ASSUNTOS II ARTOGRÁFICAS C ROJEÇÕES P ULA A OTAS DE N · ELIPSE DE TISSOT PARA AS PROJEÇÕES...
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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Faculdade de Ciências e Tecnologia
NOTAS DE AULA – PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS II Graduação em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura
Este material, de uso interno, constitui não exatamente “Notas de Aula”, mas sim um material complementar ao que é desenvolvido em sala de aula na disciplina Projeções Cartográficas II, para o curso de graduação em Engenharia Cartográfica e de Agrimensura da UNESP/FCT. Autor: Prof. Mauricio Galo Departamento de Cartografia Última atualização: Setembro/2018
Presidente Prudente 2018
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 2 Prof. Mauricio Galo
Material Complementar da Disciplina Projeções Cartográficas II Projeções Conformes
Curso: Engenharia Cartográfica e de Agrimensura UNESP / FCT - Departamento de Cartografia
ASSUNTOS
- Revisão de geometria diferencial (aplicada à cartografia matemática).
- Projeções conformes (Introdução)
- Características / Propriedades / Aplicações - Projeção Cônica Conforme de Lambert.
- Comportamento do fator de escala para a Projeção Cônica Conforme de Lambert.
- Características / Propriedades / Aplicações - Cilíndrica Conforme - Projeção de Mercator.
- Loxodrômicas e Ortodrômicas.
- Características / Propriedades / Aplicações - Projeção Plana Polar Estereográfica.
- Particularização para os casos oblíquo e transverso.
- Relação entre fator de escala e erro relativo.
- Lista de exercícios.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 3 Prof. Mauricio Galo
Revisão de Conceitos de Geometria Diferencial Aplicada a Cartografia Matemática
SUPERFÍCIE DE REFERENCIA (X,Y,Z) E SUPERFÍCIE DE PROJEÇÃO (X,Y,Z)
Considerando estas superfícies escritas na forma paramétrica em função de (u, v) e (U, V), sendo pi, p'i e ip as funções de mapeamento, tem-se:
)v,u(p
)v,u(p
)v,u(p
z
y
x
3
2
1
)v,u(p
)v,u(p
)v,u(p
Z
Y
X
3
2
1
)V,U('p
)V,U('p
)V,U('p
Z
Y
X
3
2
1
.
PARALELOGRAMOS DIFERENCIAIS (NAS DUAS SUPERFÍCIES) E SEUS RESPECTIVOS ELEMENTOS LINEARES
dsedu
gdv
w
dSEdu
Gdv
dSE'dU
G'dV
Superfície de Referência Superfície de Projeção
222 dv.gdv.du.f.2du.eds 222 dv.Gdv.du.F.2du.EdS
222 dV'.GdV.dU'.F.2dU'.EdS QUANTIDADES FUNDAMENTAIS DE GAUSS (PARA CADA UMA DAS REPRESENTAÇÕES)
(e, f, g) (E, F, G) (E', F', G')
Para a superfície de referência:
222
222
v
z
v
y
v
xg
v
z
u
z
v
y
u
y
v
x
u
xf
u
z
u
y
u
xe
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 4 Prof. Mauricio Galo
MATRIZ FUNDAMENTAL DE TRANSFORMAÇÃO (M)
22
22
v
V
v
V
v
U2
v
Uv
V
u
V
u
V
v
U
v
V
u
U
v
U
u
Uu
V
u
V
u
U2
u
U
Monde,
'G
'F
'E
M
G
F
E
Aplicando a lei dos cossenos ao paralelogramo diferencial da superfície de referência pode-se obter:
egfegwcos1wsen
egfwcos
22
Área do paralelogramo diferencial: dv.du.feg)due.w)(sendv.g(A 2SR
De modo análogo pode-se escrever ASP, assim:
dv.du.fegA 2SR
dv.du.FEGA 2SP
Na prática as seguintes associações são normalmente feitas:
),()v,u(
),()V,U(
FATOR DE ESCALA LINEAR
gdv
duf.2
dv
due
Gdv
duF.2
dv
duE
dv.gdv.du.f.2du.e
dv.Gdv.du.F.2du.E
ds
dSm
2
2
22
22
2
22
Observar que m é função da direção, ou seja, depende de dv
du.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 5 Prof. Mauricio Galo
CONDIÇÃO DE CONFORMIDADE
)tetancons(kmg
G
f
F
e
E 2
CONDIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
2
22SPSR
v
V
u
Vv
U
u
U
'G'F
'F'EFEGfegAA
).v,u(arelaçãoem)V,U(de
JacobianoanteminerdetoÉ
v
V
u
Vv
U
u
U
a
DISTORÇÃO DE ÁREAS
2
2
SR
SP
feg
FEG
A
A
, considerando F=f=0, 900
SR
SP m.mg
G.
e
E
A
A
m0 - distorção ao longo da curva paramétrica u m0 = E/e m90 - distorção ao longo da curva paramétrica v = G/g.
Deste modo, assumindo a equivalência tem-se:
1m.mA
A900
SR
SP
DISTORÇÃO ANGULAR MÁXIMA
090
090max mm
mm)sen(
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DISTORÇÃO ANGULAR MÁXIMA PARA PROJEÇÕES CONFORMES
m0=m90 sen(-)=0 (distorção angular máxima nula) DISTORÇÃO DE ESCALA NUMA DIREÇÃO GENÉRICA ()
m90
P
m0 direção
22
9022
02 sen.mcos.mm
INDICATRIZ DE TISSOT (ELIPSE DE TISSOT)
Círculo naSuperfície de
Referência
y
x
dy
dx
ds
P
Elipse naSuperfície de
Projeção
Y
X
dY
dX
dS
P'
Equação da Indicatriz de Tissot 1)m.ds(
dY
)m.ds(
dX2
90
2
20
2
Esta é a equação da elipse, na Superfície de Projeção, que é imagem de um pequeno circulo de raio ds na Superfície de Referência.
ELIPSE DE TISSOT PARA AS PROJEÇÕES CONFORMES
Fazendo ds=1, m0=m90=m tem-se 2222
2
2
2
mYX1m
Y
m
X
A elipse de Tissot se reduz a uma circunferência.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RICHARDUS, P.; ADLER, R. K. Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1974. 174p.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 7 Prof. Mauricio Galo
Relação entre Fator de Escala e Erro Relativo FATOR DE ESCALA – m
O fator de escala linear (m) pode ser obtido pela razão entre duas grandezas lineares, uma medida sobre a superfície de projeção (dSP=dS) e outra sobre a superfície de referência (dSR=ds):
(redução)
)deformação(sem
)(ampliação
1m
1m
1m
dd
dd
dd
d
dm
sS
sS
sS
s
S
A partir do valor do fator de escala (m), ou coeficiente de deformação, pode-se calcular tanto o erro absoluto quanto o erro relativo.
ERRO ABSOLUTO - a Diferença entre uma grandeza medida, ou observada, e um valor de referência. ERRO RELATIVO - r
Razão entre o erro absoluto de uma determinada grandeza e o valor de referência da mesma. RELAÇÃO ENTRE FATOR DE ESCALA E ERRO ABSOLUTO Considerando ds como o valor de referência e resgatando o conceito de erro absoluto pode-se escrever:
sSreferênciaprojetadaa dddd .
Substituindo dS por m.ds, o erro absoluto pode ser expresso por:
ssssSa d)1m(dmddd
A partir do erro absoluto, obtido pela equação anterior, e pelo conceito de erro relativo, pode-se escrever:
rs
s
s
ar 1m1m
d
d)1m(
d
ERRO RELATIVO EM SUPERFÍCIE (EM ÁREA) Considerando que um elemento de área na superfície de referência seja representado por ASR e a área correspondente na superfície de projeção seja ASP, o erro absoluto em área pode ser obtido por:
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 8 Prof. Mauricio Galo
SRSPa AAÁREA
.
Lembrando que a razão ASP/ASR se relaciona com os fatores de escala m0 e m90 por
900SRSP900SR
SP mmAAmmA
A ,
o erro absoluto pode ser rescrito como
SR900SRSR900SRSPa A)1mm(AAmmAAÁREA
.
A partir do erro absoluto obtido pela relação anterior, o erro relativo em área pode ser calculado por:
1mm1mmA
A)1mm(
A900r900
SR
SR900
SR
ar ÁREA
ÁREAÁREA
Denominando o produto m0m90 por msup (fator de escala em área, ou em superfície), pode-se escrever
ÁREAÁREA rsupsup900r 1m1m1mm .
Lembrando que no caso das projeções conformes tem-se m0=m90 pode-se escrever
geral)(caso
conformes)projeções(p/
900sup
2sup
rsupm.mm
mm1m
sup
.
Exercício
1) Considerando a Projeção Plana Polar Estereográfica (caso esférico), no qual o fator de escala linear
(m), ou coeficiente de deformação linear seja 2/45cos
1m
2 ,
pede-se:
a) Mostre que a equação dada é equivalente à equação sen1/2m .
b) Qual é o erro linear relativo nos paralelos =70o N e =60o N? c) A partir de (a) faça uma análise da deformação para esta projeção? d) No paralelo =60o N qual é o Erro Relativo em Área (ou Superfície)? e) Qual o intervalo, em latitude, que é possível fazer o mapeamento, usando esta projeção, de modo que o erro relativo em área não ultrapasse 1%? f) Qual é o decréscimo (ou acréscimo) em área, ao representar, nesta projeção, uma propriedade de área 1km2 situada no paralelo =60o N e na longitude =10o E? g) Qual é a taxa de variação de m com a latitude?
sen.sencos.coscos
cos.sencos.sensen
m
22 sencos2cos
cos.sen22sen
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 9 Prof. Mauricio Galo
Projeções Conformes INTRODUÇÃO Foi visto em seções anteriores que os elementos lineares, nas superfícies de referência e de projeção, podem ser expressos por:
.ojPr.Sup
.fRe.Sup
GdvFdudv2EdudS
gdvfdudv2eduds222
222
O fator de escala linear pode ser obtido a partir da seguinte relação 2
22
ds
dSm
. Multiplicando o
numerador e o denominador por 2dv1 e substituindo os valores de ds2 e dS2 mostrados anteriormente
obtém-se:
gdv
duf2
dv
due
Gdv
duF2
dv
duE
dv1
dv1
gdvfdudv2edu
GdvFdudv2Edu
dv1
dv1
ds
dSm
2
2
2
2
22
22
2
2
2
22
.
Aplicando a condição de conformidade, i.e., k
g
G
f
F
e
E
e substituindo na equação anterior resulta:
k
gdv
duf2
dv
due
gdv
duf2
dv
duek
gdv
duf2
dv
due
gkdv
dufk2
dv
duek
gdv
duf2
dv
due
Gdv
duF2
dv
duE
m2
2
2
2
2
2
2
. Ao considerar a condição de conformidade pode-se observar que o valor de m independe de
dv
du
, que geometricamente equivale a ter o mesmo valor de m, independente da direção. Assumindo que a matriz de transformação fundamental seja representada por J e que as curvas paramétricas são ortogonais têm-se F'=F=f=0. Deste modo pode-se escrever:
22
22
v
V
v
V
v
U2
v
Uv
V
u
V
u
V
v
U
v
V
u
U
v
U
u
Uu
V
u
V
u
U2
u
U
Jcom,
'G
'0
'E
J
G
0
E
'G
'F
'E
J
G
F
E
. Desenvolvendo o produto anterior obtém-se um sistema de três equações.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 10 Prof. Mauricio Galo
222
222
v
V'G
v
U'EgmG
v
V
u
V'G
v
U
u
U'E0
u
V'G
u
U'EemE
(1.1) Pode-se observar que no sistema anterior têm-se quatro derivadas parciais
( vV,u
V,vU,u
U
) a serem determinadas, a partir de apenas três equações. Este conjunto de
equações só pode ser resolvido se forem impostas algumas condições envolvendo algumas das derivadas parciais. Uma condição que pode ser considerada é que U seja apenas função de u e V seja função de v. Assim:
22
22
22
22
2
1
v
V
g
'Gm
u
U
e
'Em
v
V'GgmG
u
U'EemE
0u
V
0v
U
)v(qV
)u(qU
(1.2a,b) Ao aplicar as condições anteriores, duas das derivadas parciais de anulam, e o problema se reduz a obtenção das funções U e V, a partir das Equações 1.2a e b. Uma relação normalmente considerada na prática é que a variação de V com v seja linear, ou seja,
21 cvcV . (1.3)
A partir da Equação 1.3 pode-se escrever 1c
v
V
e calcular o valor de m pela Equação 1.2b:
21
2 cg
'Gm
. (1.4) Usando o resultado da Equação 1.4 na 1.2a obtêm-se
ug
ecU
'G
'E
g
ec
'G
'E
u
Uc
g
'G
e
'E
u
U11
21
2
(1.5) Ao analisar o desenvolvimento apresentado pode-se ver que o Sistema 1.1 pode ser resolvido ao considerar três condições:
- U como função de u; - V como função de v; e - V como função linear de v (Equação 1.3).
Deste modo, a relação que falta, ou seja, U=q1(u), pode ser obtida a partir da integração dos dois membros da Equação 1.5.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 11 Prof. Mauricio Galo
COORDENADAS ISOMÉTRICAS E A CONDIÇÃO DE CONFORMIDADE Constantes de Gauss para algumas superfícies
Elipsoide x=N cos cos y=N cos sen z=N(1-e2)sen com N=a(1-e2sen2)-1/2
Fazendo u= e v= as quantidades e, f e g podem ser obtidas, isto é:
222222
22222
2
222
dcosNdMds
cosNzyx
g
0zzyyxx
f
Mzyx
e
Pode-se observar que para o elipsoide eg. Elemento linear expresso em coordenadas isométricas:
22
22
22222
cosNg
0f
cosNe
ddcosNds
Plano
1G
0F
1E
dYdXdSVY
UX 222
Condição de conformidade: 2mk
g
G
e
E
Substituindo as quantidades fundamentais acima nas Equações 1.1 tem-se:
gmY
GX
E
0YY
GXX
E
emY
GX
E
222
222
(1.6)
Ao considerar as coordenadas isométricas para o elipsoide tem-se ge . Deste modo, o Sistema 1.6 pode ser simplificado, igualando a primeira equação com a terceira, obtendo o seguinte conjunto de equações:
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 12 Prof. Mauricio Galo
0YYXX
YXYX2222
(1.7, 1.8)
Isolando Y
da Equação 1.8 e elevando ao quadrado obtêm-se:
2
22
2
Y
XX
YY
XX
Y0
YYXX
. (1.9) Substituindo a Equação 1.9 na Equação 1.7 e fazendo algumas simplificações chega-se a seguinte equação:
2222
2
2
2
22
222YXXY
Y
X
Y
XX
XYX
. (1.10) Tirando a raiz quadrada da Equação 1.10 pode-se ser duas soluções. A primeira solução é dada por:
YX8.5Pela
YX
A segunda pode ser obtida de modo análogo, sendo diferente apenas no sinal. Desde modo, pode-se escrever:
YXYXm
(1.11) O conjunto de equações que satisfaz este sistema de equações atende à condição de conformidade e são importantes no desenvolvimento de sistemas conformes. Estas equações são denominadas Equações de Cauchy-Riemann. Observação: - Elas são válidas quando se consideram as coordenadas isométricas.
