Árvore AVL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS

FACULDADE DE TECNOLOGIA

ENGENHARIA DA COMPUTAO

ALGORITMO E ESTRUTURA DE DADOS II

RVORE AVL

Manaus AM

2014

1

AMANDA PGO DE PAULA - 21354614

JOELINE DUTRA DA SILVA - 21353194

REBECA NUNES RODRIGUES - 21350689

RVORE AVL

Manaus AM

2014

Esse trabalho foi solicitado

como forma de obteno de

nota parcial para a disciplina

Algoritmo e Estrutura de Dados

II, ministrado pelo Prof. Edson

Nascimento.

2

SUMRIO

NDICE DE ILUSTRAES ........................................................................................ 3

INTRODUO ............................................................................................................ 5

1. O QUE UMA RVORE AVL ................................................................................. 6

2. FATOR DE BALANCEAMENTO ............................................................................. 7

3. ESTRUTURA DE DADOS ....................................................................................... 9

4. ROTAES .......................................................................................................... 11

4.1. Rotao simples para a direita ........................................................................ 11

4.1.1. Como funciona .......................................................................................... 11

4.1.2. Passo a passo .......................................................................................... 12

4.2. Rotao simples para a esquerda ................................................................... 14

4.2.1. Como funciona .......................................................................................... 14

4.2.2. Passo a passo .......................................................................................... 15

4.3. Rotao dupla direita-esquerda ...................................................................... 17

4.3.1. Como funciona .......................................................................................... 17

4.3.2. Passo a passo .......................................................................................... 18

4.4. Rotao dupla esquerda-direita ...................................................................... 21

4.3.1. Como funciona .......................................................................................... 21

4.3.2. Passo a passo .......................................................................................... 22

5. BUSCA EM UMA RVORE AVL ........................................................................... 26

6. INSERO EM UMA RVORE AVL .................................................................... 27

7. REMOO EM UMA RVORE AVL ..................................................................... 29

8. IMPRESSO EM UMA RVORE AVL .................................................................. 30

8.1. Imprimir todas as chaves ................................................................................ 30

8.2. Imprimir em ordem crescente.......................................................................... 30

8.3. Imprimir em ordem decrescente ...................................................................... 31

CONCLUSO ............................................................................................................ 32

REFERNCIAS ......................................................................................................... 33

3

NDICE DE ILUSTRAES

Figura 1: rvore AVL com lado esquerdo maior.......................................................... 7

Figura 2: rvore AVL com lado direito maior. .............................................................. 7

Figura 3: rvores AVL desbalanceadas. ..................................................................... 8

Figura 4: Insero em AVL e FB aps a insero. .................................................... 11

Figura 5: Rotao simples para direita na AVL. ........................................................ 12

Figura 6: Passo 1 da rotao para direita. ................................................................ 12




Figura 10: Antes e depois da rotao para direita. .................................................... 14

Figura 11: Insero em AVL e FB. ............................................................................ 14

Figura 12: Rotao simples para esquerda na AVL. ................................................. 15

Figura 13: Passo 1 da rotao para esquerda. ......................................................... 15




Figura 17: Antes e depois da rotao para esquerda. ............................................... 17


Figura 19: Primeira parte da rotao dupla Direita-Esquerda - Rotao esquerda.

.................................................................................................................................. 18

Figura 20: Segunda parte da rotao dupla Direita-Esquerda - Rotao direita .... 18

Figura 21: Passo 1 da rotao Direita-Esquerda. ...................................................... 18






Figura 27: Antes e depois da rotao dupla Direita-Esquerda. ................................. 21


Figura 29: Primeira parte da rotao dupla Esquerda-Direita - Rotao direita. .... 22

4

Figura 30: Segunda parte da rotao dupla Esquerda-Direita - Rotao esquerda.

