Ass ntotas Horizontais e Ver- ticais 146SP/2016-II/textos/Semana 4 - M… · = lim x!1 1 4 x + 2 x2...

1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16a 26/08/2016

1. Materia dessa semana de acordo com o Plano de ensino oficial:

• Assıntotas Horizontais e Verticais.

• Continuidade

2. Material para estudar:

• Assıntotas Horizontais e Ver-ticais:

1

Assıntotas Verticais e Horizontais

MAT146 - Calculo I

18 de agosto de 2016

MAT146 - Calculo I UFV


Os limites infinitos podem ser aplicados para encontrar assıntotas verticaisde um graficos, se elas existirem. Neste caso, quanto mais os valores de xse aproximam do numero 2, o grafico de f (x) se aproxima da reta x = 2.

A figura abaixo que representa o grafico da funcao f (x) =1

x − 2.



−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

x

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5y

0

Figura : Grafico da funcao f (x) =1

x − 2.



DefinicaoDiremos que a reta x = a e uma assıntota vertical do grafico da funcaof , se pelo menos uma das alternativas abaixo for verdadeira.

(i) limx→a+ f (x) = +∞;

(ii) limx→a+ f (x) = −∞;

(iii) limx→a− f (x) = +∞;

(iv) limx→a− f (x) = −∞.

ObservacaoDada uma funcao f contınua, pode existir mais de uma assıntota verticale o grafico nunca interceptara tais assıntotas.

Geometricamente, a assıntota vertical do grafico de uma funcao f e areta paralela ao eixo Oy que passa pelo ponto (a, 0).



ExemploAche a(s) assıntota(s) vertical(is) da funcao

f (x) =x + 2

x2 − 4.

Observe que os candidatos a assıntotas verticais sao x = 2 e x = −2,pois sao os valores que satisfazem a equacao x2 − 4 = 0. Como

limx→−2

x + 2

x2 − 4= lim

x→−2

x + 2

(x − 2)(x + 2)

= limx→−2

1

x − 2

= −1

4,

concluımos que x = −2 nao e uma assıntota vertical.



Uma vez que

limx→2−

x + 2

x2 − 4= lim

x→2−

x + 2

(x − 2)(x + 2)

= limx→2−

1

x − 2= −∞

e

limx→2+

x + 2

x2 − 4= lim

x→2+

x + 2

(x − 2)(x + 2)

= limx→2+

1

x − 2= +∞,

pela definicao, a reta x = 2 e uma assıntota Vertical.



−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

x

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5y

0

Figura : Grafico da funcao f (x) =x + 2

x2 − 4.



DefinicaoDiremos que a reta y = b e uma assıntota horizontal do grafico de umafuncao f , se pelo menos uma das seguintes afirmacoes for verdadeira.

(i) limx→+∞ f (x) = b e existe um numero N, tal que, se x > N, entaof (x) 6= b.

(ii) limx→−∞ f (x) = b e existe um numero N, tal que, se x < N, entaof (x) 6= b.

ObservacaoUma funcao f pode ter no maximo duas assıntotas horizontais e o graficode f pode interceptar a assıntota horizontal.



ExemploEncontre a(s) assıntota(s) horizontal(is) da funcao

f (x) =x2 − 4x + 2

3x2 − 2.

Note que

limx→∞

x2 − 4x + 2

3x2 − 2= lim

x→∞

x2

(1− 4

x+

2

x2

)x2

(3− 2

x2

)

= limx→∞

(1− 4

x+

2

x2

)(

3− 2

x2

)=

1

3,



e

limx→−∞

x2 − 4x + 2

3x2 − 2= lim

x→−∞

x2

(1− 4

x+

2

x2

)x2

(3− 2

x2

)

= limx→−∞

(1− 4

x+

2

x2

)(

3− 2

x2

)=

1

3.



Para mostrar que existe N > 0 tal que f (x) 6= 1

3, para x > N, e suficiente

mostrar que o grafico de f corta a reta y =1

3um numero finito de vezes.

De fato,

f (x) =1

3

x2 − 4x + 2

3x2 − 2=

1

3

3(x2 − 4x + 2) = 3x2 − 2

−12x2 + 8 = 0

x =2

3.

Logo, para x >2

3, temos f (x) 6= 1

3e desta forma, y =

1

3e uma assıntota

horizontal do grafico de f .



−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

x

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5y

0

Figura : Grafico da funcao f (x) =x2 − 4x + 2

3x2 − 2.


• Continuidade:

1

Universidade Federal de Viçosa - Departamento de Matemática

Notas de Aula - Cálculo I - Limites 23

515lim55

lim

5

5

5

lim

5

lim5

lim00000 t

sent

t

sent

t

sent

t

sent

x

xsen

ttttx

Calculexsen

xsen

x 9

7lim

0.Exemplo

Solução: Temos que:

x

xsenx

xsen

x

xsenx

xsen

x

xsenx

xsen

x

xsenx

xsen

xsen

xsen

x

x

xxxx

9

9lim

7

7lim

9

7

9

97

7

lim9

7

9

997

77

lim9

7

lim9

7lim

0

0

0000

Fazendo u = 7x e v = 9x, e lembrando que se x tende a zero, u e v tendem a zero

também, temos:

9

7

1

1

9

7

lim

lim

9

7

9

7lim

0

0

0

v

vsenu

usen

xsen

xsen

v

u

x

xax

xfax

lim

Continuidade

De modo informal

Quando definimos flim , analisamos o comportamento da função para

valores de x próximos de a, porém diferentes de a. Em muitos exemplos, vimos que

pode existir, mesmo que f não esteja definida no ponto a. Se f está definida em

a e existe, pode ocorrer que este limite seja diferente de

xf

xf af .

