Árvores com valores em todos os nós

Elsa Carvalho

Programação em Lógica e Funcional (2000/01)(Actualizado em 2004/05)

1Universidade da Madeira

Departamento de Matemática

Existe também a função flatten que retorna a lista de valores que estão nos nós da árvores. A ordem pela qual este valores são compostos é, usualmente chamada, de inorder. Ou seja, o valor do nó de topo é colocado entre as listas correspondentes aos valores dos nós das sub-árvores esquerda e direita, que são ordenadas de forma similar.

fun flatten Empty = [ ]| flatten (Tr (t1, a, t2)) = flatten t1 @ [a] @ flatten t2

Árvores com valores em todos os nós

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Se pretendermos uma ordem diferente para os valores da lista podemos definir as funções:

fun preorder Empty = [ ]| preorder (Tr (t1, a, t2)) = [a] @ preorder t1 @ preorder t2

fun postorder Empty = [ ]| postorder (Tr (t1, a, t2)) = postorder t1 @ postorder t2 @ [a]


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Podemos introduzir ainda uma função genérica sobre árvores (análoga a btreeop). Esta função recebe como argumento um valor constante, uma função g e uma árvore. A constante é retornada no caso da árvore ser Empty, caso contrário, a função g é usada para combinar os resultados do processamento recursivo das sub-árvores esquerda e direita:

fun treeop c g Empty = c| treeop c g (Tr (t1, a, t2)) = g (treeop c g t1, a, treeop c g t2)

Ao contrário da função btreeop, neste caso decidiu-se que a função g não está na forma curried, recebendo assim um triplo de argumentos.


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Usualmente estas árvores são usadas quando se pretende manter uma colecção de items ordenados e o uso de uma lista torna as inserções muito ‘caras’ e consequentemente ineficientes.

Podemos comprovar este facto pela análise da implementação de um algoritmo de ordenação de árvores, que é usado para ordenar listas.

O algoritmo é semelhante a uma mistura do quicksort com o insert sort, onde é usada uma árvore para organizar o posicionamento dos elementos.

À medida que a árvore é percorrida, os elementos são inseridos na posição correcta e assim, quando a árvore é achatada (flatten) a lista resultante está ordenada.


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fun treeinsert Empty m = leaf m| treeinsert (Tr (t1, n, t2)) m

= if (lessthan n) m (i.e. m<n) then Tr (treeinsert t1 m, n, t2) else Tr (t1, n, treeinsert t2 m)

fun treesort x = flatten (accumulate treeinsert Empty x)

A ordenação funciona da seguinte forma:

começa por receber uma árvore vazia

vai acumulando os elementos na árvore, através da função treeinsert, com cada elemento da lista recebida como

argumento, de cada vez.


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As árvores intermédias estão sempre ordenadas porque se começa a partir da lista vazia, usando apenas a função treeinsert que preserva a ordem.

A lista final é obtida simplesmente por achatamento da árvore assim obtida.


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Notação ZF para listasIntroduz-se agora uma notação para listas que não é standard ML. Essa notação é chamada ZF e permite denotar de forma sucinta aquelas listas que resultam da aplicação encadeada das funções map, link e filter, embora tenha correspondência na notação standard.

Um caso em que esta notação se torna muito conveniente é o da função permutations que será apresentada como exemplo.

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Notação ZF para listasA forma mais simples que a notação ZF pode assumir é:

[E | V1 E1]

em que E1 é uma expressão do tipo lista onde a variável V1 toma valores. Por sua vez E é uma expressão em que V1 pode ocorrer.

Para cada valor possível para V1 tem-se o valor correspondente para E. Ao componente da forma V1 E1 dá-se o nome de gerador uma vez que este é usado para gerar a lista de valores para V1 a partir da lista denotada por E1.

A expressão completa é chamada de lista em compreensão, mas a notação é também conhecida por notação ZF, que vem do nome Zermelo-Fraenkel.