- O mapeamento definido por uma função analítica (f(z)) é conforme e atende à Equação de Cauchy-Riemann.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS RICHARDUS, P.; ADLER, R. K. Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1974. 174p.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 13 Prof. Mauricio Galo
Considerações Finais e Aplicações Projeção Cônica Conforme de Lambert
PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT COM 1 PARALELO PADRÃO
Mantém a forma de pequenas áreas (propriedade da conformidade). Sobre o paralelo padrão (0) o fator de escala é unitário (representado em verdadeira grandeza - VG). Fora deste paralelo o fator de escala aumenta (m>1) ampliação. A projeção é limitada pela extensão em latitude da área a ser representada. Uso: cartas de utilidade geral, atlas.
PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT COM 2 PARALELOS PADRÃO
Propriedade: conformidade. Não é uma projeção perspectiva.
Sobre os paralelos padrão (1 e 2) m=1,
1m,PPdosfora
1m,PPosentre
Não é indicada para a representação de regiões c/ grande extensão em latitude Idealizada por J. H. Lambert em 1772. Atualmente é uma das projeções cônicas mais utilizadas. Utilização:
- Adotada pela Organização Internacional de Aviação Civil para as Cartas Aeronáuticas do Mundo.
- Recomendada para a Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo. - Utilizada pela DHN - Diretoria de Hidrografia e Navegação nas cartas sinópticas (PP
nas latitudes 1=10oS e 2=40oS ).
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 14 Prof. Mauricio Galo
EXEMPLO DA PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT (1 PP)
Dados iniciais: Paralelo Padrão: 0=20o S Meridiano Central: 0=0o
Dados iniciais: Paralelo Padrão: 0=20o S Meridiano Central: 0=51o W
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 15 Prof. Mauricio Galo
ANÁLISE DO FATOR DE ESCALA (M) PARA A PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT
Modelo Geométrico: Elipsóide
Internacional (1967) Paralelo Padrão: 22o Sul
Modelo Geométrico: ElipsóideInternacional (1967)
Paralelo Padrão: 0=40o
Paralelos limitantes:1=33 o Norte2=45 o Norte
Paralelo de tangência (calculado)pela condição m1=m2
0=39 o 05' Norte
Modelo Geométrico: ElipsóideInternacional (1967)
Paralelos de Entrada:1=33 o Norte2=45 o Norte
Paralelo de tangência (calculado)pela condição m1=m2
039 o 05' Norte Paralelos de Entrada: 33o e 45o
Condição: m1=m2=1Notar que em 1=33o e 2=45o
têm-se m=1
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 16 Prof. Mauricio Galo
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 17 Prof. Mauricio Galo
Características / Propriedades / Aplicações Projeção de Mercator (Projeção Cilíndrica Conforme)
CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES
- Propriedade principal: conformidade. - Equador representado em verdadeira grandeza.
- As áreas são ampliadas proporcionalmente a sec2 (para o caso esférico) e a
22
secN
a
(para o caso elipsoidal). - Os pólos não são representados. - Nesta projeção as linhas de rumo constante (Loxodrômicas) são representadas por linhas retas. - Os paralelos e meridianos são representados por linhas retas. - Os meridianos são igualmente espaçados. - Criada em 1569 por Mercator (Gerardus Mercator, 1512-1594). - Os paralelos e meridianos se cruzam em ângulos retos
LIMITAÇÕES
- Os pólos não são representados. - A variação de escala é grande à medida que se afasta do equador.
APLICAÇÕES
- Projeção muito utilizada em navegação, pois as linhas de rumo (Loxodrômicas) são representadas em linhas retas.
- Cartas náuticas, magnéticas, de fuso-horário, aeronáuticas, geológicas, celestes, meteorológicas e mapas-mundi.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 18 Prof. Mauricio Galo
APARÊNCIA DO RETICULADO
TRECHO DO SCRIPT USADO PARA CRIAR A PROJEÇÃO (Usando o aplicativo GnuPlot)
#
# Equações da Projeção / Caso elipsoidal
#
set title "SISTEMAS DE PROJEÇÃO EM CARTOGRAFIA\n\
Projeção de Mercator (Caso normal) - Fig. Geom.: Elipsoide"
T(lat)=tan(45+lat/2)*( (1-e*sin(lat))/(1+e*sin(lat))**(e/2) )
XC(lat,lon)=ap*log(T(lat))
YC(lat,lon)=ap*(lon-lon0)*pi/180
plot 'world.mer' using (YC($2,$1)):(XC($2,$1)) t 'Meridianos' with lines 3 1
rep 'world.par' using (YC($2,$1)):(XC($2,$1)) t 'Paralelos ' with lines 1 1
rep 'world.dat' using (YC($2,$1)):(XC($2,$1)) t '' with lines 8 8
pause -1 "Deseja fechar janela gráfica?"
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 19 Prof. Mauricio Galo
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO DE MERCATOR
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 20 Prof. Mauricio Galo
Ortodrômicas e Loxodrômicas Ortodromica:
- A distância mais curta entre dois pontos quaisquer da superfície da Terra (Oliveira, 1993)1.
Loxodrômica:
- Linha que apresenta sempre o mesmo rumo, ou a mesma direção da bússola (Oliveira, 1993).
Fonte: Robinson (1995).
Paralelos, meridianos e um círculo máximo definindo uma trajetória sobre a superfície esférica.
Detalhe da figura ao lado, mostrando o ponto de partida.
Gráfico mostrando o comportamento do azimute ao longo de uma ortodrômica, para diferentes valores do Azimute de saída.
1 OLIVEIRA, C. de Dicionário Cartográfico. Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE, Rio de Janeiro, 1993.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 21 Prof. Mauricio Galo
Uma vez que o Azimute varia ao longo de um circulo máximo, qual a maneira mais prática de navegar?
Projeção Gnomônica
(Os círculos máximos são representados por
linhas retas)
Projeção de Mercator
(Projeção Conforme mantém a forma de pequenas áreas)
Solução para a navegação:
Dividir a ortodrômica em trechos de mesmo rumo (loxodrômicas) e navegar por estas singraduras2. Os trechos de mesmo rumo são definidos pelos waypoints ou Pontos de controle de rota, a partir da divisão da ortodrômica.
2 Singradura: Navegação feita num mesmo rumo (Dicionário Aurélio, Ed. Nova Fronteira, 1986).
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 22 Prof. Mauricio Galo
Projeção Plana Conforme Estereográfica CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES
- Foi obtida a partir da Projeção Cônica Conforme fazendo 0=90o (pode também ser obtida utilizando conceitos da projeção perspectiva).
- Propriedade: conformidade (mesmo fator de escala para todas as direções). - Fator de escala em um dado ponto:
cosN
m (para o Elipsoide)
)2/(sec)2/45(cos
1m 2
o2
(para a Esfera)
APLICAÇÕES
- Cartas dos hemisférios, nas modalidades Polar e Equatorial (ou Meridiana). - Cartas de utilidade geral (para áreas de dimensões moderadas). - Cartografia de Regiões Polares
Por ex.: Cartas polares do Serviço Hidrográfico Inglês APARÊNCIA DO RETICULADO
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 23 Prof. Mauricio Galo
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO PLANA ESTEREOGRÁFICA – CASO EQUATORIAL
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO GNOMÔNICA
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO ORTOGRÁFICA
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 24 Prof. Mauricio Galo
Expressões para os casos Oblíquo e Transverso3
Em todo o desenvolvimento apresentado para as projeções, procurou-se obter modelos matemáticos, a partir da propriedade fundamental. De modo genérico, as equações obtidas podem ser escritas da seguinte forma:
),(gY
),(fX
iii
iii
, (1.45)
onde (Xi,Yi) são as coordenadas cartesianas de um ponto i que possui coordenadas geodésicas (i,i). Em todas as projeções vistas até o momento, um elemento fundamental é a direção definida
pelos Pólos Norte e Sul ( SN PP ), como pode ser observado na figura abaixo.
PN
PS
PN
PSPS
PN
Figura 1.4.1: Posição do segmento SN PP em relação à superfície plana (esquerda), ao cone (ao
centro) e ao cilindro (direita).
A partir desta figura pode-se notar que a posição da superfície de projeção, para cada uma das
situações anteriores, pode ser definida em relação ao segmento SN PP , da seguinte maneira:
Projeção Plana (Polar): Eixo SN PP ortogonal ao plano de tangência.
Projeção Cônica (Normal): Vértice do cone no prolongamento do segmento SN PP .
Projeção Cilíndrica (Equatorial): Eixo do cilindro coincidente com SN PP .
Para o caso das projeções oblíquas e transversas pode-se imaginar dois novos pólos, definindo
assim um eixo auxiliar, que age como o eixo SN PP nas projeções normais. Assim como as
coordenadas esféricas (, ) são relacionadas ao eixo definido por SN PP , novas coordenadas esféricas
3 A numeração das equações desta seção esta de acordo com a matéria apresentada em sala de aula.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 25 Prof. Mauricio Galo
podem ser definidas a partir do eixo auxiliar. Designando estas "novas" coordenadas esféricas por (h, ), as equações no sistema oblíquo podem ser escritas por:
),h(gY
),h(fX
iiio
iiio
. (1.46)
Em termos práticos, para que sejam obtidas as coordenadas no sistema oblíquo (usando a Equação 1.46) é necessário fazer a transformação das coordenadas (, ) para as coordenadas esféricas (h, ), que pode ser feito usando os conceitos de trigonometria esférica.
Considerando a Figura 1.4.2, pode-se observar que são representados os Pólos Norte e Sul (PN, PS), um Pólo Norte Oblíquo (Po
N), ou auxiliar, cuja posição é dada por (p,p) e um ponto genérico P de coordenadas (,). A partir destes três pontos pode-se definir um triângulo esférico, podendo-se relacionar as coordenadas (h, ) com (, ), assumindo que o Pólo Norte oblíquo esteja localizado na posição (p,p).
PN
PS
PoN
P(,)
Equadorp
=0
p
90o-
90o-p
=-p
=90o-h
Figura 1.4.2: Triângulo esférico determinado pelos seguintes pontos: Pólo Norte, Pólo Norte ‘Oblíquo’, ou auxiliar, e ponto P. A partir do triângulo esférico mostrado na Figura 1.4.2, no qual dois lados e um ângulo são conhecidos, pode-se determinar os valores de (h, ). O triângulo esférico da Figura 1.4.2, colocado em detalhe na Figura 1.4.3, pode ser resolvido utilizando algumas relações da Trigonometria Esférica4.
4 Algumas fórmulas fundamentais da Trigonometria Esférica:
Fórmula dos 4 elementos: Acoscsenbsenccosbcosacos
Lei dos Senos: Csen
csen
Bsen
bsen
Asen
asen
Fórmula dos 5 elementos: AcosccosbsencsenbcosBcosasen
A
b
B Ca
c
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 26 Prof. Mauricio Galo
P
90o-90o-p
=-p
PN
PoN =90o-h
Figura 1.4.3: Detalhe do triângulo esférico mostrado na Figura 1.4.2.
Aplicando a Fórmula dos 4 elementos, o lado , e portanto h, poderá ser determinado. Assim:
cos)90sen()90sen()90cos()90cos(cos poo
poo
.
Utilizando o fato de que cos(90o-)=sen e que sen(90o-)=cos pode-se obter:
coscoscossensencos pp . (1.47)
Como = 90o-h tem-se:
cos = cos(90o-h) = senh. (1.48)
Aplicando a Lei dos Senos, a seguinte relação pode ser escrita:
)90sen(
sen
sen
seno
,
que simplificada se reduz a
sen
cossensen . (1.49)
A partir da Equação 1.47 pode-se obter o valor de e h. Com a Equação 1.48 pode-se relacionar os elementos , , e . No entanto, o valor de pode ser obtido a partir do seno. Para facilitar a análise do quadrante de pode-se obter o coseno de e posteriormente a tangente de . Aplicando a Fórmula dos 5 Elementos ao triângulo anterior obtém-se
cos)90cos()90sen()90sen()90cos(cossen poo
poo
.
Após simplificação dessa equação pode-se obter
cossencoscossencoscoshcossen pp (5.50)
Considerando o valor do seno de (pela 1.49) e do coseno de (pela 1.50), o valor da tangente de poderá ser obtido por:
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 27 Prof. Mauricio Galo
sen
cossencoscossensen
cossen
cos
sentan
pp,
que simplificado se reduz a
cossencoscossen
cossentan
pp
. (1.51)
Deste modo, as coordenadas esféricas (h,) podem ser obtidas em função da posição de um ponto genérico P(, ) e da posição do Pólo Norte auxiliar (p,p), usando as Equações 1.47 e 1.52, por exemplo. A título de complementação da Figura 1.4.2 são mostradas nas Figura 1.4.4 e 1.4.5 os planos que determinam os ângulos diedros Δλ e α, respectivamente. Estes planos são mostrados com cores, na tentativa de facilitar a visualização.
Figura 1.4.4: Planos que determinam o ângulo diedro (Δλ) em PN.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 28 Prof. Mauricio Galo
Figura 1.4.5: Planos que determinam o ângulo diedro (α) em Po
N (Polo Norte ‘oblíquo’).
__________________________________________________________ Resumo: Dadas as coordenadas do polo auxiliar (p,p) e as coordenadas de um ponto (,), as coordenadas (h,) podem ser obtidas por:
)cos(coscossensensenh ppp
)cos(sencoscossencoscosh ppp
)cos(sencoscossen
cos)sen(tan
ppp
p
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 29 Prof. Mauricio Galo
O uso das principais projeções pelo mundo
Em 1980 foi feito um levantamento por Brandenberger e Gosh (1985), para verificar o uso de algumas projeções.
O gráfico seguinte resume este levantamento:
No Projeção Denominação 1 UTM 2 TM 3 Policônica 4 Gauss-Kruger 5 Cônica Conforme de Lambert (e variantes) 6 ACT grid 7 Oblíqua de Mercator (e variantes) 8 Bonne 9 Cartesiana
10 Poliédrica 11 Estereográfica 12 Azimutal equidistante (Hatt) 13 Cassini-Soldner 14 Outras projeções
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 30 Prof. Mauricio Galo
Mapeamento Conforme CONCEITOS
Mapeamento Conforme
O mapeamento definido por uma função analítica f(z) é conforme, exceto em alguns pontos.