Quando diremos, de acordo com a definição abaixo, que f é

contínua em a.

afxfax

lim

Definição: Uma função f é contínua em um número a se satisfaz as seguintes

condições:

i. af é definida;



ii. xfax

lim existe;

iii. af .xfax

lim

Segue alguns esboços de gráficos de funções que não são contínuas em a.

Se uma (ou mais) das três condições da definição não forem satisfeitas, dizemos

que f é descontínua em a.

Observe os gráficos acima. As descontinuidades em ( I ) e ( III ) são

descontinuidades removíveis, pois podemos removê-las definindo adequadamente o

valor de . A descontinuidade em ( II ) é do tipo salto, conforme a aparência do

gráfico. Se tende para ou

af

f x quando x tende para a pela esquerda ou pela

direita, conforme o gráfico ( IV ), temos uma descontinuidade infinita em a.

a x

y Para ver a

animação deste

exemplo

a

y

x

( I ) ( II )

a

y

x

a

y

x

( III) ( IV)



A função x

xxExemplo f não é contínua em a = 0, pois 0f não é definido e

também não existe. xfx 0lim

y

x

Descontinuidade tipo salto

A função f definida por 52xxf é contínua em x = 0? Exemplo

Solução: Como ,5500 2f 0f está definida.

55limlim 2

00xxf

xx. Temos que

05lim0

fxfx

Assim,

Como as condições de (i) a (iii) da definição foram satisfeitas,

concluímos que f é contínua em 0.

ExemploVerifique se a função f definida por

1 se 3

1 se 1

132 2

x

xx

xx

xf é

contínua em para o número .1

Para ver a

animação deste

exemplo Solução: Testando as três condições da definição, temos:

i. 31f

ii. 112lim1

112lim

1

132limlim

11

2

11x

x

xx

x

xxxf

xxxx

iii. Como xffx 1lim131 , a função é descontínua em x = 1.



Exemplo Seja a função definida por 0 se 3

0 se 9

2 xxx

xxxf . Verifique se a

função é contínua em x = 0. Para ver a

animação deste

exemplo Solução: Pela definição de função contínua, temos:

i. 39900f ;

399limlim e 33limlim00

2

00xxfxxxf

xxxx

Logo, 3lim0

xfx

ii.

iii. 03lim0

fxfx

Logo, a função é contínua em x = 0.

Propriedades das funções contínuas

1. Se as funções f e g são funções contínuas em um ponto a, então:

i. gf é contínua em a;

ii. gf é contínua em a;

iii. gf é contínua em a;

iv. gf / é contínua em a, desde que 0ag .

2. Uma função polinomial é contínua para todo número real.

3. Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio.

4. As funções trigonométricas são contínuas em todo seu domínio.

5. As funções exponencial e logarítmica são contínuas em todo seu domínio.

ExemploDetermine os números nos quais a função é

contínua.

1 se

1 se 32

2 xx

xxxf



Solução: As funções 32x e são polinomiais e, portanto, contínuas em

qualquer número. Assim, temos que o único número cuja continuidade é questionável é

x = 1. Dessa forma,

2x

i. 13121f

ii.1limlim

132limlim

2

11

11

xxf

xxf

xx

xx

Assim, como xfxfxx 11limlim , temos que não existe

Exemplo

xfx 1lim

1 xse

1 se 27

2kx

xxxf

2

Portanto, a função será contínua em todos os números, exceto x = 1.

Ache o valor para a constante k, se possível, que fará a função

contínua para todos os números reais.

Solução: Sabemos que as funções 7x

71

e são contínuas em todo seu

domínio. Para que a função f seja contínua para todos os números reais, basta

verificarmos a continuidade de f para x = 1. Assim, verifiquemos as três condições da

definição de continuidade:

2kx

i. 521f

kxxf

xxf

xx

xxii.

k11

11

lim)(lim

527lim)(lim

2

Para que exista, temos que k seja igual a 5. 1

)(limx

xf

iii. Para que a função f seja contínua para todos os números reais,

temos que )1()(lim1

fxfx

, logo k = 5.

Continuidade à esquerda e à direita: Seja f a função definida em um intervalo

fechado . Dizemos que uma função é contínua à esquerda no ponto c se ba,

)()(lim bfxfbx

e é contínua à direita no ponto c, se



)()(lim afxfax

Assim, definimos continuidade em um intervalo fechado:

Definição: Uma função f é dita contínua em um intervalo fechado ba, , se as seguintes

condições são satisfeitas:

i. f é contínua em ba, ;

ii. f é contínua à direita em a;

iii. f é contínua à esquerda em b.

29 xxf .Verifique a continuidade da função Exemplo

Solução: Como o domínio da função f é o intervalo fechado ,

necessitamos investigar a continuidade de f no intervalo aberto

3,3

3,3 e nos pontos

extremos. Seja c um ponto qualquer do intervalo 3,3 . Então, pela definição de

continuidade em um ponto, temos:

i. 29 c está definido pois )(cf 3,3c ;

ii. 29 c existe pois 29lim)(lim xxfcxcx

3,3c ;

iii. )(cf9)(lim 2cxfcx

Logo, a função é contínua para todo ponto do intervalo 3,3 .

Verifiquemos os extremos:

039)3( e 09lim)(lim 22

33fxxf

xx, logo f é contínua à esquerda

em 3. Além disso,

039)3( e 09lim)(lim22

33fxxf

xx, logo f é contínua à

direita em .3

Dessa forma, temos que f é contínua no intervalo fechado 3,3 .

• Exercıcios:

• Fazer os exercıcios 8,10,18 e 19 da lista2(Ver em intermat-disciplinas-Mat146-Listas)

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