.................................................................................................................................. 22

Figura 31: Passo 1 da rotao Esquerda-Direita. ...................................................... 22






Figura 37: Antes e depois da rotao dupla Esquerda-Direita. ................................. 25

5

INTRODUO

Eficincia algo que todos procuram em algoritmos, porm no algo fcil de

obter. s vezes, um cdigo eficiente para busca pode ter um tempo muito alto na

hora de remover um item. A rvore binria de busca (ABB) eficiente na busca, mas

conforme dados vo sendo inseridos e/ou removidos, seu sistema de busca acaba

no sendo to eficiente quanto em uma rvore binria considerada equilibrada.

Uma rvore equilibrada tem o tamanho do lado esquerdo e lado direito, a

partir de sua raiz, muito parecidos. Para que a ABB fique equilibrada, necessrio

um balanceamento esttico: criar uma nova rvore e inserir os dados da rvore

desequilibrada e ento apaga-la. Todo esse processo custa muito tempo.

A rvore de Adelson-Velsky e Landis (AVL) prope uma mudana s rvores

estticas. Elas so rvores dinmicas, ou seja, o seu balanceamento (a busca por

seu equilibrio) feito dentro da rvore aps a insero ou remoo de dados.

6

1. O QUE UMA RVORE AVL

Os matemticos soviticos Georgy Adelson-Velsky e Evgenii Landis

publicaram em Algoritmos para organizao de informao, em 1962, a proposta

de uma rvore que fosse balanceada dinamicamente.

Essa rvore, conforme dados fossem inseridos e removidos, iria se balancear

automaticamente. Com isso, a rvore sempre teria uma complexidade baixa.

O fator principal da AVL o balanceamento, que traz equilbrio a rvore. Se

ela est maior para um lado do que para o outro, dependendo de seu tipo, pode no

estar em equilbrio. O balanceamento feito por rotaes, que podem ser simples

ou duplas, para a direita ou para a esquerda.

A complexidade da rvore AVL, em notao O, :

Mdia Pior Caso

Espao n n

Busca Log n Log n

Insero Log n Log n

Remoo Log n Log n

Tabela 1: Complexidade da AVL em notao O.

7

2. FATOR DE BALANCEAMENTO

O fator de balanceamento o que o computador utiliza para verificar o nvel de

equilbrio da rvore AVL. Enquanto para ns algo visual, a mquina apenas

processa dados, logo o fator de balanceamento se torna necessrio.

Para ser considerada uma rvore AVL equilibrada, o fator de balanceamento tem

que ser 1, 0 ou -1. Ao inserir um dado, ele se torna uma folha, cujo fator de

balanceamento sempre 0.

Para calcular o fator de balanceamento, necessrio saber a altura da sub-

rvore esquerda (sae) e da sub-rvore direita (sad). O fator pode ser calculado de

duas maneiras:

FB = h(sad)-h(sae)

Figura 1: rvore AVL com lado esquerdo maior.

FB = h(sae)-h(sad)

0

-1

+1

0

Figura 2: rvore AVL com lado direito maior.

8

Uma rvore AVL desequilibrada, ou desbalanceada, ir ter o fator de

balanceamento menor que -1 ou maior que 1, como nos exemplos abaixo:

0

+2

+2

-1

0

-2

-4

-2

0

-1

0

Figura 3: rvores AVL desbalanceadas.

9

3. ESTRUTURA DE DADOS

A estrutura de uma arvore AVL bem semelhante a estrutura de uma arvore

binria de busca. As diferenas ficam por conta das informaes que contribuiro

para que a arvore passe por balenceamento. Assim, um n de uma AVL pode ser:

typedef struct no {

int chave;

int fb;

struct no *Pai; //Opcional

struct no *FilhoEsquerdo;

struct no*FilhoDireito;

} no;

Onde fb representa a varivel que armazena o valor do fator de

balanceamento do n.

Outra forma de implementar esta estrutura :

typedef struct arvore{

int info;

struct arvore *dir, *esq;

int altura; //Altura mxima entre a altura das sub-rvores esquerda e

direita

}AVL;

10

A altura da maior das sub-rvores declarada na estrutura, de forma que o

fator de balanceamento calculado a partir dessas informaes e no precisa ser

constantemente atualizado dentro da prpria estrutura.