- f() é uma função analítica de variável complexa (z) - z é um número complexo (z=x+iy), sendo i a unidade imaginária (i2=-1)
Função analítica
Uma função f(z) é dita analítica num certo domínio D se f(z) é definida e diferenciável em todos os pontos de D (KREYSZIG, 1993, p. 724).
Elementos lineares em diversas superfícies (Retrospecto)
No plano (x,y):
yV
xU
dydxdS 222
com
1G
0F
1E
(01)
Na superfície de referência (elipsoide de revolução):
v
u
dcosNdMds 222222
com
22
2
cosNg
0f
Me
(02)
Na superfície de referência (elipsoide de revolução) considerando coordenadas isométricas:
v
u
)dd(cosNds 22222
com
22
22
cosNg
0f
cosNe
(03)
Observação 1:
Nesta representação (,) os fatores de escala são iguais para e , o que não acontece para e .
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 31 Prof. Mauricio Galo
Relação entre as coordenadas geodésicas e isométricas
Partindo do elemento linear da Eq. (02), pode-se escrever
222
2222222222 ddM
cosN
1cosNdcosNdMds
2
2222 dd
cosN
McosNds (04)
Deste modo, fazendo a seguinte troca de variável:
dcosN
Md (05)
a Eq. (04) poderá ser escrita por: 22222 ddcosNds .
Por esta equação pode-se ver que se forem consideradas as coordenadas (,) (coordenadas isométricas) os fatores de escala ao longo das curvas paramétricas serão iguais.
Equações de Cauchy-Riemann
Considerando os elementos lineares (01) e (03), bem como a condição de conformidade
kmg
G
e
E 2 , (06)
pode-se obter as seguintes igualdades:
yx
yx
m , (07)
que são conhecidas como Equações de Cauchy-Riemann.
Observação 2:
O conjunto de equações de mapeamento que atendem às Equações de Cauchy-Riemann tem a propriedade de conformidade.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 32 Prof. Mauricio Galo
Mapeamento Conforme, Função Analítica e Equações de Cauchy-Riemann
Pelas definições e conceitos apresentados pode-se verificar que:
1) As equações de mapeamento que atendem às equações de Cauchy-Riemann apresentam a condição de conformidade.
2) O mapeamento por uma função analítica f(z) é conforme.
Deste modo pode-se admitir que:
"As funções analíticas podem ser usadas para representar mapeamentos conformes, e atenderão às equações de Cauchy-Riemann."
Assim, toda projeção conforme pode ser expressa por uma função analítica de variável complexa, na seguinte forma5:
)i(fyix (08)
DESENVOLVIMENTO POR SÉRIE DE TAYLOR
No desenvolvimento da projeção de Gauss-Kruger, três condições são consideradas:
1) o mapeamento é conforme (garantido pela Eq. 08); 2) ela é simétrica em relação ao meridiano central; e 3) o fator de escala ao longo do meridiano central é igual a 1 (m0=1).
Considerando pequeno, a expansão da Eq. 08 em série de Taylor resulta:
n)n(
3)3(
2)2(
)1(
)i(!n
)(f...)i(
!3
)(f
)i(!2
)(f)i)((f)(f)i(fyix
(09)
5 Referência: BUGAYEVSKIY & SNYDER (1995)
Na referência original utiliza-se q no lugar de e l no lugar de . Deve-se estar atendo à disposição dos eixos x e y.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 33 Prof. Mauricio Galo
Segundo as considerações anteriores, o ponto de expansão da série é aquele no qual a latitude vale e onde =0, que corresponde ao ponto p' da figura abaixo.
x
y
p(,)p'(,0)
B
Sendo i a unidade imaginária (i=-1) e considerando i2=-1, i3=-i, i4=1, i5=i,..., pode-se
rescrever a Eq. 09 por:
....!6
)(fi
!5
)(f
!4
)(f
...i!3
)(f
!2
)(fi)(f)(fyix
6)6(
5)5(
4)4(
3)3(
2)2(
)1(
(10)
Separando os termos reais dos termos que multiplicam a unidade imaginária, tem-se:
i....!9
)(f
!7
)(f
!5
)(f
!3
)(f)(f
....!8
)(f
!6
)(f
!4
)(f
!2
)(f)(fyix
9)9(
7)7(
5)5(
3)3(
)1(
8)8(
6)6(
4)4(
2)2(
(11)
Para que a Eq. 11 seja válida, os termos reais e os imaginários, dos dois membros, devem ser respectivamente iguais, o que permite escrever:
9)9(
7)7(
5)5(
3)3(
)1(
8)8(
6)6(
4)4(
2)2(
362880
)(f
5040
)(f
120
)(f
6
)(f)(fy
....40320
)(f
720
)(f
24
)(f
2
)(f)(fx
(12)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 34 Prof. Mauricio Galo
Pela condição (3), m0=1 (no MC) BMd)(f0
PN
PS
=0o
a
b
B
Normal passante
por p(,)
p(,)
Equador
B é o comprimento do arco de meridiano entre o equador (=0) até o ponto de latitude .
A partir da relação 05 pode-se escrever:
cosN
M
d
d, (13)
e todas as derivadas da Eq. 12 podem ser estimadas.
B)(f
cosNd
d
d
dB
d
dB
d
)(f(d)(f )1(
...d
d
d
)cosN(d
d
d
d
))(f(d
d
d
d
))(f(d
d
d
d
))(f(d)(f
2
2)2(
...d
))(f(d)(f
3
3)3(
... Obtendo as derivadas acima e substituindo-as na Eq. 12 pode-se ter a transformação de coordenadas (,) para (x,y) no sistema Gauss-Kruger (Transverso de Mercator).
TRANSFORMAÇÃO (X,Y) (,)
A transformação (x,y) (,) pode ser obtida de modo semelhante ao anterior, partindo-se a seguinte função analítica complexa:
)iyx(fi (14)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 35 Prof. Mauricio Galo
CONVERGÊNCIA MERIDIANA () A convergência meridiana num ponto genérico p é o ângulo formado pela tangente ao meridiano com a direção do norte de quadrícula.
x
MeridianoCentral (0)
Equador y
p(,) ou p(x,y)y
x
Norte de quadrícula
Norteverdadeiro
Meridiano
de p
Pela figura acima pode-se obter o valor de tg por
dx
dytg (15)
Escrevendo os diferenciais totais e considerando que =constante ao longo do meridiano (d=0) obtém-se:
x
y
dx
dx
dy
dy
dx
dytg (16)
Considerando as equações de Cauchy-Riemann, pode-se escrever a Eq. 16 por:
1yx
y
x
x
y
tg
. (17)
Assim, obtido o valor de tg=A, utilizando a Eq. 12, pode-se obter a convergência meridiana por:
...7
A
5
A
3
AAarctgA
753
(18)
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CONVERGÊNCIA MERIDIANA ()
Primeiro termo da convergência (): .sen
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 37 Prof. Mauricio Galo
FATOR DE ESCALA (m)
O fator de escala pode ser obtido pela razão entre um comprimento na superfície de projeção pelo correspondente na superfície de referência, ou seja:
22
222
)dcosN()Md(
dydxm
. (19)
Fatorando dy2 e (d.N.cos)2 no numerador e no denominador, respectivamente, obtém-se:
1dcosN
Md)cosN(
1dy
dx
d
dym
22
2
22
(20)
T
y
x
dx
dy
NQ
MeridianoPassante
por p
p
Md
X
Az
N.cos.d
Y
Z
+d
+d
P
Pelas figuras acima pode-se ver que o azimutes geodésico (Az) e plano (T) podem ser calculados por:
d.cos.N
d.M
tgAz
1gAzcot
dy
dx
tgT
1gTcot (21/22)
Considerando as Eq(s). 21 e 22 na Eq. 20:
Tsen)cosN(
Azsen
d
dy
)Az(sen)cosN(
)T(sen
d
dy
)1Azg(cot)cosN(
)1Tg(cot
d
dym
22
22
122
122
22
222
(23)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 38 Prof. Mauricio Galo
A Eq. 23 foi obtida fatorando dy2 e (d.N.cos)2 na Eq. 19. Uma equação análoga pode ser obtida fatorando dx2 e (Md)2.
A Eq. 23 corresponde à variação de m ao longo do paralelo. Neste caso será uma constante e Az=90o senAz=1. O azimute plano será T=90-, ou seja, senT=sen(90-)=cos.
Levando em conta estas observações na Eq. 23, e extraindo a raiz, obtém-se:
cosN
sec
d
dym (24)
Para obter a expressão final para m, deve-se:
- Determinar d
dy pela Eq. 12 e
- Considerar (Eq. 18). REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOMFORD, G. Geodesy. Oxford: Oxford University Press, 1952. BUGAYEVSKIY, L. M., SNYDER, J. P. Map Projections - A reference Manual. London: Taylor & Francis, 1995. CARVALHO, F. R. de Cadastro Geoambiental Polivalente / Projeção TM (Conforme de Gauss), Informativo COCAR, ano VI, Número especial CGP-04, Dezembro, 1984. CHAGAS, C. B. Teoria e Prática do Sistema UTM da Projeção Conforme de Gauss. Diretoria do Serviço Geográfico, 1959. DIRETORIA DO SERVIÇO GEOGRÁFICO Manual Técnico - Coordenadas planas sistema UTM, 1a parte, Rio de Janeiro, 1959. KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, seventh edition. New York: John Wiley & Sons, 1993. MAILING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition, Oxford: Pergamon Press, 1992. RICHARDUS, P.; ADLER, R. K. Map Projections for Geodesists, Cartographers and Geographers. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1974. 174p. VANICEK, P., KRAKIWSKY, E. J. Geodesy, the concepts. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1986.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 39 Prof. Mauricio Galo
Relação entre as latitudes isométrica e geodésica
A equação que expressa o valor da latitude isométrica (ψ) a partir da latitude geodésica (φ) pode ser obtida a partir da integração da equação
dcosN
Md ,
onde M e N correspondem ao raio de curvatura da seção meridiana e ao raio de curvatura no primeiro
vertical, respectivamente, obtidos por 2/3222 sine1e1aM
e 2/122 sine1aN
,
sendo e a excentricidade do elipsoides de revolução com semi-eixos a e b. O resultado desta integração é dado por (RICHARDUS e ADLER, 1972):
2/e
sine1
sine14/
2tgln .
Um caso particular desta equação, para o caso esférico, onde e=0, resulta em:
4/2
tglnesfera .
Para este caso particular (e=0), pode-se expressar diretamente o valor de φ em função dos demais elementos, assumindo que a latitude isométrica esférica seja fornecida. Nesta situação a latitude φ pode ser obtida por:
2/eartg.2eartg4/2
4/2
tge4/2/tglnesfera
Fazendo desenvolvimento semelhante a partir da equação completa, pode-se escrever:
2/e2/e
sine1
sine1e4/
2tg
sine1
sine1e
,
que permite obter
2/sine1
sine1earctg.2
2/e
Ao observar a última equação, a latitude no primeiro membro (latitude geodésica) é expressa em função da latitude isométrica, excentricidade e da própria latitude geodésica. Deste modo, assumindo que seja disponível a latitude isométrica (ψ) bem como os parâmetros geométricos do elipsoide, uma possível solução para o cálculo da latitude geodésica é de modo iterativo, seguindo os seguintes passos:
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 40 Prof. Mauricio Galo
Passo 1) Inicializar a variável i com i=0.
Calcular a latitude geodésica aproximada φ(i=0) por:
2/earctg.2)0( .
Passo 2) Fazer i=i+1.
Calcular o valor da latitude φ(i) por:
2/sine1
sine1earctg.2
2/e
)1i(
)1i()i(
.
Passo 3) Calcular )1i()i( e avaliar a condição:
2Passo:NÃO
4Passo:SIM
Passo 4) φ(i) = latitude geodésica procurada.
Nesta sequência de passos, ε representa uma tolerância pré-estabelecida. Deste modo, a partir das equações apresentadas e deduzidas, pode-se relacionar e calcular a latitude isométrica a partir da latitude geodésica, e vice-versa.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 41 Prof. Mauricio Galo
Lista de Exercícios de Projeções Cartográficas II Parte 1
Prof. Mauricio Galo I) Você foi encarregado de planejar um produto cartográfico na Projeção de Mercator (Projeção
Cilíndrica Equatorial Conforme). O contratante deseja fazer o mapeamento de uma certa região, utilizando esta projeção e considerando o modelo esférico para a superfície terrestre (R=6371km). Admitindo que o centro da área a ser mapeada esteja sobre o Equador, pergunta-se:
a - Quais são os valores limites em latitude (S-latitude sul e N-latitude norte) do produto a ser gerado, de modo que o erro relativo linear (r) seja no máximo 1% ? (Resposta em graus e minutos) b - Qual é a extensão máxima (Emax) desta área (em latitude), expressa em km? c - Obtenha uma equação que permite obter o valor de Emax como função do erro relativo (r), para este problema. d - A partir desta equação obtenha o valor de Emax para r=1/100. Compare este valor com o obtido em (a). e - Considerando uma área de 1000 km2, situada na latitude obtida em (a), pergunta-se: Qual será a área correspondente na superfície de projeção ? (em km2)
II) Considerando que os pontos P1 e P2 possuam coordenadas geográficas
W55
S30:P
W60
S10:P
o2
o2
2o1
o1
1,
e que o modelo geométrico para a superfície terrestre seja esférico (R=6.371.000,0 m) pergunta-se:
a - Qual a distância esférica (dE) entre os pontos P1 e P2? b - Qual é a distância entre os pontos P1 e P2 na Projeção Cônica Conforme de Lambert (dP), considerando o paralelo padrão situado em 0=20oS?
III) Considerando uma área de 20Km2 situada no paralelo 45oN e a representação desta área na
Projeção Plana Polar Estereográfica pergunta-se: a - Qual será o incremento ou decréscimo, em área, na representação desta área, nesta projeção? b – O resultado acima é esperado, justifique? IV) Deseja-se construir uma carta utilizando a Projeção Gnomônica Polar.
Admitindo que o erro relativo máximo tolerável no produto seja 10% e sabendo que a carta deverá ser construída em uma folha quadrada, como mostra a figura ao lado, pergunta-se:
a – Dado o erro máximo tolerável, qual é a maior dimensão angular
admissível? (Resp. em graus e minutos) b - Qual a máxima deformação angular nesta carta, em valor
absoluto? (Resp. em graus e minutos) c - Qual a máxima deformação em área nesta carta? (Resp. em %) Considere R=6.371.000,0 m e que o ponto de tangência esteja no centro da folha.
