As aventuras de Radix

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Apresentar a Geometria não-Euclidiana;

2. Apresentar a Geometria da Esfera;

3. Diferenciar a Geometria Euclidiana da não-

Euclidiana.

As aventuras de Radix

Série Matemática na Escola

Conteúdos Geometria esférica.

Duração Aprox. 10 minutos.

Objetivos 1. Apresentar a Geometria não-

Euclidiana; 2. Apresentar a Geometria da

Esfera; 3. Diferenciar a Geometria

Euclidiana da não-Euclidiana.

Sinopse O programa aborda a geometria da Esfera, que é um exemplo de geometria não-Euclidiana. Nelson, ao escrever mais umas das aventuras do super-herói Radix, se depara com a seguinte pergunta: Como Radix poderá cumprir a missão de evitar o desmatamento no Planeta Terra? Para terminar a aventura do Radix, o cartunista Nelson pedirá ajuda ao seu amigo Mario, que trabalha na área de monitoramento por satélite.

Material relacionado Áudios: Tamanho da Terra;

Vídeos: Herança de famila.

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Introdução

Sobre a série

A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os programas desta série usualmente são informativos e introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula pelo professor. Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem informações interdisciplinares.

Sobre o programa

O programa aborda conceitos da geometria da Esfera. Nelson, o criador do super-herói Radix, ao escrever mais uma das aventuras do herói no espaço sideral se depara com a seguinte questão: Como o herói Radix poderá cumprir a missão de evitar o desmatamento no planeta Terra? Nelson conversa com o seu amigo Mario, que trabalha no centro de Monitoramento por satélite, para dirimir suas dúvidas de como o Radix poderá proteger as florestas na superfície do planeta Terra do desmatamento.

Figura 1: Monitoramento por satélite.

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Mario explica que algumas das atribuições da área de monitoramento remoto por satélite são a aquisição, a organização e a disseminação de informações técnico-científicas sobre a superfície do planeta Terra para a gestão territorial. O monitoramento por satélite pode ser utilizado como uma ferramenta tecnológica tanto para o geoprocessamento na agricultura como para evitar crimes contra o desmatamento de florestas, como a Amazônia. O Brasil é dono de uma das biodiversidades mais ricas do mundo e, portanto, o monitoramento por satélite é muito útil para a proteção dos biomas brasileiros, como por exemplo, vegetação, ecossistemas, cerrado, pantanal, caatinga, campos, mata atlântica e o pantanal.

No vídeo, a inserção “olha o curta” explica que o lançamento de satélites no Brasil é feito pelo Centro de Lançamento de Alcântara, instituição federal criada em 1989, no município de Alcântara, a 408 km de São Luís, no estado do Maranhão, localizado na latitude 2°18’ sul da região Nordeste do Brasil. A sua proximidade estratégica com a linha do Equador permite uma economia significativa de combustível durante o lançamento de foguetes que colocam os satélites em órbita.

Figura 2: Centro de Lançamento de Alcântara.

Nelson continua curioso sobre o monitoramento por satélite e faz a seguinte pergunta ao Mario: O que é necessário para manter o satélite em órbita terrestre?

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Figura 3: Se a aceleração do foguete for menor do que a aceleração gravitacional, o foguete cai de volta na Terra.

Figura 4: Se a aceleração do foguete for maior do que a aceleração gravitacional, o foguete escapa para o espaço sideral.

Primeiramente o Mario explica que o foguete é o responsável por levar o satélite até o espaço. Ele continua explicando que o planeta Terra, que tem uma forma esférica, exerce uma força, que é chamada Gravidade, e que é necessário que o satélite a supere. O Mario conclui dizendo que o satélite precisa atingir uma posição (altura) específica para então se desprender do foguete e entrar em órbita ao redor do planeta Terra. Ele ainda acrescenta que se a altura do satélite não estiver correta, a força gravitacional poderá ser menor e o satélite cairá. Por outro lado, se a força gravitacional for maior, o satélite não ficará em órbita terrestre e vai para o espaço, se afastando cada vez mais do planeta terra.

As órbitas dos satélites podem ser consideradas como “retas” em uma superfície esférica. Mario exemplifica este fato à luz da definição da

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geometria Euclidiana de que a reta é a menor distância entre dois pontos.

Figura 5: Satélites em órbita terrestre.

