As diferentes versões da Transformada de Helmert e suas …20... · INTRODUÇÃO A transformada de...
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As diferentes versões da Transformada de Helmert
e suas aplicações na Transformação entre Sistemasde Referência
Prof. Dra. Daniele Barroca Marra Alves
Material baseado no artigo: As Diferentes Versões da Transformada de Helmert esuas Aplicações na Transformação entre Sistemas de Referência
Autores: Souza, E. M.; Alves, D. B. M.; Monico, J. F. G. M.
Revista Tema, 2008, v.9, n.3.
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INTRODUÇÃO
A transformada de Helmert tem sido amplamente utilizada para realizar transformações entre sistemas de referência
Permite que um conjunto de pontos em um sistema seja transformado para outro, utilizando
translações, rotações e escalas
A utilização de sistemas de referência é muito importante para qualquer tipo de posicionamento
Entretanto, devido ao fato da crosta terrestre estar em constante movimento, as coordenadas das estações
utilizadas na determinação do sistema de referência devem ser periodicamente recalculadas
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INTRODUÇÃOCAUTELA na utilização e comparação de coordenadas
das estações terrestres, consideradasconhecidas, para que estejam no mesmo referencial,
também compatíveis em termos da época da realização do mesmo
Objetivo: mostrar os conceitos fundamentais da transformação entre os referenciais, sua dedução
analítica e as diferentes versões que pode assumir, além de apresentar como utilizá-la
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ITRF
Sempre na busca de se definir sistemas de referência de alta precisão, a comunidade científica concebeu, na década
de 80, a primeira versão de um referencial que seria o produto da combinação das técnicas de posicionamento
mais precisas e disponíveis naquele momento:
VLBI (Very Long Baseline Interferometry)SLR (Satellite Laser Range)
LLR (Lunar Laser Range)
Diversas realizações –ITRFyyPrimeira: ITRF 0, em 1988
Atual: ITRF 2014
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ITRF
O ITRF é a materialização do ITRS (International Terrestrial Reference System)
Resultado: uma lista de coordenadas e velocidades das estações que fazem parte de cada um dos ITRFyy, bem
como os parâmetros de transformação
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ITRF
Uma estação ITRF é caracterizada pelas coordenadas X, Y, Z(geocêntricas) com as respectivas velocidades, isto é, Vx, Vy, Vz,numa determinada época t de referência t0.
Utilizando a representação: = [X, Y, Z]T e = [Vx, Vy, Vz]T, aposição de um ponto sobre a superfície terrestre deve ser expressa naforma:
onde são as correções devido aos vários efeitos que alteramcom o tempo e e são os vetores posição e velocidade naépoca de referência t0.
ii
X)tt(VX)t(X
000
iX
0X
0V
X
V
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ITRF
Para compatibilizar diferentes referenciais – evolução temporal das coordenadas - necessita-se de uma
transformação que aplica simultaneamente as translações, rotações, fator de escala e respectivas taxas de variaçãocom relação ao tempo, além da velocidade da estação
Transformação de Helmert Generalizada (THG)
Necessária em aplicações de alta precisão
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Transformada de Helmert Generalizada
Transformação entre dois conjuntos
).())))()(())(1(((
))((.)()1(
0)(
0)()()(
0
00
ttXIssT
ttVXIsTX
tITRFyy
tITRFFyytITRFyytITRFzz
Tomando as coordenadas de um ponto P qualquer, associadas a um sistema de referência ITRFyy em uma
época de referência (t0)
THG de 14 parâmetros - Gregorius (1996)
Coordenadas de P no sistema de referência ITRFzz em uma outra época (t)
0
0
0
xy
xz
yz
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TRANSFORMADA DE HELMERT Para os casos em que as taxas de variação dos
parâmetros não estão disponíveis, a equação da THGse torna a equação referente a TH com 7 parâmetros;
Aplica-se:
3 translações
um fator diferencial de escala
3 rotações
Além destes, também faz parte deste tipo detransformação as componentes do vetor velocidade(Vx, Vy, Vz)
))(()()1( 0)()()( 00ttVXIsTX tITRFFyytITRFyytITRFzz
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Fórmula utilizada pelo IERS Depende das coordenadas iniciais, das translações
entre os dois sistemas, do fator de escala, da matriz derotação e suas respectivas variações;
1º: atualização dos parâmetros e coordenadas daestação da época inicial t0 para uma certa época t:
2º: transformação entre os sistemas de referência:
ITRFyy
xy
xz
yz
ITRFyyITRFzz X
s
s
s
TXX
00ttPPtP t
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Parâmetros de Transformaçãohttp://itrf.ensg.ign.fr/trans_para.php
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Parâmetros de Transformação
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EXEMPLO 1
Referenciando uma estação pertencente ao
ITRF05 no ITRF00
Problema: Atividade realizada em 2003 - pesquisador determinou aposição de uma estação com alta precisão;
GPS - Coordenadas finais associadas ao ITRF00 - época 1997.
Posteriormente essa coordenada foi determinada no ITRF05 - época2000.
Para que seja possível comparar os resultados de forma adequada, énecessário realizar uma transformação entre os referenciais.
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EXEMPLO 1 Solução: Utilizar a THG, TH e a fórmula do IERS;
Transformar do ITRF05 para ITRF00
Usaremos as coordenadas da estação BRAZ de Brasília– para podermos comparar;
Unidade metros
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Exemplo 1
Parâmetros de Transformação do ITRF 2005 para oITRF 2000:
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Exemplo 1
http://itrf.ensg.ign.fr/ITRF_solutions/2005/tp_05-00.php
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EXEMPLO 1 Comparar no final com as coordenadas oficiais no
ITRF2000
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TH (7 parâmetros)
APLICAÇÕES
THG (14 parâmetros)
21741444,02-
14550641,54-
34115014,08
104,01
0,0058-
0,0008-
0,00019
199700 IX ITRF
.