Área útil
R
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 42 Prof. Mauricio Galo
V) A partir das equações da Projeção Plana Gnomônica, caso oblíquo, faça a particularização para os casos equatorial e polar. Prove matematicamente, a partir das equações obtidas anteriormente, que no caso da Projeção Plana Gnomônica Polar os paralelos são circunferências concêntricas de raio igual a Rcotg. Faça a visualização desta projeção (no Gnuplot), verificando esta característica.
VI) A Projeção Plana Estereográfica é importante em termos práticos pois ela mantém a forma de
pequenas áreas. Faça a visualização desta projeção para o caso Equatorial. Observe que tanto os paralelos quanto os meridianos são representados por arcos de elipse. Prove matematicamente esta última afirmação.
VII) Considerando que as latitudes φ1=-10º 00’ 00’’ e φ2=-20º 00’ 00’’ correspondem às latitudes dos
paralelos de secância para a Projeção Cônica Conforme de Lambert com dois PP, qual é a latitude φo do paralelo “padrão”? Considere os dados do elipsoide GRS80, utilizado no SIRGAS 2000.
VIII) Assumindo que a latitude de um ponto P1 seja igual a latitude do paralelo-padrão e que o MC
(Meridiano Central) passe por este ponto pergunta-se:
a) Quais as coordenadas de P1 e P2 na Projeção Cônica Conforme de Lambert? b) Qual é a distância entre estes pontos, nesta projeção (em m e com 3 casas decimais). c) Qual é o fator de escala linear em P1 e P2, expresso em valores relativos.
Dados adicionais: P1 – Estação PPTE da RBMC φ = 22º 07’ 11,6571” S
λ = 51º 24’ 30,7225” W
P2 – Estação UFPR da RBMC φ = 25º 26’ 54,1269” S λ = 49º 13’ 51,4372” W
Referencial: SIRGAS 2000 Parâmetros da figura geométrica (GRS80): a = 6.378.137,000 m f = 1/298,257222191
IX) Considerando a Projeção de Mercator, com o MC na longitude λ0 = 0o, e que são conhecidas as
coordenadas dos pontos P1 e P2 (as mesmas do ex. VIII) pede-se:
a) Quais as coordenadas de P1 e P2 na Projeção de Mercator? b) Qual é a distância entre estes pontos, nesta projeção (em m e com 3 casas decimais). c) Qual é o fator de escala linear em P1 e P2, expresso em valores relativos. d) Usando os resultados deste exercício e do ex. VIII faça uma análise comparativa das distorções, considerando os fatores de escala nestas projeções e as distâncias calculadas.
Respostas de alguns dos exercícios:
I) (a) N=8o 4’ N, S=8o 4’ S; (b) 1.793,9 Km; (c)
r
max 1
1arccos
90
RE ; (e) ASP=1.020 Km2.
II) (a) dE=2.283.585 m; (b) dP=2.295.278 m. III) (a) O incremento na área é de 7,45 Km2. IV) (a) 25o 12’; (b) 1o 22’; (c) 15,37%.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 43 Prof. Mauricio Galo
Lista de Exercícios de Projeções Cartográficas II Parte 2
Prof. Mauricio Galo
I) Considerando que o fator de escala linear, ou coeficiente de deformação linear (m), para a Projeção
Plana Polar Estereográfica (caso esférico) seja m=2/(1+sen) pede-se:
a) Qual é o erro linear relativo no paralelo =70o N ? b) Qual é o erro linear relativo no paralelo =60o N ? c) A partir de (a) e (b) faça uma análise da deformação para esta projeção ? d) No paralelo =60o N qual é o Erro Relativo Superficial ? e) Qual é o decréscimo (ou acréscimo) em área, ao representar nesta projeção uma propriedade de área 1km2 situada no paralelo =60o N e na longitude =10o E ? f) Como você calcularia a taxa de variação de m com a latitude?
II) Considerando que as coordenadas dos limites ao N, S, L, e O do estado de São Paulo sejam:
N = -19,793o S = -25,239o L = -44,166o O = -53,176o
-26
-25
-24
-23
-22
-21
-20
-19
-54 -53 -52 -51 -50 -49 -48 -47 -46 -45 -44 e que o ponto de tangência seja no centro do estado, pede-se:
a) Qual é o erro relativo linear máximo ao representar o estado de São Paulo nas projeções azimutais Gnomônica, Ortográfica e Estereográfica.
b) Qual é a máxima deformação em azimute, ao representar o estado de São Paulo nas projeções azimutais Gnomônica, Ortográfica e Estereográfica.
c) Qual é o máximo erro relativo superficial (em área) ao representar o estado de São Paulo nas projeções azimutais Gnomônica, Ortográfica e Estereográfica.
Obs.: Para a solução deste exercício considere que os limites da carta sejam os valores limites do estado e que os erros e as deformações máximos ocorrem nos extremos do produto.
III) Assumindo um erro relativo linear máximo igual a 1/100 e a projeção de Mercator pergunta-se:
a) Quais são as latitudes limites, ao Sul e ao Norte, que se pode mapear com esta projeção, considerando a superfície de referencia esférica de raio R=6271 e o erro máximo dado ?
b) Admitindo o modelo geométrico do elipsoide de revolução (a=6378160; f=1/298.25) como superfície de referência, quais são as latitudes limites ao norte e ao sul ?
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 44 Prof. Mauricio Galo
Lista de Exercícios de Projeções Cartográficas II Parte 3
Prof. Mauricio Galo
I) Calcule o comprimento de um arco infinitesimal ds sobre o elipsoide, subentendido por um arco de paralelo de 1” e um arco de meridiano de 1” (ver figura) nos paralelos de latitude 10º e 30º ? Faça uma análise deste resultado, relacionando com a geometria do elipsoide. Utilize os parâmetros do elipsoide GRS-80 (a=6378137,0 m e f=1/298,257222101), utilizado pelo referencial SIRGAS2000. Resposta em metros.
Δλ=1”
Δφ=1” ds
II) Uma pessoa percorre um arco de 3” (três segundos) sobre um paralelo terrestre. Considerando o modelo esférico de raio R=6.371.000,00 m e que esta pessoa andou 68m pergunta-se: esta pessoa se localiza na região tropical ou temperada do planeta Terra? Justifique sua resposta!
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 45 Prof. Mauricio Galo
Material Complementar da Disciplina Projeções Cartográficas II Projeções Equivalentes / Projeção Cilíndrica Equidistante
Curso: Engenharia Cartográfica e de Agrimensura UNESP / FCT - Departamento de Cartografia
Assuntos
- Projeção Cônica Equivalente de Albers (caso normal)
- Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert
- Projeção Azimutal Equivalente de Lambert
- Projeção Equivalente Pseudo-Cônica de Bonne
- Projeção de Werner
- Projeção de Sanson-Flamsteed
- Projeção Cilíndrica Equidistante Meridiana (Plate Carrée)
- Projeção Cilíndrica Equivalente
- Lista de Exercícios
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 46 Prof. Mauricio Galo
Projeção Cônica Equivalente PROJEÇÃO CÔNICA EQUIVALENTE DE ALBERS (CASO NORMAL)
- Propriedade básica: equivalência. - Pólo: representado por um arco. - Paralelo de tangência padrão: representado em verdadeira grandeza. - A projeção é limitada pela extensão em latitude.
APLICAÇÕES
- É destinada às cartas de uso geral no qual a equivalência é desejável. - Em altas latitudes, a Projeção Cônica Equivalente de Lambert é mais indicada pois o pólo é representado por um ponto.
PROJEÇÃO CÔNICA EQUIVALENTE DE ALBERS C/ 2PP (CASO NORMAL)
- Propriedade básica: equivalência. - Os dois PP são representados em Verdadeira Grandeza. - Apresentada por Albers em 1805. - Restrição: - Não ser conforme
- Não servir às regiões polares APLICAÇÕES
- É destinada a cartas de uso geral no qual a equivalência é desejável. - Em 1817 foi empregada na Carta Geral da Europa.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 47 Prof. Mauricio Galo
Paralelo Padrão na Latitude 5o.
Paralelo Padrão na Latitude 30o.
Paralelo Padrão na Latitude -22o.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 48 Prof. Mauricio Galo
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO CÔNICA EQUIVALENTE DE ALBERS
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
PARA EFEITO DE COMPARAÇÃO É MOSTRADA ABAIXO A PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT, COM AS INDICATRIZES DE TISSOT
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 49 Prof. Mauricio Galo
Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES
- Propriedade básica: equivalência. - A escala sobre o equador é correta. - Todos os paralelos são representados pelo mesmo comprimento. - A ampliação da escala sobre os paralelos é proporcional à sec. - Em altas latitudes as formas são bem alteradas.
APLICAÇÃO
- É destinada a cartas de uso geral, nas baixas latitudes, no qual a equivalência é desejável.
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE DE LAMBERT
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 50 Prof. Mauricio Galo
Projeção Azimutal Equivalente de Lambert CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES
- Propriedade básica: equivalência.
- Conserva os ângulos azimutais com vértice no ponto central.
- Para pontos afastados do centro da projeção as formas são bem alteradas.
- Das projeções azimutais é uma das mais utilizadas.
APLICAÇÃO
- Cartas geográficas (físicas, políticas, econômicas, etc).
- Atlas.
- Cartas dos hemisférios (modalidades polar e equatorial).
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO AZIMUTAL EQUIVALENTE DE LAMBERT
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 51 Prof. Mauricio Galo
3.4 Projeção Equivalente Pseudo-Cônica de Bonne / Projeção de Werner e Projeção de Sanson-Flamsteed
3.4.1 PROJEÇÃO DE BONNE - INTRODUÇÃO
Projeção Equivalente de Bonneou Projeção de Bonne
É uma projeção cônica modificadaPseudo-Cônica
Meridiano central – É uma reta (os demais não) Os meridianos e os paralelos não são ortogonais (F0) A distorção de escala no MC e ao longo dos paralelos é igual a 1 (sem distorção)
Distância entre os paralelos 1 e 2:
2
1
MdS
Os paralelos são igualmente espaçados tanto na esfera quanto no elipsoide?
MC(0)
P(,)
PN
V
A
Distância de P até o Meridiano Central (MC): A=(-0)Rcos (Ao longo do paralelo de latitude )
3.4.1.1 FORMULAÇÃO Cálculo de para um paralelo , caso esférico.
0
0
V
d0,
0
0Rdd 00 (3.37)
A partir da Eq. 3.37 pode-se obter as seguintes derivadas parciais:
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 52 Prof. Mauricio Galo
R
0
. (3.38)
Considerando a condição de equivalência para o caso esférico pode-se escrever:
2
224
0R
0
01cosR
22224 RcosR
cosR (3.39)
Integrando a Eq. 3.39 pode-se obter a expressão para o cálculo de :
ccosR
(3.40)
onde c é uma constante de integração.
Para =0, =0 ccosR
0 0
)(
cosR0
(3.41)
Lembrando que para o paralelo padrão 0
0 tg
R
a resolução da integral 3.37 resulta em
)(Rtg
R0
0
. (3.42)
RESUMO (PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE BONNE)
)(cosR
)(Rtg
R
0
00
(3.43)
sendo as coordenadas (x,y) obtidas por
seny
cosx 0 (3.44)
Obs.: Usando as equações acima pode-se mostrar que F0, ou seja, as curvas paramétricas são não ortogonais.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 53 Prof. Mauricio Galo
Projeção Equivalente de Bonne CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES / APLICAÇÕES
- Propriedade básica: equivalência. - O MC e os paralelos são representados em verdadeira grandeza. - A medida que se afasta do MC existe uma ampliação ao longo dos meridianos.
APLICAÇÕES
- Foi empregada primeiramente na construção de uma carta da França (1/80.000), sendo depois substituída pela Cônica Conforme de Lambert. - É utilizada em países como Bélgica, Holanda, Suíça, Escócia e Irlanda. - É utilizada em atlas
APARÊNCIA DO RETICULADO PARA A PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE BONNE
Paralelo padrão na latitude 30º N.
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO DE BONNE
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 54 Prof. Mauricio Galo
3.4.2 PROJEÇÃO DE SANSON - FLAMSTEED
Esta projeção é um caso particular da Projeção de Bonne para o caso em que 0=0º
Nesta situação 0 Os paralelos se reduzem a retas Como o fator de escala ao longo do MC é igual a 1 pode-se escrever
Rx (3.45)
com
Rx
e 0x
. (3.46)
Usando a condição de equivalência, considerando as Equações 3.46 e o fato do elemento linear no plano ser escrito por dS2=dx2+dy2, pode-se escrever:
2
24 yy0R
10
01cosR
2224 y
RcosR
cosRy (3.47)
Após integração da 3.47 obtém-se:
ccosRy , (3.48)
sendo c uma constante de integração.
Para =0 y=0 c=0, assim:
cosRy . (3.49)
RESUMO (PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE SANSON – FLAMSTEED ou PROJEÇÃO SENOIDAL)
cosRy
Rx
Obs.: Pelas equações acima pode-se verificar que F0.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 55 Prof. Mauricio Galo
Projeção Equivalente de Sanson-Flamsteed CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES - Propriedade básica: equivalência. - Caso particular da Projeção de Bonne onde o equador é o PP. - O equador e todos os demais paralelos são representados por linhas retas. - Os meridianos e os paralelos não se cruzam em ângulos retos (a menos em caso particulares). - A forma é bastante afetada a medida que se afasta do MC e do equador. - É conhecida também como Projeção Senoidal uma vez que as transformadas dos meridianos são
senoides. APLICAÇÕES
- Apesar das distorções pode ser utilizada na representação de grandes regiões (no sentido norte-sul) como a América do Sul e África. - Pode ser utilizada em atlas
APARÊNCIA DO RETICULADO PARA A
PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE SANSON-FLAMSTEED
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO SANSON-FLAMSTEED (PROJEÇÃO SINUSOIDAL)
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 56 Prof. Mauricio Galo
3.4.3 PROJEÇÃO DE WERNER
Esta projeção é um caso particular da Projeção de Bonne para o caso em que 0=90º
Fazendo 0=90o em
)(cosR
)(Rtg
R
0
00
)90(
cos)(
)90(R
0
(3.50)
Em coordenadas cartesianas:
como 00
sen)90(Ry
cos)90(Rx (3.51)
CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES
- Propriedade básica: equivalência. - Caso particular da Projeção de Bonne na qual 0=90o. - Apresenta a forma de um coração.
