Árvore Rubro-Negra

Organização e Recuperação da Informação

Grupo: Osmir – Valmor – Victor

Tópicos Abordados

Introdução Propriedades principais Conceitos Definição básica da estrutura Inserção Remoção Comparação entre tipos de árvores

Introdução

Inventada em 1972, 10 anos depois da AVL por Rudolf Bayer, sob o nome B-árvores binárias simétricas

Adquirindo em 1978 seu atual nome, por Leo J. Guibas and Robert Sedgewick

Árvore rubro-negra (do inglês Red-Black trees)

Árvore Rubro-Negra

A árvore rubro-negra tem esse nome devido a “coloração” de seus nós

Uma árvore rubro negra (ARN) é uma árvore binária de busca com um campo adicional que armazena se o nó é rubro ou negro

O fato de um nó ser rubro ou negro é usado como fator de balanceamento da ARN

Propriedades

1 - Cada nó tem uma cor que é rubro ou negro. Por convenção, uma árvore não vazia (ou subárvore) tem a cor de sua raiz e uma árvore vazia é negra

2 - A raiz é negra 3 - Qualquer caminho da raiz até uma subárvore

vazia tem um número igual de nós negros 4 - As subárvores de um nó rubro são sempre

negras

-> Propriedade óbvia resultando da quarta condição é que num caminho da raiz até uma subárvore vazia não pode haver dois nós rubros consecutivos

Conceitos

(Altura negra) A altura negra de uma árvore rubro-negra A, denotada an(A) é o número de nós negros que se encontram nos caminhos da raiz até uma folha.

Observe que, pela terceira condição da definição de árvore rubro-negra, esse número é bem definido. No caso da árvore acima, a altura negra é 3

47

32

5

15

40

68

60 88

54 61 75 90

50

Conceitos

A altura de qualquer árvore rubro-negra é logarítmica no número de chaves armazenadas

A busca nas árvores rubro-negra tem complexidade logarítmica.

Uma ARN impede que uma subárvore fique com o dobro da altura da outra subárvore de um nó.

Definição do nó

Estrutura interna de um nó

Chave Cor(Rubro ou Negra)

Ptr Esquerda Ptr Direita

Definição dos tipos

class ARN{ Private: typedef enum {RUBRO, NEGRO} cor; typedef struct no *ptr; struct no { t chave; ptr esq; ptr dir; cor tipo; }; ptr raiz; Public: // métodos...}

Inserção

Todo nó a ser inserido por convenção é rubro (pois se fosse negro não seguiria a propriedade 3)

Se após a inserção for quebrada qualquer propriedade da ARN devem ser feitas rotações e/ou inversão de cores dos nós para que sejam satisfeitas todas as propriedades

As regras de inserção levam em consideração a cor do “tio” (o outro filho do pai do nó que recebeu o novo nó) do nó inserido

Casos

Se t for rubro: o pai de t torna-se rubro e, os filhos de w tornam-se negros. Caso w seja a raiz, basta trocar sua cor para negro

w

v

q

t

“tio”

φ π

ω Ω Φ

w

v

q

t

φ π

ω Ω Φ

w

v

q

t

φ π

ω Ω Φ

w

v

q

t

φ π

ω Ω Φ

raiz

Se t for rubro: o pai de t torna-se rubro e, os filhos de w tornam-se negros. Caso w seja a raiz, basta trocar sua cor para negro

Casos

Se t for negro: neste caso faz-se uma operação de rotação e, se necessário, uma inversão de cores. Há 4 subcasos a considerar:

w

v

q

t

φ π

ω Ω Φ

1º Subcaso

Se q é filho esquerdo de v e v é filho esquerdo de w é realizada uma rotação simples a direita e as cores de v e w são invertidas.

w

v

qΩ

ω

πφ

( Antes )

v

q

πφ

w

Ωω

( Depois )

2º Subcaso

Se q é filho direito de v e v é filho esquerdo de w é realizada uma rotação dupla a direita e as cores de q e w são invertidas.

w

v

qΩ

ω

πφ

( Antes )

q

v

φω

w

Ωπ

( Depois )

3º e 4º Subcasos

Os outros dois subcasos são simétricos aos dois subcasos anteriores

Inserção

A complexidade da inserção, que é a da inserção em árvore binária de busca, é logarítmica

O pior caso da fase de balanceamento é se tiver que aplicar a inversão de cores até a raiz

Como o tamanho do caminho da raiz até qualquer folha é logarítmico, o número de operações também é logarítmico

Em conclusão, a complexidade da inserção em árvores rubro-negras é logarítmica

Boolean Inserir (const int chave, ptr & filho, ptr & pai, ptr &avo) { if (filho == NULL) { filho = criar(chave); return true; } else if (chave != filho->chave) { boolean e; if (chave < filho->chave)

e = Inserir(chave, filho->esq, filho, pai); else e = Inserir(chave, filho->dir, filho, pai); if (eh_rubro(filho)) if (e) if (chave < filho->chave)

{ Remanejar(filho->esq, filho, pai) ; return false; }

else { Remanejar(filho->dir, filho, pai);

return false; } else return true;

else return false; } else

return eh_rubro(filho);}

Inserção

Animação de uma Árvore Rubro-Negra

Applet (ARN) - Inserção

Remoção

A remoção em árvores rubro-negras pode ser realizada também com um número logarítmico de operações

O procedimento de remoção é composto de uma etapa de remoção em árvore binária de busca seguido de uma etapa de balanceamento, caso as propriedades rubro-negras teriam sido destruídas durante a operação

Remoção

Se o nó removido for rubro, a árvore continua rubro-negra, pois todas as condições da definição ficam válidas:

– 1. Os nós resultantes tem cor rubro ou negro– 2. A raiz, que era negra, não foi removida– 3. Nenhum nó negro foi removido, portanto todos os

caminhos da raiz até uma folha tem um número igual de nós negros

– 4. Os filhos de todos os nós rubros não removidos não foram alterados e portanto ficam negros

Remoção

Se o nó removido for negro, o número de nós de pelo menos um caminho foi decrementado e consequentemente a terceira condição ficou inválida. Quando isto acontece, dois tipos de solução são possíveis:

– remoção preguiçosa- A remoção preguiçosa consiste em marcar o nó como removido, mas sem tira-lo da árvore. Nenhum remanejamento é necessário. Em compensação, os algoritmos de inserção e busca devem ser modificados para levar em conta que alguns nós da árvore devem ser considerados como ausentes. A adoção desta solução é possível quando as árvores rubro-negras são usadas no contexto de uma aplicação com poucas operações de remoção

– remoção efetiva - Através de um número logarítmico de operações, a remoção efetiva restabelece as propriedades para que a árvore seja rubro-negra. Essas operações são detalhadas em seguida

Remoção Efetiva

Caso o nó y a ser removido for rubro, as propriedades da ARN não são afetadas.

v

y

qΩ

ω

xφ

( Antes )

v

x

qΩ

ω

φ

( Depois )

Remoção Efetiva

Quando o nó a remover y é negro, todos os caminhos da raiz até uma folha passando por esse nó tem um nó negro a menos. Seja x o nó que passar a ocupar a posição de y na árvore. O problema da remoção efetiva é resolvido atribuindo negro a cor de x. Assim permanece igual a altura negra de todos os caminhos contendo x, antes e depois da inserção.

v

y

qΩ

ω

xφ

( Antes )

v

x

qΩ

ω

φ

( Depois )

Remoção Efetiva

Porém, se x já era negro, ele agora passa a ser duas vezes negro, o que torna inválida a definição da ARN, e é preciso remanejar a árvore para eliminar essa situação.

No caso de x ser a raiz, então basta torná-lo simplesmente negro: a altura negra de todos os caminhos da árvore e decrementada, e a terceira condição permanece verdadeira.

x não sendo a raiz, seja v seu pai, e w seu irmão. A seguir é considerado o caso de x ser o filho, o outro caso simétrico é omitido.

1º Subcaso – Remoção Efetiva

O primeiro caso, ilustrado abaixo considera a situação onde w é rubro. Nesta situação, é realizada uma rotação simples a esquerda de v, e as cores de v e w são modificadas.

O resultado desta modificação é que x permanece duplamente negro. Porém, o seu irmão agora também é negro, e o tratamento de um dos casos apresentados a seguir deve ser aplicado.

w

v

φω

π

( Depois )

x

£€

v

w

φ

ω

π

( Antes )

x

£€

2º Subcaso – Remoção Efetiva

O segundo caso configura a situação onde ambas sub-árvores de w são negras e é ilustrado abaixo.

Este remanejamento consiste em subir um ponto negro dos nós x e w, que passam a ser negro e rubro respectivamente, no nó v. Se ele era anteriormente rubro, ele torna-se negro. Se ele era anteriormente negro, ele torna-se duplamente negro, e um novo remanejamento é necessário no nível superior.

w

φ

ω

π

( Antes )

x

£€

vc

w

φ

ω

π

( Depois )

x

£€

vc

3º Subcaso – Remoção Efetiva

No terceiro caso, ilustrado abaixo, a sub-árvore esquerda de w é rubra, e a direita é negra. Seja z o filho esquerdo de w. É então realizada uma rotação simples a direita de w, e uma inversão das cores de w e z.

O nó x permanece duplamente negro, mas configura-se agora uma situação diferente, onde a sub-árvore direita w é rubra, cujo tratamento é apresentado a seguir.

w

ω

Ω

( Antes )

x

£€

vc

z

φ π

z

ωφ

( Depois )

x

£€

vc

w

π Ω

4º Subcaso – Remoção Efetiva

O quarto e último caso corresponde portanto à situação onde a sub-árvore direita de w é rubra. Seja z o filho direito de w.

A solução consiste em fazer uma rotação simples a esquerda de v, atribuir aos nós v e z a cor negra, e a w a cor que era a de v.

w

ωφ

( Antes )

x

£€

vc

z

π Ω

z

φ

( Depois )

x

£€

wc

v

π Ω

Comparação entre árvores

ÁrvoreÁrvore AVLAVL Árvore BÁrvore B Rubro NegraRubro Negra

Fator debalanceamento

Cada nó possui um campo bal, que pode ser

0 (balanceada), 1 (desbalanceada a direita)

e -1 (desbalanceada a esquerda).

Total de chaves de umapágina (ordem-1).

Cada nó possui um campocor que pode ser rubro

ou negro.

Método debalanceamento

Se uma subárvore de um nóestiver 2 níveis maior que a

outra subárvore (bal = 1 ou -1) ocorre

uma rotação.

O nó que excede o númerode chaves é dividido em dois

novos nós (split).

Caso haja dois nós rubrosconsecutivos ou a quantidade

de nós negros até qualquerfolha não sejam iguais ocorre

uma rotação e, se precisotroca de cores.

Tolerância dedesbalanceamento

Uma subárvore pode estar 1nível maior que a outra

subárvore de um nó

Zero. Ela sempre estábalanceada.

Uma subárvore não pode estar 2 vezes maior quea outra subárvore de um nó.

CrescimentoDe cima pra baixo

(raiz folhas)De baixo pra cima

(folhas raiz)De cima pra baixo

(raiz folhas)

Bibliografia

http://en.wikipedia.org/wiki/Red-black_tree Árvores Balanceadas, David Déharbe,

Universidade Federal do Rio Grande do Norte