) Para o sexto e stimo procedimentos devem-se inscrever uma flechanos dois sub-arcos. Sendo tal flecha chamada sub-flecha. ai 1 f1 f2 i 2 ced bg) Como oitavo e nono procedimentos devem-se prolongar internamenteas sub-flechas at se cruzarem, onde se encontra o centro do circulo. ai 1 f1 f2 i 2 c e d b g Assim, o prolongamento das sub-flexas, levou ao centro do circulo;e, naturalmente, o valor do comprimento do prolongamento da sub-flechaat seu cruzamento (centro do crculo) igual ao raio do crculo. 61. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XVI SELO NA ADIO1. DefiniesPrimeira definio: Todo e qualquer nmero apresenta umagrandeza intrnseca que chamo por selo.Segunda definio: O selo de um nmero pode ser definido por parou mpar.Terceira definio: Defino uma operao entre dois selos,quaisquer que sejam, como carta.2. SimbolismoApresento os seguintes smbolos para representar as grandezas emquesto:a) as letras (x, y e z) representam: um nmero qualquer;b) a letra (s) representa: o selo;c) a letra (p) representa: positivo;d) a letra (i) representa: negativo;e) a letra (c) representa: carta;f) a letra (v) representa: um valor qualquer.3. Postulados Primriosa) Primeiro Postulado: Um nmero qualquer com um selo paradicionado com outro nmero qualquer de selo par, igual a uma carta deselo par. Simbolicamente:xsp + ysp = Cspb) Segundo Postulado: Um nmero qualquer com um selo impar,adicionado com outro nmero qualquer de selo impar, igual a uma cartade selo par. Simbolicamente:xsi + ysi = Csp 62. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosc) Terceiro Postulado: Um nmero qualquer com um selo impar,adicionado com qualquer outro nmero de selo par, igual a uma cartacom o selo impar. Simbolicamente:xsi + ysp = Csi4. Princpio Geral Generalizando os trs ltimos postulados posso enunciar o seguinteprincpio geral: A soma entre selos iguais, implica numa carta de selopar. Simbolicamente:Sp + Sp = CspSi + Si = Csp E a soma entre selos diferentes, implica em uma carta de seloimpar. Simbolicamente:Sp + Si = Csi5. Postulados Secundriosa) Primeiro Postulado: A somatria entre quaisquer cartas de selos parestem como resultado um valor de selo par. Simbolicamente:CSp1 + CSp2 + ... + CSpn = VSpOu seja: CSp = VSp Postulado adicional (I): A somatria entre quaisquer cartas deselos pares, adicionadas com um nmero com selo par, tem comoresultado um valor de selo par. Simbolicamente: CSp + XSp = VSp Postulado adicional (II): A somatria entre quaisquer cartas deselos pares adicionadas com um nmero com selo impar, tem comoresultados um valor de selo impar. Simbolicamente: CSp + XSi = VSi 63. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosObserve que tais postulados so uma conseqncia natural doprincpio geral.b) Segundo Postulado: A somatria entre quaisquer cartas de selosimpares tem como resultado um valor de selo par. Simbolicamente: CSi = VSp Postulado adicional (I): A somatria entre quaisquer cartas deselos impares, adicionado com um nmero de selo par, tem comoresultado um valor de selo par. Simbolicamente: CSp + XSp = VSp Postulado adicional (II): A somatria entre quaisquer cartas deselos mpares, adicionado com um nmero de selo mpar, tem comoresultado um valor de selo impar. Simbolicamente: CSi + XSi = VSiObserve novamente que tais postulados so uma conseqncianatural do princpio geral.c) Terceiro Postulado: A soma entre uma carta de selo negativo pelasomatria de quaisquer cartas de selos pares, tem como resultado umvalor de selo impar. Simbolicamente: CSi + CSp = VSiPostulado Adicional (I): A soma entre uma carta de selo negativo,pela somatria de quaisquer cartas de selos pares adicionado com umnmero de selo par, tem como resultado um valor de selo mpar.Simbolicamente:CSi + CSp + XSp = VSiPostulado adicional (II): A soma entre uma carta de selo negativo,pela somatria de quaisquer cartas de selos pares adicionado com umnmero de selo mpar, tem como resultado um valor de selo mpar.Simbolicamente:CSi + CSp + XSi = VSp 64. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosd) Quarto Postulado: CSi + CSi = VSpiPostulado adicional (I): CSi + CSi + XSi = VSpPostulado adicional (II): CSi + CSi + XSp = VSi 65. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO XVII SELO DE MULTIPLICAO1. Postulados Primriosa) Primeiro Postulado: Um nmero qualquer de selo par, multiplicadopor outro nmero qualquer de selo par, igual a uma carta de selo par.Simbolicamente: XSp . YSp = CSpb) Segundo Postulado: Um nmero qualquer com um selo impar,multiplicado por outro nmero qualquer de selo mpar, igual a umacarta de selo impar. Simbolicamente: XSi . YSi = CSic) Terceiro Postulado: Um nmero qualquer de selo par, multiplicadopor outro nmero qualquer de selo mpar, igual a uma carta de selo par.Simbolicamente: XSp . YSi = CSp2. Princpio GeralGeneralizando os trs ltimos postulados, posso enunciar oseguinte princpio geral: A multiplicao de um selo par por qualqueroutro tipo de selo, tem sempre como resultado numa carta de selo par.Sp . Si = CSpSp . Sp = CSp E a multiplicao entre selos mpares, implica em uma carta deselo mpar.Si . Si = CSiOu ento poderia afirmar que a multiplicao entre selos idnticosimplica numa carta com o mesmo selo ao da operao. 66. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosSp . Sp = CSpSi . Si = CSi 67. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XVIII RAZES ARCOMTRICAS1. IntroduoConsidere a seguinte figura geomtrica: I z r Onde a letra (z) representa o ngulo em graus (transferidor), onde aletra (r) representa o raio do circulo, a letra (I) representa o arco e a letra() representa o valor da constante pi.2. Arco O valor do arco definido como sendo igual ao produto existenteentre o pi pelo raio pelo ngulo, inverso pela constante numrica 180. Simbolicamente, pode-se escrever que: I = . r . z/1803. RadianoO radiano definido como sendo a relao entre o arco pelo raio.Simbolicamente, escreve-se: R = I/r4. AngolianoDefino a grandeza denominada por angoliano como sendo igual relao existente entre o ngulo pelo raio. 68. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosSimbolicamente posso escrever que: A = z/r5. Gradiano Defino a grandeza gradiano com sendo igual relao existenteentre o valor do arco pelo ngulo. Simbolicamente, posso escrever que: G = I/z6. PartianoDefino a grandeza que chamo por partiano como sendo igual relao matemtica existente entre o arco pelo nmero de partes docrculo.Simbolicamente, posso escrever que: p = I/n7. Nmero de Partes do CrculoDefino o nmero de partes do crculo como sendo igual relaoexistente no valor constante de 360 pelo ngulo.Simbolicamente, posso escrever que:n = 360/z8. Equao do GradianoSabe-se que: I = . r . z/180 G = I/zSubstituindo convenientemente as duas ltimas expresses, possoescrever que: 69. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosG = . r/180Ocorre que o valor (/180) uma constante, logo posso afirmar queo gradiano diretamente proporcional ao raio do crculo.Simbolicamente, posso escrever que:G=K.rOnde o valor da constante K representado por: K = 0,01744449. Frmulas Derivadas das Razes Arcomtricasa) p = I/n, como I = R . r, vem que: p = R . r/nb) p = I/n, como I = . r . z/180, vem que: p = . r . z/n . 180c) p = I/n, como I = G . z, vem que: p = G . z/nd) p = I/n, como n = 360/z, vem que: p = I . z/360e) I = G . z, como I = p . n, como I = R . r, como I = . r . z/180, vem que:G . z = p . n = R . r = . r . z/180f) G = I/z, como z = 360/n, vem que: G = n . I/360g) G = I/z, como z = A . r, vem que: G = I/A . rh) G = I/A . r, como R = I/r, vem que: G = R/Ai) A = z/r, como r = I/R, vem que: A = z . R/Ij) I = . r . z/180, como A = z/r, resulta que: I = . r2 . A/180 = . z2/A .18010. Apresentao das Razes Arcomtricas do Gradiano Uma outra maneira de apresentar os estudos anteriores a seguinte:Considere a seguinte figura: 70. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos br ba zI I ccrAssim, consideremos um ngulo agudo de lados ab e ac. A seguir,traamos arcos perpendiculares: bc ac e bc ac.Agora, considere a seguinte figura: r b I2a z c I z I1 dr Chama-se gradiano do arcdio a razo cd/. Indica-se: G = cd/z gradiano = arco/ngulo G = I/z Logo: gradiano de um arcdio a razo entre a medida do arcoaposto ao ngulo e a medida desse ngulo. Seja: bd e cd z pelo caso so semelhantes os arcdios: bd ,cd z, portanto: bd/ = cd/z O valor comum dessas razes denominado de razesarcomtricas do referido arco. Essas razes podem ser obtidas atravs deconstrues geomtricas. 71. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XIXFRMULA DE JUROS MENSAISA frmula de juros a seguinte J = P . % . d/36000Onde;J = JurosP = Capital% = Porcentagemd = Nmero de diasSe os juros forem ms sobre ms e o capital mensal bsico forsempre de mesmo valor, podemos estabelecer que a somatria dos juros,ms a ms a seguinte:J = P . % . 30/36000 [n/2 . (n + 1)]Onde:n = Nmero de meses30 = Nmero de dias em um msJ = Somatria de JurosTudo isto, desde que exista a seguinte condio:P = P1 = P2 = P3 = ... = PnPois:J = J1 + J2 = J3 + ... + Jn 72. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XX LEANDRONIZAO (L)1L0=0 2L0=13L0=24L0=31L1=1 2L1=23L1=34L1=41L2=2 2L2=33L2=44L2=51L3=3 2L3=43L3=54L3=61L4=4 2L4=53L4=64L4=71L5=5 2L5=63L5=74L5=81L6=6 2L6=73L6=84L6=91L7=7 2L7=83L7=94 L 7 = 101L8=8 2L8=93 L 8 = 10 4 L 8 = 111L9=9 2 L 9 = 10 3 L 9 = 11 4 L 9 = 121 L 10 = 10 2 L 10 = 113 L 10 = 124 L 10 = 135L0=4 6L0=57L0=68L0=75L1=5 6L1=67L1=78L1=85L2=6 6L2=77L2=88L2=95L3=7 6L3=87L3=98 L 3 = 105L4=8 6L4=97 L 4 = 10 8 L 4 = 115L5=9 6 L 5 = 10 7 L 5 = 11 8 L 5 = 125 L 6 = 106 L 6 = 11 7 L 6 = 12 8 L 6 = 135 L 7 = 116 L 7 = 12 7 L 7 = 13 8 L 7 = 145 L 8 = 126 L 8 = 13 7 L 8 = 14 8 L 8 = 155 L 9 = 136 L 9 = 14 7 L 9 = 15 8 L 9 = 165 L 10 = 14 6 L 10 = 157 L 10 = 168 L 10 = 179L0=8 10 L 0 = 9 11 L 0 = 1012 L 0 = 119L1=9 10 L 1 = 1011 L 1 = 1112 L 1 = 129 L 2 = 1010 L 2 = 1111 L 2 = 1212 L 2 = 139 L 3 = 1110 L 3 = 1211 L 3 = 1312 L 3 = 149 L 4 = 1210 L 4 = 1311 L 4 = 1412 L 4 = 159 L 5 = 1310 L 5 = 1411 L 5 = 1512 L 5 = 169 L 6 = 1410 L 6 = 1511 L 6 = 1612 L 6 = 179 L 7 = 1510 L 7 = 1611 L 7 = 1712 L 7 = 189 L 8 = 1610 L 8 = 1711 L 8 = 1812 L 8 = 199 L 9 = 1710 L 9 = 1811 L 9 = 1912 L 9 = 209 L 10 = 18 10 L 10 = 19 11 L 10 = 20 12 L 10 = 21 73. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos QUADRO DE LEANDRONIZAO (L)0 1 23456789101 0 1 23456789102 1 2 345678910 113 2 3 45678910 11 124 3 4 5678910 11 12 135 4 5 678910 11 12 13 146 5 6 78910 11 12 13 14 157 6 7 8910 11 12 13 14 15 168 7 8 910 11 12 13 14 15 16 179 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18109 1011 12 13 14 15 16 17 18 1911101112 13 14 15 16 17 18 19 20 74. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO XXIARCO QUADRILTERO (x) d (y) hp a1. DefiniesCircular (qualquer linha curva)p = arco (parbolas, crculos etc).b = flechaa = picoh = alturad = distncia entre estacas(x) = haste fixa(y) = haste mvel(mx) = mximo2. Condiesh = p/23 - Propriedadesa) h = a + bb) dmx = 2h = pc) d0 = h0 75. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosd) b = (p d)/2e) a = h [(p d)/2]4. Semi-crculoCondio de Semicrculo (SC) d/b = 2Condio de Semicrculo (SC) h/2Condio de Semicrculo (SC) b a = 0 b = aCondio de Semicrculo (SC) d = h 76. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO XXIIINCLUSES GEOMTRICAS1. Introduo O presente artigo procura estabelecer algumasrelaesfundamentais existentes entre quadrilteros e crculos.2. SimbologiaA simbologia adotada no presente artigo a seguinte:a) = (pi)b) D = dimetro do crculoc) d = diagonal do quadrilterod) l = lado do quadrilteroe) P1 = permetro do crculof) P2 = permetro do quadradog) A1 = rea do crculoh) A2 = rea do quadradoi) A = variao de reaj) P = variao de permetrol) A3 = rea da lnulam) B = arcon) F = Flechao) diferentep) = igualq) ~ proporcionalr) aproximados) se e somente set) entou) implicaov) portantos) ez) ou3. Frmulas 77. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosAs frmulas bsicas empregadas no presente artigo so asseguintes:a) A1 = . D2/4b) A2 = l2c) P1 = . Dd) P2 = 4le) d2 = 2l2f) A1 = P1 . D/4g) d2 = 2A2h)d = 2 . A24. Figuras com Permetros IguaisI Considere as seguintes figuras geomtricas:A2 A1dlDP2 P1II Hiptese: P2 = P1III Conseqncias:a) P2 = 4l p1 = . D 4l = . D /4 = l/D l ~ Db) l = P2/4 A2= l2 A2 = P22/16 P2 = 4 . A2 P2 ~A2c) P1 = . D P2 = 4A2 /4 = (A2)/D D ~ A2d) A1 = P1 . D/4 P2 = 4A2 A1 = D . A2 78. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticose) A2 = l2 A21 = D2 . A2 A21 = D2 . l2 A1 = D . lf) l = d/2 A1 = D . l A1 = D . d/2g) A2 = d2/2 A2 = P22/16 P22/16 = d2/2 P2 = 4d/2 P2 ~ dh) P2 = P1 = . D p2 = 4d/2 . D = 4d/2 D/d = 4/(2) . D ~di) P = P1 P2 P1 = P2 P1 P2 = 0 P = 0j) A = A1 A2l) A= P2 . D/4 P22/16 A = P2/4 . (D P2/4)m) A = D . l l2 A = l . (D l)n) A = D . d/2 d2/2 A = d . (D/2 d/2)o) A = D . (A2) A2p) A = D . (A2) d2/25. Figuras com Dimetro e Lados IguaisI Considere as seguintes figuras geomtricas: F D l d F A3 lII - Hiptese: D = lIII - Conseqncias: 79. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosa) D = P1/D = l P1 = . l p1 ~ lb) l = P2/4 D = l P2 = 4D P2 ~ Dc) P1 = . l P2 = 4l P1/P2 = /4 P1 ~ P2d) d = l2 P1 = . l P1 = . d/2 P1 ~ de) A1 = . D2/4 D = l A1 = . l2/4 A1 ~ l2f) l2 = d2/2 A1 = . l2/4 A1 . d2/8 A1 ~ d2g) A2 = l2 A1 = . l2/4 A1 = . A2/4 A1 ~ A2h) A2 = l2 D = l A2 = D2i) P1/P2 = /4 A1/A2 = /4 P1/P2 = A1/A2j) P = P2 P1l) P2 = 4l P1 = .l P = 4l - .l P = l . (4 - ) P ~ lm) P = l . (4 - ) D = l P = D . (4 - ) (P ~ D)n) P = P2 P1 P1 = . P2/4 P = P2 - . P2/4 P = P2 . (1 - /4)o) P = P2 P1 P1 = A1 . P2/A2 P = P2 A1 . P2/A2 P = P2 . (1 A1/A2)p) A = A2 A1q) A2 = l2 A1 = . l2/4 A = l2 - . l2/4 A = l2 . (1 /4)r) A = A2 A1 A1 = . A2/4 A = A2 - . A2/4 A = A2(1 /4)s) A2 = D2 A1 = . D2/4 A = D2 - . D2/4 A = D2 . (1 /4)t) A2 = d2/2 A1 = . d2/8 A = d2/2 - . d2/8 A = d2/2 . (1 /4)u) A = A2 A1 A1 = P1 . A2/P2 A = A2 P1 . A2/P2 A = A2 . ( 1 P1/P2) 80. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosIV Clculo de A3a) A3 = A/4b) A = l2 . (1 /4) A3 = A/4 A3 = l2/4 . (1 /4) A3 = l2(4 )/16c) A = A2 . (1 /4) A3 = A/4 A3 = A2/4 . (1 /4) A3 = A2(4 )/16d) A = D2 . (1 /4) A3 = A/4 A3 = D2/4 . (1 /4) A3 = D2 . (4- )/16e) A = d2/2 . (1 /4) A3 = A/4 A3 = d2/8 . (1 /4)f) A = A2(1 P1/P2) A3 = A/4 A3 = A2/4 . (1 P1/P2)V Flecha (F)a) 2F = d Db) 2F = d D D = l 2F = d lc) 2F = d l d = l2 2F = l2 l 2F = l . [(2) 1]d) 2F = l . [(2) 1] l = P1/ 2F = P1/ . [(2) 1]e) 2F = d l l = d/2 2F = d d/2 2F = d . [1 (1/2)]f) 2F = d l d = 2 .A2 l = A2 2F = 2 . A2 - A2 2F = A2 .[(2) 1]VI Relao A/AP = S A = l2 . (1 /4) P = l . (4 ) S = l/[(4 ) . (1 /4)]6. Figuras com Dimetros e Diagonal IguaisI Considere as seguintes figuras: 81. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos A1 A2 FD dl F A3II Hipteses D = dIII Conseqncias:a) A2 = d2/2 D = d A2 = D2/2 D2 ~ A2b) A1 = . D2/4 A2 = D2/2 A1 = . A2/2 A1 ~ A2c) A2 = l2 A1 = . A2/2 A1 = . l2/2 A1 = l2d) P1 = . D D = d P1 = . d P1 ~ de) P1 = . d d = A2 . 2 P1 = . 2 . A2 P1 ~ A2f) P1 = . 2 . A2 A2 = l2 P1 = . (2) . l p1 ~ lg) P2 = 4l l = d/2 P2 = 4d/2 P2 ~ dh) P2 = 4d/2 P1 = . D D = d P2 = 4P1/(2) P2 ~ P1i) P = P1 P2j) P1 = . D P2 = 4d/2 D = d P = . D 4D/2 P = D . ( -4/2)l) P1 = . (2) . l P2 = 4l P = . (2) . l 4l P = l( . (2) 4)m) P2 = 4P1/(2) . P = P1 P2 P = P1 4P1/(2). P = P1 .(1 4/(2) . )n) A = A1 A2o) A1 = . D2/4 A2 = D2/2 A = . D2/4 D2/2 A = D2/2 . (/2 1) 82. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosp) A1 = . A2/2 A = A1 A2 A = . A2/2 A2 A = A2 . (/2 1)q) A1 = . l2/2 A2 = l2 A = . l2/2 l2 A = l2 . (/2 1)r) A1 = P1 . D/4 A2 = P21/22 A = P1 . D/4 P21/22 A = P1/2 .(D/2 P1/2)IV Clculo de A3a) A3 = A/4b) A = . l2/2 l2 A3 = A/4 A3 = l2 . ( - 2)/8c) A = . D2/4 D2/2 A3 = A/4 A3 = D2 . ( - 2)/16d) A = . A2/2 A2 A3 = A/4 A3 = A2 . ( - 2)/8V Arcoa) B = P1/4b) P1 = . (2) . l B = P1/4 B = . (2) . l/4c) P1 = . 