Árvores Binárias

7/13/2019 Árvores Binárias

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Prof. Carlos Caminha – [email protected]

• Árvores

mailto:[email protected]

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Árvores Organização dos dados:Linear:

Listas, pilhas, filas.

Relação sequencial.Não-linear:

Outros tipos de relação entre dados; Hierarquia; Árvores Grafos.



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Árvores

Estrutura não-linear que representa umarelação de hierarquiaExemplo:

Árvore de diretórios;Árvore genealógica.



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Árvores

Exemplo:



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Árvores

Aplicações de árvoresComposição da estrutura de um livro

Estrutura de Dados

Capítulo 11.1 Listas1.2 Pilha1.3 FilaCapítulo 22.1 Recursividade

2.1.1 HanoiCapítulo 33.1 Árvores3.2 Árvores binárias



Árvores

Aplicações de árvoresOrganograma de uma empresa

Presidência

Consultoria Diretoria A Diretoria B

Informática Jurídica



Árvores

Aplicações de árvoresRepresentação de expressõesaritméticas

• (a + (b * ( (c / d) - e) ) )



Árvores

Formas de representação:Hierárquica:



Árvores

Formas de representação:Diagrama de inclusão:



Árvores

Formas de representação:Representação por parênteses aninhados:

( A (B) ( C (D (G) (H)) (E) (F (I)) ) )



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Árvores

Caracterização de uma árvore:Composta por um conjunto de nósExiste um nó r, chamado nó raizEste nó contém zero ou mais sub-árvores, cujas raízes

são ligadas diretamente a rOs nós raízes das sub-árvores são ditos filhos do nópai r

“Nós” que não têm filhos são chamados de folhas

É tradicional desenhar as árvores com araiz para cima e folhas para baixo



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Árvores

CaracterísticasUm nó filho não pode ter dois pais.O filho não sabe quem é o pai.Este exemplo não é árvore! É um grafo.

Não éarvore!



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Árvores

Representação gráfica de uma árvore

raiz

A B C D…

Sub-árvores donó raiz

Filhos de CFilhos de A



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Árvores

O número de sub-árvores de um nó determina o “grau de saída“ desse nó. Ou seja, a quantidade defilhos.Grau Máximo, ou grau da árvoreMaior grau de seus nós.

Nós que não tem grau (grau == 0), sãodenominados de nó folhaPara identificar os nós de uma estrutura, usamos arelação de hierarquia existente em uma árvore

genealógicaFilho, pai, neto, irmão



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Árvores

NívelRepresenta a distância de um nó até a raizO nó de maior nível nos fornece a alturaSó existe um caminho da raiz para qualquer nó



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Árvores

Nível



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Árvores

Nível

nível 0

nível1

nível2

nível3

Altura da árvore que começa em A é 3



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Árvores

Floresta Conjunto de uma ou mais árvores.

Caminho

Percusso realizado para atingir algum nóconsiderando sempre a relação de pai e filhoentre eles.

Comprimento do caminho

Quantidade de nós percorridos no caminho.



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Árvores

Árvore Cheia Árvore com número máximo de nós.Uma árvore de grau d tem número máximo de

nós se cada nó, com exceção das folhas, temgrau d .

Exemplo:



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Árvores

ExercíciosPara a seguinte árvore:

a) Quais os nós folhas?b) Qual o grau de cada nó?c) Qual o grau da árvore?d) Liste os ancestrais dos nós B, G e I.e) Liste os descendentes do nó D.f) Dê o nível e altura do vértice F.g) Dê o nível e a altura do vértice A.h) Qual a altura da árvore ?



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Árvores

O número de filhos permitido por nó eas informações armazenadas em cadanó diferenciam os diversos tipos deárvores existentes.Tipos de árvores:

Binárias; B;

AVL; Vermelho e Preta; outras...



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Árvores Binárias

DefiniçãoTipo de árvore em que seus nós possuem nomáximo duas sub-árvoresÁrvore de grau máximo igual a 2

As duas sub-árvores de cada nó sãodenominadas: sub-árvore esquerda sub-árvore direita

Árvore binária completaÁrvore em que cada nó possui dois filhos, excetoo nó folha.