APARÊNCIA DO RETICULADO NA PROJEÇÃO EQUIVALENTE DE WERNER
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 57 Prof. Mauricio Galo
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO DE WERNER
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 58 Prof. Mauricio Galo
Projeção Cilíndrica Equidistante Meridiana (Plate Carrée) e Projeção Cilíndrica Equivalente
A figura seguinte mostra um cilindro tangente à esfera modelo de raio R. Sobre a esfera é mostrado um quadrilátero infinitesimal delimitado pelos vértices A, B, C e D. A partir do centro da esfera os vértices A, B, C e D são projetados no cilindro, determinando o quadrilátero de vértices a, b, c e d.
d
d
a,b,c,d
A,B,C,D
Quadriláteros Infinitesimais
PS
R
b
PN
a
a
b c
d
+d
dx
dy
+d
x
y
B
A
C
D
Quadrilátero infinitesimal sobre a esfera
Quadrilátero projetado
Quadrilátero infinitesimal sobre a esfera e sobre o cilindro. Adaptado de Bakker (1962).
Quadrilátero infinitesimal na esfera: A, B, C, D. Quadrilátero infinitesimal na superfície de projeção: a, b, c, d.
}
Cilindro tangente no equador
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 59 Prof. Mauricio Galo
ARCOS DE MERIDIANO E PARALELO NOS DOIS QUADRILÁTEROS
No quadrilátero projetado:
Lado ad (arco de paralelo)
dyad (1)
Como RddyR/dyd . (2)
Assim: Rdad . (3) Lado ab (arco de meridiano)
dxab (4)
No quadrilátero situado sobre a superfície de referência:
Arco AD (arco de paralelo)
dcosRArco
cosR
Arcod AD
AD (5)
Arco AB (arco de meridiano) RdArco
R
Arcod AB
AB (6)
COEFICIENTE DE DEFORMAÇÃO MERIDIANA (m0 ou em algumas referências)
AB0 Arco
abm (7)
Usando as Equações 4 e 6, o valor de m0 poderá ser calculado por:
Rd
dx
Arco
abm
AB0 (8)
COEFICIENTE DE DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL (m90 ou em algumas referências)
AD90 Arco
adm (9)
Usando as Equações 3 e 5, o valor de m90 poderá ser calculado por:
cos
1
dcosR
Rdm90 (10)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 60 Prof. Mauricio Galo
COEFICIENTE DE DEFORMAÇÃO SUPERFICIAL (m0m90 ou = em algumas referências)
dcosR
dxmm 900 (11)
------------------------------------------
PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQÜIDISTANTE MERIDIANA (Projeção Plate Carrée)
cRxRddx1Rd
dx1m IntegraçãoApós
0
Para =0 (Equador), x=0 c=0.
Síntese
0Ry
Rx
cos/1m1m 900
PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE DE LAMBERT
cRsenxdcosRdx1dcosR
dx1mm IntegraçãoApós
900
Para =0 (Equador), x=0 c=0.
Síntese
0Ry
Rsenx
cos/1mcosm 900
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 61 Prof. Mauricio Galo
PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE COM UM PARALELO PADRÃO No caso da Proj. Cilíndrica Equivalente de Lambert o cilindro é tangente ao equador do modelo adotado como superfície de referência. Num caso mais geral onde se tem um paralelo padrão, o cilindro deixa de ser tangente ao equador e passa a ser secante a um paralelo de latitude φ0, como ilustra a próxima figura.
PS
R
0
PN
Com esta consideração e assumindo que o ângulo diedro seja dλ, o valor de dy no paralelo padrão poderá ser obtido por:
dcosRdyr
dyd 0 , (12)
onde r é o raio do paralelo, calculado por Rcos(φ0). Deste modo, os novos valores de m0, m90 e m0.m90 serão:
Rd
dxm0
cos
cosm 0
90
cos.d.R
cos.dxm.m 0
900 (13)
Aplicando a condição 1mm 900 obtêm-se:
ccos
senRxd
cos
cosRdx1
dcosR
cosdx1mm
0
IntegraçãoApós
0
0900
Para =0 (Equador), x=0 c=0 0cos
senRx
Integrando a Eq. 12 e usando a condição de que para λ0 o valor de y será nulo, obtêm-se:
00cosRy (14)
Síntese
00
0
cos..Ry
cos
sen.Rx
cos
cos
m
1m 0
900 (15)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 62 Prof. Mauricio Galo
PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQUIVALENTE COM UM PARALELO PADRÃO As Equações 15 são válidas para diferentes valores de φ0. Para o caso particular em que φ0=0o tem-se a Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert. Para outros valores de φ0 tem-se outras projeções também equivalentes.
O fato de ser adotado outro valor de φ0, que não seja φ0=0o, não modifica a propriedade principal da projeção (equivalência). Como no paralelo padrão φ0 tem-se que m0=m90=1, significa que nas proximidades de φ0 a forma será pouco alterada. Na tabela abaixo são apresentadas algumas projeções, baseada no mesmo modelo matemático, mas com diferentes valores de φ0.
Projeção Paralelo Padrão (φ0)
Autor
Cilíndrica Equivalente de Lambert
φ0 = 0o Johann Heinrich Lambert (1772)
Projeção de Gall (Gall’s Ortographic Proj.)
φ0 = 45o James Gall (1855)
Projeção de Behrmann φ0 = 30o Walther Behrmann (1910) Projeção de Trystan Edwards φ0 = 37o Trystan Edwards (1953) Projeção de Peters φ0 = 45 o - 47o Arno Peters (1967) Fonte: Snyder (1987).
Os dados da tabela anterior foram baseados em Snyder (1987). No entanto, é possível observar que existe uma divergência nos valores da latitude do paralelo padrão, ao utilizar outras referências, como por exemplo Bugayevskiy e Snyder (1995), para as projeções de Trystan Edwards e Peters. A partir desta tabelas pode-se observar que o valor adotado na Projeção de Peters é similar ao usado na Projeção de Gall e pode-se ver na literatura que algumas controvérsias são observadas em relação a esta projeção. Uma se refere à autoria e outra ao aspecto destacado abaixo, com base em Snyder (1997, p. 165):
“The other controversial claim was that the less developed countries of the
world were finally presented in a fair manner on a world map, rather than
on a “Euro-centered” Mercator projection with severe distortion” Pode-se notar também que algumas referências utilizam a denominação Projeção de Gall-Peters para esta projeção.
Na sequência são mostradas a Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert, a Projeção da Gall-Peters e a Projeção de Mercator.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 63 Prof. Mauricio Galo
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 64 Prof. Mauricio Galo
Projeção Cilíndrica Equidistante Meridiana CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES / APLICAÇÕES
- As escalas sobre o equador e meridianos são verdadeiras. - Sobre os paralelos a ampliação é proporcional a sec. - Pólos: são representados por linha retas. - Aplicação: navegação marítima (antes da projeção de Mercator). - É uma das projeções mais antigas (100 DC) - Outras denominações: Plate carrée (pelos Franceses), Plane Chart. Equirectangular Projection
Obs.: Pode-se considerar também o caso em que se têm outros paralelos, que não sejam o
equador, representados em verdadeira grandeza.
APARÊNCIA DO RETICULADO DA PROJEÇÃO CILÍNDRICA EQÜIDISTANTE MERIDIANA (PLATE CARRÉE)
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO PLATE CARRÉE
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 65 Prof. Mauricio Galo
Lista de Exercícios de Projeções Cartográficas II
Parte 3
Prof. Mauricio Galo I) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região equatorial utilizando a Projeção Cilíndrica
Equivalente de Lambert. Considerando o modelo esférico pergunta-se: a) Quais os limites em latitude que você faria este mapeamento de modo que a máxima
ampliação não ultrapasse 2%. (Resposta em graus, minutos e segundos). b) Qual a máxima distorção angular, em valor absoluto, nas latitudes obtidas no item anterior?
(Resposta em graus, minutos e segundos). II) Diferente das projeções conformes, onde a distorção angular é nula, nas projeções equivalentes a
distorção angular máxima pode ser escrita em função das componentes m0 e m90. Deste modo pergunta-se:
a) Considerando a Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert, caso normal, qual é o máximo intervalo em que você faria o mapeamento de uma região equatorial, de modo que a distorção angular não ultrapasse 1o?
b) Considerando a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert, caso polar, qual é o intervalo em latitude que você faria o mapeamento de modo que a distorção angular não ultrapasse 1o?
c) Utilizando o aplicativo Gnuplot faça os gráficos mostrando as curvas que relacionam a distorção angular máxima em função da latitude, para os itens (a) e (b) desta questão e verifique se existe coerência entre os gráficos gerados, com as respostas obtidas.
III) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região equatorial utilizando a Projeção Cilíndrica
Equivalente de Lambert. Considerando o modelo esférico pergunta-se: - Sabendo que o erro angular tolerável, em graus, seja expresso por ang, obtenha a expressão
que permite o cálculo da latitude limite L para esta projeção? IV) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região polar com uma projeção que preserva as áreas e
você foi encarregado de projetar este produto. A projeção escolhida foi a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert. Uma vez que esta projeção possui a propriedade de equivalência, deseja-se que o produto gerado atenda, simultaneamente, às seguintes características:
I) Deformação angular menor ou igual a 0,5o (meio grau). II) Erro relativo linear máximo: 1/1000.
Perguntas:
a) Quais são os limites (em coordenadas geográficas) que pode ser representado, usando a
projeção Azimutal Equivalente de Lambert (caso polar), mantendo as características especificadas?
b) Sabendo que você dispõe de uma área útil de 1mx1m para imprimir este produto, qual será a máxima escala que você conseguiria fazer a impressão deste produto, mostrando toda a área determinada em (a). Adote R=6.371.000m.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 66 Prof. Mauricio Galo
Respostas de alguns dos exercícios:
Ia) Os limites em que faria o mapeamento seria: da latitude 11o 21’ 53’’ S até 11o 21’ 53’’ N. Ib) A máxima distorção angular seria: =1o 8’ 4’’. IIa) O intervalo em que faria o mapeamento seria entre 10o 40’ 27’’ S e 10o 40’ 27’’ N. IIb) O intervalo em que faria o mapeamento seria entre 68o 39’ 06’’ N e =90o N. III) Resp.: )180/1/()180/1(arccos angangL .
IVa) Os limites em que faria o mapeamento seriam: do paralelo 84o 52’ 38’’ N até =90o N. IVb) A escala máxima seria aproximadamente 1 / 1.138.874.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 67 Prof. Mauricio Galo
Material Complementar da Disciplina Projeções Cartográficas II Classificação de cartas/Reticulado/Quadriculado/CIM
Curso: Engenharia Cartográfica e de Agrimensura UNESP / FCT - Departamento de Cartografia
Assuntos
- Definições, Classificação de Cartas
- Carta Internacional ao Milionésimo
- Articulação do Mapeamento Sistemático
- Lista de Exercícios
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 68 Prof. Mauricio Galo
Definições / Classificação / CIM / Articulação CARTOGRAFIA
É a ciência e a arte de expressar graficamente, por meio de mapas e cartas, o conhecimento humano da superfície da Terra
(BAKKER, 1965)
‘The art, science and technology of making maps, together with their study as scientific
documents and works of art. In this context maps may be regarded as including all types
of maps, charts and sections, three dimensional models and globes representing the Earth
or any celestial body at any scale.’ (International Cartographic Association-ICA, 1973)
MAPA
É a representação da Terra nos seus aspectos geográficos naturais ou artificiais que se destina a fins culturais ou ilustrativos. Não tem caracter científico especializado e geralmente é construído em escala pequena cobrindo um território mais ou menos extenso.
(BAKKER, 1965)
"Is a symbolized image of geographical reality, representing selected features or
characteristics, resulting from the creative effort of it's author's execution of choices, and
is designed for use when spatial relationship are of primary relevance." (International Cartographic Association-ICA, 1995)
CARTA
É a representação dos aspectos naturais ou artificiais da Terra, destinadas a fins práticos da atividade humana, permitindo a avaliação precisa de distâncias, direções e a localização geográfica de pontos e detalhes. É portanto uma representação similar ao mapa, mas de caráter especializado, construído com uma finalidade específica e, geralmente em escalas grandes.
(BAKKER, 1965)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 69 Prof. Mauricio Galo
CLASSIFICAÇÃO DE CARTAS EM FUNÇÃO DA ESCALA
1/25.0001/500.000 Escala
Escalaspequenas
Escalasmédias
Escalasgrandes
1/5.000Cadastro (urbano)
Escala pequena - igual ou inferior a 1/500.000 Escala média - maior que 1/500.000 e menor que 1/25.000 Escala grande - maior que 1/25.000
(OLIVEIRA, 1993)
Obs.: Estes limites não são exatos. A escalas médias correspondem às escalas do mapeamento sistemático (1/250.000 a 1/25.000).
CLASSIFICAÇÃO DAS CARTAS (Segundo a ABNT) 1) Cartas Geográficas6
Topográficas: São cartas confeccionadas mediante um levantamento topográfico regular, ou compiladas de cartas topográficas existentes e que incluem os acidentes naturais e artificiais, permitindo facilmente a determinação de altitudes.
Planimétricas: É o mesmo que cartas topográficas, entretanto, não faz parte de suas características fundamentais a representação das altitudes.
2) Cartas Cadastrais e Plantas
São aquelas, geralmente em escala grande, usadas para mostrar limites verdadeiros e usos das propriedades, podendo omitir elevações e detalhes naturais ou artificiais desnecessários.
3) Cartas Aeronáuticas
São as que representam a superfícies da Terra com sua cultura e relevo, de maneira a satisfazer, especificamente, as necessidades da navegação aérea.
4) Cartas Náuticas
São cartas que resultam de levantamentos dos mares, rios, canais e lagoas navegáveis e que se destinam à segurança da navegação.
6 A carta geográfica quando representa toda a superfície da Terra é denominada mapa-mundi ou planisfério.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 70 Prof. Mauricio Galo
5) Cartas Especiais
São as cartas, mapas ou plantas em qualquer escala, que geralmente se preparam para fins específicos: Cartas Geológicas / Geomorfológicas / Meteorológicas / de Vegetação / de Uso da Terra / Geofísicas / Globo.
ESCALA
Relação entre uma distância na esfera modelo (ou na carta) e a correspondente na superfície terrestre.
R
r
R
r
AB
abE
R
AB
ab
r
Arco (AB) na superfície de referência
e na esfera modelo (ab).
= ângulo central correspondente aos arcos ab e AB, na esfera modelo e na sup. terrestre, respectivamente.
Esta escala não é constante sobre um produto cartográfico, devido às distorções.
ESCALA PRINCIPAL
Escala da esfera modelo, representativa da superfície terrestre. Escala Nominal (é válida apenas para alguns pontos ou ao longo de certas linhas).
Escala Particular: é múltipla da escala nominal ou principal.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 71 Prof. Mauricio Galo
Reticulado e Quadriculado
Reticulado (Graticule)
Conjunto de curvas formadas pelas transformadas dos Paralelos e Meridianos.