11

4. ROTAES

Rotaes so as operaes que permitem o rebalanceamento das rvores

AVL. As rotaes alteram a posio dos ns envolvidos em seu processo. Existem

quatro tipos de rotao:

Rotao simples direita

Rotao simples esquerda

Rotao dupla esquerda ou rotao direita-esquerda

Rotao dupla direita ou rotao esquerda-direita

4.1. Rotao simples para a direita

4.1.1. Como funciona

Abaixo se percebe uma situao em que uma rvore balanceada recebe um

novo n. Ocorre desbalanceamento para o n C cujo fator de balanceamento passa

de -1 para -2, sendo necessrio uma rotao.

Sabe-se que a rotao deve ser para a direita, pois o ramo mais pesado da

rvore o esquerdo como indica o sinal negativo do FB de C.

Figura 4: Insero em AVL e FB aps a insero.

Insere a

a

c

b

FB(a)=0 FB(b)=-1 FB(c)=-2

c

b

12

Balanceando:

Figura 5: Rotao simples para direita na AVL.

A rotao torna B o pai de A e C e balanceia a rvore.

4.1.2. Passo a passo

Endereos de B e C so guardados em

variveis auxiliares. Note que os filhos esquerdos de B

e C apontam para NULO.

O filho esquerdo de C passa a receber o filho

direito de B.

c a

b

a

c

b

Rotaciona FB(a)=0 FB(c)=0 FB(b)=0

a

c

b

AuxC

AuxB

a

c b

AuxC

AuxB

Figura 6: Passo 1 da rotao para direita.


13

O filho direito de B passa a ser C.

O AuxC que indica incio da rvore

aponta para B.

B agora raiz.

Em linhas gerais, a partir do exemplo tem-se o pseudocdigo:

Ap = P; //Pai guardado em varivel que indica raiz da rvore

Af = Ap->FilhoEsquerdo; //(F) Filho Esquerdo guardado em varivel auxiliar

Ap->FilhoEsquerdo = Af->FilhoDireito;

Af->FilhoDireito = Ap; //Pai torna-se filho

a

c b

AuxC

AuxB

a c

b

AuxC AuxB



14

Ap = Af; //Filho torna-se raiz da rvore

Figura 10: Antes e depois da rotao para direita.

4.2. Rotao simples para a esquerda


Assim como no exemplo para Rotao simples, na imagem abaixo ocorre o

desbalanceamento da rvore aps a insero de um elemento.

Neste caso a rotao deve ser para a esquerda, pois o ramo mais pesado da

rvore o direito como indica o sinal positivo do FB de A.

Figura 11: Insero em AVL e FB.

a

b

Insere c

c

a

b

FB(c)=0 FB(b)=+1 FB(a)=+2

P

F

P

F

15

Balanceando:

Figura 12: Rotao simples para esquerda na AVL.

A rvore fica balanceada com a rotao.


O primeiro passo o mesmo do da rotao para a

direita: endereos de B e C so guardados em variveis

auxiliares.

O filho direito de A passa a receber o filho

esquerdo de B.

c a

b

c

a

b

Rotaciona

FB(a)=0 FB(c)=0 FB(b)=0

c

a

b

AuxB

AuxA

c

a b

AuxB AuxA

Figura 13: Passo 1 da rotao para esquerda.


16

O filho esquerdo de B passa a ser A.

O AuxA que indica incio da rvore aponta

para B.

B agora raiz.

O pseudocdigo para rotao esquerda ento:

Ap = P;

Af = Ap->FilhoDireito; //(F)

Ap->FilhoDireito= Af->FilhoEsquerdo;

Af->FilhoEsquerdo = Ap;

Ap = Af;

c

a b

AuxB AuxA

c a

b

AuxB AuxA



17

Figura 17: Antes e depois da rotao para esquerda.

4.3. Rotao dupla direita-esquerda


A insero de B desbalanceia a rvore tornando o ramo esquerdo mais

pesado.