51741444,06-
94550641,52-
44115014,08
20001997
0,0124
0,0046-
0,0002
21741444,02-
14550641,54-
34115014,08
104,01
0,0058-
0,0008-
0,00019
199700 IX ITRF
0,0018-
0,0001
0,0002-
20001997
0,0124
0,0046-
0,0002
I99 1008,00104,01
.
91741444,05-
94550641,52-
34115014,08
2000-1997
21741444,02-
14550641,54-
34115014,08
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APLICAÇÕES Fórmula do IERS:
1o: atualizar os parâmetros (T, e s) e as coordenadasobtidas na época 2000 para a época 1997
2o: realizar a transformação;
ÉPOCAtPÉPOCAPtP
.
91741444,05-
74550641,52-
24115014,08
2000-1997
0,0124
0,0046-
0,0002
21741444,02-
14550641,54-
34115014,08
Z
Y
X
199705ITRF
05ITRF
05ITRF
,
0,0004-
0,0011-
0,0007
2000-1997
0,0018-
0,0001
-0,0002
0,0058-
0,0008-
0,0001
T
T
T
1997z
y
x
Coordenadas:
Translação:
Escala: .1016,02000-19971008,0104,0 999
1997
s
.
91741444,05-
94550641,52-
34115014,08
91741444,05-
74550641,52-
24115014,08
I1016,0
0,0004
0,0011-
0,0007
91741444,05-
74550641,52-
24115014,08
Z
Y
X9
199700ITRF
00ITRF
00ITRF
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APLICAÇÕES
Comparando as diferenças entre as coordenadasutilizando as diferentes versões da TH
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
X Y Z
Coordenadas Cartesianas
Dis
cre
pân
cia
s (
cm
)
Helmert_7
Helmert_14
IERS
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Resu
ltan
te (
cm
) Helmert_7
Helmert_14
IERS
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EXEMPLO 2 Solução: Utilizar a THG, TH e a fórmula do IERS;
Transformar do ITRF2014 para ITRF08
Usaremos as coordenadas da estação FORT deFortaleza – para podermos comparar;
Unidade metros
http://itrf.ign.fr/ITRF_solutions/2014/doc/ITRF2014_GNSS.SSC.txt
Sistema de referência
Época
X
Vx
Y
Vy
Z
Vz
ITRF2014
2010
4985386,5994
-0,00231
-3954998,6353
-0,00373
-428426,3150
0,01245
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Exemplo 2
Parâmetros de Transformação do ITRF 2014 para oITRF 2008:
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Exemplo 2
http://itrf.ensg.ign.fr/doc_ITRF/Transfo-ITRF2014_ITRFs.txt
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EXEMPLO 2 Comparar no final com as coordenadas oficiais no
ITRF2008
Sistema de referência
ÉpocaX Y Z
ITRF2008
20054985386,603 -3954998,608 -428426,375
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TH (7 parâmetros)
APLICAÇÕES
THG (14 parâmetros)
0428426,315-
533954998,63-
944985386,59
I1002,01
0,0024
0,0019
0,0016
X 9
200500ITRF
.
8428426,374-
463954998,61-
244985386,61
20102005
0,01245
0,00373-
0,00231
0428426,315-
533954998,63-
944985386,59
I1002,01
0,0024
0,0019
0,0016
X 9
200500ITRF
0,0001-
0,0
0,0
20102005
0,01245
0,00373-
0,00231-
I1003,001002,01 99
.
2428426,374-
403954998,61-
174985386,61
2010-2005
0428426,315-
533954998,63-
944985386,59
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APLICAÇÕES Fórmula do IERS:
1o: atualizar os parâmetros (T, e s) e as coordenadasobtidas na época 2010 para a época 2005
2o: realizar a transformação;
ÉPOCAtPÉPOCAPtP
.
2428426,377-
663954998,61-
094985386,61
2010-2005
0,01245
0,00373-
-0,00231
0428426,315-
533954998,63-
944985386,59
Z
Y
X
200514ITRF
14ITRF
14ITRF
,
0,0029
0,0019
0,0016
2010-2005
0,0001-
0,0
0,0
0,0024
0,0019
0,0016
T
T
T
2005z
y
x
Coordenadas:
Translação:
Escala: .10172010-20051003,01002,0s 10992005
.
2428426,374-
403954998,61-
174985386,61
2428426,377-
663954998,61-
094985386,61
I1017
0,0029
0,0019
0,0016
2428426,377-
663954998,61-
094985386,61
Z
Y
X10
200508ITRF
08ITRF
08ITRF
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APLICAÇÕES
Comparando as diferenças entre as coordenadasutilizando as diferentes versões da TH
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CONCLUSÕES
Os parâmetros utilizados ao aplicar a THG, apesar de ser depequena dimensão, são importantes para preservar aqualidade dos resultados;
Isto ocorre devido à melhoria considerável da acurácia dos resultados obtidos no posicionamento por satélites, que evoluíram nas últimas décadas e se tornaram sensíveis a
pequenas variações
Importância do cálculo das discrepâncias entre as coordenadas em dois referenciais diferentes - fornece subsídios para prever a dimensão dos erros que podem ser cometidos nos trabalhos
que os envolvem