Quadriculado (Grid)
Associado ao sistema de Coordenadas da Projeção, por ex.: (X,Y) na TM e (E,N) na UTM.
Obs.: Algumas referências no Brasil não consideram esta diferença de denominação.
O Reticulado e o Quadriculado em função da escala (MALING,1992)
Escala Separação do Quadriculado
(Grid)
Separação do Reticulado (Graticule)
1/2.500 e > 0,1 km -
1/10.000 1,0 km 1'(na margem)
1/25.000 1,0 km
1/50.000* 1,0 km 1' (margem) 5' (cruzes)
1/250.000** 10,0 km 1'(m) e 30'(cruzes)
1/1.000.000 - 1o e 1' (m)
1/2.000.000 - 1o
1/100.000.000 - 10-20o
< 1/100.000.000 - 15-20o
* - 2km / 05' margens e cruzes (no Brasil) ** - 10km / 15' (marcas 1') IBGE
- 10km / 15' (DSG)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 72 Prof. Mauricio Galo
Exemplo de Reticulado
Regiões do Brasil. (Reticulado de 10o x 10o).
Exemplo de Quadriculado (na projeção UTM)
Canto de uma folha na projeção UTM.
Notar que os cantos de uma folha são especificados em coordenadas geodésicas.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 73 Prof. Mauricio Galo
Exemplos de trechos de duas cartas do mapeamento sistemático, na escala 1/50.000 do IBGE.
Obs.: - Canto superior direito das cartas (em coordenadas geodésicas);
- O quadriculado (em coordenadas UTM).
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 74 Prof. Mauricio Galo
a)
b) Exemplos de trechos de duas cartas do mapeamento sistemático, na escala 1/50.000 do IBGE. Em (a)
primeira edição e em (b) segunda edição Obs.: - Canto inferior esquerdo das cartas (em coordenadas geodésicas);
- O quadriculado (em coordenadas UTM). - Verificar as diferenças no modo em que são mostradas as coordenadas UTM.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 75 Prof. Mauricio Galo
Trecho de uma carta na escala 1/50.000, mostrando o quadriculado na projeção UTM, bem como um dos cantos. Notar a presença dos “tics” nas bordas e uma cruz, determinando onde passam as transformadas dos paralelos e dos meridianos, neste produto.
Trecho de uma carta na escala 1/50.000, mostrando o quadriculado na projeção UTM, bem como um dos cantos. Notar a presença dos “tics” nas bordas e uma cruz, determinando onde passam as transformadas dos paralelos e dos meridianos, neste produto. Verificar os detalhes mostrados de forma ampliada.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 76 Prof. Mauricio Galo
Produto na escala 1/100.000. Pode-se ver no quadrante superior esquerdo uma cruz (tic).
Fonte: (IBGE, 1999) http://www.ibge.gov.br/home/geografia/decar/manual_nocoes/indice.htm
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 77 Prof. Mauricio Galo
Trecho de uma CAP – Carta Aeronáutica de Pilotagem. Escala 1:250.000 SE – 22 – Z – D 1ª Edição – Novembro de 1982 Produto elaborado pelo IBGE, responsabilidade do DEPV – Diretoria de Eletrônica e Proteção ao Vôo. Observar neste produto a presença simultânea do reticulado (15` x 15`) e do quadrilulado (10km x 10km).
Detalhe do reticulado e quadriculado.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 78 Prof. Mauricio Galo
Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo
Conjunto de cartas parciais ou folhas componentes da carta geral do mundo, na escala 1:1000000.
ESPECIFICAÇÕES DA CARTA INTERNACIONAL DO MUNDO AO MILIONÉSIMO
Dimensões: 6o de longitude x 4o em Latitude Nomenclatura: LL-No (Onde L representa uma letra e No é um número)
Primeira letra: Relacionado com hemisfério (N ou S) Segunda letra: Designa a faixa (em latitude). Por exemplo:
- de 0o a 4o: A - de 4o a 8o: B, C, D, ...
Número do fuso (ou da zona de projeção): corresponde ao número do fuso de 6o de amplitude.
Origem: meridiano de longitude =180º. fuso no 1: 180o a 174oW fuso no 2: 174oW a 168oW ... fuso no 60: 174oE a 180o
=6o
=0o
180o 174oE
6oE6oW 12oE12oW
174oW 168oE168oW12
3129 30
60 59
Fusos:{1, 2, ..., 60}
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 79 Prof. Mauricio Galo
NUMERAÇÃO DOS FUSOS / LIMITES DOS FUSOS E MERIDIANOS CENTRAIS PARA O BRASIL
54
o48
o42
o78
o72
o66
o60
o36
o
Longitudes do limitesdos fusos
SF
SG
SH
SB
SC
SD
SE
SA
NA
NB
20o
24o
28o
4o
8o
12o
16o
0o
32o
4o
8o
51o
45o
39o
75o
69o
63o
57o
Longitudes dos meridianoscentrais dos fusos
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 80 Prof. Mauricio Galo
ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS DE 6O X 4O DA CARTA INTERNACIONAL DO MUNDO AO MILIONÉSIMO
Fonte: http://www.ibge.gov.br
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 81 Prof. Mauricio Galo
CARTA INTERNACIONAL DO MUNDO AO MILIONÉSIMO - CIM Projeção Cônica Conforme de Lambert (2PP)
Limite ao Norte: 84oN.
Limite ao Sul: 80oS.
Ao sul do paralelo 80oS e ao norte do paralelo 84oN a projeção utilizada é:
Projeção Estereográfica Polar Fonte: IBGE(1993)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 82 Prof. Mauricio Galo
ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS (1/1.000.000 - 1/25.000) DIRETORIA DO SERVIÇO GEOGRÁFICO (DECRETO-LEI 243/67)
V X
Y Z
1/1.000.0001/500.000
1/100.0001/250.000
A B
C DIV
I II III
V VI
II
1/250.0001/100.000
1/50.0001/25.000
1
I III
IV V VI2
3 4NO NE
SO SE
1 2
3
Escala 1/1.000.000 6o 4o 1/500.000 3o 2o 1/250.000 1,5o 1o 1/100.000 0,5 o (30') 0,5 o (30') 1/50.000 15' 15' 1/25.000 7,5' 7,5'
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 83 Prof. Mauricio Galo
ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS (1/1.000.000 - 1/25.000)
1 / 500.000 (3o x 2o)
1 / 250.000 (1,5o x 1o) 1/100.000 (0,5ox0,5o , 30'x30')
1/50.000 (0,25ox0,25o , 15'x15') 1/25.000 (0,125ox0,125o , 7,5'x7,5')
1/10.000 (3,75'x2,5')
V XY Z
A BC D
I II IIIIV V VI
1...23 4
1 / 1.000.000 (6ox4o)
NO NESO SE
A BC DE F
Nomenclatura das folhas hachuradas mostrada acima Escala Dimensões (,) Nomenclatura Número de folhas dentro
da carta ao milionésimo 1 / 1.000.000 60 x 40 SF-22* 1 1 / 500.000 30 x 20 SF-22-X 4 1 / 250.000 1,50 x 10 SF-22-X-C 4x4=16 1 / 100.000 0,50 x 0,50 / 30' x 30' SF-22-X-C-V 4x4x6=96 1 / 50.000 0,250 x 0,250 / 15' x 15' SF-22-X-C-V-1 4x4x6x4=384 1 / 25.000 0,1250 x 0,1250 / 7,5' x 7,5' SF-22-X-C-V-1-SO 4x4x6x4x4=1536 1 / 10.000 3,75' x 2,5' SF-22-X-C-V-1-SO-F 4x4x6x4x4x4x6=9216
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 84 Prof. Mauricio Galo
ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS (1/1.000.000 - 1/10.000)
Escala Amplitude Nomenclatura
(,)
1/1.000.000 6º x 4º LL-NN 1/500.000 3º x 2º V X Y Z 1/250.000 1,5º x 1º A B C D 1/100.000 30’ x 30’ I II III IV V VI 1/50.000 15’ x 15’ 1 2 3 4 1/25.000 7,5’ x 7,5’ NO NE SO SE 1/10.000 3,75’x 2,5’ A B C D E F
1/25.000 para 1/10.000
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 85 Prof. Mauricio Galo
ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS / MI – MAPA ÍNDICE
Além da nomenclatura usada na articulação de folhas do mapeamento sistemático, um outro sistema também é utilizado, baseado no uso de um número para cada uma das cartas. Estes números são denominados MI (Mapa Índice), segundo o IBGE (1999), e mudam conforme a escala:
Folhas na escala 1:1.000.000 – Numeração de 1 a 46
Folhas na escala 1:250.000 – Numeração de 1 a 550
Folhas na escala 1:100.000 – Numeração de 1 a 3036
Exemplo: A folha SD-23-Y-C-IV corresponderá ao número MI 2215.
ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS / MI – MAPA ÍNDICE PARA ESCALAS 1/100.000
Para as escalas maiores que a 1/100.000 pode-se usar o número MI seguido de 1, 2, 3 ou 4, para as escalas 1/50.000 e depois NO, NE, SO e SE para as escalas 1/25.000, conforme a localização das folhas nos respectivos quadrantes, de acordo com a articulação do mapeamento sistemático.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 86 Prof. Mauricio Galo
ARTICULAÇÃO DAS FOLHAS / MI – MAPA ÍNDICE
Para as escalas maiores que a 1/100.000 pode-se usar o número MI seguido de 1, 2, 3 ou 4, para as escalas 1/50.000 e depois NO, NE, SO e SE para as escalas 1/25.000, conforme a localização das folhas nos respectivos quadrantes, de acordo com a articulação do mapeamento sistemático.
Considerando o exemplo da folha SD-23-Y-C-IV (ou MI 2215), algumas folhas derivadas poderão ser referenciadas por:
SD-23-Y-C-IV-1 SD-23-Y-C-IV-2
SD-23-Y-C-IV-3 SD-23-Y-C-IV-4
Folhas 1/50.000, segundo a articulação convencional.
MI 2215-1 MI 2215-2
MI 2215-3 MI 2215-4
Folhas 1/50.000, segundo a articulação considerando o MI.
MI 2215-1-NO MI 2215-1-NE
MI 2215-1-SO MI 2215-1-SE
MI 2215-2-NO MI 2215-2-NE
MI 2215-2-SO MI 2215-2-SE
MI 2215-3-NO MI 2215-3-NE
MI 2215-3-SO MI 2215-3-SE
MI 2215-4-NO MI 2215-4-NE
MI 2215-4-SO MI 2215-4-SE
Folhas 1/25.000, segundo a articulação usando o MI – Mapa índice.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 87 Prof. Mauricio Galo
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BAKKER, M. P. R. de Cartografia - Noções Básicas, DH21-1, 1965. IBGE Manual de normas, especificações e procedimentos técnicos para a Carta Internacional do Mundo ao Milionésimo – CIM 1/1.000.000. Manuais Técnicos em Geociências No 2, Rio de Janeiro, 1993. 63p. IBGE Noções Básicas de Cartografia. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, Diretoria de Geociências – DGC, Departamento de Cartografia – DECAR. 1999. Disponível em: http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/cartografia/manual_nocoes/indice.htm. Acesso: Agosto de 2008. MALING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition. Oxford: Pergamon Press, 1992. OLIVEIRA, C. de Curso de Cartografia Moderna. IBGE, Rio de Janeiro, 1993.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 88 Prof. Mauricio Galo
Lista de exercícios de Projeções Cartográficas II
Prof. Mauricio Galo
1) Para planejar um trabalho de campo, buscou-se o auxílio de um Mapa Índice (MI) referente ao mapeamento sistemático brasileiro, mostrado na figura ao lado. Considerando o valor de erro gráfico como 0,2 mm na escala da carta, responda as perguntas a seguir (Enade, 2008).
a) Para o erro gráfico correspondente a 24 m no terreno, qual
o valor mínimo de escala do mapeamento sistemático em que a carta deverá ser solicitada? Apresente os cálculos.
b) Qual o índice de nomenclatura da folha, na escala 1:100.000, que contém o ponto P?
c) Quais os índice das folhas, na escala 1:100.000, enquadradas pelas coordenadas Leste=-56º, Oeste=-57º, Norte=-8º,Sul=-9º?
http://www.inep.gov.br/superior/enade/
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 89 Prof. Mauricio Galo
Material Complementar da Disciplina Projeções Cartográficas II Classificação de cartas/Reticulado/Quadriculado/CIM
Curso: Engenharia Cartográfica e de Agrimensura UNESP / FCT - Departamento de Cartografia
Assuntos
- Projeção Policônica
- Projeção Pseudo-Azimutal
- Escolha da Projeção Cartográfica
- Regra de Young
- Constante de Kavraisky
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 90 Prof. Mauricio Galo
Projeção Policônica
Na projeção cônica pode-se ter o cone tangente ou secante, tendo-se respectivamente um ou dois paralelos-padrão, como mostrado abaixo.
Cone tangente (1 pp) Cone Secante (2 pp)
Na Projeção Policônica têm-se uma série de cones, cada um tangente ao modelo geométrico (esfera ou elipsoide), em um paralelo diferente.
Princípio da projeção policônica Dois cones tangentes.
PROJEÇÃO PSEUDO-CÔNICA
Nesta projeção os paralelos são arcos circulares concêntricos e os meridianos são curvos, diferente das projeções cônicas.
Ex.: Projeção de Bonne.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 91 Prof. Mauricio Galo
Projeção Policônica
Natureza: polisuperfical (uma série de cones) Antes da Projeção Cônica Conforme de Lambert esta projeção era utilizada na CIM.
Princípio da construção da projeção policônica. Adaptado de IBGE (1999)*.
CARACTERÍSTICAS / PROPRIEDADES Cada um dos paralelos possui a curvatura equivalente à produzida pelo desenvolvimento de um cone tangente ao respectivo paralelo. Paralelos: arcos de circunferência não concêntricos. Centros dos arcos de circunferências: localizadas sobre a reta definida pelo Meridiano Central. Distorções: dependem de e de . As curvas de mesma distorção são simétricas em relação ao MC. Ao longo do MC as distorções são nulas. Paralelos são representados em VG, sendo portanto Equidistante Transversal. * IBGE; Noções Básicas de Cartografia. Manuais Técnicos em Geociências No 8, Rio de Janeiro, 1999. 130p.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 92 Prof. Mauricio Galo
Equações de Mapeamento - Projeção Policônica* Dados Iniciais: Coordenadas da Origem do Sistema Local
0 - Latitude 0 - Longitude do Meridiano Central
Coordenadas de um ponto genérico: ( , )
Caso Esférico (Raio R) Caso Elipsoidal (a, e)
0paracot.Ecos1Ry
Esen.cot.Rx
0para.Ry
.Rx
0
0
com
sen.E , 0
Dist. ao longo dos meridianos (p./ esfera):
Dcos.sen
Ecos.cos1h
2
2
c/
Ecossec
EcosEartgD
2
Dist. ao longo dos paralelos: k=1
0paraEcos1cot.NBBy
Esen.cot.Nx
0paraBy
.ax
0
0
com
sen.E , 0
2/122 sene1aN
B - comprimento de arco de meridiano.