No vídeo, o amigo Mario utiliza uma miniatura do globo terrestre (que exibe uma geometria Esférica) para mostrar que se escolhermos dois pontos “geográficos”, por exemplo, Manaus e o Pólo Norte, e se um elástico for esticado entre esses dois pontos e depois solto, o mesmo voltará à posição inicial. Na geometria Esférica não-Euclidiana, o lugar geométrico formado pelo elástico será uma “reta” curva.

O Mario então explica ao Nelson que os meridianos terrestres e o equador são outros exemplos de retas desse tipo, i.e., curvas de menor distância na geometria Esférica. Estas curvas têm o nome de geodésicas.

Relembrando a história da aventura do herói, Nelson percebe porque os foguetes dos personagens Radix e do vilão Capitão Bum colidem: algumas regras da geometria plana (Euclidiana) não são válidas na geometria Esférica (não-Euclidiana).

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O Nelson compreende que na geometria plana duas retas paralelas não se cortam, mas na geometria Esférica isto é possível. Ou seja, dado um par de geodésicas em um plano da geometria Esférica pode-se demonstrar que existirá sempre pelo menos um ponto de intersecção.

Assim, para que Nelson possa continuar a escrever a aventura sem colocar o super-herói Radix em perigo de morte, é necessário “extrapolar” a geometria Euclidiana. As naves do herói Radix e do vilão Capitão Bum estão em uma geometria Esférica (superfície da Terra), portanto o Nelson não poderia considerar a definição da geometria Euclidiana de que retas paralelas não têm ponto em comum.

Após refletir um pouco o escritor Nelson compreende que a Geometria Euclidiana é para superfícies planas e que para situações geométricas sobre uma superfície curva, como por exemplo, a superfície da Terra, a geometria Euclidiana não é apropriada. Ele entende que a geometria Esférica (não-Euclidiana) é a geometria adequada para utilizar na aventura do herói Radix.

DA GEOMETRIA DE EUCLIDES ÀS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS A obra prima “Os Elementos”, que foi escrita por Euclides por volta do ano 300 a.C., e que é formada por 13 volumes, forneceu um modelo para o desenvolvimento rigoroso das idéias matemáticas que é utilizado até os dias de hoje, por meio de um sistema de definições, postulados e axiomas, e é conhecida como geometria Euclidiana.

Lembramos a seguir os cinco famosos postulados de Euclides, que podem ser encontrados no volume I, da obra Os Elementos:

1º. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;

2º. Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;

3º. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada;

4º. Todos os ângulos retos são iguais;

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5º. Se uma linha reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos.

O quinto postulado de Euclides foi objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de rigor que os quatro primeiros. Na tentativa de demonstrá-lo, vários matemáticos renomados, entre eles Gauss, Bolyai, Lobachevski e Riemann, começaram a se interessar pela existência de uma geometria que não fosse aquela descrita por Euclides. A geometria de Euclides é adequada para superfícies planas, e essa teoria não pode ser aplicada às superfícies curvas. Esse processo culminou com a descoberta das Geometrias não-Euclidianas.

Exemplo de Geometria não-Euclidiana: A geometria Esférica foi descoberta pelo matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Ele considerava que as retas (da geometria Esférica) seriam círculos máximos da superfície esférica, e que tais círculos máximos se interceptariam em dois pontos. Nesta geometria a reta não é mais infinita como na geometria Euclidiana, mas sim ilimitada. Riemann estabeleceu como um de seus axiomas que na geometria Esférica não existem paralelas a uma reta dada, indo

contra o quinto postulado de Euclides.

Sugestões de atividades

Antes da execução

Com o objetivo de desenvolver conceitos básicos de geometria Esférica, além de comparar a geometria Euclidiana com a geometria

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não-Euclidiana, sugerimos ao professor algumas atividades1 para realizar com os alunos em sala de aula.

Atividade 1 “Um jovem caçador saiu de sua fazenda e andou 10 Km ao sul. Depois virou ao oeste e andou mais 10 Km. Então virou ao norte e andou novamente por mais 10 Km. Ele ficou espantado, pois descobriu que tinha retornado novamente a sua fazenda.”

a) Em uma folha de papel, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador.

b) De acordo com a história descrita acima é possível que o jovem caçador volte ao ponto de partida? Escreva suas conclusões.

c) Em uma bola de isopor, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador.

d) Analisando o caminho desenhado na bola, é possível para o jovem caçador voltar ao mesmo ponto de partida? Justifique sua resposta.