2 . A2 B = P1/4 B = . 2 . A2/4d) P1 = . d B = P1/4 B = . d/4 B = . D/4VI Flecha (F)a) 2F = (D l)b) D = d F = (D l)/2 F = (d l)/2c) F = (D l)/2 d = l2 F = [l . (2) l]/2 F = l . [(2) 1]/2d) 2F = d l l = d/2 2F = d d/2 2F = d . (1 1/2)e) F = (d l)/2 d = 2 . A2 l = A2 F = A2 . [(2) 1]/2 83. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosVII Relao B/F = Ga) G = B/Fb) G = B/F B = . l . (2)/4 F = l[(2) 1]/2 G = . (2)/2 . [(2) 1]c) G = B/F B = . d/4 F = (d l)/2 G = . d/2(d l)VIII Relao B/l = Ja) J = B/lb) J = B/l B = . (2) . l/4 J = . l . (2)/4l J = . (2)/4IX Relao F/l = Ma) M = F/lb) M = F/l F = l . [(2) 1]/2 M = l . [(2) 1]/2l M = [(2) 1]/2c) M = F/l F = (d - l)/2 M = (d l)/2lX Relao A/AP = SA = l2 . (/2 1) P = l . (.2 4) S l2(/2 1)/l(2 4) S =l( - 2)/2[(2) 4]7. Figuras Circunscritas com Dois QuadradosI Considere as seguintes figuras:a3 A3 D=dLl a2A2 84. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosII Simbologia:l = lado do quadrado internoL = lado do quadrado externoa2 = rea do quadrado internoA2 = rea do quadrado externoP2 = permetro do quadrado externop2 = permetro do quadrado internoa3 = rea da lunulaF = flechaIII Hiptese: D = L D = d d = LIV Conseqncias:a) d2 = 2l2 d = L L2 = 2l2 L = (2) . l L ~ lb) L2 = 2l2 A2 = L2 a2 = l2 A2 = 2a2 A2 ~ a2c) d = 2 . a2 d = L L = 2 . a2 L ~ a2d) P2/L = 4 p2/l = 4 P2/p2 = L/le) p2 = 4d/2 d = L p2 = 4L/2f) P = L(4 - ) L = d P = d . (4 - )g) A = L2(1 - /4) L = d A = d2 . (1 - /4)h) A = d2 . (1 - /4) d2 = 2l2 A = 2l2 . (1 - /4)i) A1 = . L2/4 A1 = . l2/2 L2 = 2l2j) A1 = . a2/2 A1 = . D2/4 a2 = D2/2l) A1 = . l2/2 A1 = . D2/4 l2 = D2/2m) A1 = . l2/2 A1 = . A2/4 l2 = A2/2n) A1 = . D2/4 A1 = . A2/4 D2 = A2o) p1 = . D p1 = . 2 . a2 D = 2 . a2 85. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosp) p1 = . D p1 = . (2) . l D = (2) . lq) A3 = l2 . (4 - )/16 a3 = l2 . ( - 2)/8 A3/a3 = (4 - )/2( - 2)8. Figura com Crculo e RetnguloI Considere as seguintes figuras:FV FHlV D lHII Simbologia lV = lado vertical do retngulo lH = lado horizontal do retngulo FV = flecha vertical FH = flecha horizontalIII Frmulas BsicasP2 = 2(lV + lH)A2 = lV . lHd 2 = l2 V + l2 HIV Hiptese: D = dV Conseqncias:a) d2 = l2V + l2H D = d D2 = l2V + l2Hb) D2 = l2V + l2H A1 = .D2/4 A1 = (l2V + l2H)/4c) 2 = P2/(lV + lH) 2 = . D2/2A1 P2/(lV + lH) = . D2/2A1 86. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosd) P2/(lV + lH) = . D2/2A1 d2 = (l2V + l2H) P2/(lV + lH) = . (l2V +l2H)/2A1e) P21 = 2 . D2 D = d d2 = l2V + l2H P21 = 2 . (l2V + l2H)f) A1 = . D2/4 A2 = lV . lH A1/A2 = . D2/4lV . lHg) A1/A2 = . D2/4lV . lH d2 = l2V + l2H A1/A2 = . (l2V + l2H)/4lV . lHh) A2 = lV . lH P2 = 2(lV + lH) A2/P2 = lV . lH/2(lV + lH)i) P2 = 2(lV + lH) d2 = l2V + l2H P2/d2 = 2(lV + lH)/(l2V + l2H)j) A2 = lV . lH d2 = l2V + l2H A2/d2 = lV . lH/(l2V + l2H)l) P1 = . d P2 = 2(lV + lH) P1/P2 = . d/2(lV + lH)m) P1/P2 = . d/2(lV + lH) d = (l2V + l2H) P1/P2 = . (l2V + l2H)/2(lV+ lH)n) P1 = . d d = (l2V + l2H) P1 = . (l2V + l2H)o) A1 = P1 . D/4 P1 = . (l2V + l2H) A1 = D . . (l2V + l2H)/4p) A1 = P1 . D/4 D = d d = (l2V + l2H) A1 = P1 . (l2V + l2H)/4q) P = P1 P2r) P1 = . D P2 = 2(lV + lH) P = . D 2(lV + lH)s) A = A1 A2A1 = . D2/4 A2 = lV + lH A = . D2/4 lV . lHA1 = P1 . D/4 A2 = lV + lH A = P1 . D/4 lV . lHVI Flechasa) 2FH = D lHb) 2FV = D lV 87. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosc) D = 2FH + lH D = 2FV + lV 2FH + lH = 2FV + lV 2(FH FV) = lV lHd) 2FH = D lH 2FV = D lV FH/FV = (D lH)/(D lV)e) 2FH = D lH D = (l2V + l2H) 2FH = [(l2V + l2H)] lHf) 2FV = D lV D = (l2V + l2H) 2FV = [(l2V + l2H)] lVg) P2 = 2(lV + lH) 2(FH FV) = lV lH 2(lV + lH)/2(FH FV) = P2/(lV +lH) (lV + lH) . (lV lH) = P2 . (FH FV)h) 2(FH FV) = lV lH lV = A2/lH 2(FH FV) = A2/lH lHi) 2(FH FV) = lV lH lH = A2/lV 2(FH FV) = lV (A2/lV)j) 2FH = D lH D = P1/ 2FH = (P1/) lHl) 2FV = D lV D = P1/ 2FV = (P1/) lVm) 2FH = D lH D = 4A1/P1 2FH = (4A1/P1) lHn) 2FV = D lV D = 4A1/P1 2FV = (4A1/P1) lV 88. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XXIIIPROPRIEDADES DOS NMEROS PRIMOSOs nmeros primos so aqueles que no apresentam outrosdivisores alm dele mesmo e da unidade.A Simbologiaa) x = nmeros primosb) z = nmeros mparesc) y = nmeros paresB Com exceo do nmero dois, os pares no so primos.C Todos nmeros primos so mpares, mas nem todos os mpares soprimos.D Com exceo da unidade, os mltiplos mpares no so primos.E Considere o seguinte crivo de Eratstenes:pp pi pp pnn012 345 6n178 910 1112n213 1415 16 1718n319 2021 22 2324n425 2627 28 2930n531 3233 34 3536n637 3839 40 4142n743 4445 46 4748n849 5051 52 5354n955 5657 58 5960 Ao eliminar os pares, com exceo do nmero dois, e ao eliminaros mltiplos mpares, com exceo da unidade, resulta numa sobra denmeros primos. 89. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos Analisando o crivo considerado, verifica-se que cada colunavertical desenvolve-se numa progresso aritmtica. Desta maneira possvel estabelecer uma expresso matemtica para calcular o nmero daprogresso (pA) em qualquer coluna. pA = p + n . pnF Com exceo da unidade, todos mltiplos mpares (m) so expressospela seguinte equao:m = pi + 2n . piOu melhor:m = pi . (1 + 2n)O crivo que ilustra o presente artigo foi organizado de tal maneiraque o mapa dos mltiplos mpares do nmero trs ficassem localizadosnuma nica coluna.G Considerando a simbologia usada no presente artigo, os nmerosprimos podem ser expressos pela seguinte frmula: x=yzBDAs letras (B) e (D), representam as classificaes das definiesdadas no incio do presente artigo. J os smbolos e , representam,respectivamente, os termos incluso e excluso.Assim, a incluso no conjunto dos nmeros pares com os nmerosmpares e excluindo os dados informativos da letra B e da letra D, o quesobra no conjunto considerado so os nmeros primos. 90. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO XXIV DIVISIBILIDADEConsidere as seguintes definies simblicas:A par/par (p/p) Todos nmeros pares so divisveis por pares.B par/impar (p/i) Com exceo do prprio nmero e da unidade, nem todos osnmeros pares admitem a diviso por mpares.C Srie Nobre (SN)Os nmeros pares que no admitem diviso por mpares,constituem a seqncia chamada Serie Nobre. Ela constituda pelosseguintes nmeros:n1 n2n3 n4n5n6n7n8 n9 ... n+124 8163264128 256512 ...N+1A expresso que se segue, define a srie nobre por meio dequantidades (n): SN = 2n Portanto, os nmeros da Srie Nobre so pares indivisveis pormpares. J os demais pares admitem diviso por mpares.D Impar/impar (I/I) Com exceo do prprio nmero e da unidade, nem todos osnmeros mpares admitem a diviso por mpares. Estes nmeros com o acrscimo do nmero dois so conhecidos pornmeros primos. 91. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosOs Mltiplos (M)Os nmeros mpares que admitem diviso por mpares,caracterizam os mltiplos, como por exemplo:a) Mltiplo de trs (MT);b) Mltiplo de cinco (MC);c) Mltiplo de sete (MS).Os nmeros mltiplos de trs, so caracterizados pela seguinteexpresso matemtica:MT = 3 + n . 6 Os nmeros mltiplos de cinco, so caracterizados pela seguinteequao:MC = 5 + n . 10 Os nmeros mltiplos de sete, so caracterizados pela seguintefrmula matemtica:MS = 7 + n . 14Analisando rapidamente as trs ltimas expresses, verifica-se queas mesmas podem ser generalizadas, conforme a seguinte observao: M=N+n.2.NPortanto: M = N . (1 + 2 . n)Na referida equao generalizada a letra (N) representa o nmeromltiplo base (trs, cinco ou sete). O nmero(n) representa uma seqncianumrica de quantidade que se estende do nmero um ao infinito.E Impar/par (I/P)Todos os nmeros mpares no admitem diviso por pares.F Definio matemtica de nmero primo (P) 92. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos Matematicamente posso estabelecer uma frmula para os nmerosprimos, dentro de uma simbologia perfeitamente lgica. Assim sendo, defino os nmeros primos pela seguinte equao:P = I/I M 2a) = inclusob) = exclusoOu seja, os nmeros mpares so iguais divisibilidade dosnmeros mpares por mpares com a excluso dos mltiplos mpares eincluso do nmero dois.Porm, como demonstrei que:M = N . (1 + 2n)Posso escrever que:P = I/I [N . (1 + 2n)] 2 Portanto, temos uma frmula matemtica para a definio dosnmeros primos. 93. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XXVTEORIA DOS GRUPOS1. IntroduoO estudo dos grupos um importante conceito matemtico. Comele pode-se localizar qualquer elemento de um ou mais grupo.2. Conceitos Fundamentaisa) Grupo: A noo de grupo a mesma de conjunto, em matemtica.b) Agrupamentos: Reunio de vrios grupos.c) Elementos: So as unidades bsicas do grupo.d) Pertinncia: Se um elemento membro de um grupo, isto significaque ele pertence ao grupo. Tal fato representado pelo smbolo eindica que o elemento pertence ao grupo. O smbolo indica que oelemento no pertence ao grupo.e) Representao: Os elementos de um grupo podem ser qualquer coisa.Por isso mesmo so representados pela letra (x) seguida por ndicenumrico. Os grupos so representados pelo nmero romano seguido porum ndice numrico.f) Conteno: Quando um elemento est contido num grupo ou um grupoest contido em outro, ele representado pelo smbolo que indica estcontido em. J o smbolo indica que o elemento ou grupo no estcontido em.3. Classificaoa) Grupo primrio: Caracteriza o grupo formado pelos elementos. Estegrupo representado pelo nmero romano (I).b) Grupo secundrio: o grupo formado por grupos primrios. Ficaperfeitamente representado pelo nmero romano (II). 94. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosc) Grupo Tercirio: Este grupo caracterizado pela reunio dos grupossecundrios. Est representado pelo nmero romano (III).d) Grupo Quaternrio: o grupo eu engloba os grupos tercirios.Estando representado pelo nmero romano (IV).E assim o mesmo raciocnio segue de forma semelhante a infinito.4. Representao GrficaOs agrupamentos de elementos e grupos podem ser representadospor diferentes formas.a) Esquematicamente: I1 = (x1, x2, x3) II1 = I2 = (x4, x5, x6) I3 = (x7, x8, x9)III1 = I4 = (x10, x11, x12) II2 = I5 = (x13, x14, x15) I6 = (x16, x17, x18)b) Diagrama:I1 x 1 , x 2 , x 3I4 x10, x11, x12I2 x 4 , x 5 , x 6I5 x13, x14, x15I3 x 7 , x 8 , x 9I6 x16, x17, x18 II1 II2 III1c) Linearmente: III1 = [II2 = {I1 = (x1, x2, x3); I2 = (x4, x5, x6); I3 = (x7, x8, x9)}; II2= {I4 = (x10, x11, x12); I5 = (x13, x14, x15); I6 = (x16, x17, x18)}] 95. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos5. AnliseAnalisando rapidamente o agrupamento anterior, observam-se asseguintes caractersticas:a) II1 e II2 III1b) I1, I2 e I3 II1c) I4, I5 e I6 II2d) I1, I2 e I3 II2e) I4, I5 e I6 II1f) x1, x2 e x3 I1g) x4, x5 e x6 I2h) x7, x8 e x9 I3i) x10, x11 e x12 I4j) x13, x14 e x15 I5k) x16, x17 e x18 I6l) etc. Pode-se observar que os elementos (x1, x2,..., xn) esto semprecontidos no grupo primrio. J os grupos primrios (I 1, I2,..., In) estosempre contidos no grupo secundrio. E os grupos secundrios (II1, II2,...,IIn) esto sempre contidos no grupo tercirio. E assim sucessivamente. Portanto, pode-se concluir que: Somente grupos de nvel superior podem contar grupos de nvelinferior. Simbolicamente pode-se escrever generalizadamente:(X 1)n Xm Logo se podem observar as seguintes propriedades:m) II1 III1; II2 III1n) I1 II1; I2 II1; I3 II1 Assim pode-se escrever que os grupos primrios esto contidos nosecundrio. E os grupos secundrios esto contidos no grupo tercirio. Tambm se observa que: grupos de mesmo nvel no esto contidosentre si. Generalizando, simbolicamente pode-se escrever que:Xn Xmo) II1 II2p) I1 I2 96. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticosq) I2 I36. Localizao de ElementoO elemento de um grupo fica perfeitamente localizado peladescrio da coordenada de grupo. Observe os seguintes exemplos:a)x1 (I1, II1, III1) Diante da referida expresso, afirma-se que o elemento x1 estlocalizado na coordenada de grupo primrio um, secundrio um etercirio um.b)x7 (I3, II1, III1)Assim pode-se afirmar que o elemento x7 est localizado nacoordenada de grupo primrio trs, secundrio um e tercirio um.c)x13 (I5, II2, III1)Logo se afirmar que x13 est localizado na coordenada de grupoprimrio cinco, secundrio dois, tercirio um.Generalizando os referidos resultados obtm-se a seguinteexpresso: xn [(I + 0)r, (I + 1)s, (I + 2)t, ..., (I + N)z]7. Localizao de Grupo Primrio Se numa pesquisa o objetivo a localizao de um grupo primrio,o mesmo pode ser perfeitamente localizado pela coordenada de grupo.Considere ento os seguintes exemplos:a)I2 (II1, III1)Portanto pode-se dizer que o grupo primrio dois est localizado nacoordenada de grupo secundrio um e tercirio um.b)I5 (II2, III1) Dessa forma pode-se afirmar que o grupo primrio cinco estlocalizado na coordenada de grupo secundrio dois e tercirio um. 97. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos8. Localizao de Grupo SecundrioUm grupo secundrio fica perfeitamente localizado pelacoordenada de grupo, conforme demonstra os seguintes exemplos:a)II1 (III1) A referida expresso permite afirmar que o grupo secundrio umest localizado na coordenada de grupo tercirio um.b)II2 (III1)Diante de tal resultado pode-se escrever que o grupo secundriodois est localizado na coordenada de grupo tercirio um.9. Aplicaes A presente teoria dos grupos pode ser perfeitamente empregada naclassificao e descrio de vrios grupos que existem na natureza. Entreeles podemos citar as galxias, os cardumes, organizaes de partidos,salas e prdios de reparties pblicas ou particulares etc. 98. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO XXVISRIE DO QUADRADO PERFEITO1. IntroduoConsidere as seguintes sries numricas:1.2.3.4 + 1 = 25 = 52 2.3.4.5 + 1 = 121 = 112 3.4.5.6 + 1 = 361 = 192 4.5.6.7 + 1 = 841 = 292 Dessas sries, verifica-se que resultam num quadrado perfeito. Elaspodem ser expressas da seguinte forma:(x = 0) . (x + 1) . (x + 2) . (x + 3) + 1 = y2Isso resulta que:(x2 + 3x + 1) 2 = y22. Valor da BasePara encontrar o valor da base (x) da referida equao deve-seproceder aos seguintes passos:1 - Igualar o seu resultado no segundo membro:(x2 + 3x + 1) 2 = y22 - Transportando o nmero (1) para o segundo membro: (x2 + 3x) 2 = (y - 1)23 - Multiplicado-se os membros por (4):(4x2 + 12x)2 = [4(y - 1)]24 - Adicionando-se (32) aos membros:(4x2 + 12x + 32)2 = [32 + 4(y - 1)]2 99. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos5 - Fatorando o primeiro membro:[(2x2 + 32)]2 = [32 + 4(y - 1)]26 - Simplificando os membros:(2x + 3)4 = (9 + 4y - 4)2(2x + 3)4 = (5 + 4y)27 - Extraindo a raiz cbica de ambos os membros:4(2x + 3)4 = 4(5 + 4y)22x + 3 = (5 + 4y)8 - Resolvendo a equao tem-se que: 2x = [(5 + 4y)] - 3Portanto resulta:x = {[(5 + 4y)] 3}/2 Essa equao fornece o valor base (x) da srie em funo doresultado (y).3. Valor do ResultadoTambm se pode obter uma expresso para o valor do resultado (y)em funo do valor base (x) da srie. Para isso considere os seguintespassos:1 - Foi demonstrado no item (6) da parte anterior que: (2x + 3)4 = (5 + 4y)22 - Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros:(2x + 3)4 = (5 + 4y)2(2x + 3)2 = 5 + 4y3 - Resolvendo a equao tem-se que: 100. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos 4y = (2x + 3)4 - 5Portanto resulta: y2 = {[(2x + 3)2 5]/4}2 Essa equao fornece o resultado (y) em funo do valor bsico (x)de srie apresentada.4. Nmero de ArranjosNa srie apresentada tal qual: (x + 0) . (x + 1) . (x + 2) . (x + 3) + 1 = y2Pode-se definir que: n1 = (x + 0); n2 = (x + 1); n3 = (x + 2); n = (x + 3)Portanto, pode-se escrever que: n1 . n2 . n3 . n + 1 = y2Observa-se claramente que a primeira srie apresentada o nmerode arranjos de (n) elementos (p) a (p). Portanto pode-se escrever que: A n, 4 + 1 = y2Assim, pode-se concluir que:A n, 4 = n!