AS NOTAS AULA KARL WEIERSTRASS EM 1878

Angelica Raiz Calabria & Sergio Roberto Nobre

AS NOTAS DE AULA DE KARL WEIERSTRASS EM 1878

Circe Mary Silva da Silva

Universidade Federal de Pelotas (UFPEL) – Pelotas – Brasil

Resumo

O objetivo do presente estudo é apresentar a tradução de parte das notas de aula de KarlWeierstrass (1829–1897), editadas com o título Einleitung in die Theorie der AnalytischeFunktionen – Vorlesung 1878 [Introdução à teoria das funções analíticas – Aulas 1878],com o propósito de mostrar como o ensino das funções analíticas e, em especial, a definiçãode função contínua foi apresentada por esse matemático, na Universidade de Berlin, aosseus alunos. Neste texto, usamos como referência básica o livro que contém as notas deaulas da disciplina, compiladas por Adolf Hurwitz, em 1878, retrabalhadas por PeterUllrich e publicadas pela Deutsche Mathematiker – Vereneigung [Sociedade Alemã deMatemática], em 1988. A importância, para a História da Educação Matemática, darecompilação de tais notas reside em mostrar o que Weierstrass ensinava e como eleensinava em suas aulas.

Palavras-Chave: história da matemática, função contínua, análise matemática

[KARL WEIERSTRASS'S LECTURE NOTES IN 1878]

Abstract

The aim of this study is to present the translation of part of the lecture notes by KarlWeierstrass (1829–1897), edited under the title Einleitung in die Theorie der AnalytischeFunktionen – Vorlesung 1878 [Introduction to the theory of analytic functions – Lectures1878], with the purpose of showing how the teaching of analytic functions and, inparticular, the definition of continuous function, was presented by this mathematician, atthe University of Berlin, to his students. In this text, we use as a basic reference the bookthat contains the lecture notes of the discipline, compiled by Adolf Hurwitz, in 1878,reworked by Peter Ullrich and published by the Deutsche Mathematiker-Vereneigung[German Mathematics Society], in 1988. The importance, for the History of Mathematics

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TraduçõesEdição Especial da Revista Brasileira de História da Matemática – Vol. 21, no 42 – pp. 294–328

Publicação Oficial da Sociedade Brasileira de História da MatemáticaISSN 1519-955X

As Notas de Aula de Karl Weierstrass em 1878

Education, the compilation of such notes lies in showing what Weierstrass taught and howhe taught in his classes.

Keywords: history of mathematics, continuous function, mathematical analysis

Introdução

No ensino atual de cálculo diferencial e integral nos cursos de ciências exatas, conceitosbásicos, como os de limite e continuidade, em geral são apresentados sem referência à suahistória. Definições importantes na construção do conhecimento matemático surgem paraos alunos como um saber pronto, quase como postulados de consenso.

Há professores que optam por iniciar o ensino de tais conceitos mediante adefinição intuitiva de continuidade, afirmando que uma função continua é aquela que nãoapresenta saltos nem “buracos”. Entretanto, quando é necessário provar teoremasenvolvendo esse conceito, a definição formal é necessária e não é possível fugir aoformalismo.

No período compreendido entre os séculos XVII e XIX, matemáticos defrontaram-se com a dificuldade de definir certos objetos matemáticos necessários para umaapresentação formal do cálculo diferencial e integral tais como limite, continuidade,infinito, entre outros. Apenas no século XIX, conceitos basilares do cálculo diferencial eintegral alcançaram uma formalização, que permanece até nossos dias.

O objetivo do presente estudo é apresentar a tradução de parte das notas de aula deKarl Weierstrass (1829–1897), editadas com o título Einleitung in die Theorie derAnalytische Funktionen – Vorlesung 1878 [Introdução à teoria das funções analíticas –Aulas 1878], com o propósito de mostrar como o ensino das funções analíticas e, emespecial, a definição de função contínua foi apresentada por este matemático, naUniversidade de Berlin, aos seus alunos.

Neste texto, usamos como referência básica o livro que contém as notas de aulas dadisciplina compiladas por Adolf Hurwitz, em 1878, retrabalhadas por Peter Ullrich epublicadas pela Deutsche Mathematiker – Vereneigung [Sociedade Alemã de Matemática],em 1988.

A importância, para a História da Educação Matemática, da recompilação de taisnotas reside em mostrar o que Weierstrass ensinava e como ele ensinava em suas aulas.Manuscritos de vários alunos que compilaram as aulas de Introdução à teoria das funçõesanalíticas foram preservados. São eles: Moritz Pasch – no semestre de inverno de1865/1866; Wilhelm Killing – no semestre de verão de 1868; Georg Hettner – no semestrede verão de 1874; Adolf Hurwitz – no semestre de verão de 1878; Adolf Kneser e A.Ramsay – no inverno de 1880–81; Ernst Fiedler – no inverno de 1882–1883. Nem todas asnotas eram completas. Algumas foram divulgadas em artigos, como o de Dugac (1973).

A escolha de Ullrich pelas anotações de Adolf Hurwitz para publicação em livrodeve-se, segundo ele, ao fato de que tais anotações “[...] podem ser consideradas como uma

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reprodução autêntica da disciplina” (ULLRICH, 1988, p. xiii). O manuscrito em alemãogótico compreende 366 páginas.

O capítulo 9, escolhido para traduzir, não foi alterado pelo editor, exceto no título.Segundo Ulrich, nesse capítulo, Weierstrass traz a moderna terminologia de topologiaelementar, inclui conjunto aberto, o conceito de limite superior e inferior e, ainda, oteorema de Bolzano-Weierstrass, entre outros resultados.

Embora o conceito do ponto limite1 de um conjunto tenha sido publicado pelaprimeira vez por Cantor, ele foi inventado por Weierstrass (MOORE, 2008). Naquele queera, até então, conhecido pelo nome de teorema de Bolzano, nosso autor enfatiza que nãovia este teorema como uma parte da “topologia” ou “analisis situs” ou qualquer outra parteda geometria, mas sim como um teorema da análise clássica. Esse teorema afirma quequalquer espaço euclidiano n-dimensional infinito, limitado tem um ponto limite.

O capítulo 9 apresenta a definição de função contínua na sua segunda versão, jáque, no capítulo 5, ele havia trazido e o que chamou de primeira versão, válida para asfunções racionais.

“Os valores complexos que podem tomar os argumentos das funçõesformam um continuum quando, a cada número complexo, puder seratribuído um ponto de um certo nível (nível de número complexo) equando, inversamente, um certo número complexo pertence a cada pontodo nível. - Um tamanho variável limitado é aquele que não deve assumirtodos os valores numéricos complexos. Chamamos de magnitudevariável, ilimitada ou limitada, aquela que pode aceitar valoresinfinitamente pequenos, ou que é capaz de tais valores, se, entre osvalores que pode aceitar, as quantidades forem menores do que qualquerquantidade arbitrariamente pequena assumida. Um tamanho variável x setorna infinitamente pequeno, com outro y, ao mesmo tempo, significa:‘Depois de assumir uma grandeza arbitrariamente pequena ε, pode serdeterminado para x um limite de δ, de modo que para cada valor de x,para o qual|x|<δ, o valor correspondente torna-se |y| <ε’”.(WEIERSTRASS, 1878, p. 57)

Figura 1: Representação de Weierstrass

Tradução: δ encontrado, ε dado.Fonte: Weierstrass, 1878, p. 57.

1 Manteremos no texto a nomenclatura usada pelo autor de ponto limite.

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Karl Weierstrass

A ciência em Berlin passou por dois períodos marcantes na pesquisa matemática: oprimeiro, no século XVIII, de 1741 a 1766, com Leonhard Euler e de 1766 a 1787, comJoseph Lagrange; e o segundo, no século XIX, com Lejeune Dirichlet de 1828 a 1855, e de1844 a 1841, com Carl Jacobi; e o ápice alcançado com três matemáticos: Ernst Kummer,Leopold Kronecker e Karl Weierstrass, de 1856 a 1891. É nesse último período que Berlinse equipara a Paris e Göttingen, como centros de pesquisas matemáticas de destaque nomundo (REMMERT, 1988).

Poucos matemáticos iniciaram suas carreiras tal qual Weierstrass – suas primeirasexperiências profissionais foram como professor de um ginásio em Münster e sótardiamente, aos 39 anos, manifestou talento para a matemática, quando publicou um artigoque chamou a atenção da comunidade científica, em 1854. No mesmo ano, recebeu o títulode doutor honorário pela Universidade de Königsberg e, em 1856, já era professor daUniversidade de Berlin.

Os quinze anos em que atuou como professor de ginásio, ensinando não apenasmatemática, mas também alemão, caligrafia e geografia, possivelmente foram responsáveispor desenvolver no mestre alemão uma habilidade didática que se tornou visível em seusescritos, principalmente em suas notas de aula: clareza, objetividade e rigor.

Karl Weierstrass nasceu em Ostenfelde e frequentou o ginásio em Paderborn, de1829 a 1834. Embora tenha, por desejo de seu pai, estudado Direito, em Bonn, eleinterrompeu esse curso e começou a estudar Matemática. Em maio de 1839, matriculou-sena Academia de Münster e começou a assistir às aulas de Cristoff Gudermann (1798-1852),que o apoiou fortemente nos estudos de matemática. Prestou exames para professor ginasiale começou a sua carreira, em 1842, atuando como professor de matemática ginasial. Leu asobras de Mecânica Celeste, de Laplace, os Fundamentos da nova teoria das funçõeselípticas, de Jacobi e, entre outros, Abel e Lagrange. Em 1854, publicou no Journal deCrelle o artigo “Zur Theorie der Abelschen Functionen” [Sobre a teoria das funçõesabelianas]. Com esse trabalho, conseguiu o título de doutor pela Universidade deKönigsberg.