Mensagem ao professor: É importante chamar a atenção dos alunos para eles perceberem que, em uma superfície plana, o jovem caçador não retornaria ao ponto de partida. Na superfície esférica é possível.

Durante a execução

No momento em que o vídeo estiver em torno dos 7 minutos, se o professor julgar conveniente, sugerimos parar o vídeo e propor as seguintes questões aos alunos: Em qual geometria estão as naves do super-herói Radix e do vilão Capitão Bum? O que poderia acontecer com as naves do super-herói Radix e do vilão Capitão Bum ao serem lançadas no mesmo momento e na mesma velocidade ao espaço?

Igualmente, quando o vídeo estiver em 8min e 48segundos, sugerimos que o professor pare o vídeo e reforce a idéia com os alunos de que as

1 Adaptadas do livro Convite às Geometrias Não-Euclidianas de Lázaro Coutinho.

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naves do herói Radix e do vilão Capitão Bum estão em uma geometria Esférica (superfície da Terra), e, portanto o Nelson não poderia considerar a definição da geometria Euclidiana de que retas paralelas não se cortam.

Estas paradas podem ocorrer na primeira vez, ou se for apropriado na segunda vez que o vídeo passar. Isto é, na primeira vez passar o vídeo sem interrupção e depois voltar a estes momentos.

Depois da execução

Com o objetivo de diferenciar a reta na superfície plana e na esférica e, além disso, mostrar que não existem retas paralelas na superfície esférica, sugerimos ao professor as seguintes atividades2 a serem realizadas em sala de aula com os alunos.

Atividade 2 “Retornando a história do jovem caçador, imagine agora a seguinte situação: suponha que o jovem tenha saído de sua fazenda e caminhado em linha reta sem jamais parar”.

a) Em uma folha de papel, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador.

b) De acordo com o caminho percorrido desenhado na folha de papel é possível que o jovem caçador volte ao ponto de partida? Escreva suas conclusões.

c) Em uma bola de isopor, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador.

d) De acordo com o caminho percorrido desenhado na bola de isopor, é possível que o jovem caçador volte ao ponto de partida? Escreva suas conclusões.

2 Adaptadas do livro Convite às Geometrias não-Euclidianas de Lázaro Coutinho.

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Atividade 3 “No dia seguinte, o jovem caçador decidiu fazer o trajeto de sua fazenda até a floresta, mas agora caminhando paralelamente ao seu cavalo”.

a) Em uma folha de papel, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador e pelo seu cavalo.

b) Em uma bola de isopor, desenhe o caminho percorrido pelo jovem caçador e pelo seu cavalo.

c) É possível traçar retas paralelas para representar o caminho percorrido pelo caçador e pelo cavalo na folha de papel e na bola de isopor? Justifique sua resposta.

Como sugestão, o professor pode aproveitar o momento em que estiver aplicando as atividades propostas e relembrar as idéias básicas dos cinco postulados de Euclides e incentivar uma pesquisa em grupo sobre a história do desenvolvimento das geometrias não-Euclidianas, especialmente da geometria Esférica.

Sugestões de leitura

BARBOSA, J. L. M., Geometria Euclidiana Plana – 10ª Edição, Coleção do Professor de Matemática, SBM, 2006. BOYER, Carl Benjamin, História da Matemática, 2º ed. Editora Edgard Blucher Ltda. P 359. COUTINHO, Lázaro. Convite às Geometrias Não-Euclidianas. Rio de Janeiro, 2ª ed. Interciência, 2001. DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria espacial, posição e métrica. EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: UNICAMP, 1995 LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, Vol

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2,Coleção do Professor de Matemática, (3a Edição). Rio de Janeiro: SBM, 2000. THOMAZ, Mara Lucia. FRANCO, Valdeni Soliani. Geometria Não-Euclidiana / Geometria Esférica. Artigo apresentado durante o Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – PDE 2007/2008.

Ficha técnica

Autora Sandra Abreu

Revisão Samuel Rocha de Oliveira Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva

Coordenador acadêmico Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira Costa

Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca

Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Diretor Jayme Vaz Jr.

Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira