AS REGRAS DA CADEIA

É um recurso de derivação para funções compostas, e um dos mais importantes

teoremas do Cálculo Diferencial. Começaremos com a regra da cadeia para funções de

uma variável e depois generalizaremos.

Para derivarmos funções compostas podemos utilizar propriedades

matemáticas e engenhosidades sem utilizar a regra da cadeia, entretanto a derivação

se torna um pouco mais simples com o uso da regra da cadeia que enunciaremos a

seguir:

Por inicio, consideremos as funções e , tal que

. Assim a regra da cadeia assume a seguinte forma:

( )

ou

Exemplo: 1) Derive a função .

Para começar chamamos e , então derivamos:

;

Utilizando a regra da cadeia, temos:

Mas como , a derivada fica assim:

2) Se a equação do movimento de uma partícula for dada por

, dizemos que a partícula esta em movimento harmônico simples.

a) Encontre a velocidade da partícula no instante t.

b) Quando a velocidade é zero?

Solução: a)

A velocidade é dada por:

b) Para que a velocidade seja igual à zero, a função tem que ser zero, portanto:

Agora avançaremos para o caso de funções com varias variáveis. Podemos

considerar duas regras da cadeia.

Para entendermos a primeira regra da cadeia par funções de varias variáveis,

começamos com o exemplo:

Considere a função , poderíamos simplesmente derivar

utilizando a regra da cadeia simples e a regra de Leibniz, entretanto façamos uso da

seguinte regra

Primeira regra da cadeia:

Seja uma função de duas variáveis e sejam e funções de uma variável, suponha

que , e , definimos a função da seguinte forma

ou

Voltando ao exemplo, , fazendo e

Podemos generalizar essa regra para funções com n variáveis, seja

, então:

Segunda regra da cadeia:

Sejam , e , assim ( ) , então as

derivadas parciais são dadas por:

e

Ou na notação de Leibniz:

e

Podemos generalizar para funções de m variáveis com essas variáveis, sendo

por sua vez funções de n variáveis, sejam e

Com j = 1, 2, ..., n. Se as derivadas parciais de em relação a , podemos

escrever utilizando a notação de somatório, na forma

∑

Exemplo: Suponha que seja uma função diferenciável em (0,0,0) e que

, e . Se a função está definida peça

equação , encontre e .

Solução: Seja , , e , e faça . Então

, assim

Fazendo e , temos , , e

Do mesmo modo,

Escrito por F. L. Tibola

Graduando em Engenharia Química