Em 1856, uma nova publicação do trabalho, mais completa, foi publicada noJornal de Crelle. Em junho de 1856, ele aceitou o convite para lecionar na Universidade deBerlin. O sucesso das aulas ministradas por Weierstrass tiveram grande repercussão, tantoque vieram estudantes de vários países assistir a suas aulas. Alguns nomes de matemáticosconhecidos, que foram registrados nos arquivos, podem ser referidos: Paul Bachmann(1837–1920), Oscar Boza (1857–1942), Moritz Cantor (1829–1920), Ferdinand Frobenius(1849–1917), Leopold Gegenbauer (1849–1903), Kurt Hensel (1861–1941), LudwigHölder (1859–1937), Adolf Hurwitz (1859–1919), Wilhelm Killing (1847–1923), FelixKlein (1849–1925), Adolf Kneser (1862–1930), Leo Königsberger (1837–1921), MathiasLerch (1860–1922), Sophus Lie (1842–1899), Jakob Lüroth (1844–1910), Franz Mertens,(1840–1927), Hermann Minkowski (1864–1909), Magnus Gösta Mittag-Leffler (1846–1927), Eugen Netto (1846–1919), Friedrich Schottky (1851–1935), Hermann Schwarz

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(1843–1921) e Otto Stolz (1842–1905)2. Sofia Kovalevskaia (1850–1891), uma alunatalentosa de Weierstrass, não teve permissão para assistir às aulas na Universidade deBerlin, como os demais citados. Entretanto, isso não a impediu de ter acesso aosconhecimentos objetos de todas as disciplinas por ele ministradas naquela instituição, umavez que ela teve, com Weierstrass, aulas particulares que contemplavam a matéria tratadanessas disciplinas.

A respeito do ensino e da pesquisa matemática em nível superior, Weierstrassdeixa transparecer sua concepção em carta endereçada à reitoria da Universidade de Berline datada de 15 de outubro de 1873 (a qual foi incluída no livro sobre a correspondênciaentre Weierstrass e Kovalevskaia):

“O sucesso do ensino acadêmico é baseado [...] em grande parte noprofessor, que guia constantemente o aluno para sua própria pesquisa.Isso não acontece, no entanto, por instruções pedagógicas, mas primeiroe acima de tudo pelo fato de que o professor, ao apresentar umadisciplina, ele mesmo organiza os conteúdos e enfatiza a orientação dospensamentos de forma adequada, permitindo que o aluno reconheça deforma madura o já pesquisado, levando o aluno [...] a avançar paranovos resultados ou que justifiquem resultados já existentes. Então, elenão deixa de indicar-lhe os limites da ciência que não foramultrapassados e de indicar os pontos a partir dos quais um novo avançoparece, no início, possível. Também não deixa de lhe proporcionar umavisão abrangente do curso da sua própria investigação, não ocultandoerros, nem iludindo com expectativas que ele próprio não conseguiumaterializar.” (BÖLLING, 1993, p. 16)

Desde 1865, Weierstrass começou a introduzir, nas disciplinas que ministrou naUniversidade de Berlin, conceitos topológicos como os de conjunto aberto e de ponto limitede um conjunto. Entretanto, ele não publicou esses resultados (MOORE, 2008).

Carl Boyer, em seu clássico livro História da Matemática (1974), no capítulo 25,aborda a “aritmetização da análise”. Para o autor, aritmetizar a análise significa reduzir aanálise ao conceito de número. Revisitando o livro de Euler intitulado Introduction àl’anlyse inifintésimale, constataremos que a definição do conceito de função foi seu pontode partida e que pouca atenção foi por ele dedicada ao conceito de número real, assim comofoi feito por Auguste Louis Cauchy (1789–1857). Entretanto, Bolzano já tinha, em 1817,percebido a necessidade de tornar a análise matemática mais rigorosa (BOYER, 1974),enquanto a Análise de Cauchy continha ainda muitos resquícios da intuição geométrica. Ainovação protogonizada por Weierstrass, nas aulas que ministrou na Universidade de Berlinde 1865 a 1891, foi trazer uma nova abordagem da Análise, a qual podemos, como Boyersugeriu, chamar de aritmetização da Análise.

2 Disponível em <https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Weierstrass/>, acesso em 19 de maio de2021.

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https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Stolz/


A apresentação do livro de 1878 – Introdução à teoria das funções analíticas – cursoBerlin 1878

As notas de aula compiladas por Hurwitz estão divididas em duas partes: 1ª) O conceito denúmero; 2ª) Introdução à teoria das funções. Cada uma dessas partes por sua vez estásubdivida e aparece nos Quadros 1 e 2. Essa organização em capítulos foi realizada peloeditor. A ele – editor – deve ser creditada a atribuição do nome de Bolzano-Weierstrass aum dos teoremas que aparecem nas notas e também a denominação dos subtítulos.

Quadro 1: O conceito de número.

1. Cálculo com aunidade

1.1 Cálculo com múltiplos da unidade1.2 Cálculo com números racionais positivos múltiplos

da unidade1.3 Números formados a partir de infinitos elementos1.4 Números finitos e infinitamente grandes1.5 Somas de números infinitos

2. Cálculo com umaunidade principal eunidades opostas

2.1 Definição de números reais2.2 Séries infinitas de números reais2.3 Cálculo com números reais2.4 Visualização geométrica dos números considerados até agora

3. Cálculo com númeroscompostos

3.1 Introdução de números complexos de forma geométrica3.2 Introdução à álgebra real3.3 Séries infinitas de números complexos infinitos3.4 Produtos de números infinitos

Fonte: Elaborado pela autora.

O quadro 1 indica que, na primeira parte, havia uma ênfase nos números reais ecomplexos, uma vez que ele pretendia “aritmetizar a análise”. Segundo Schubring (2014, p.232), em carta a Du Bois Reymond, Weierstrass afirmava que construir [...] “a análise apartir da álgebra, portanto, pelo conceito de número e das operações com ele, seria o únicomeio que permitiria fundamentar a análise por meio do rigor científico”. Também, nestaprimeira parte, são abordados outros conceitos importantes como séries infinitas econvergência de séries.

Quadro 2: Introdução à teoria das funções.

4. Desenvolvimento histórico do conceito de função5 Funções racionais 5.1 Teorema da identidade e fórmulas de interpolação

5.2 Teoria dos anéis de polinômios algébricos5.3 Funções racionais contínuas

6. Convergência de séries de funções7. Séries de potências 7.1 Critérios de convergência de séries de potências

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7.2 Teorema de Weierstrass da série dupla e aplicações 7.3 Teoremas de identidade e Problema de Interpolação7.4 Suplemento

8. Cálculo Diferencial 8.1 Diferencial primeira e superiores de uma e muitasvariáveis8.2 Regras de calcular do Cálculo Diferencial8.3 Diferenciação de séries de potências8.4 Exemplo de uma função contínua não diferenciável

9. ℝ e ℝn comoespaços topológicosmétricos

9.1 Conjuntos abertos e componentes conexos

9.2 Princípio do supremo e teorema de Bolzano–Weierstrasspara ℝ

9.3 Aplicações

9.4 Continuidade uniforme 9.5 Princípio do supremo e teorema de Bolzano–Weierstrasspara ℝn ; máximo e mínimo

10. Funções analíticase Variáveis

10.1 Continuação analítica10.2 Funções analíticas

11. Pontos Singulares 11.1 Desigualdade de Cauchy para coeficientes de Taylor11.2 Existência de pontos singulares no limite do círculo deconvergência11.3 Quociente de duas séries de potências; teorema deLiouville11.4 Teorema fundamental da Álgebra

12. Somas infinitas eProduto de funçõesanalíticas

12.1 Teorema das séries duplas de Weierstrass12.2 Séries de funções analíticas12.3 Teorema da diferenciação de Weierstrass12.4 Representação de funções através de produtos infinitos

13 Continuação defunções analíticasobscuras

13.1 Sistema de funções analíticas13.2 Derivadas de funções analíticas13.3 Continuação do sistema de funções

14 Funções analíticasde várias variáveis

14.1 Continuação analítica em várias variáveis14.2 Série de potências de várias variáveis

15 Singularidadesisoladas

15.1 Tipos de singularidades isoladas15.2 Representação de funções meromorfas

16 Função exponencial 16.1 Funções inteiras sem ponto zero16.2 Propriedades da função exponencial, Imagem e “Urbild”

17 Função logarítmica 17.1 Funções logarítmicas de existência local17.2 Continuação de funções analíticas juntamente comsegmentos e em triângulos17.3 Características principais dos logaritmos

18 Ramos das funções analíticas19 Teorema do 19. 1 Prova do teorema do produto de Weierstrass

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produto de Weierstrass 19. 2 Exemplo19. 3 Reverso do critério de convergência para o produto19. 4 Representação de funções meromorfas

20 Sobre ainversibilidade dasfunções analíticas

20.1 Teorema sobre funções implícitas para séries de potênciascom várias variáveis20.2 Inversas de funções analíticas

21 Sobre o domínioanalítico

21.1 Estruturas analíticas de primeiro grau de duas variáveis21.2 Interpretação de funções analíticas por meio de estruturasanalíticas 21.3 Estruturas analíticas de várias variáveis e de graussuperiores

Fonte: Elaborado pela autora.

Um aspecto que chama a atenção no Quadro 2 é o capítulo referente aodesenvolvimento histórico do conceito de função, pouco usual em livros de análise à época.Nele o autor critica definições como a de Bernoulli: “Se duas quantidades variáveis estãoligadas entre si de tal forma que cada valor de uma corresponde a um certo número devalores da outra, então cada uma das quantidades é chamada de função das outras. Pois éimpossível derivar dela quaisquer propriedades gerais da função [...]” (WEIERSTRASS,1878, p. 48). Neste capítulo, o autor apresenta uma função contínua que não é diferenciávelem nenhum ponto:

x= bcos(at)+b2cos(a2t)+ b3cos(a3t)+ ...y= bsin(at)+b2sin(a2t)+ … para b<1.No título desta disciplina aparece a nomenclatura de “funções analíticas”. Mas o

que Weierstrass entendia por essa expressão? Ele define como:

“Se uma série f(x |a|) for capaz de um prolongamento, ela é chamada deelemento de funções. Se um ponto x' está dentro do domínio deconvergência de um elemento de funções, que é um prolongamento doelemento de função originalmente dado f(x |a|) , então ele tem um certovalor para x', e a este valor particular nós chamamos de um valor dafunção analítica determinada pelo elemento de função de saída”.(WEIERSTRASS, 1988, p. 95)

Ele mostrou que a representação de uma função f(x) por uma série de potênciasem torno de um ponto fixo P1 no plano complexo converge em todos os pontos que sãointernos a um círculo C1, que tem centro em P1 e que também passa por uma singularidademais próxima. Se a mesma função for expandida em P2≠ P1, a série convergirá num círculoC2, que tem P2 como centro e que passa pela singularidade mais próxima de P2 (BOYER,1974).

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A seguir apresentamos a tradução do capítulo 9 e a sua versão em alemão,conforme consta do livro Einleitung in die Theorie der Analytische Funktionen – Vorlesung1878 (WEIERSTRASS, 1988, pp. 83–92).

Referências

BÖLLING, Reinhard. 1993. Briefwechsel zwischen Karl Weierstrass und SofjaKowalewslaja [Troca de cartas entre Karl Weierstrass e Sofia Kovalevskaia]. Berlin:Akademie Verlag.

BOYER, Carl. 1974. História da Matemática. Tradução Elza Gomide. São Paulo: EdgardBlücher.

CAUCHY, Augustin-Louis. 1821. Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechinique.Paris: L’Imprimerie Royale.

DUGAC, Pierre. 1973. Eléments d’analyse de Karl Weierstrass. Archive for History ofExact Sciences, 10, 41-176.

MORE, Gregory. 2008. The emergence of open sets, closed sets, and limit points inanalysis and topology. Historia Mathematica, 35, 220–241.

REMMER, R. 1988. Geleitwort. In: Karl Weierstrass, Einleitung in die theorie deranalytischen funktionen. Vorlesung Berlin 1878. V. 4. Deutsche MathematikerVereinigung. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, p. ix-x.

SCHUBRING, Gert. 2014. A correspondência de Karl Weierstrass: resultados de pesquisaem andamento. Anais/Actas do 6º Encontro Luso-brasileiro de História a Matemática,225–240.

ULLRICH, Peter. 1988. Vorwort des Bearbeiters. In: Karl Weierstrass, Einleitung in dietheorie der analytischen funktionen. Vorlesung Berlin 1878. V. 4. Deutsche MathematikerVereinigung. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, pp. xi-xxvii.

WEIERSTRASS, Karl. 1988. Einleitung in die theorie der analytischen funktionen.Vorlesung Berlin 1878. V. 4. Deutsche Mathematiker Vereinigung.Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg.

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Circe Mary Silva da Silva Universidade Federal de Pelotas (UFPEL) Pelotas,RS – Brasil.

E-mail: [email protected]


Capítulo 9

ℝ e ℝn como espaços topológicos métricos

Uma grandeza real variável ilimitada é aquela que pode assumir todos os valoresintermediários entre − ∞ e + ∞ ; todos os pontos de uma linha reta representam o domínio3

de tal variável. Pensemos, agora, em uma união de grandezas variáveis ilimitadas. (No casopresente trata-se apenas de grandezas reais; mas tudo pode ser facilmente transposto paravariáveis complexas). Cada sistema particular de variáveis é denominado de um lugar4 nodomínio das grandezas. Sejam x1, x2 … xn as variáveis, a 1, a 2 … an um lugar no seudomínio – que deve ser entendido como x1 a= 1 , x2 a= 2 … x n a= n no sistema devalores isso é assim se |x 1′ − a 1|< δ , |x2′ − a2|< δ … |xn′ − an|< δ , x1' , x2' … x n' é umlugar localizado na vizinhança δ do lugar a 1, a 2 … a n . xν' entre a ν + δ e a ν − δ .

No domínio de uma variável x ilimitada, seja definido de qualquer forma um númeroinfinito de lugares; a totalidade desses lugares é designada como x′. Então os x' podem serrepresentados por pontos discretos ou continuamente consecutivos de uma linha reta nesteúltimo caso, se diz que eles formam um contínuo. Isto deve ser definido analiticamenteassim: a é um lugar do domínio definido por x', e se em uma vizinhança suficientementepequena escolhida de a todos os lugares dessa vizinhança estão no domínio x' , então os x'formam um contínuo.

Suponha-se que numa vizinhança de um lugar a de um domínio x' existe outrolugar a1, de modo que todos os lugares do intervalo a até a1 pertencem ao domínio de x';a2 tem a mesma propriedade em relação a a1 que a1 em relação a a; do mesmo modo, se

comporta a3 em relação a a2 , a4 em relação a a3 … an em relação a an−1 .

Então, dizemos que é possível uma passagem contínua de a1 para an. Se entre a e b não hápassagem contínua possível no domínio de x' , todo um “continuum” de valores de x'pertence tanto a a, como a b. Portanto, um domínio consiste em que passagens contínuasde lugar para outro são possíveis, consistindo de um ou mais pedaços contínuos eseparados. O que se entende por limites de um pedaço contínuo é imediatamente claro.

Tudo isso pode ser transportado sem dificuldade para um domínio de n variáveis den -variedades. Para n=3 ele ainda pode ser ilustrado geometricamente, o que significa

que verifica-se de um lugar para outro uma passagem contínua.A possibilidade de uma passagem contínua de um lugar para outro também acontece

do último para o primeiro.3 Optamos por traduzir Gebiet, no original, pela palavra “domínio”.4 A palavra usada por Weierstrass em alemão foi Stelle, que pode ser traduzido por “lugar”, “ponto”. Optamos por “lugar”.

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Isso não é evidente, porque, por exemplo, haverá uma vizinhança de x1 que conterá x2 ,mas não o contrário, uma vizinhança de x2, a qual contenha ao x1, pois uma vizinhança dex2 não deve ser maior que x2b. Entre x1 e x2, no entanto, só se precisa ligar os lugares

entre x1 e x2 que formam intervalos menores ou iguais a x2b, a fim de mostrar que umapassagem contínua também é possível a partir de b para a, se foi possível a partir de a parab.

9.2 Princípio do Supremo e Teorema de BOLZANO-WEIERSTRASS para

g é denominado de limite superior de uma grandeza variável se não houver nenhum valorda variável maior do que g e se, no intervalo g − δ … g , sendo δ um tamanho aindapequeno, ainda encontram-se lugares do domínio das variáveis. g' é o limite inferior, senão houver valor das variáveis menor do que g' e se em cada intervalo, por menor queseja, g' … g' + δ há lugares do domínio. Se g e g' em si pertencem ao domínio ou não,isto dá no mesmo. ( g pode ser igual a ∞ e g' pode ser igual a − ∞.)

“Cada domínio de uma grandeza variável tem um limite superior e um inferior”. Nósassumimos que a variável só admite valores positivos e não pode ser igual a ∞ . O casogeral pode então ser facilmente reduzido a este caso específico. A prova do nosso teorema éprecedida pelo seguinte: a0 , a1, a2 … seria então uma série de números, que não diminueme são todos menores uma dada grandeza g (finita). Vamos, então, formar os númerosb1 = a1 − a0 , b2 = a2 − a1 … bv = av − av − 1 … , assim b = b1 + b2 + b3 + … inf. uma

grandeza finita. A soma de qualquer número de termos das séries b1, b2, b3 … ,das quaisbn tem o índice mais alto, é menor ou igual a an − a0, então certamente menor que g ,

sendo, portanto, ∑i=1∞

b i finito.

Um lugar que pertence ao nosso domínio é novamente designado por x' . Seja a um

inteiro positivo. Agora consideramos a série de números1a

,2a

,3a

,4a

… . A partir de x'

assumimos que x' é consistentemente maior que 0 e menor que G, onde G significa umnúmero positivo. Assim, na série de números acima chegamos a um primeiro termo, que émaior ou igual a G, e também maior do que aquele que qualquer valor que x' pode

assumir. No intervaloa1

a…

a1 + 1a

deve então necessariamente haver um número de

lugares que pertencem a esse domínio, se entendemos pora1 + 1

ao primeiro termo da série

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ℝ


de números, que excede todos os valores permitidos para x' em grandeza. Dessa forma, acada número a pertence um número a1. Os termos da série a, a2, a3, a4, … an …

pertencem, assim, aos números a1 , a2 , a3 , a4 … an … para cada um dos intervalos

a1

a…

a1 + 1a

a2

a2…

a2 + 1

a2

a3

a3…

a3 + 1

a3

⋮an

an …

an + 1

an

haja pelo menos um lugar x' do domínio.

Vamos agora mostrar que na sériea1

a,

a2

a2 ,

a3

a3 , … ,

an

an … cada termo é maior do que o

anterior. Para isso, dividimos o intervaloan

an …

an + 1

an na série de intervalos:

Pelo menos em um desses intervalos deve haver lugares do tipo definido (lugares x' ) os

quais estão no intervaloan

an …

an + 1

an . Seja o intervalo

an

an +

m − 1an + 1

…an

an +

m

an + 1que

deve ser o último dos intervalos que contêm os intervalos I. e que contêm x' .

Mas este intervaloa⋅an + (m − 1)

an + 1 …

a⋅an + m

an + 1 é idêntico ao intervalo

an + 1

an + 1…

an + 1 + 1

an + 1, então an+ 1 = a⋅an + m − 1, assim

an + 1

an + 1 ≥

an

an como foi afirmado.

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 305


Formemos agora as diferenças b0 =a1

a, b1 =

a2

a2 −

a1

a, b2 =

a3

a3 −

a2

a2 ,

b3 =a4

a4 −

a3

a3 … e, assim, as somas

b0 = b0 + b1 + b 2 + b3 +… =a1

a+

m1 − 1

a2+

m2 − 1

a3+ … ,

de modo que b é o limite superior do domínio x' .b é antes de tudo uma grandeza finita (cf. p. 84). A soma dos n primeiros

membros de b éan

an , então b >an

an (todos os termos de b são números positivos); mas

b ≤an + 1

an . Não pode haver nenhum valor de x' maior do que b ; pois em função da

definição para n suficientemente grande, b pode ser aproximado aan + 1

an o quanto

queiramos, e não há nenhum valor de x' maior quean + 1

an . Quanto mais distante b estiver

entrean

an ean + 1

an e se, no entanto, houver pelo menos um valor de x' entre estes limites,

como acaba de ser mostrado, não há nenhum valor de x' maior que b , seguindo-se que hásempre pelo menos um valor de x' entre b e b − δ ( δ de qualquer tamanho, ainda quepequeno).

"Em cada domínio discreto de uma multiplicidade, que contém infinitamente muitoslugares, há pelo menos um lugar que se distingue pelo fato de que em cada pequenavizinhança do mesmo domínio há infinitamente muitos lugares do domínio".