Desta vez, a rotao da sub-rvore(filho) deve ser esquerda. Abaixo, pode-

se ver que em relao a A, o ramo direito pesa mais. A rotao seguinte, aplicada

rvore (pai), deve ser direita.


O primeiro passo do balanceamento a rotao esquerda da sub-rvore:

Insere b

FB(b)=0 FB(a)=+1 FB(c)=-2

c

a

b

c

a

P

F

P

F

18

Figura 19: Primeira parte da rotao dupla Direita-Esquerda - Rotao esquerda.

Tem-se ento uma rvore como a vista em rotao para a direita:

Figura 20: Segunda parte da rotao dupla Direita-Esquerda - Rotao direita

A rvore est ento balanceada com B por raiz.


Variveis guardam os endereos de C

(pai), A (filho) e B (neto).

c a

b Rotao para a direita

FB(a)=0 FB(c)=0 FB(b)=0

a

c

b

FB(c)=0 FB(b)=-1 FB(a)=-2

b

a

a

b

Resultando Rotao para a esquerda

a

c

b

b

c

a

AuxC

AuxA

AuxB

Figura 21: Passo 1 da rotao Direita-Esquerda.

19

Filho direito de A aponta para filho

esquerdo de B.

Filho direito de B aponta para A.

Filho direito de C aponta para

filho esquerdo de B.

b

c

a

AuxC

AuxA

AuxB

b

c

a

AuxC

AuxA

AuxB

b

c

a

AuxC AuxA AuxB




20

Filho esquerdo de B passa a

ser C.

O AuxA que indica incio da rvore

aponta para B.

B agora raiz.

Pseudocdigo:

Ap = P;

Af = Ap->FilhoEsquerdo; //(F)

An = Af->FilhoDireito; //(N)

Af->FilhoDireito = An->FilhoEsquerdo;

An->FilhoEsquerdo = Af;

Ap->FilhoEsquerdo = An->FilhoDireito;

An->FilhoDireito = Ap;

b

c

a

AuxC AuxA

AuxB

b

c a

AuxC

AuxA AuxB



21

Ap = An;

Figura 27: Antes e depois da rotao dupla Direita-Esquerda.

4.4. Rotao dupla esquerda-direita


A insero de B desbalanceia a rvore tornando o ramo direito mais pesado.

Repare que o fator de balanceamento da rvore tem sinal oposto ao da sub-

rvore (filho), isto indica rotao dupla.

A rotao dupla trata-se de duas rotaes seguidas de sentido oposto. A

primeira rotao aplicada sub-rvore e a segunda rvore.

A rotao da sub-rvore(filho) deve ser direita. No exemplo a seguir, pode-

se ver que em relao a C, o ramo esquerdo pesa mais.

A rotao seguinte, aplicada rvore, deve ser esquerda.


a

c

Insere b

b

a

c

FB(b)=0 FB(c)=-1 FB(a)=+2

N

P

F

N

P F

22

O primeiro passo do balanceamento a rotao direita da sub-rvore:

Figura 29: Primeira parte da rotao dupla Esquerda-Direita - Rotao direita.

Tem-se ento uma rvore como a vista em rotao para esquerda:

Figura 30: Segunda parte da rotao dupla Esquerda-Direita - Rotao esquerda.

A rvore est ento balanceada com B por raiz.


Variveis guardam os endereos de A

(pai), C (filho) e B (neto).

c a

b

c

a

b

Rotao para

esquerda

FB(a)=0 FB(c)=0 FB(b)=0

FB(c)=0 FB(b)=+1 FB(a)=+2

c

b

b

c

Resultando

c

a

b Rotao para a direita

b

a

c

AuxC AuxA

AuxB

Figura 31: Passo 1 da rotao Esquerda-Direita.

23

Filho esquerdo de C aponta para filho

direito de B.

Filho direito de B aponta para C.

Filho direito de A aponta para filho

esquerdo de B.

b

a

c

AuxC AuxA

AuxB

b

a

c

AuxC AuxA

AuxB

b

a

c

AuxC

AuxA

AuxB




24

Filho esquerdo de B passa a ser A.