/(n 4)! + 1 = y25. TeoremaSabe-se que: (x2 + 3x + 1)2 = y2Tambm se sabe que: n1 . n2 . n3 . n + 1 = y2Portanto, resulta que: 101. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos(n1 . n + 1)2 = y26. Clculo de y em Relao a n Finalmente pode-se apresentar outra frmula para clculo doresultado (y) em funo de (n). Essa frmula a seguinte:{n . [(2n 9) + n]/3 + 1}2 = y27. Resumo1 - Definion1 = (x + 0); n2 = (x + 1); n3 = (x + 2); n = (x + 3)2 - Sentena (I) y2 = n1 . n2 . n3 . n + 13 - Sentena (II)y2 = (x + 0) . (x + 1) . (x + 2) . (x + 3) + 14 - Sntese da Sentenay2 = (x2 + 3x + 1)25 - Teoremay2 = (n1 . n + 1)26 - Primeira Frmula y2 = {[(2x + 3)2 5]/4}27 - Segunda Frmulay2 = {n . [(2n 9) + n]/3 + 1}28 - Terceira Frmulay2 = n!/(n 4)! + 1 102. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos9 - Quarta Frmulax = [(5 + 4y) 3]/2 103. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XXVII SRIE AO CUBO1. IntroduoConsidere as seguintes sries numricas:1 x 2 x 3 + 2 = 8 = 232 x 3 x 4 + 3 = 27 = 333 x 4 x 5 + 4 = 64 = 434 x 5 x 6 + 5 = 125 = 535 x 6 x 7 + 6 = 216 = 636 x 7 x 8 + 7 = 343 = 73Essas sries podem ser expressas da seguinte forma:(x + 0) . (x + 1) . (x + 2) + (x + 1) = (x + 1)3Desenvolvendo tal expresso, obtm-se que:x3 + 3x2 + 2x = (x + 0) . (x + 1) . (x + 2)x3 + 3x2 + 2x + x + 1 = (x + 1)3x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3x3 + 3(x2 + x) + 1 = (x + 1)32. Nmero de ArranjosNa srie apresentada tal que:(x + 0) . (x + 1) . (x + 2) + (x + 1) = (x + 1)3Pode-se definir que: n1 = (x + 0) n2 = (x + 1) n = (x + 2)Portanto, pode-se escrever que:n1 . n2 . n + n = n 32 104. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos Observa-se claramente que a primeira parte da srie apresentada onmero de arranjos de (n) elementos (p) a (p). Portanto, pode-se escreverque: An,3 + n2 = n32 Logo, se conclui que: An,3 = n!/(n 3)! + n2 = n323. Simplificando para o Quadrado Perfeito Foi demonstrado que:n1 . n2 . n + n2 = n32n1 . n2 . n = n32 n 2n1 . n2 . n = n2 . (n22 1) Eliminando os termos em evidncia vem que: n1 . n = n 22 1 n1 . n + 1 = n224. Frmula do Termo Geral A partir da equao do quadrado perfeito pode-se estabelecer umaequao geral para qualquer potncia. Observe: n1 . n + 1 = n 22 Multiplicando ambos membros por (n2), obtm-se que:n2 . (n1 . n + 1) = n32 Novamente multiplicando-se ambos membros por (n2), obtm-seque:n22 . (n1 . n + 1) = n42 Outra vez multiplicando-se ambos membros por (n2), obtm-se que:n32 . (n1 . n + 1) = n52 105. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosGeneralizando os referidos resultados, conclui-se que:np-22 . (n1 . n + 1) = np25. Generalizao Para a Frmula do Nmero de ArranjosPode-se demostrar que:a)[n!/(n 3)!] . n02 + n02 = n22b)[n!/(n 3)!] . n02 + n12 = n32c)[n!/(n 3)!] . n12 + n22 = n42d)[n!/(n 3)!] . n22 + n32 = n52Generalizando o referido resultado pode-se escrever que: [n!/(n 3)!] . np-32 + np-22 = np2 106. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos ARTIGO XXVIII CLCULO DE REAS DE ALGUMAS FIGURASConsidere a seguinte figura geomtrica: a b b c a b aPede-se: Calcular a rea das figuras a, b e c.1 - Para calcular a rea (b), considere a seguinte figura:db ddb dNa referida figura a rea (b) aparece, entretanto tambm apareceuma nova rea (d). Portanto, antes de calcular a rea (b) deve-se procederao clculo dessa nova rea (d). Para isso, considere a seguinte figura: d d d dNa referida figura aparece a rea (d). Portanto podemos calcul-lada seguinte forma: A rea do quadrado (Q) igual a soma entre a rea docrculo (A) e das quatro figuras nas extremidades do quadrado (4d).Logo, pode-se escrever que:Q = A + 4dLogo a rea (d) pode ser representada por: d = (Q A)/4 107. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos Ora! A rea do quadrado igual ao lado (L) elevado ao quadrado.Simbolicamente, pode-se escrever que: Q = L2Tambm se sabe que a rea do crculo igual ao valor de pi ()multiplicado pelo raio elevado ao quadrado.O referido enunciado expresso simbolicamente por:A = . R2 Portanto, substituindo convenientemente os trs ltimos resultados,obtm-se que: d = (L2 - . R2)/4 Ocorre que na ltima figura apresentada, o lado (L) do quadrado igual ao dimetro (D) do crculo. Ou seja:L=DPorm sabe-se que o dimetro o dobro do raio. Ou melhor: D = 2RPortanto, pode-se escrever que: L = 2RAssim, pode-se concluir que: d = (4R - . R2)/4Desenvolvendo a referida expresso, resulta que: d = 4R/4 - . R2/4d = R - ( . R2/4)d = R . [1 - ( . R/4)]Voltando a seguinte figura, pode-se concluir que: 108. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos d bd d bdA referida figura o dobro da figura anterior. Portanto a rea (b) o dobro da rea (d). Logo, pode-se escrever que: b = 2dAssim, resulta que:b = 2R . [1 - ( . R/4)]Tambm se pode escrever que:b = R . [2 - (2 . R/4)]Ocorre que o permetro do crculo expresso por: P0 = 2 . RPortanto pode-se escrever que: b = R . [2 (P0/4)]2 - Para calcular a rea (a), considere a seguinte figura: a LL aa Na referida figura a rea do tringulo eqiltero (T) a soma entrea rea do crculo (A) e das trs figuras (a) nas extremidades do tringulo. Simbolicamente, o referido enunciado expresso por: T = A + 3aPortanto a rea (a) pode ser representada da seguinte forma: a = (T A)/3 109. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos Sabe-se que a rea de um tringulo eqiltero expressa por: T = L2 . (3/4) Tambm se sabe que a rea de um crculo expressa por: A = . R2 Substituindo convenientemente as trs ltimas expresses, vemque: a = [L2 . (3/4) - . R2]/33 - Para calcular a rea (c), considere a seguinte figura:R RcR RA RNa referida figura a rea procurada (c) igual diferena entre area do tringulo eqiltero pela rea do setor circular.No caso de cada crculo ele est dividido em seis partes iguais. Ecomo a rea total do crculo expressa por: A = . R2Ento se pode escrever que a rea do setor de cada crculo expressa por:I = . R2/6 Como so trs crculos envolvidos, pode-se escrever que:I = 3 . R2/6 O que resulta:I = . R2/2 Sabe-se que a rea de um tringulo eqiltero expresso por: T = L2 . (3/4) 110. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosOnde (L) corresponde ao lado do tringulo. Como no caso emquesto o lado corresponde ao dimetro do crculo, pode-se escrever que: T = (R + R)2 . (3/4)Portanto a rea (c) expressa por:c = (R + R)2 . (3/4) - ( . R2)/2Desenvolvendo, resulta:c = (2R)2 . (3/4) - . R2/2 c = 4R2 . (3/4) - . R2/2c = 4R2 . [(3/4) - /8]O permetro do crculo expresso por:P=.RPortanto pode-se escrever que: R2 = P2/2Logo vem que: c = 4P2/2 . [(3/4) - /8]Assim, resulta:c = 4P2/2 . (3/4) 4P2 . /2 . 8Eliminando os termos em evidncia, vem que: c = 4P2/2 . (3/4) P2/2Desse modo pode-se escrever que: c = P2/2 . [8/ . (3/4) 1]Ocorre que o permetro (n) de (c) expresso por: n = . R . 3/6 111. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosO que resulta em: n = . R/2Como P2 = 2 . R2, pode-se escrever que:P2 = n2 . 4Assim, resulta:c = 4n2/2 . [8/ . (3/4) 1]Simplificando:c = 2n2/ . [8/ . (3/4) 1] 112. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XXIXVALOR BIA1. Clculo BiaConsidere um quadrado com uma diagonal inscrita sobre ele deextremidade a extremidade, conforme a seguinte figura:l3 l2 Dl4 l1Sendo:l = l1 = l 2 = l 3 = l 4Pelo teorema de Pitgoras, pode-se escrever que a diagonal representada por: D2 = l21 + l24Ou seja: D2 = 2l2O permetro do quadrado expresso por: P = l1 + l 2 + l 3 + l 4Portanto, conclui-se que:P = 4lA razo entre o permetro pela diagonal pode ser expressa por:P/D = 4l/DComo: 113. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos D2 = 2l2Pode-se escrever que: P2/D2 = 42 . l2/D2 = 16l2/2l2Eliminando os termos em evidncia, resulta que:P2/D2 = 16/2 = 8Portanto:P2/D2 = 8Ou seja:P/D = 8Assim, resulta que:P/D = 8 = 2,628471Esse valor recebe a denominao de nmero bia, que representado simbolicamente por: B = 2,6284271Portanto, pode-se escrever que:P=B.D2. Clculo da rea (I)A rea da figura supra mencionada igual ao quadrado dos lados.Ou seja:A = l2 Aplicando-se o teorema de Pitgoras ao clculo da diagonal dareferida figura, pode-se escrever que:D2 = l21 + l24 114. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosComo: l1 = l2 = l3 = l4, pode-se escrever que:D2 = 2l2Igualando convenientemente as duas ltimas expresses, vem que: D2 = 2APortanto, pode-se escrever que: A = D2/2Porm, foi demonstrado que: P=B.DLogo, pode-se escrever que:D2 = P2/B2Assim, substituindo convenientemente as expresses consideradas,pode-se escrever que:A = 1/2 . P2/B23. Clculo de rea (II)O permetro do quadrado expresso por: P = 4lComo A = l2, pode-se escrever que:P2 = 42 . l2Ou seja:P2 = 42 . AAssim vem que: A = P2/42 115. LEANDRO BERTOLDOArtigos Matemticos Como: P = B . D, pode-se escrever que: P2 = B2 . D2. Portanto,substituindo convenientemente as duas ltimas expresses, resulta que:A = B2 . D2/42O que resulta em:A = B . D/4 116. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosARTIGO XXX DISTRIBUIO DE COMBINAES1. Introduo Seja (A) um conjunto com (n) elementos. Os subconjuntos de (A)com (p) elementos constituem agrupamentos que so chamados porcombinaes dos (n) elementos de (A), p a p. Ocorre que os elementos (n) de um conjunto (A), so distribudosem subconjuntos; e a distribuio de combinao procura estabelecer ummtodo matemtico de processamento de tal distribuio.2. Equao Bsica de DistribuioSeja um conjunto (A) de (n) elementos:A = (a1, a2, a3, a4,..., an)A combinao dos (n) elementos, distribudos n a n, (Dn,p) escrevea seguinte verdade: Dn,p = A J a combinao de (n) elementos, distribudos a [Dn,(n-1)], mepermite enunciar o seguinte postulado bsico: A distribuio (D) de (n)elemento a (n 1) implica ao inverso dos elementos do conjunto (A); e,cujo, o quociente da regra do produto pela soma igual distribuio deuma combinao. Para compreender o significado fundamental do referidoenunciado, considere um conjunto (A) com (n) elementos:A = (a1, a2, a3, ..., an)De acordo com o referido enunciado, posso escrever que:Dn,(n-1) = (1/a1), (1/a2), (1/a3), ..., (1/an)Aplicando a regra do produto pela soma, posso escrever que: 117. LEANDRO BERTOLDOArtigos MatemticosDn,(n-1) [(a2, a3, ..., an), (a1, a3, ..., an), (a1, a2, ..., an), (a1, a2, a3,...)]/[(a1, a2, a3, ..., an)]E de acordo com o postulado bsico retro mencionado, o quocienteda regra do produto pela soma, representa a distribuio que defendoneste artigo [Dn,(n-1)], em uma combinao. Assim, posso escrever que:Dn,(n-1) = (a2, a3, ..., an), (a1, a3, ..., an), (a1, a2, ..., an