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IlustraçãoA

B C

D E F

G

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Raízes das sub-árvores

Raiz

Esquerda Direita

Grau máximo: 02

Folhas



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Árvores Binárias

Representação em CComo poderíamos definir a estrutura de dadospara representar uma árvore binária?



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Árvores Binárias

Representação em CComo poderíamos definir a estrutura de dadospara representar uma árvore binária?

dado

Filho esquerdo Filho direitonó

typedef struct no {

struct no * esq;t_elemento dado;struct no * dir;

} t_no;



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Árvores Binárias

Representação em C (cont.)A maioria das funções de manipulação de árvoressão implementadas de forma recursivaQue operações serão necessárias?Criação/Iniciliazação da árvoreCria nó raizÁrvore vazia

Imprimir a árvoreInserir filho esquerdoInserir filho direitoRemover um determinado nó



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ConsideraçõesUma árvore é representada pelo endereço do nóraizUma árvore vazia é representada pelo valor NULL

Algoritmos em CEstrutura da árvoreInicializaçãoCriação de nós

Criação de filhos esquerdo e direitoDeslocamento para o filho esquerdo ou direitoImpressão (exibição) da árvorePesquisa



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PercursoUm percurso define a ordem em que os nós deuma árvore serão processados

Tipos de percurso:Pré-ordemUtiliza o nóPercorre a sub-árvore esquerdaPercorre a sub-árvore direita

In-ordemPercorre a sub-árvore esquerdaUtiliza o nóPercorre a sub-árvore direita



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Tipos de percurso:Pós-ordemPercorre a sub-árvore esquerdaPercorre a sub-árvore direitaUtiliza o nó

A

B C

D E GF



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Tipos de percurso:

A

B C

D E GF

Pré-ordem:

In-ordemPós-ordem

ABDECFG

DBEAFCGDEBFGCA



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Implementação? – Recursividade – Assim como as filas recursivas



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Implementação em C – Pré-ordem:void exibirPreOrdem(t_arvore tree){

if (tree!=NULL) {

printf("%s ", tree->dado.nome);exibirPreOrdem(tree->esq);exibirPreOrdem(tree->dir);

}}



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Implementação em C – In-ordemvoid exibirInOrdem(t_arvore tree){

if (tree!=NULL) {

exibirInOrdem(tree->esq);printf("%s ", tree->dado.nome);exibirInOrdem(tree->dir);

}}



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Implementação em C – Pós-ordemvoid exibirPosOrdem(t_arvore tree){

if (tree!=NULL) {

exibirPosOrdem(tree->esq);exibirPosOrdem(tree->dir);printf("%s ", tree->dado.nome);

}}



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Implementação não-recursiva in-ordemvoid inordem_ (arvore arv) {

pilha p;arvore aux;criapilha(&p);aux = arv;

if (vazia(arv)) return;do {

while (aux != NULL) {empilha(&p, aux);aux = (aux->esq);}if (!pilhavazia(p)) {

desempilha(&p, &aux);printf("%d ", aux->dado);aux = (aux->dir);

}} while (!(pilhavazia(p) && aux == NULL));

}

void inordem(arvore arv) {if (!vazia(arv)) {

inordem(arv->esq);printf("%d", arv->info);inordem(arv->dir);

}}



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A função in-ordem recursivaexecutará muito mais rapidamente quesua correspondente iterativa,

contrariando o conceito de querecursividade é mais lenta que aiteração.