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Notação ZF para listasUm exemplo da notação ZF será:

[2*x | x 1 upto 5]

que denota a lista [2*1, 2*2, 2*3, 2*4, 2*5] = [2, 4, 6, 8, 10]

Podemos também definir a função sum usando a notação ZF. A função sum recebe uma função g e soma os valores g(y), em que y varia de 0 a x.

fun sum g x = sumlist [g y | y 0 upto x]

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Notação ZF para listasA notação ZF pode ser generalizada da seguinte forma:

[E | V1 E1; V2 E2; ...; Vn En]

Aqui cada uma das variáveis locais Vi toma valores na lista que lhe corresponde Ei e E pode envolver ocorrências de todos os Vis. Além disso cada Ei pode envolver ocorrências dos Vjs precedentes (1 j < i). Assim, o verdadeiro significado é que Ei pode depender dos valores tomados por V1, V2, ..., Vi-1.

Por exemplo

[x* y | x 1 upto 20; y 1 upto x]

denota a lista [1*1, 2*1, 2*2, ..., 20*1, ..., 20*20]

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Notação ZF para listasPara encontrar a lista denotada por expressões do tipo indicado basta fixar uma a uma as variáveis V1, V2, ... fazendo variar as de índice mais elevado.

Eis um exemplo que se torna muito difícil de expressar se não usarmos a notação ZF.

A função permutations calcula todas as permutações dos elementos de uma lista, retornando uma lista de listas.

Faz-se ainda uso de uma função infixa - - que remove a primeira ocorrência de um dado elemento de uma lista.

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Notação ZF para listasfun permutations [] = [[]]| permutations x = [a::y | a x, y permutations (x - - a)]

infix - -fun [] - - a = []| (a::x) - - a = x| (b::x) - - a = b::(x - - a)

- - : = list X = = listpermutations: = list (= list) list

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Notação ZF para listaspermutations: = list (= list) list

- - : = list X = = list

A lista de permutações de uma lista vazia é [[]], uma vez que [] é uma permutação da lista vazia. Para uma lista não vazia x, as permutações são calculadas como todas as listas da forma a::y onde a é um elemento de x e y é uma permutação de x tendo sido removido o elemento a.

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Notação ZF para listasOutra extensão útil da notação ZF é permitir condições para qualificar um gerador para que os elementos da lista gerada que não satisfaçam a condição sejam filtrados. Assim um gerador pode ter a forma

Vi Ei; B

onde a condição B será uma expressão booleana, envolvendo algumas variáveis dos geradores precedentes (V1, ..., Vi).

Por exemplofun ordcart x y = [(a,b) | a x; b y; a < b]ordcart: int list int list (int x int) list

define a lista de pares da forma (a, b), tal que a vem de x, b vem de y e a < b.

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Notação ZF para listasPara traduzir (expandir) listas na notação ZF para ML, basta compreender o significado da referida notação. Assim, uma possível correspondente em ML da expressão

[E | V1 E1]

é dada por

map (fn V1 E) E1

que não é mais do que a lista de possíveis valores que E toma quando o parâmetro da função anónima, V1, é substituído pelos valores da lista E1 via map.

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Notação ZF para listasGeneralizando, para encontrar a correspondente em ML da expressão

[E | V1 E1; V2 E2; ...; Vn En]

basta notar que esta expressão é quase equivalente a (fixando V1)

[[E | V2 E2; ...; Vn En] | V1 E1]

mas como esta expressão forma uma lista de listas, se utilizarmos a função link obtemos uma expressão exactamente equivalente à primeira:

link [[E | V2 E2; ...; Vn En] | V1 E1]

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Notação ZF para listasE, fazendo uso da primeira regra enunciada tem-se

link (map (fn V1 [E | V2 E2; ...; Vn En]) E1)

Por último, a tradução de

[E | V1 E1; V2 E2; ...; Vn En; B]

é dada, naturalmente por

filter B’ [E | V1 E1; V2 E2; ...; Vn En]

em que B’ representa o predicado contido em B.

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Notação ZF para listasNo caso do exemplo apresentado

[(a,b) | a x; b y; a < b]

em que B é a < b, B’ será o predicado par_ordenado definido da seguinte forma

fun par_ordenado (x, y) = x < ye teremos a seguinte correspondência

filter par_ordenado [(a,b) | a x; b y]

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