(Se um domínio é representado por pontos de uma curva, como uma linha reta, entãouma certa compressão da área ocorre neste lugar.) Por exemplo: seja a0 + a1 + a2 + … inf.

uma série convergente, assim que, s0, s1, s2, s3, s4 … , onde sn ∑i=0

n

ai é entendida como

um domínio discreto de infinitamente muitos lugares. O lugar na vizinhança, emborapequeno, pode conter infinitamente muitos outros lugares do domínio, sendo aqui s a somada série. Porque é s − sn < δ ou s − δ < sn, se δ é qualquer grandeza pequena, e, à escolhade δ, n é maior do que um número determinado. Então há entre s e s − δ, δ tão pequeno,para muitas grandezas infinitas sn.

Nós primeiro assumimos (como prova do nosso teorema) que os lugares definidosestão contidos dentro de dois limites g0 e g1.

Seja a um inteiro. Nós formamos a série

I. −ma

, −m − 1

a, −

m − 2a

, … , −1a

, 0, +1a

,2a

, … ,n − 2

a,

n − 1a

, na

.

306 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


o mesmo é continuado para a esquerda até agora que −ma

< g0, e para a direita até que

na

> g1. Se estamos, agora, a considerar todos os intervalos em série I.μa

…μ + 1

atendo

apenas um número finito de membros, é claro que deve haver pelo menos um entre eles ,dentro do qual há infinitamente muitos lugares no domínio definido; porque háinfinitamente muitos lugares definidos, e só um número finito de intervalos. O primeiro

intervalo, que contém infinitamente muitos lugares do domínio, éμ1

a…

μ1 + 1a

. Abaixo deμ1

ahá apenas lugares isolados do domínio. A cada número a pertence agora um número

μ1; nós formamos o último para os números da série a, a2, a

3, … e denotamos os um μ’spertencente através de μ1, μ2, μ3 … . Então temos a série de intervalos:

μ1

a…

μ1 + 1a

μ2

a2…

μ2 + 1

a2

.

.

.μn

an …

μn + 1

an

μn + 1

an + 1 …

μn + 1 + 1

an + 1

.

.

.

sabemos que cada um contém infinitamente muitos lugares do domínio e que, abaixo dolimite inferior de cada intervalo, há apenas um número finito de lugares do domínio. A

partir daí podemos concluir:μn + 1 + 1

an + 1>

μn

an e

μn + 1

an + 1 <

μn + 1

an , então:

1) μn + 1 + 1 > a⋅μn e 2) μn + 1 < a⋅μn + a

A partir de 1) podemos concluir (uma vez que se trata de uma unidade): μn + 1 ≥ a⋅μn eμn +1

an+ 1 ≥μn

an . Os númerosμ1

a,μ2

a2 ,μ3

a3 ,μ4

a4 … , assim, formam uma série de grandezas

crescentes, sem que nenhuma delas, no entanto, atravesse a fronteira, além da qual não hálugares do domínio. Portanto,

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 307


I. A =μ1

a+

μ 2 − a μ1

a2+

μ3 − a μ2

a3+…

é uma grandeza finita (ver p. 84), e eu afirmo que A é um tal lugar em cuja vizinhança háinfinitamente muitos lugares do domínio. Pode-se em qualquer vizinhançaA − δ … A + δ de A por intervalos de r forçados suficientemente grandesμr

ar …

μ r + 1

ar encontrar o todo dentro do intervalo A − δ … A + δ, assim que, desde que

entre μr

ar …

μ r + 1

ar se encontrem infinitamente muitos lugares do domínio, isto também

vale para o intervalo da A − δ … A + δ. – O tamanho A é perfeitamente determinado. Porexemplo, se definirmos a = 10, obtemos uma equação I nesta página na forma de umafração decimal.

9. 3 Aplicações

Seja c0, c1, c2 … ao inf. uma série de grandezas numéricas. Coloque s0 = c0, s1 = c0 + c1,s2 = c0 + c 1 + c 2 … , então se faça as grandezas s0, s1, s2 … um domínio de infinitamente

muitos lugares discretos. Se também assumirmos que sn não pode exceder uma grandezaindicada, então, de acordo com o nosso teorema, deve existir pelo menos um lugar s emcuja vizinhança, sendo este último tão pequeno quanto se quiser, com ainda infinitamentemuitos lugares sn. Vamos agora mostrar que só pode haver esse lugar s, se ainda sepressupõe que sn − sn + r se torna infinitamente pequeno, e se n se torna infinitamente

grande ( sn − sn + r se torna infinitamente pequeno ao mesmo tempo com1n

) para cada

valor de r.Pois pode haver s e s' como tais lugares e s < s' . Como em todos os pequenos

intervalos, s − δ … s + δ há infinitamente muitos lugares sn, assim também devem seraqueles em que n excede qualquer número. Seja ε um tamanho pequeno arbitrariamentedefinido; então n pode ser assumido como sendo tão grande que sn − sn + r < ε para cada r.sn agora está dentro do intervalo s − δ … s + δ, de modo que s − sn + r = s − sn + ε',ε' < ε, e consequentemente também ε' pode ser arbitrariamente pequeno, sendo tambémsn+r para cada r dentro do intervalo. Nenhum lugar sm ,para o qual m > n , onde n é um

número indicado, pode assim cair para além de s + δ, portanto não pode haver lugar s' paraalém de s, que ocupa a mesma destacada posição que s.

Seja y = f (x) uma função contínua de x. "Se x1 é um valor positivo de y e x2 umnegativo; então entre x1 e x2 há um valor de x para o qual y = 0".

Pode-se especificar entre x1 e x2 dois valores x1' e x2' de forma que o intervalox1 …x1' y é sempre positivo, e entre x2' e x2 sempre negativo.

308 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


Seja a um inteiro tal que1a

é menor que x1' − x1 e menor que x2 − x2' (1a

n seja

menor que x1' − x1 é menor que x2 − x2' ), e consideramos os intervalos dema

…m + 1

a, …,

n − 1a

…na

, ondem + 1

a> x1 ≥

ma

,na

≥ x2 >n − 1

a, então haverá

um número no qual y é positivo, e entre estes deve haver um último dado,μ − 1

a…

μa

para o qual esteja nos intervalosμa

…μ + 1

a, em que o mesmo y é consistentemente

positivo. Então todo número a tem um número μ, e todos os números

μa

estão entre x1 e x2.

Vamos agora observar todos os lugaresμa

,μ2

a2 ,

μ3

a3 , …, todos os lugares

μa

para a série a ,

a2, a

3…, então deve haver um lugar x0 entre x1 e x2 , de modo que em qualquer pequena

vizinhança x0 − δ … x0 … x0 + δ dos mesmos lugaresμλ

aλ se apresentem infinitos

números. Mas como y é supostamente uma função contínua de x, eu posso escolher ε δ tãopequeno quanto quiser e depois assumir que no intervalo x0 − δ … x0 … x0 + δ

y − y 0 < ε (y 0 é igual a f(x0)). No intervalo x0 − δ … x0 + δ estão completamente

incluídos os intervalosμn

an …

μn + 1

an . Se y0 for positivo, ε , em seguida, poderia ser

escolhido tão pequeno que y deveria ser efetivamente positivo entre x0 − δ e x0 + δ; se y0

for negativo, ε , em seguida, poderia ser escolhido tão pequeno que y deveria serefetivamente negativo entre xo − δ e x0 + δ. As duas coisas não são permitidas; portanto,y0 deve ser igual a 0, q.e.d..

O teorema sobre o limite superior é um caso especial do teorema sobre o ponto decompressão. Todos os lugares de qualquer domínio podem estar entre 0 e G. Entre a série

de contagem 0,1a

,2a

,3a

…ma

… há um primeiro número que é maior do que qualquer

um dos lugares desejados do domínio. Este primeiro é μ +1a

, então entreμa

eμ + 1

ahá

pelo menos um lugar do domínio. A cada número a pertence tal número μ; então nósobtemos infinitamente muitos números

μa

. De acordo com o nosso teorema, agora deve

haver um lugar g em cuja vizinhança, por menor que seja, lugaresμa

podem ser

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 309


encontrados. O lugar g é o limite superior; porque em cada intervalo g − δ … g , δ é tãopequeno quanto se queira, encontra-se pelo menos um lugar do domínio definido; a podeexceder qualquer grandeza, porque há infinitamente muitos lugares

μa

na vizinhança do g.

Agora, pode-se selecionar um a tão grande que1a

< δ, de modo que o intervalo

μa

…μ + 1

aesteja localizado na vizinhança δ de g. Além disso, nenhum lugar do

domínio pode ser maior do que g, uma vez que no caso oposto existiriam intervalosμa

…μ + 1

a, além dos quais ainda deveriam existir lugares do domínio.

9.4 Continuidade uniforme

Pode-se dar a seguinte definição para a continuidade de uma função: “f (x) (onde x deveapenas assumir valores reais) é contínua entre os limites x = a e x = b , se, depois deassumir uma grandeza arbitrariamente pequena ε , puder ser encontrado um número δ doseu tipo que para todos os valores de x1 e x2 , aplicáveis a |x1 − x2|< δ também se torne a|f (x) − f (x2)|< ε .” Deve ser demonstrado que essa definição corresponde à definição

dada anteriormente. Dividimos, a partir do ponto zero, a linha reta em intervalosma1

…m + 1

a1, em que a1 é um número positivo inteiro e m passa por todos os valores

inteiros de − ∞ até +∞.

Entre a e b ocorre apenas um número finito de tais intervalos. Em cada um dessesintervalos f(x) há um limite superior e um limite inferior; assim (f (x2) − f (x1)) tem umlimite superior. O intervalo em que esse limite superior tem o maior valor, nós o

suprimimos; deixe-o serμa1

…μ + 1

a1. Se deixarmos a1 passar por todos os inteiros

310 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


positivos, nós finalmente teremos muitos desses intervalos; háμa1

…μ + 1

a1(entre a e b).

Assim, há um lugar x0 , em cujo entorno há infinitamente muitos lugaresμ

a1

. Agora, isso

permite que encontremos, uma vez que assumimos que f é contínua entre a e b de acordocom a nossa definição anterior, um ξ de forma que seja

|h| <ξ |f(x0 + h) − f(x0)| <14ε .

Se então x' e x'' no intervalo x0 − ξ … x0 + ξ , assim é: |f (x' ) − f (x0)| <14ε , e

|f (x'') − f (x0)| <14ε , consequentemente, |f (x' ) − f (x'')| <

14ε .