Isso porque a procedure iterativa fazchamadas às operações pilhavazia(),empilha() e desempilha()



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Implementação:



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Estrutura: // Tipo base dos elementos da arvoretypedef struct elementos {

char nome[100];} t_elemento;

typedef struct no {struct no * esq;t_elemento dado;struct no * dir;

} t_no;

typedef t_no* t_arvore;



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Criar: // Cria um no vaziot_no * criar ()

{t_no * no = (t_no*) malloc(sizeof(t_no));

if (no)no->esq = no->dir = NULL;

return no;}



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Vazia?: // isVazia - testa se um no eh vazioint isVazia (t_no * no){

return (no == NULL);

}



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Busca por determinado elemento:t_no * busca(t_arvore tree, t_elemento dado){

t_no* achou;if (tree == NULL)

return NULL;if (compara(tree->dado, dado)==0)

return tree;

achou = busca(tree->esq, dado);

if (achou == NULL)

achou = busca(tree->dir, dado);

return achou;}



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Insere a raiz // Insere um noh raiz numa arvore vazia. Retorna 1 se a insercao for bem sucedida, ou0 caso contrario.int insereRaiz(t_arvore* tree, t_elemento dado){

t_no* novo;if (*tree != NULL)return 0; // erro: ja existe raiz

novo = criar();if (novo == NULL)

return 0; // erro: memoria insuficientenovo->dado = dado;

*tree = novo;return 1;

}



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Insere a Direita: // Inserir um filho aa direita de um dado noh

int insereDireita(t_arvore tree, t_elemento pai, t_elemento filho)

{

t_no * f, *p, *novo;

// verifica se o elemento ja nao existe

f = busca(tree,filho);

if (f != NULL)return 0; // erro: dado ja existente

// busca o pai e verifica se ja nao possui filho direitop = busca(tree,pai);

if (p == NULL)

return 0; // erro: pai nao encontradoif (p->dir != NULL) return 0; // erro: ja existe filho direito

novo = criar();

if (novo == NULL)

return 0; // erro: memoria insuficiente

novo->dado = filho;p->dir = novo;

return 1;}



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Insere a Esquerda: // Inserir um filho aa direita de um dado noh

int insereEsquerda(t_arvore tree, t_elemento pai, t_elemento filho)

{

t_no * f, *p, *novo;

// verifica se o elemento ja nao existe

f = busca(tree,filho);

if (f != NULL)return 0; // erro: dado ja existente

// busca o pai e verifica se ja nao possui filho direitop = busca(tree,pai);

if (p == NULL)

return 0; // erro: pai nao encontradoif (p->esq != NULL) return 0; // erro: ja existe filho direito

novo = criar();

if (novo == NULL)

return 0; // erro: memoria insuficiente

novo->dado = filho;p->esq = novo;

return 1;}



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Exibir:void exibirPreOrdem(t_arvore tree) {

if (tree!=NULL) {

printf("%s ", tree->dado.nome);

exibirPreOrdem(tree->esq);

exibirPreOrdem(tree->dir);

}

}

void exibirInOrdem(t_arvore tree) {

if (tree!=NULL) {exibirInOrdem(tree->esq);

printf("%s ", tree->dado.nome);

exibirInOrdem(tree->dir);}

}

void exibirPosOrdem(t_arvore tree){

if (tree!=NULL) {

exibirPosOrdem(tree->esq);

exibirPosOrdem(tree->dir);printf("%s ", tree->dado.nome);

}}



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Exibir: // Exibir a arvore - Procedimento recursivo, usando um percurso pre-ordem.

// sugestao de uso: exibirGraficamente(arvore, 10, 10, 3);void exibirGraficamente(t_arvore tree, int col, int lin, int desloc){

// col e lin sao as coordenadas da tela onde a arvore ira iniciar,

// ou seja, a posicao da raiz, e desloc representa o deslocamento na tela // (em colunas) de um no em relacao ao no anterior.

if (tree == NULL)return; // condicao de parada do procedimento recursivo

gotoxy(col,lin);printf("%s",tree->dado.nome);if (tree->esq != NULL)

exibirGraficamente(tree->esq,col-desloc,lin+2,desloc/2+1);if (tree->dir != NULL)

exibirGraficamente(tree->dir,col+desloc,lin+2,desloc/2+1);}



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Esvaziar:void esvaziar(t_arvore *tree){

if (*tree == NULL)return;

esvaziar(&(*tree)->esq);

esvaziar(&(*tree)->dir);free(*tree);*tree = NULL;

}



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Mini-Trabalho;Mostrar rodando.

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