O AuxA que indica incio da rvore

aponta para B.

B agora raiz.

Pseudocdigo:

Ap = P;

Af = Ap->FilhoDireito; (F)

An = Af->FilhoEsquerdo; (N)

Af->FilhoEsquerdo = An->FilhoDireito;

An->FilhoDireito = Af;

Ap->FilhoDireito = An->FilhoEsquerdo;

An->FilhoEsquerdo = Ap;

b

a c

AuxC

AuxA

AuxB

b

a c

AuxC

AuxA

AuxB



25

Ap = An;

Figura 37: Antes e depois da rotao dupla Esquerda-Direita.

N

P

F

N

P F

26

5. BUSCA EM UMA RVORE AVL

A Busca em uma AVL ocorre tal qual em uma rvore Binria de Busca. A

razo disto que a busca no depender da Altura da rvore. Uma rvore binria de

busca T uma rvore de deciso, onde a pergunta feita ao n v se a chave k

menor, igual ou maior que a chave armazenada v. O pseudocdigo ficaria como:

Algoritmo BuscaArvore (k,v):

Entrada: Uma chave de busca k e um n v de uma arvore binria de busca T.

Sada: Um n w da subarvore T(v) da raiz T em v, tal que w um n interno

que armazena k ou w um n externo encontrado na travessia InOrder de T(v)

depois de todos os ns internos com chaves menores que k e antes de todos os ns

internos com chaves maiores que k.

IF v um n externo ento

Retorne v

IF k = chave (v) ento

Retorne v

Seno, se k chave (v)}

Retorne BuscaArvore (k, T.FilhoDireito (v))

27

6. INSERO EM UMA RVORE AVL

Insero em uma rvore AVL deve ser dada pela insero do nodo seguida

de uma verificao na propriedade do fator de balanceamento. Caso no obedea a

essa propriedade, deve-se fazer uma rotao conveniente.

Suponha que uma rvore T AVL e que um novo n X seja inserido em T

causando um desbalanceamento na rvore. A fim de mantermos a rvore T como

AVL, precisamos de um rebalanceamento dos ns. Este rebalanceamento

realizado atravs de rotaes no primeiro ancestral de X cujo fator de

balanceamento torna-se 2. Seja A o primeiro ancestral de X cujo fator de

balanceamento torna-se 2 aps a incluso de um novo elemento.

Rotao (LL): O novo n X inserido na sub-rvore da esquerda do filho

esquerdo de A;

Rotao (LR): X inserido na sub-rvore da direita do filho esquerdo de A;

Rotao (RR): X inserido na sub-rvore da direita do filho direito de A;

Rotao (RL): X inserido na sub-rvore da esquerda do filho direito de A.

Para inserir um n X em uma rvore AVL, basta os seguintes passos:

1. Inserir X na rvore AVL usando o mesmo algoritmo de insero de um n em

uma rvore de busca binria. Recursivamente, empilhar cada n que

visitado a partir do n raiz at X, exceto o prprio X;

2. Verificar se a pilha est vazia:

Se sim, o algoritmo termina.

Seno, seguir para o passo (3).

3. Desempilhar um n e verificar se a diferena de altura entre a sub-rvore da

esquerda e da direita desse n maior que 1.

Se sim, voltar para o passo (2).

28

Seno, ser necessrio rotacionar os ns. Depois de realizada a rotao,

o algoritmo termina.

Nota-se que a operao de incluso pode ser realizada em tempo O(lg(n)).

Aps as rotaes, a rvore possui a mesma altura que antes da incluso do novo

elemento, logo os fatores de balanceamento dos elementos que no esto

envolvidos nas rotaes no mudam.

29

7. REMOO EM UMA RVORE AVL

A remoo deve ser dada por uma rotao em torno do n a ser removido, a

fim de torn-lo folha para que ento possa ser removido. Em alguns casos, aps a

remoo so necessrias rotaes para ajustar o fator de balanceamento.