Agora que existem infinitamente muitos lugaresμ

a1

, a1 pode ser assumido como

sendo tão grande que o intervaloμa1

…μ + 1

a1está localizado completamente dentro do

intervalo x0 − ξ … x0 + ξ . Para valores de x1 e x2 dentro do intervaloμa1

…μ + 1

a1, para

o qual portanto |x1 − x2|<1a1

, é também |f(x1) − f (x2)| <12ε. Desde que em todos os

intervalosma1

…m + 1

a1, o intervalo

μa1

…μ + 1

a1é o maior limite superior da diferença

|f(x1) − f (x2)|, então para cada um dos outros dois valores x1 e x2, que satisfazem a

condição |x1 − x2|<1a1

, se ambos os valores estiverem em um e no mesmo intervalo

ma1

…m + 1

a1, também |f (x1) − f(x2)| <

12ε . Sejam x1 e x2 dois diferentes (claro, um

em relação ao outro) intervalos ema1

…m + 1

a1e

m + 1a1

…m + 2

a1, assim é certamente

|f (x1) − f (x 2)| < ε . Então podemos encontrar de fato um número δ =1a1

, de modo que

somente se |x1 − x2|< δ se torna, |f(x1) − f (x2)| < ε falha, onde ε era uma grandezaarbitrariamente pequena.

A nossa primeira definição de continuidade tem assim a propriedade expressa nasegunda definição como consequência.

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 311


9.5 Princípio do Supremo e Teorema de BOLZANO-WEIERSTRASS para ℝ

n ; máximos e mínimos

Se a é um número inteiro (positivo), nós definimos por (a1

a ,a2

a ,a3

a …aν

a …an

a ) um

domínio particular, ou seja, a totalidade dos sistemas de valores x1, x2, x3 … xν … xn ,

onde xν está entre aν

ae

aν + 1a

.

Agora, assumimos que são definidos infinitamente muitos lugares (sistemas devalores) x1, x2 … xn , ou seja, nenhum dos lugares deve ser inferior a um lugar que possaser especificado, e nenhum deve ser superior a outro lugar que possa ser especificado.

Haverá então um primeiro domínio sob os intervalos (a1

a ,a2

a , …an

a ) [a1, a2 … an são

números inteiros positivos ou negativos] nos quais existem infinitamente muitos doslugares definidos. Este primeiro intervalo divide-se novamente em subintervalos dividindo

em intervalos o intervaloaλ

a …aλ + 1

aassim decomposto:

aλ

a…

aλ

a+

1a2

; aλ

a+

1a2

…aλ

a+

2a2

; …aλ

a+

a−1a2

…aλ

a+

a

a2

Assim chegamos ao subdomínio de um domínio (a1

a ,a2

a …an

a ) , que estão

completamente contidos no último. Seja (a1'

a2 ,a2'

a2 …an'

a2 ) o primeiro desses

subdomínios, que contém infinitamente muitos lugares do domínio. A partir do domínio

(a1'

a2 , …an'

a2 ) deriva-se um domínio (a1''

a3 , …an''

a3 ) que está completamente dentro dele

e, (a partir dos subdomínios do domínio (a1'

a2 , …an'a2 ) , é o primeiro que contém

infinitamente muitos lugares. Se continuarmos desta forma, ficam cada vez mais estreitosos domínios dentro dos quais ainda existem infinitamente muitos lugares do domínio, e olugar tem a característica

312 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


de que em cada pequena vizinhança da mesma ainda existem infinitamente muitos lugaresdo domínio.

Existem definidos infinitamente muitos lugares(x1, x2 … xn). O lugar (c 1, c2 … c n)não pertence ao domínio definido. Façamos

ξ1 =x1 − c1

(x1 − c 1)2+ … + (xn − cn)

2 , ξ1 =x1 − c1

(x1 − c 1)2+ … + (xn − cn)

2 , …

ξn =xn − cn

(x1 − c1)2+… + (xn − cn)

2 ,

Assim a cada lugar x1, x2 … xn corresponde um lugar ( ξ1, ξ2 … ξn ), e o contrário, paracada lugar ξ 1, … ξn , um lugar x1, … xn).Então,

ξ12 + ξ 2

2 + … + ξn2 =

1(x1 − c1)

2 + … + (xn − cn)2

,

também

x1 − c1 =ξ1

ξ12 + ξ2

2 +…+ ξn2 , … xn − cn =

ξn

ξ 12 +…+ ξn

2

Para os domínios definidos (x1, … xn) você obtém um domínio correspondente (ξ1, … ξn),em que não há infinitamente grande lugar, uma vez que (c1, c2 … cn), de acordo com opressuposto, não há nenhum lugar do domínio (x1, … xn). Um ponto de fronteira dodomínio (ξ ) corresponde a um tal domínio (x). É o primeiro o lugarξ1 = ξ2 = ξ3 = … = 0 , então o último é o lugar x1 = x2 = x3 = …= ∞.

Um lugar (x1, … xn) de um domínio corresponde sempre a um lugar y ; então y

também é uma grandeza variável, e, assim, tem um limite inferior e um limite superior, esteúltimo sendo g. Em seguida, existe [no domínio de x ] (Não é necessário que o lugarpertença ao domínio definido) pelo menos um lugar da condição a seguir: Se eu considerarqualquer vizinhança da mesma, ainda que pequena, e se eu considerar os correspondentes

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 313


valores de y para os lugares do domínio x que pertencem a domínio, em seguida, essesvalores de y também têm o seu limite, sendo ele apenas g. O mesmo se aplica ao limiteinferior.

Provamos este teorema apenas para um domínio de uma variável x .

Nós consideramos todos os intervalosμa

…μ + 1

aem que aparecem x para o qual

existem y associados. Para o último existe em cada intervaloμa

…μ + 1

aum limite

superior gμ . Entre todos os intervalos, no entanto, deve haver pelo menos um para que olimite superior seja gμ = g , uma vez que todos os y tomados em conjunto devem ter olimite superior g. Se há diversos intervalos para os quais seja gμ = g, então, consideremos

qualquer um deles, por exemplo o primeiro. Existem agora infinitos lugaresμa

(um para

cada número a ), fazendo paraμa

…μ + 1

a… gμ = g ; portanto, deve haver um lugar x0

em cujo domínio existem infinitamente muitos lugaresμa

. Se você tomar um intervalo tão

pequeno x0 − δ … x0 … x0 + δ , então você pode ter muitas infinitos domíniosμa

…μ + 1

aentre x0 − δ e x0 + δ. Consequentemente, o limite superior de

x0 − δ … x0 + δ é idêntico aoμa

…μ + 1

a, ou seja, igual a g , q.e.d..

É uma questão que ocorre frequentemente se há um máximo ou um mínimo(máximo e mínimo no sentido absoluto) entre os valores que uma grandeza pode assumir.Seja y uma função contínua de x , y = f(x). x deve estar entre dois certos limites dea e b. Em que circunstâncias há um máximo e um mínimo para y ? Há um limite

superior para o y . Então, de acordo com o nosso teorema, deve haver um lugar x0 nodomínio de x , de modo que entre x0 − δ e x0 + δ o limite superior de y também é g. Ox0 está localizado dentro de a … b ou na fronteira (x0 = a ou x0 = b).

314 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


No primeiro caso, f(x0) é um máximo. Ou seja, f(x0) deve ser igual a g: Uma vezque f(x) − f (x0) pode ser considerado tão pequeno quanto se quer, tornandosuficientemente pequeno |x − x0| , mas, por outro lado f(x) , porque x se encontra nointervalo x0 − δ … x0 + δ, para cuja proximidade a grandeza g pode ser trazidaarbitrariamente, então deve ocorrer que f(x0) = g (Se f(x0) = g + h , entãof(x) − f (x0) = f(x) − g − h, e f(x) não poderia chegar arbitrariamente perto do g se

não fosse h = 0).Mas se x0 coincide com a ou b, então só se pode provar a partir de um respectivo

b tal que f(a) respectivamente f(b ) é um máximo se f(x) também é expresso em umrespectivo b que muda continuamente.

Se x' estiver entre a e b e se f(x') > f(a), f (b) , então o valor x0 só pode estarentre a e b. O que acaba de ser desenvolvido acima sobre o máximo pode serimediatamente transferido para o mínimo.

Analogamente, isso também se aplica a funções de várias variáveis. Sejay = f (x1, x2 … xn) uma função contínua das variáveis x1, x2 … xn , então existe

sempre para o valor de y entre dois lugares ( a1 , a2 … an ) e ( b1, b2 … bn ) um limitesuperior g e, no intervalo entre os mesmos lugares, um lugar de destaque (x1

0, x20, x3

0… xn

0 ), em cujo domínio, embora pequeno, o limite superior do y também ég pertencente aos lugares do domínio. Isto novamente leva à conclusão de que se (

x10 , x2

0… xn

0) é maior que (a1, a2 … an) e inferior a (b1, b 2 … bn), f(x10, x2

0… xn

0) = g e,

portanto, um máximo dos valores da função; mas se (x10, … xn

0) com um dos lugares de

fronteira (a1, …), (b1, …) coincide, f(x10, … xn

0) apenas é um máximo se a função em si no

lugar (a1, a2 … an) respectivamente (b1, b 2 … bn) está em mudança contínua. Todas as proposições que estabelecemos acima para domínios de variáveis reais,

podem ser imediatamente transferidas para domínios de variáveis complexas, uma vez quecada variedade de n variáveis complexas determina uma variedade de 2n variáveis reaisconsiderando as coordenadas de cada uma das variáveis complexas. Por exemplo, umdomínio de uma variável complexa u + vi evoca um domínio de dupla multiplicidade deduas variáveis (u , v).

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 315


Kapitel 9

ℝ e ℝn als metrische topologische Räume

9. 1 Offene Mengen und Zusammenhangskomponenten

Eine unbeschränkt veränderliche reelle Größe ist eine solche, die alle Werthe zwischen− ∞ und + ∞ annehmen kann; sämmtliche Punkte einer Geraden repräsentieren das Gebiet

einer solchen Veränderlichen. Wir denken uns nun einen Verein von unbeschränktveränderlichen Größen (Im Folgenden handelt es sich nur um reelle Größen; auf complexeVeränderliche lässt sich alles folgende leicht übertragen) Jedes bestimmte System derVeränderlichen heißt eine Stelle im Gebiet der Größen. Sind x1, x2 … xn die Variabeln,a 1, a 2 … an eine Stelle in ihrem Gebiete was so zu verstehen ist, daß x1 a= 1 ,x2 a= 2 … x n a= n im Werthesystem ist, so ist, wenn |x 1′ − a 1|< δ ,|x2′ − a2|< δ … |xn′ − an|< δ , x1' , x 2 ' … x n ' eine Stelle in der Umgebung δ der Stellea 1, a 2 … a n . xν' liegt zwischen a ν + δ und aν − δ .