Aparência do reticulado para a Projeção Policônica para (0, 0) = (0o, -54º) e modelo esférico.
* SNYDER, J. P.; Map Projections Used by the U. S. Geological Survey – Geological Survey Bulletin 1532, United States Government Printing Office, Washington, 1982. 313p.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 93 Prof. Mauricio Galo
INDICATRIZ DE TISSOT PARA A PROJEÇÃO POLICÔNICA
Fonte: https://www.mathworks.com/help/map/projections.html (2017)
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 94 Prof. Mauricio Galo
Projeção Pseudo-azimutal
São projeções azimutais nas quais os paralelos são arcos circulares e os meridianos são curvos.
Exemplo do reticulado de uma projeção azimutal (a esquerda) e de uma projeção pseudo-azimutal (a direita), para o caso polar.
Projeção Pseudo-cilíndrica
Nas projeções pseudo-cilíndricas os paralelos são representados por linhas retas e os meridianos são curvos.
Exemplo de uma projeção cilíndrica (a esquerda) e de uma pseudo-cilíndrica (a direita).
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 95 Prof. Mauricio Galo
Projeção Pseudo-azimutal
No aspecto polar os paralelos são representados por arcos circulares concêntricos e os meridianos são mostrados como curvas (ou linhas retas) convergindo para o centro. Algumas projeções:
- Projeção Equivalente Pseudo-azimutal (Wiechel) - descrita em 1879 - Projeção TsNIIGAiK (Ginzburg ) - descrita em 1952 (apenas no aspecto obliquo) (Projeção com isolinhas ovais)
Exemplo:
Projeção Pseudo-azimutal Equivalente de Wiechel Aspecto polar Desenvolvida em 1879 por H. Wiechel, na Alemanha.
Trecho do script usado para geral a projeção de Wiechel (Bugayevskiy e Snyder, 1995)
set title "SISTEMAS DE PROJEÇÃO EM CARTOGRAFIA\n\ Projeção Equivalente Pseudo-azimutal de Wiechel" Y(lat,lon)=r*( sin(lon)*cos(lat) - (1-sin(lat))*cos(lon) ) X(lat,lon)=-r*( cos(lon)*cos(lat) + (1-sin(lat))*sin(lon) ) plot 'world.dat' using (Y($2,$1)):(X($2,$1)) t "" with lines 8 8 rep 'world.mer' using (Y($2,$1)):(X($2,$1)) t "" with lines 3 3 rep 'world.par' using (Y($2,$1)):(X($2,$1)) t "" with lines 1 1 pause -1 " Fechar janela ? "
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 96 Prof. Mauricio Galo
Projeção de Mollweide
Projeção Homolográfica* de Mollweide Características da projeção, conforme Snyder (1987):
- Propriedade preservada: área (é equivalente); - Pseudo - cilíndrica; - O meridiano central (MC) é uma linha reta e os meridianos nas longitudes 90º E e W
são circunferências, enquanto todos os demais são elipses; - Os paralelos são igualmente espaçados; - A escala é verdadeira ao longo dos paralelos 40º 44’ 12’’ N e S; - O equador, na projeção, possui o dobro do comprimento do MC.
Foi apresentada por C. B. Mollweide em 1805. Em 1857 J. Babinet reapresentou esta projeção como o nome de Projeção Homalográfica, sendo também conhecida como Homolográfica. * Homolográfica ou Homalográfica: do grego homalos ou homos (mesmo) e graphos (escrita)
(SNYDER, 1987), sendo sinônimo de equivalente.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 97 Prof. Mauricio Galo
PROJEÇÃO HOMOLOGRÁFICA DE MOLLWEIDE Projeções cilíndricas e pseudo-cilíndricas
Projeção de Mollweide
Fonte: http://interactiva.matem.unam.mx/, 2010.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 98 Prof. Mauricio Galo
MAPEAMENTO (Φ,Λ) → (X,Y) PARA A PROJEÇÃO HOMOLOGRÁFICA DE MOLLWEIDE
Conversão (φ,λ) → (x,y)
sen.R.2y
cos..R.22
x 0 (1)
sendo θ um ângulo auxiliar que pode ser calculado a partir de φ pela equação abaixo:
sen2sen2 . (2) A Equação 2 é uma equação Transcendental uma vez que não existe uma solução direta (e exata) para θ, devendo ser usada uma solução iterativa.
SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO TRANSCENDENTAL
sen2sen2
Etapa 1) Adote um valor para ε, em radianos, que será usado como uma tolerância para o valor estimado de θ.
Etapa 2) Faça k=0 e determine um valor inicial para θ(k), que pode ser:
θ(0)=π.sin(φ)/4.
Etapa 3) Determinar θ(k+1) por:
)k()1k( 2sensen.2
1
Etapa 4) Se )k()1k(
Se Sim: Vá para Etapa 5 Se Não: Faça k=k+1 Vá para Etapa 3
Etapa 5) O valor procurado é θ(k+1).
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 99 Prof. Mauricio Galo
SOLUÇÃO (MAIS EFICIENTE) DA EQUAÇÃO TRANSCENDENTAL
sen2sen2
Uma solução mais rápida para este problema pode ser dada usando o método de Newton-
Raphson, como pode-se ver em Snyder (1987). Na sequência o algoritmo é detalhado.
Etapa 1) Adote um valor para ε e fazer θ’= φ
Etapa 2) Calcular uma correção para θ’ por
'cos1
''sensen'
Etapa 3) Atualizar θ’ fazendo
θ’= θ’+Δθ’
Etapa 4) Se '
Se Sim: Vá para Etapa 5 Se Não: Vá para Etapa 2
Etapa 5) O valor procurado é θ=θ’/2.
COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO
sen2sen2
Cálculo para 3 latitudes diferentes Tolerância ε=0.000001”
Solução sem usar
Newton-Raphson
Solução por
Newton-Raphson
φ=-2º
θ calculado -1.57087089º -1.57087089º Número de iterações 9879 3
φ=-45º
θ calculado -36.3020311º -36.3020311º Número de iterações 21 5
φ=-88º
θ calculado -83.5314201º -83.5314201º Número de iterações 770 10
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 100 Prof. Mauricio Galo
PROJEÇÃO HOMOLOGRÁFICA DE MOLLWEIDE
EXEMPLO 1
Fonte: http://interactiva.matem.unam.mx/, 2010.
EXEMPLO 2
Fonte: Wikimedia Commons (http://commons.wikimedia.org/wiki), 2010.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 101 Prof. Mauricio Galo
EXEMPLO 3
Fonte: http://www.mapsanddirections.us, 2010.
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PROJEÇÕES DESCONTÍNUAS (OU INTERROMPIDAS)
A maior parte das projeções vistas representam as áreas de interesse de forma contínua, ou seja, sem que haja quebra de continuidade nos continentes e sobre os oceanos.
No entanto, algumas projeções apresentam descontinuidades. A motivação para representar a superfície com descontinuidades é minimizar algumas distorções. A seleção das regiões de descontinuidades depende do que se deseja representar. Por exemplo, caso a ideia seja representar os continentes pode-se fazer as descontinuidades sobre os oceanos e o contrário, caso o interesse seja representar os oceanos.
Como exemplo tem-se a Projeção de Equivalente de Goode, também conhecida como Projeção Descontínua de Goode, ou Projeção Equivalente Homolosina de Goode.
Esta projeção foi proposta por John Paul Goode (1862 – 1932) sendo obtida a partir da
combinação da Projeção Homolográfica de Mollweide com a Projeção Sinusoidal (ou Projeção Equivalente de Sanson-Flamsteed). Deste modo, a Projeção de Descontínua de Goode tem como propriedade principal a equivalência, sendo uma projeção pseudocilíndrica.
APARÊNCIA DA PROJEÇÃO DESCONTÍNUA DE GOODE
Fonte: Snyder e Voxland (1989).
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 103 Prof. Mauricio Galo
PROJEÇÃO DESCONTÍNUA DE GOODE
Fonte: Homolosine Projection, Map/Still, from Britannica Online for Kids. Acesso: Set./2017. URL: http://kids.britannica.com/comptons/art-166521.
PROJEÇÃO SINUSOIDAL (Aparência Clássica)
Projeção Sinusoidal, construída utilizando o aplicativo Gnuplot7.
7 Ver http://www2.fct.unesp.br/docentes/carto/galo/web/gnuplot/fct.htm.
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PROJEÇÃO SINUSOIDAL (Aparência com descontinuidade)
Projeção Sinusoidal, construída utilizando o aplicativo Gnuplot. Para cada uma das partes tem-se um meridiano central diferente, o possibilita reduzir as
deformações nas longitudes limites em cada região.
PROJEÇÃO SINUSOIDAL (Aparência com descontinuidade)
Longitudes limites: -180º, -30º, 60º e 180º. Projeção Sinusoidal, construída utilizando o aplicativo Gnuplot.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 105 Prof. Mauricio Galo
PROJEÇÃO SINUSOIDAL (Aparência com descontinuidade)
Projeção Sinusoidal, construída utilizando o aplicativo Gnuplot. Longitudes limites: -180º, -130º, -20º, 60º e 180º.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 106 Prof. Mauricio Galo
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS / BIBLIOGRAFIA
BAKKER, M. P. R. de Cartografia - Noções Básicas. DH21-1, 1965. 242p.
BLACHUT, T. J., CHRZANOWSKI, A., SAASTAMOINEN, T. J. Urban surveying and mapping. New York: Springer-Verlag, 1979.
BUGAYEVSKIY, L. M., SNYDER, J. P. Map Projections - A reference Manual. London: Taylor & Francis, 1995.
GALO, M. Sistemas de projeção derivados da Projeção Transversa de Mercator: conceitos básicos e
formulação. Notas de aula do curso de Graduação em Eng. Cartográfica, Departamento de Cartografia, UNESP, Presidente Prudente, 2017.
MAILING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition. Oxford: Pergamon Press, 1992.
SNYDER, J. P. Map Projections – A Working Manual. U. S. Geological Survey - Professional Paper 1395. Washington, 1987.
SNYDER, J. P.; VOXLAND, P. M. An Album of Map Projections. U. S. Geological Survey - Professional Paper 1453. Denver, 1989.
SNYDER, J. P. Flattening the Earth - Two Thousand Years of Map Projections. Chicago: The University of Chicago Press, 1997.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 107 Prof. Mauricio Galo
Escolha da Projeção Cartográfica Adequada INTRODUÇÃO
No. de projeções teoricamente possível. No. de projeções descritas na literatura. 400 No. de projeções construídas. 200 No. de projeções comumente utilizadas. < 50 No. de projeções utilizadas para todos os propósitos (menos para atlas).
< 30
Fonte (MALING, 1992)
Dependendo do trabalho em questão pode-se ter uma grande liberdade de escolha da projeção.
Por exemplo: Atlas
Neste caso o objetivo é a construção de mapas que normalmente possuem escala pequena. Região de abrangência: um país inteiro, continente, hemisfério ou todo o planeta.
No caso de algumas aplicações específicas (navegação, mapeamento topográfico, etc.) a liberdade de seleção fica limitada.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 108 Prof. Mauricio Galo
Exemplos de Projeções “não convencionais”
Projeção Azimutal Logarítmica (Logarithmic
Azimuthal Projection), baseada no princípio apresentado por Hägerstrand (1957). A região central ampliada é centrada em Estocolmo.
Fonte: Snyder (1997).
Projeção Azimutal Equivalente “Magnifying-Glass” (”Magnifying-Glass”
Azimuthal Equal-area
Projection), centrada nas coordenadas (φ, λ)=(45º N, 85º W).
Fonte: Snyder (1997).
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 109 Prof. Mauricio Galo
Exemplos de Projeções “não convencionais”
Projeção Craig Mecca (The
Craig Mecca Projection ou
Mecca Projection). Projeção retroazimutal centrada em Mecca, desenvolvida por James I. Craig (1868-1952) em 1909. Uma projeção retroazimutal preserva o azimute verdadeiro medido a partir do centro a qualquer outro ponto.
Fonte: Snyder (1997).
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 110 Prof. Mauricio Galo
FATORES QUE INFLUENCIAM A ESCOLHA DA PROJEÇÃO ADEQUADA Todas projeções tem distorção (independente da magnitude e do tipo)
Partindo deste fato, pode-se usar como objetivo principal o seguinte critério:
"Selecionar a projeção na qual a distorção extrema seja a menor possível, dentre todas as possíveis projeções que podem ser usadas para mapear a mesma área."
Este é um critério bem objetivo, no entanto outros elementos podem ser considerados.
A finalidade do mapa
A finalidade a que se destina o mapa. e um certo conhecimento de como ele será utilizado.
Pode e geralmente determina a propriedade especial.
Exemplo 1:
Necessidade: Mapa que preserve a forma de um país. Pode-se fazer a escolha de uma projeção (conforme) na qual o aumento das áreas na fronteira do país seja o mínimo possível, ou seja, na qual o exagero em área seja o menor.
Exemplo 2:
Necessidade: Mapa que preserve a área de um país. Pode-se fazer a escolha de uma projeção (equivalente) na qual a deformação angular (na forma) seja a menor possível.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 111 Prof. Mauricio Galo
Se nenhuma propriedade específica for
definida.
Pode utilizar uma representação de erro-mínimo.
Neste tipo de projeção não é atendida necessariamente nenhuma propriedade específica (eqüidistância equivalência ou conformidade) mas sim o fato de que os erros decorrentes das projeção são minimizados sobre a região a ser mapeada. Exemplo de função* a ser minimizada:
dz.senz.b1a1z
0z
22
,
onde: a, b - Fatores de escala;
z=0o - Centro da área a ser mapeada; z=β - Determina o afastamento de um ponto genérico da borda da região de interesse em relação ao centro da projeção.
* Fonte: Maling (1992) e Bugayevskiy e Snyder (1995). Este critério foi proposto inicialmente por G. B. Airy em 1861, dando origem à Projeção azimutal de erro-mínimo de Airy.
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Projeções para o mapeamento de pequenas áreas ou países pequenos
Para áreas de pequenas dimensões as possibilidades são inúmeras (a projeção utilizada não importa muito).
- Isto ocorre quando o erro provocado pela projeção é menor do que o erro gráfico admissível (0,2mm).
- Nesta situação as medidas feitas sobre o mapa não são afetadas pela projeção.