Para remover um n s de uma rvore AVL, basta seguir os seguintes passos:

1. Remover X da rvore AVL usando o mesmo algoritmo de remoo de um n

em uma rvore de busca binria. Recursivamente, empilhar cada n que

visitado a partir do n raiz at o n X, incluindo-o;

2. Verificar se a pilha est vazia

Se sim, o algoritmo termina.

Seno, seguir para o passo (3).

3. Desempilhar um n e verificar se a diferena de altura entre a sub-rvore da

esquerda e da direita desse n maior que 1.

Se sim, ser necessrio rotacionar os ns. Dependendo do tipo de rotao

realizada, o algoritmo pode no terminar aqui. Se ele no terminar, voltar

para o passo (2).

Seno, v para o passo (2).

Nota-se que a operao de remoo pode ser realizada em tempo O(lg(n)).

Na remoo de um elemento em uma rvore AVL, pode haver a necessidade de

realizar mais de duas rotaes (o que no acontece na insero), podendo se

estender para uma rotao em cada nvel (O(log(n))) no pior caso.

30

8. IMPRESSO EM UMA RVORE AVL

Tal qual a busca, na rvore AVL o mtodo para impresso dos dados o

mesmo de uma rvore Binria de Busca.

8.1. Imprimir todas as chaves

Algoritmo Imprime(*R):

Entrada: referncia de uma rvore AVL R.

Sada: Trata-se um procedimento. Sero impressos todos os ns em Pr-

Ordem, ou seja, primeiro a raiz e depois as subrvores. Outra forma de expressar a

ordem de processamento dos ns pode ser: r-e-d (raiz, subrvore esquerda,

subrvores direita).

IF R diferente de NULL ento

Escreve (R.chave) //imprime a chave da raiz com printf, por exemplo

Imprime (R.FilhoEsquerdo) //imprime chaves da subrvore esquerda

Imprime (R.FilhoDireito) // imprime chaves da subrvore direita

8.2. Imprimir em ordem crescente



Sada: Trata-se um procedimento. Sero impressas primeiramente todas as

chaves da subrvore esquerda, depois a chave da raiz, e por fim as chaves da

subrvore direita. Este tipo de percurso dos ns de uma rvore se chama In-Ordem,

ou seja, raiz no meio (in) das subrvores.

31





8.3. Imprimir em ordem decrescente



Sada: Trata-se de um procedimento. Sero impressas primeiramente todas

as chaves da subrvore direita, depois a chave da raiz e depois as chaves da

subrvore esquerda.





32

CONCLUSO

A rvore AVL considerada uma das mais eficientes, em questo da

complexidade, quando comparada a outros tipos de rvores. So utilizadas em

redes de comunicao e na codificao para compactao de arquivos.

Nas redes de comunicao, os dados so fragmentados e enviados vrias

vezes. Pode ocorrer do pacote de dados no chegar inteiro ao destino ou de ter

dados que j foram recebidos. Por utilizar uma rvore binria, fcil pesquisar e ter

acesso aos dados recebidos e inseri-los a lista. Ao utilizar uma AVL, fica garantida

uma maior rapidez ao acesso de dados.

A principal codificao que utiliza conceitos de rvores binrias conhecida

como Algoritmo de Huffman, que armazena letras e a quantidade delas. Com a

rvore binria fica fcil diminuir a quantidade antes necessria do arquivo.

Mas ainda assim, a rvore AVL pode acabar sendo custosa devido

necessidade de rotaes para o balanceamento da rvore. Quando maior for a

rvore, mais rotaes sero necessrias para poder chegar ao ponto de remover um

dado, e ainda mais rotaes para equilibr-la novamente.

33

REFERNCIAS

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http://www.passeidireto.com/arquivo/1012626/aula-5_arvore-avl. Acesso em 14 de

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http://professor.ufabc.edu.br/~leticia.bueno/classes/aed2/materiais/avl.pdf. Acesso

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Árvore AVL

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