In dem Gebiete einer unbeschränkt Veränderlichen x sei in irgend welcher Weiseeine unendliche Anzahl von Stellen definiert; die Gesammheit dieser Stellen werde durchx′ bezeichnet. Dann können die x' entweder durch discrete oder durch continuierlich

aufeinander folgende Punkte einer Geraden repräsentiert sein im letztern Falle sagt man, siebilden ein Continuum. Dieses ist analytisch so zu definieren: Ist a eine Stelle desdefinierten Gebietes x' ', und liegen in einer hinreichend klein gewählten Umgebung vona sämmtliche Stellen dieser Umgebung in dem Gebiete x' , so bilden die x' ein

Continuum.In einer Umgebung einer Stelle a eines Gebietes x' liege eine andere Stelle a1, so

daß sämmtliche Stellen des Intervalls a bis a1 zu dem Gebiete x' gehören; a2 habe inBezug auf a1 dieselbe Eigenschaft wie a1 in Bezug auf a; ebenso möge sich a3 zu a2 , a4 ea3 … an zu an−1 verhalten.

Dann sagen wir, es sei von a1 zu anein continuierlicher Übergang möglich. Zwischen a

und b sei kein continuierlicher Übergang im Gebiete x' möglich, so gehört aber zu a , wiezu b ein ganzes Continuum von Werten x' . Es besteht also ein Gebiet, in welchemcontinuierliche Übergänge von einer Stelle zu einer andern möglich sind, aus einem odermehreren getrennten continuierlichen Stücken. Was unter den Grenzen einescontinuierlichen Stückes zu verstehen ist, ist unmittelbar klar.

316 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


Alles dieses läßt sich ohne Schwierigkeit auf ein Gebiet von n Variabeln auf einen -fache Mannigfaltigkeit übertragen. Für n=3 läßt es sich noch geometrisch

veranschaulichen, was es heißt, von einer Stelle zu einer andern finde ein continuierlicherÜbergang statt.

Die Möglichkeit eines continuierlichen Überganges von einer Stelle zu einer andernruft auch die von der letztern zur ersten hervor.

Dies ist nicht selbstverständlich, denn z. B. wird es eine Umgebung von x1 geben,die x2 enthält, aber nicht umgekehrt eine Umgebung von x2, die x1 enthält, denn dieUmgebung von x2 darf nicht größer als x2b sein. Man braucht aber zwischen x1 und x2

nur solche Stellen einzuschalten, welche zwischen x1 und x2 solche Intervalle bilden, diekleiner oder gleich x2b sind, um zu zeigen, daß auch von b nach a ein continuierlicherÜbergang möglich ist, wenn er es von a nach b war.

9.2 Supremumsprinzip und Satz von BOLZANO-WEIERSTRASS für

g heißt die obere Grenze einer veränderlichen Größe, wenn es keinen Werth derVeränderlichen giebt größer als g und wenn in dem Intervall g − δ … g , δ sei eine nochso kleine Größe, sich noch immer Stellen des Gebietes der Veranderlichen vorfinden. g' istdie untere Grenze, wenn es keinen Werth der Variabeln giebt kleiner als g' und wenn injedem, noch so kleinen Intervall g' … g' + δ sich Stellen des Gebietes vorfinden. Ob gund g' selbst dem Gebiete angehören oder nicht, ist gleichgültig. (g kann gleich ∞ undg' gleich − ∞ werden).

“Jedes Gebiet einer veränderlichen Größe hat eine obere und eine untere Grenze.”Wir nehmen an, die Veränderlichen sei nur positiver Werthe fähig und könne nicht gleich∞ werden. Der allgemeine Fall läßt sich dann leicht auf diesen speciellen zurückführen.

Dem Beweise unseres Satzes schicken wir folgendes voraus: a0 , a1, a2 … sei eine Reihevon Zahlen, die nicht abnehmen und sämmtlich kleiner als eine angebbare (endliche) Größeg sind. Bilden wir dann die Zahlen b1 = a1 − a0 , b2 = a2 − a1 … bv = av − av − 1 … , so

ist b = b1 + b2 + b3 + … in inf. eine endliche Größe. Die Summe von beliebig vielenGliedern der Reihe b1, b2, b3 … , von welchen bn den höchsten Index habe, ist nämlich

kleiner oder gleich an − a0, also sicherlich kleiner als g , daher ∑i=1∞

b i endlich.

Eine Stelle, die in unserm Gebiete liegt, werde wieder durch x' bezeichnet. a sei

eine positive ganze Zahl. Ich betrachte nun die Zahlenreihe1a

,2a

,3a

,4a

… . Von x'

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 317

ℝ


haben wir vorausgesetzt, daß x' beständig größer als 0 und kleiner als G, wo G einepositive Zahl bedeutet. Man kommt daher in der obigen Zahlenreihe zu einem erstenGliede, daß größer oder gleich G und also auch größer als jeder Werth, den x' annehmen

kann, ist. In dem Intervallea1

a…

a1 + 1a

müssen dann nothwendig eine oder mehrere

Stellen, die zu dem Gebiete gehören, liegen, wenn wir untera1 + 1

adas erste Glied der

Zahlenreihe verstehen, das alle für x' zulässigen Werthe an Größe übertrifft. In dieserWeise gehört zu jeder Zahl a eine Zahl a1. Zu den Gliedern der Reihe a, a

2, a3, a

4,… an … mögen so die Zahlen a1 , a2 , a3 , a4 … an … gehören, so daß in jedem der

Intervalle

a1

a…

a1 + 1a

a2

a2…

a2 + 1

a2

a3

a3…

a3 + 1

a3

⋮an

an …

an + 1

an

mindestens Eine Stelle des Gebietes x' liegt.

Wir wollen nun zeigen, daß in der Reihea1

a,

a2

a2 ,

a3

a3 , … ,

an

an … jedes Glied größer

ist als das vorhergehende. Dazu zerlegen wir das Intervallan

an …

an + 1

an in die Reihe von

Intervallen:

318 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


Mindestens muß es in Einem dieser Intervalle Stellen der definierten Art geben (Stellen x' )

da es deren in dem Intervallean

an …

an + 1

an gab. Das Intervall

an

an +

m − 1an + 1

…an

an +

m

an + 1

sei das letzte, welches von den Intervallen I. Stellen x'enthält. Dieses Intervalla⋅an + (m − 1)

an + 1 …

a⋅an + m

an + 1 ist aber identisch mit dem Intervall

an + 1

an + 1…

an + 1 + 1

an + 1,

also an+ 1 = a⋅an + m − 1, daheran + 1

an + 1 ≥

an

an , wie behauptet wurde.

Bilden wir nun die Differenzen b0 =a1

a, b1 =

a2

a2 −

a1

a,, b2 =

a3

a3 −

a2

a2 ,

b3 =a4

a4 −

a3

a3 … , und die Summen

b0 = b0 + b1 + b 2 + b3 +… =a1

a+

m1 − 1

a2+

m2 − 1

a3+… ,

so ist b die obere Grenze des Gebietes x' .

b ist nämlich zuvörderst eine endliche Größe (vgl. p. 84). Die Summe der n ersten

Glieder von b istan

an , also b >an

an (alle Glieder von b sind ja positive Zahlen); aber

b ≤an + 1

an . Es kann keinen Werth von x' geben, der größer b ; denn durch hinreichend

groß gewähltes n kann b deman + 1

an so nahe gebracht werden, als man nur will, und es

giebt keinen Werth von x' größeran + 1

an . Da ferner b immer zwischen

an

an undan + 1

an

liegt, zwischen diesen Grenzen aber mindestens ein Werth von x' liegt und, wie ebengezeigt, kein Werth von x' größer b ist, folgt, daß zwischen b und b − δ immermindestens ein Werth x' liegt (δ irgend eine, noch so kleine Größe).

“In jedem discreten Gebiete von einer Mannigfaltigkeit, welches unendlich vieleStellen enthält, giebt es mindestens eine Stelle, die dadurch ausgezeichnet ist, daß in jedernoch so kleinen Umgebung derselben sich unendlich viele Stellen des Gebietes vorfinden."

(Stellt man das Gebiet durch Punkte einer Curve, etwa einer Geraden, dar, so findetin dieser Stelle gewissermaßen eine Verdichtung des Gebietes statt.) Z. B.: Ista0 + a1 + a2 + … in inf. eine convergente Reihe, so bilden die Größen s0, s1, s2, s3, s4 … ,

wo unter sn ∑i =0

n

ai verstanden ist, ein discretes Gebiet von unendlich vielen Stellen. Die

Stelle, in deren Umgebung, sei dieselbe noch so klein, sich unendlich viele andere Stellendes Gebietes finden, ist hier s , die Summe der Reihe. Es ist nämlich s − sn < δ oders − δ < sn, wenn δ eine beliebige klein gewälte Größe ist, und, nach Wahl von δ , n

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 319


größer als eine bestimmte Zahl angenommen wird. Es liegen also zwischen s und s − δ,δ sei noch so klein, unendlich viele Größen sn.

Wir nehmen (zum Beweise unseres Satzes) zunächst an, daß die definierten Stelleninnerhalb zweier Grenzen g0 und g1 enthalten sind.

a sei eine beliebige ganze Zahl. Wir bilden die Reihe der

I. −ma

, −m − 1

a, −

m − 2a

, … , −1a

, 0, +1a

, 2a

, … , n − 2a

, n − 1a

, na

.

II.

Dieselbe ist nach links soweit fortgesetzt, daß −ma

< g0ist, und nach rechts so weit, daß

na

> g1ist. Betrachten wir nun sämmtliche Intervalle in der Reihe I.μa

…μ + 1

anur

endlich viele Glieder hat, so ist klar, daß mindestens Eines unter denselben sein muß,innerhalb dessen unendlich viele Stellen des definierten Gebietes liegen; denn es sind jaunendlich viele Stellen definiert und nur endlich viele Intervalle. Das erste Intervall,

welches unendlich viele Stellen des Gebietes fasst, seiμ1

a…

μ1 + 1a

. Unterhalbμ1

agiebt es

also nur vereinzelte Stellen des Gebietes. Zu jeder Zahl a gehört nun eine Zahl μ1; wir

bilden die letztern zu den Zahlen der Reihe a, a2, a

3, … und bezeichnen die zugehörigenμs durch μ1, μ2, μ3 …. Dann haben wir die Reihe von Intervallen:

μ1

a…

μ1 + 1a

μ2

a2…

μ2 + 1

a2

.