Relação entre a dimensão a ser mapeada e as tolerâncias admissíveis, para alguns países e continentes (Fonte: MALING, 1992)
O mapa de todo o Oeste da Europa pode ser preparado considerando as seguintes tolerâncias:
- 2% para erro relativo em área. - 1o para o erro máximo angular.
Para o caso do Canadá, URSS, as tolerâncias seriam:
- 3% para erro relativo em área. - 3-5o para o erro máximo angular.
Deste modo pode-se considerar que para áreas maiores, as tolerâncias admissíveis devem ser maiores.
Alguns outros exemplos:
Mapa equivalente da Ásia:
- distorção angular máxima de 15o Mapa equivalente da África e América do Sul:
- distorção angular máxima da ordem de 6o a 8o.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 113 Prof. Mauricio Galo
A escolha da origem, aspecto e classe da projeção
Num estágio preliminar do processo de escolha da projeção pode-se considerar a posição da origem.
- Normalmente o ponto de distorção nula é escolhido nas proximidades do centro da área a ser mapeada. - As linhas de distorção nula (LDZ) devem ser orientadas ao longo da maior extensão do país ou região.
A escolha da origem e a seleção da direção das linhas de distorção nula já determina o aspecto8 da projeção.
A forma da região tem influência na seleção de um ponto de distorção nula ou linhas de distorção nula (que tem relação com a classe9).
Estes três elementos (origem, aspecto, classe) estão intimamente relacionados e devem ser considerados juntos.
Na abordagem tradicional, para a escolha das classes, três regras são comumente apresentadas* :
- Se o pais a ser mapeado se localiza na região tropical
Considera-se as projeções cilíndricas.
- Se o pais a ser mapeado se localiza em latitudes temperadas
Considera-se as projeções cônicas.
- Se o pais a ser mapeado se localiza nas regiões polares
Considera-se as projeções azimutais.
*Estas regras NÃO são rígidas.
8 Aspecto: normal, obliquo e transverso. Richardus e Adler (1972) não usam o termo aspecto mas sim posição (da superfície de projeção). 9 Classe: plano, cone ou cilindro. Richardus e Adler (1972) não usam o termo classe mas sim natureza (da superfície de projeção).
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Regra de Young para a seleção da classe
Utiliza os seguintes elementos (ver figura)
z - máxima distância radial (em graus). - mínima "largura" ou separação dos círculos "paralelos" (em graus).
z
Parâmetro utilizado na Regra de Young: razão z/.
z/ < 1,41 Projeção azimutal z/ 1,41 Projeção Cônica (ou cilíndrica)
Critérios utilizados na Regra de Young (MALING, 1992).
Chile z=16o =7o
z/=2,3 Indica que a projeção mais indicada dever ter da classe cônica ou cilíndrica.
Austrália z=19o =30o
z/=0,63 Indica que a projeção mais indicada deve ser da classe azimutal.
Exemplos para o Chile e Austrália.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 115 Prof. Mauricio Galo
Escolha dos paralelos padrão para as projeções cônicas - Constante de Kavraisky
Existem diversas possibilidades, uma delas é o uso da constante de Kavraisky.
Sendo N e S as latitudes limites norte e sul da área a ser mapeada, as latitudes dos paralelos padrão podem ser obtidas por:
2 = N - 1 = S +
= (N - S )/K onde: K é um fator que depende da forma da região a ser mapeada (constante de Kavraisky).
N
S
0
K=7 N
S
0
K=5
N
S
0
K=4 N
S
0
K=32
2
2
2
11
11
Constante de Kavraisky (K) para diferentes formatos.
Adaptado de (MALING,1992). Outros critérios podem ser considerados.
Por ex.: Condição de Chebyshev
"A soma dos quadrados dos erros em escala sobre a região deve ser mínima." REFERÊNCIAS MALING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition. Oxford : Pergamon Press, 1992. RICHARDUS, P., ADLER, R. K. Map Projections. Amsterdam: North Holland Publishing Company, 1972.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 116 Prof. Mauricio Galo
Aparência de Algumas Projeções
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 117 Prof. Mauricio Galo
Imagem gerada a partir de um mosaico de imagens em cor natural, adquiridas com o sensor MISR
(Multi-angle Imaging SpectroRadiometer) da NASA.
A região mostrada é limitada pelos paralelos 48º N e 32º N e pelos meridianos de longitude 16º W e 8º E, que corresponde a uma parte da Europa e África.
Projeção: Cônica Equivalente de Albers. Fonte: http://earthobservatory.nasa.gov/
Acesso: Novembro de 2007.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 118 Prof. Mauricio Galo
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS / BIBLIOGRAFIA
BAKKER, M. P. R. de Cartografia - Noções Básicas. DH21-1, 1965. 242p.
BLACHUT, T. J., CHRZANOWSKI, A., SAASTAMOINEN, T. J. Urban surveying and mapping. New York: Springer-Verlag, 1979.
BOMFORD, G. Geodesy. Oxford: Oxford University Press, 1952.
BUGAYEVSKIY, L. M., SNYDER, J. P. Map Projections - A reference Manual. London: Taylor & Francis, 1995.
CARVALHO, F. R. de Cadastro Geoambiental Polivalente / Projeção TM (Conforme de Gauss). Informativo COCAR, ano VI, Número especial CGP-04, Dezembro, 1984.
CHAGAS, C. B. Teoria e Prática do Sistema UTM da Projeção Conforme de Gauss. Diretoria do Serviço Geográfico, 1959.
DIRETORIA DO SERVIÇO GEOGRÁFICO Manual Técnico - Coordenadas planas sistema UTM,
1a parte. Rio de Janeiro, 1959.
GALO, M. Sistemas de projeção derivados da Projeção Transversa de Mercator: conceitos básicos e
formulação. Notas de aula do curso de Graduação em Eng. Cartográfica, Departamento de Cartografia, UNESP, Presidente Prudente, 2017.
ILIFFE, J. C. Datums and map projections for Remote Sensing, GIS and Surveying. Bristol: Whittles Publishing, 2002. 150p.
KREYSZIG, E. Advanced Engineering Mathematics, Seventh Edition. Singapore: John Wiley & Sons, 1993.
MAILING, D. H. Coordinate Systems and Map Projections, second edition. Oxford: Pergamon Press, 1992.
RICHARDUS, P., ADLER, R. K. Map Projections. Amsterdam: North Holland Publishing Company, 1972. 174p.
SNYDER, J. P. Map Projections – A Working Manual. Washington: United States Government Printing Office, 1987. U. S. Geological Survey Professional Paper 1395.
VANICEK, P., KRAKIWSKY, E. J. Geodesy, the concepts. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1986.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 119 Prof. Mauricio Galo
Relação de Exercícios Sugeridos (sobre diferentes projeções)
I) Considerando a Projeção Plana Polar Estereográfica (caso esférico), no qual o fator de escala linear
(m), ou coeficiente de deformação linear seja
2/45cos
1m
2 ,
pede-se:
a) Mostre que a equação dada é equivalente a sen1/2m .
b) Qual é o erro linear relativo nos paralelos =70o N e =60o N? c) A partir de (a) faça uma análise da deformação para esta projeção. d) No paralelo =60o N qual é o Erro Relativo em Área (ou Superfície)? e) Qual o intervalo, em latitude, que é possível fazer o mapeamento, usando esta projeção, de modo que o erro relativo em área não ultrapasse 1%? f) Qual é o decréscimo (ou acréscimo) em área, ao representar, nesta projeção, uma propriedade de área 1km2 situada no paralelo =60o N e na longitude =10o E? g) Qual é a taxa de variação de m com a latitude?
sen.sencos.coscos
cos.sencos.sensen
m
22 sencos2cos
cos.sen22sen
II) Deseja-se construir uma carta utilizando a Projeção Gnomônica Polar. Admitindo que o erro relativo máximo tolerável no produto seja 10% e sabendo que a carta deverá ser construída em uma folha quadrada, como mostra a figura ao lado, pergunta-se:
a) Dado o erro máximo tolerável, qual é a maior dimensão angular admissível? (Resp. em graus e minutos)
b) Qual a máxima deformação angular nesta carta, em valor absoluto? (Resp. em graus e minutos)
c) Qual a máxima deformação em área nesta carta? (Resp. em %)
Considere R=6.371.000,0 m e que o ponto de tangência esteja no centro da folha.
Área útil
R
Da lista de exercícios.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 120 Prof. Mauricio Galo
III) Você foi encarregado de planejar um produto na Projeção de Mercator (Projeção Cilíndrica Equatorial Conforme). O contratante deseja fazer o mapeamento de uma certa região, utilizando esta projeção e considerando o modelo esférico para a superfície terrestre (R=6371km). Admitindo que o centro da área a ser mapeada esteja sobre o Equador, pergunta-se:
a) Quais são os valores limites em latitude (S-latitude sul e N-latitude norte) do produto a ser gerado, de modo que o erro relativo linear (r) seja no máximo 1% ? (Resposta em graus e minutos) b) Qual é a extensão máxima (Emax) desta área (em latitude), expressa em km? c) Obtenha uma equação que permite obter o valor de Emax como função do erro relativo (r), para este problema. d) A partir desta equação obtenha o valor de Emax para r=1/100. Compare este valor com o obtido em (a). e) Considerando uma área de 1000 km2, situada na latitude obtida em (a), pergunta-se: Qual será a área correspondente na superfície de projeção ? (em km2)
Da lista de exercícios.
PN
PS
Cilindro tangente ao Equador Projeção de Mercator
IV) Pretende-se construir em uma folha de dimensão 1m x 1m de lado uma carta na escala 1/1.000 na
Projeção Cilíndrica Equidistante Meridiana, cujos fatores de escala linear são m0=1 e
m90=δ/senδ. Sabendo que o erro gráfico seja 0,2mm, deseja-se que a deformação linear no produto
seja menor ou igual ao erro gráfico. Com base nestes dados pergunta-se: até que valor de δ é
possível mapear?
1m
1m
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 121 Prof. Mauricio Galo
V) Pretende-se construir em uma folha de dimensão 1m x 1m de lado uma carta na escala 1/1.000 na
Projeção Gnomônica. Sabendo que os fatores de escala linear sejam m0=(secδ)2 e m90=secδ e que
o erro gráfico seja 0,2mm, pergunta-se: até que valor de δ é possível mapear de modo que a
deformação linear no produto seja inferior ao erro gráfico?
1m
1m
VI) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região equatorial utilizando a Projeção Cilíndrica
Equivalente de Lambert. Considerando o modelo esférico pergunta-se:
a) Quais os limites em latitude que você faria este mapeamento de modo que a máxima
ampliação não ultrapasse 2%. (Resposta em graus, minutos e segundos).
b) Qual a máxima distorção angular, em valor absoluto, nas latitudes obtidas no item anterior?
(Resposta em graus, minutos e segundos).
Da lista de exercícios.
VII) Deseja-se fazer o mapeamento nas proximidades da cidade de Rio Grande – RS, mais
especificamente na latitude 32º 11’ 47’’ S, com uma projeção que preserva a área. Das projeções
Cilíndrica Equivalente de Lambert e Azimutal Equivalente de Lambert (caso polar), qual
delas você escolheria, considerando que se deseja que a deformação angular máxima seja a menor
possível? Justifique a escolha.
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 122 Prof. Mauricio Galo
VIII) Diferente das Projeções Conformes, onde a distorção angular é nula, nas Projeções Equivalentes
a distorção angular máxima pode ser escrita em função das componentes m0 e m90. Deste modo
pergunta-se:
a) Considerando a Projeção Cilíndrica Equivalente de Lambert, caso normal, qual é o
máximo intervalo em que você faria o mapeamento de uma região equatorial, de modo que
a distorção angular não ultrapasse 3o?
b) Considerando a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert, caso polar, qual é o
intervalo em latitude que você faria o mapeamento, de modo que a distorção angular não
ultrapasse 3o?
Da lista de exercícios.
IX) Deseja-se fazer o mapeamento de uma região polar com uma projeção que preserva as áreas e
você foi encarregado de projetar este produto. A projeção escolhida foi a Projeção Azimutal
Equivalente de Lambert. Uma vez que esta projeção possui a propriedade de equivalência,
deseja-se que o produto gerado atenda, simultaneamente, às seguintes características:
I) Deformação angular menor ou igual a 0,5o (meio grau).
II) Erro relativo linear máximo: 1/1000.
Pergunta:
a) Quais são os limites (em coordenadas geográficas) que pode ser representado, usando a
projeção Azimutal Equivalente de Lambert (caso polar), mantendo as características
especificadas?
b) Sabendo que você dispõe de uma área útil de 1mx1m para imprimir este produto, qual será a
máxima escala que você conseguiria fazer a impressão deste produto, mostrando toda a
área determinada em (a). Adote R=6.371.000m.
Da lista de exercícios.
X) Deseja-se fazer o mapeamento com a Projeção Cônica Equivalente de Albers em uma região do
hemisfério sul. Considerando R=6371 km e que o paralelo padrão possua latitude igual a -22º
pergunta-se:
a) Qual é o intervalo em latitude que é possível mapear, com esta projeção, de modo que a
redução limite seja 1/1000?
Notas de aula de Projeções Cartográficas II / UNESP – Dep. de Cartografia – 2018 123 Prof. Mauricio Galo
XI) Foi medida uma distância numa carta na Projeção UTM, entre dois pontos que estão próximos ao
meridiano central (MC) de um fuso UTM. Sabendo que a distância medida entre eles seja 2000m,
que a altitude média e a latitude média da região sejam 450m e 0o, respectivamente, pergunta-se:
a) Qual é a distância correspondente na superfície de referência?
b) Qual é a distância na superfície física?
c) Qual é o erro cometido (em ppm) ao não considerar o efeito da correção do nível do mar
(efeito da altitude), no cálculo da distância na superfície física?
d) Com base no que foi obtido no item (c) e face ao erro de medida de algumas estações totais
(que você conhece), comente sobre a significância (ou não) do valor obtido.
Obs.: Considere o modelo esférico, com R=6371km.
XII) Você está em um local onde a altitude geométrica é da ordem de 430m e situado a
aproximadamente 42km do MC de um fuso UTM. Considerando estas informações, que a
ondulação do geóide é aproximadamente nula nesta região e que a superfície de referência adotada
seja o modelo esférico com R=6371km pergunta-se:
a) Qual seria o fator de escala linear que você adotaria para o MC do fuso, de modo que as
distâncias obtidas num produto cartográfico na Projeção UTM, do local mencionado, sejam
aproximadamente iguais às respectivas distâncias medidas na superfície física?
b) Quais as vantagens e desvantagens em adotar o valor do fator de escala linear obtido no
item (a)?
c) O que representa geometricamente adotar o valor de escala obtido em (b)?