.

.μn

an …

μn + 1

an

μn + 1

an + 1 …

μn + 1 + 1

an + 1

.

.

.

von denen wir wissen, daß jedes unendlich viele Stellen des Gebietes enthält und daßunterhalb der untern Grenze jedes Intervalls nur noch endlich viele Stellen des Gebietes

liegen. Daraus können wir schließen:μn + 1 + 1

an + 1>

μn

an und

μn + 1

an + 1 <

μn + 1

an , also:

1) μn +1 + 1 > a⋅μn und 2) μn + 1 < a⋅μn + a

320 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


Aus 1) können wir folgern (da es sich um eine Einheit handelt): μn + 1 ≥ a⋅μn undμn + 1

an + 1 ≥

μn

an . Die Zahlen

μ1

a,μ2

a2 ,

μ3

a3 ,

μ4

a4 … bilden also eine Reihe von wachsenden

Größen, von denen jedoch keine die Grenze überschreitet, über die hinaus sich keineStellen des Gebietes vorfinden. Daher ist

I. A =μ1

a+

μ2 − a μ1

a2 +

μ3 − a μ2

a3 + …

eine endliche Größe (vgl. p. 84), und ich behaupte, A ist eine solche Stelle, in derenUmgebungen sich unendlich viele Stellen des Gebietes finden. Man kann nämlich zu jederUmgebung A − δ … A + δ von A durch hinreichend groß gewältes r Intervalleμr

ar …

μ r + 1

ar finden, die ganz innerhalb des Intervalls A − δ … A + δ liegen, so daß, da

zwischenμr

ar …

μ r + 1

ar unendlich viele Stellen des Gebietes liegen, dies auch für da

Intervall A − δ … A + δ gilt. – Die Größe A ist eine vollkommen bestimmte. Wählt manz. B. a = 10, so erhalten wir A durch Gleichung I auf dieser Seite in Form einesDecimalbruchs.

9. 3 Anwendungen

c0, c1, c2 … in inf. sei eine Reihe von Zählgrößen. Man bilde s0 = c0, s1 = c0 + c1,s2 = c0 + c 1 + c 2 … so machen die Größen s0, s1, s2 … ein Gebiet von unendlich vielen

discreten Stellen aus. Nehmen wir außerdem an, daß sn eine angebbare Größe nichtüberschreiten kann, so muß nach unserm Satze mindestens eine Stelle s existieren, in derenUmgebung, letztere sei so klein, wie man will, noch unendlich viele Stellen sn liegen. Wirwollen nun zeigen, daß es nur Eine solche Stelle s geben kann, wenn noch vorausgesetztwird, daß sn − sn + r unendlich klein wird, wenn n unendlich groß wird (sn − sn + r

gleichzeitig mit1n

unendlich klein wird) für jeden Werth von r.

Es mögen nämlich s und s' zwei solchen Stellen sein und s < s' . Da in jedem nochso kleinen Intervall s − δ … s + δ unendlich viele Stellen sn liegen, so müssen auchsolche darin liegen, bei denen n jede beliebige Zahl übersteigt. ε sei eine beliebig kleingewählte Größe, so kann n so groß angenommen werden, daß sn − sn + r < ε für jedes r.Liegt nun sninnerhalb des Intervalls s − δ … s + δ, so liegt, da s − sn + r = s − sn + ε', ε'< εist, und εund folglich auch ε' beliebig klein gewält werden kann, auch sn + r für jedes r

innerhalb des Intervalls. Keine Stelle sm , für welche m > n, wo n eine angebbare Zahl ist,kann also über s + δ hinaus fallen, daher kann es auch über s hinaus keine Stelle s' mehrgeben, welche dieselbe ausgezeichnete Stellung einnimmt wie s .

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 321


y = f (x) sei eine stetige Funktion von x. “Gehört zu x1 ein positiver Wehrt vony , zu x2 ein negativer, so giebt es zwischen x1 und x2 einen Wehrt von x, für den y = 0

wird”. Man kann jedenfalls zwischen x1 und x2 zwei Werthe x1' und x2' so angeben, daß

in dem Intervall x1 … x1' y éimmer positiv und zwischen x2' und x2 immer negativ ist.

Ist nun a eine ganze Zahl, so daß1a

kleiner als x1' − x1 und auch kleiner als x2 − x2'

(also auch1a

n kleiner als x1' − x1 und kleiner als x2 − x2' ) , und betrachten wir die

Intervallema

…m + 1

a, …,

n − 1a

…na

, wom + 1

a> x1 ≥

ma

,na

≥ x2 >n − 1

a, so

wird es unter diesen eine Anzahl geben, in denen y positiv ist, unter diesen muß es ein

letztes geben,μ − 1

a…

μa

, so daß es in dem Intervalleμa

…μ + 1

aaufhört, daß in

demselben y beständig positiv ist.So gehört zu jeder Zahl a eine Zahl μ, und alle Zahlen

μa

liegen zwischen x1 und

x2. Betrachten wir nun etwa alle Stellenμa

,μ2

a2 ,

μ3

a3 , …, alle Stellen

μa

für die Zahlenreihe

a, a2, a

3…,so muß es zwischen x1 und eine Stelle x0 geben, so daß in jeder noch so

kleinen Umgebung x0 − δ … x0 … x0 + δ derselben sich Stellenμλ

aλ in unendlicher

Anzahl finden. Da aber y eine stetige Funktion von x sein soll, so kann ich nach Annahmevon ε δ so klein wählen, daß in dem Intervalle x0 − δ … x0 … x0 + δ y − y 0 < ε bleibt(y 0 ist gleich f(x0)). In dem Intervalle x0 − δ … x0 + δ liegen aber Intervalleμn

an …

μn + 1

an ganz drin. Wäre nun y 0 positiv, so könnte ε so klein gewählt werden, daß y

zwischen x0 − δ und x0 + δ beständig positiv wäre; wäre y 0 negativ, so könnte ε so kleingenommen werden, daß y beständig negativ zwischen x0 − δ und x0 + δ wäre. Beides istnicht zulässig; also muß y 0 = 0 sein, q.e.d..

Der Satz über die obere Grenze ist ein specieller Fall des Satzes über denVerdichtungspunkt. Alle Stellen irgend eines Gebietes mögen zwischen 0 und G liegen.

Unter der Reihe von Zählen 0,1a

,2a

,3a

…ma

… giebt es eine erste Zahl, die größer ist als

322 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


jede beliebige der Stellen des Gebietes. Diese erste seiμ+1

a, so liegt zwischen μ

aund

μ+1a

mindestens noch eine Stelle des Gebietes. Zu jeder Zahl a gehört so eine Zahl μ ; wir

erhalten also unendlich viele Stellen μa

. Es muß nun nach unserm Satz eine Stelle g

geben, in deren Umgebung, sie sei noch so klein, sich Stellen μa

finden. Die Stelle g ist die

obere Grenze; denn in jedem Intervall g − δ … g, δ sei so klein, wie es will, findet sichmindestens eine Stelle des definierten Gebietes; a kann nämlich jede beliebige Größe

überschreiten, da in der Umgebung von g sich unendlich viele Stellen μa

finden. Man kann

nun a so groß wählen, daß1a

< δ wird, so daß also das Intervallμa

…μ + 1

aganz in der

Umgebung δ von g liegt. Ferner kann es keine Stelle des Gebietes geben größer als g , da

im entgegengesetzten Falle Intervalleμa

…μ + 1

aexistieren würden, über welche hinaus

noch Stellen des Gebietes liegen.

9. 4 Gleichmäßige Stetigkeit

Man kann für die Stetigkeit einer Funktion folgende Definition geben: " f(x) (wo x nurreelle Werthe annehmen soll) ist stetig zwischen den Grenzen x = a und x = b , wennnach Annahme einer beliebig kleinen Größe ε eine Zahl δ von der Art gefunden werdenkann, daß für alle Werthe x1 und x2 , für welche |x1 − x2|< δ ist, |f (x) − f (x2)|< ε

wird." Es soll gezeigt werden, daß diese Definition mit der früher gegebenenübereinstimmt. Wir theilen, vom Nullpunkt ausgehend, die Gerade ab in Intervalle

ma1

…m + 1

a1, wo a1 eine ganze positive Zahl ist und m alle ganzen Werthe von − ∞

bis +∞durchläuft.

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 323


Zwischen a und b fallen nur endlich viele solcher Intervalle. In jedem dieserIntervalle hat f(x) eine obere und eine untere Grenze; also auch (f (x2) − f (x1)) eineobere Grenze. Dasjenige Intervall, in welchem diese obere Grenze den größten Werth hat,

greifen wir heraus; es seiμa1

…μ + 1

a1. Lassen wir a1 alle positiven ganzen Zahlen

durchlaufen, so erhalten wir unendlich viele solcher Intervalleμa1

…μ + 1

a1(zwischen a

und b ). Es giebt also eine solche Stelle x0 , in deren Umgebung unendlich viele Stelleμa1

liegen. Es läßt sich nun, da wir f zwischen a und b nach unserer früheren Definition als

stetig annehmen, ξ finden, so dass für |h| <ξ |f(x0 + h ) − f(x0)| <14ε ist.

Wenn dann x' und x'' in dem Intervalle x0 − ξ … x0 + ξ liegen, so ist:

|f (x' ) − f (x0)| <14ε und |f (x'') − f (x0)| <

14ε , folglich |f (x' ) − f (x'')| <

14ε .

Es lässt sich jetzt, da bei x0 unendlich viele Stellenμa1

liegen, a1 so groß annehmen,

daß das Intervallμa1

…μ + 1

a1ganz innerhalb des Intervalls x0 − ξ … x0 + ξ liegt. Für

Werthe von x1 und x2 , die innerhalb des Intervallsμa1

…μ + 1

a1liegen, für welche also

|x1 − x2|<1a1

, ist also auch |f(x1) − f (x2)| <12ε. Da unter allen Intervallen

ma1

…m + 1

a1dem Intervall

μa1

…μ + 1

a1die größte obere Grenze der Differenz

|f(x1) − f (x2)|, zukommt, so ist für je zwei andere Werthe x1 und x2 , welche der

Bedingung |x1 − x2|<1a1

genügen, wenn beide Werthe in ein und demselben Intervalle

ma1

…m + 1

a1liegen, ebenfalls |f (x1) − f(x2)| <

12ε . Liegen x1 und x2 aber in zwei

verschiedenen (natürlich aufeinanderfolgenden) Intervallenma1

…m + 1

a1und

m + 1a1

…m + 2

a1, so ist gewiß |f(x1) − f (x 2)| < ε . Wir können also in der That eine Zahl

δ =1a1

finden, so dass wenn nur |x1 − x2|< δ wird, |f(x1) − f (x2)| < ε ausfällt, wo ε

die beliebig klein angenommene Größe war. Unsere erste Definition der Stetigkeit hat also die in der zweiten Definition

ausgesprochene Eigenschaft als Folge.

324 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


9.5 Princípio do Supremo e Teorema de BOLZANO-WEIERSTRASS para ℝ

n ; máximos e mínimos

Ist a eine ganze (positive) Zahl, so bezeichnet wir mit (a1

a ,a2

a ,a3

a …aν

a …an

a ) einen

bestimmten Bezirk, nämlich die Gesamtheit der Wertesystem von x1, x2, x3 … xν … xn ,

bei welchen xν zwischen aν

aund

aν + 1a

liegt.

Wir nehmen nun an, daß unendlich viele Stellen (Wertesysteme) x1 , x2 … xn

definiert sein, und zwar soll keine der Stelle kleiner als eine angebbare und keine größer als

eine andere angebbare Stelle sein. Es wird dann unter den Bereichen (a1

a ,a2

a , …an

a )[a1, a2 … an sind ganze positive oder negative Zahlen.] einen ersten geben, in welchemsich unendlich viele der definierten Stellen geben. Diesen ersten Bereich zertheile ich

wieder in Unterbereiche, indem das Intervallaλ

a …aλ + 1

ain die Theilintervalle

aλ

a…

aλ

a+

1a2

; aλ

a+

1a2

…aλ

a+

2a2

; …aλ

a+

a−1a2

…aλ

a+

a

a2

zerlegt wird. So erhalten wir an Unterbereich zu dem Bereich (a1

a ,a2

a …an

a ) die ganz in

dem letztern liegen. (a1'

a2 ,a2'

a2 …an'

a2 ) sei der erste dieser Unterbereiche, der unendlich

viele Stellen des Gebietes in sich faßt. Aus dem Bereiche (a1'

a2 , …an'

a2 ) leitet sich dann ein

Bereich (a1''

a3 , …an''

a3 ) ab, welcher ganz innerhalb desselben liegt und (von den

Unterbereichen des Bereichs (a1'

a2 , …an'a2 ) ) der erste ist, welcher unendlich viele Stellen

enthält. Fährt man so fort, so erhält man immer engere und engere Bereiche, innerhalb derersich noch unendlich viele Stellen des Gebietes finden, und die Stelle

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 325


hat die Eigenschfat, daß in jeder noch so kleinen Umgebung δ derselben sich nochunendlich viele Stellen des Gebietes anfinden.

Es sein unendlich viele Stellen (x1, x2 … xn) definiert. Die Stelle (c 1, c2 … c n)gehöre nicht zu dem definierten Gebiete. Setzt man dann

ξ1 =x1 − c1

(x1 − c 1)2+ … + (xn − cn)

2 , ξ2 =x2 − c2

(x1 − c 1)2+ … + (xn − cn)

2 , …

ξn =xn − cn

(x1 − c1)2+… + (xn − cn)

2 ,

so entspricht jeder Stelle x1, x2 … xn eine Stelle (ξ1, ξ2 … ξn), aber auch umgekehrt jederStelle (ξ1, … ξn) eine Stelle x1, … xn). Es ist nämlich

ξ12 + ξ 2

2 + … + ξn2 =

1(x1 − c1)

2 + … + (xn − cn)2

also

x1 − c1 =ξ1

ξ12 + ξ2

2 +…+ ξn2 , … xn − cn =

ξn

ξ 12 +…+ ξn

2

Zu dem definierten Gebiete x1, … xn) erhält man so ein zugehöriges Gebiet (ξ1, … ξn), inwelchem es keine unendlich große Stelle giebt, da (c1, c2 … cn) nach Voraussetzung keineStelle des Gebietes x1, … xn) ist. Einer Grenzstelle des Gebietes (ξ) entspricht eine solcheim Gebiete (x). Ist die erste Stelle ξ 1 = ξ 2 = ξ3 = … = 0 , so ist die letztere die Stellex1 = x2 = x3 = …= ∞

Einer Stelle x1, … xn) eines Gebietes entspreche immer eine Stelle y; dann ist auchy eine veränderliche Größe und hat also eine untere und eine obere Grenze; die letztere seig . Dann giebt es [in dem Gebiete der x ] (Es ist nicht nöthig, daß die Stelle zu dem

definierten Gebiete gehört.) mindestens eine Stelle von folgender Beschaffenheit: Wenn ichirgend eine noch so kleine Umgebung derselben betrachte und für die in dieser Umgebungliegenden Stellen des Gebietes x die zugehörigen Werthe y betrachte, so haben diese

326 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021


Werthe von y auch ihre Grenze und dieselbe ist gerade g . Ähnliches gilt für die untereGrenze.

Wir beweisen diesen Satz nur für ein Gebiet einer Variabeln x .

Wir betrachten sämmtliche Intervalleμa

…μ + 1

a, in denen x liegen, für welche es

zugehörige y giebt. Für letztere giebt es in jedem solchen Intervallμa

…μ + 1

aeine obere

Grenze gμ . Unter den sämmtlichen Intervallen muß es aber mindestens eins geben, fürwelches die obere Grenze gμ = g ist, da ja sämtliche y zusammen betrachtet die obereGrenze g haben sollten. Giebt es mehrere Intervalle, für die gμ = gist, so fassen wir irgend

eins, z. B. das erste, derselben ins Auge. Es giebt nun unendlich viele Stelleμa

(für jede

Zahl a eine), so daß fürμa

…μ + 1

a… gμ = g ist; folglich muß es eine Stelle x0 geben, in

deren Umgebung unendlich viele Stellenμa

liegen. Nimmt man nun einen noch so kleinen

Bereich x0 − δ … x0 … x0 + δ , so kann man unendlich viele Bereicheμa

…μ + 1

afinden, die zwischen x0 − δ nd x0 + δliegen. Folglich ist die obere Grenze von

x0 − δ … x0 + δ identisch mit derμa

…μ + 1

a, also gleich g , q.e.d..

Es ist eine häufig vorkommende Frage, ob es unter den Werthen, die eine Größeannhemen kann, ein Maximum oder ein Minimum giebt (Maximum und Minimum imabsoluten Sinne). y sei eine continuierliche Funktion von x , y = f (x)). x soll zwischenzwei bestimmten Grenzen a und b liegen. Unter welcher Umständen giebt es für y einMaximum und ein Minimum? Es giebt für die y eine obere Grenze. Es muß also nachunserm Satze in dem Gebiete der x eine Stelle x0 geben, so daß zwischen x0 − δ undx0 + δ die obere Grenze von y auch g ist. x0 liegt entweder im Innern von a … b oder

an der Grenze (x0 = a oder x0 = b).

RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021 327


Im ersten Falle ist f(x0) ein Maximum. Nämlich f(x0) muß gleich g sein: Danämlich f(x) − f (x0) durch genügend klein gewähltes |x − x0| so klein gemacht werdenkann, als man will, andererseits aber f(x) , da x in dem Intervallliegt, der Größe gbeliebig nahe gebracht werden kann, so muß f(x0) = g sein. (Wäre f(x0) = g + h , sowäre f(x) − f (x0) = f(x) − g − h, und f(x)) könnte dem g nicht beliebig nahekommen, wenn nicht h = 0 ist).

Stimmt aber x0 mit a oder b überein, so kann man nur dann von a resp. b

behaupten, daß f(a) resp. f(b) ein Maximum ist, wenn f(x)) sich auch noch in a resp. bstetig ändert.

Liegt x' zwischen a und b und ist f(x') > f(a), f (b ) , so kann der Werth x0 nurzwischen a und b liegen. Das, was eben über das Maximum entwickelt wurde, läßt sichsofort auf das Minimum übertragen.

Auch für Funktionen von mehreren Variablen gilt Analoges. Isty = f (x1, x2 … xn ) eine stetige Funktion der Variabeln x1, x2 … xn , so giebt es für den

Werth von y zwischen zwei Stellen a1, a2 … an und (b1 , b 2 … bn) immer eine obereGrenze g und in dem Intervall zwischen denselben Stellen eine ausgezeichnete Stelle(x1

0, x20, x3

0… xn

0 ), in deren Umgebung, sie sei noch so klein, die obere Grenze der zu denStellen der Umgebung gehörigen y auch g ist. Damit folgert man wieder, daß, wenn(x1

0, x20… xn

0 ) größer als (a1, a2 … an) und kleiner als (b1 , b 2 … bn) ist,

f(x10, x2

0… xn

0) = g und also ein Maximum der Funktionswerthe ist; daß aber, wenn

( x10, … xn

0 ) mit einer der Grenzstellen (a1, …), (b1, …) zusammenfällt, f(x10, … xn

0) nur

dann ein Maximum ist, wenn die Funktion sich an der Stelle (a1, a2 … an) resp.(b1, b2 … b n) stetig ändert. –

Alle Sätze, die wir oben für Gebiete von reellen Variabeln aufgestellt haben, lassensich sofort auf Gebiete von complexen Variabeln übertragen, indem jede n -facheMannigfaltigkeit von complexen Variabeln eine 2n -fache Mannigfaltigkeit von reellenVariabeln dadurch bestimmt, indem man die beiden Coordinaten einer jeden der complexenVariabeln betrachtet. Z.B. Ein Gebiet einer complexen Variabeln u + vi ruft ein Gebietzweifacher Mannigfaltigkeit von zwei reellen Variabeln (u , v) hervor.

328 RBHM, Vol. 21, nº 42, pp. 294–328, 2021

AS NOTAS AULA KARL WEIERSTRASS EM 1878

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