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Atividade 4 - MA211- Calculo II -

Unicamp Desenvolvimento

Questão 1 e 3 : Matheus Rufino 160925

Questão 2: Leticia Martins Marreiro 146925

Apoio:

Professor Márcio Antônio de Faria Rosa

Wesley Henrique 140986

Eduardo Silva 155208

Vanessa Teixeira 139201

Gabriel Vieira 155482

Phillipe Oliveira 157020

Isabela G. Fernandes 159753

A comparação feita no começo da página 91 no livro de Edwards & Penney grosso modo nos traz a

ideia de que o método de cálculo de volume por meio de seções transversais no sólido, visto no

Cálculo I, não passa também de uma espécie de limite de somas de Riemann -

um método para aproximação da área total inferior à curva em um gráfico - associado a uma altura

para o cálculo de um volume.

Sendo assim, pode-se definir Volume através de uma integral dupla - que também é uma soma de

Riemann - integrando-se uma z = f(x,y) em x e depois em y. Caso a integral exista, temos então o

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

valor associado de um volume para determinados limtes de integração (a,b) na externa e

(y2(x),y1(x)) na interna. Isto é, a integral interior nos elucida a área da região no plano yz que está

abaixo da curva e acima do intervalo dado pelos seus limites de integração. Ora, mas essa é a

definição de seções transversais num sólido, uma vez que a integral é a área da seção transversa

da região sólida T em um plano perpendicular ao eixo x. Portanto, Volume = V = ∫a

bA (x)ⅆx.

Então, finalmente podemos concluir que o volume é a integral da área da seção transversa. Sendo

essa seção transversa, como queríamos demonstrar, uma Soma de Riemann que nos apresenta a

área total inferior à curva em um gráfico. Essa é a relação existente entre o teorema de Fubini e o

método tradicional de cálculo de volume estudado no Càlculo I.

Agora, como a segunda parte do enunciado sugere, vamos ilustrar a tese apresentada anterior-

mente. Para isso, precisamos primeiro plotar a área da região no plano yz, com o comando Region

Plot.

r1 = RegionPlot1 < x ≤ 4 && 0 ≤ y ≤ 3.5, 0 ≤1

4+ 0.4 (x - 4)2 + (y - 4)2 ≤

3

2+ 1

2

,

{x, 0, 5}, {y, 0, 5}, PlotTheme → "Minimal",

PlotStyle → {Directive[RGBColor[0, 0, 1], Opacity[0.4]],

Directive[GrayLevel[1], Opacity[1]]},

BoundaryStyle → None, AxesLabel → {"y", "z"}

y

z

2 Atv 4 - Calc II - Marcio.nb


b3 = RegionPlot3D1 ≤ x ≤ 4 && y ≤ 5 && -1

4+ 0.4 (x - 4)2 + (y - 4)2 ≤

3

2+ 1

2

,

{x, 0, 5}, {y, 0, 5}, {z, 0, 2}, PlotPoints → 20, AspectRatio → Automatic,

PlotTheme → "Minimal", AxesLabel → {"y", "z", "x"},

PlotStyle → {Directive[RGBColor[0, 0, 1], Opacity[0.4`]]}

A seção móvel

Para fazer isso precisamos primeiro definir uma nova função com qualidades parecidas mas que

permita uma melhor análise estrutural para o uso dos comandos. A escolhida será uma uma função

Seno acrescida de uma constante, uma vez que essa função nos retorna uma maleabilidade

gráfica melhor com o uso dos comandos do Mathematica.

Atv 4 - Calc II - Marcio.nb 3


In[1]:= α = Plot3D[{3 + Sin[x], 0}, {x, -π, π},

{y, -2, 2}, PlotStyle → Directive[Opacity[0.4]]]

Out[1]=

Observa-se acertadamente na curva acima que juntamos o plano 0 com a função sino ao longo dos

eixos em R3. Agora iremos escolher uma faixa dessa função para ser a nossa seção móvel, usando

o comando ParametricPlot podemos definir os limites através de uma parametrização.

In[2]:= β = ParametricPlot3Dx, 0, t 3 + Sin[x], {x, -π, π},

{t, 0, 1}, PlotStyle → Directive[Green, Opacity[0.4]]

Out[2]=

Juntamos finalmente as duas para analisar o resultado, como queríamos demonstrar.



Show[α, β]

Agora, precisamos fazer com que essa faixa se mova. Usaremos então o comando Manipulate para

mexermos os parâmetros da faixa que irá se mover. Mas antes, vejamos como as curvas que

limitam a faixa em suas extremidades verticais podem ser observadas como o conjunto de inter-

secção entre o plano 0 e a curva seno.

In[3]:= γ = ParametricPlot3D[{{x, 0, 3 + Sin[x]}, {x, 0, 0}}, {x, -π, π}, PlotStyle → Thick]

Out[3]=

Com todas essas curvas em mãos podemos finalmente usar o comando Manipulate para observar

o movimento da seção.



In[4]:= ManipulateShowα, ParametricPlot3Dx, λ, t 3 + Sin[x], {x, -π, π},

{t, 0, 1}, PlotStyle → Directive[Green, Opacity[0.4]], ParametricPlot3D[

{{x, λ, 3 + Sin[x]}, {x, λ, 0}}, {x, -π, π}, PlotStyle → Thick], {λ, -1.3, 1.3}

Out[4]=

λ

f[x_, y_] = 1 + x + y

1 + x + y



c = RegionPlot0 ≤ x ≤ 1 && 0 ≤ y ≤ x2, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

d = ContourPlot[{x ⩵ 1, y ⩵ 0, x^2 ⩵ y}, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, ContourShading → False]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



Show[c, d]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Plot3D{f[x, y], 0}, {x, 0, 1}, {y, 0, 1},

RegionFunction → Function{x, y, z}, y ≤ x2, Filling → Bottom



q[x_, y_] = 23 x2 + 72 x y + 2 y2;

Simplify[q[a u - b v, b u + a v]];

SolveD[D[%, u], v] ⩵ 0, a2 + b2 ⩵ 1, {a, b}

a → -4

5, b → -

3

5, a → -

3

5, b →

4

5, a →

3

5, b → -

4

5, a →

4

5, b →

3

5

A priori, nossa função q[x,y] possuía valores no espaço R2 com dificuldade considerável para

análise, uma vez que a mesma não está na forma canônica. Está de fato rotacionado. Então o que

fizemos foi uma substituição de eixos coordenados com a intenção de se encontrar eixos os quais

coincidam a os pontos (0,0) dos vetores geradores de um espaço R2 com os zeros de nossa curva.

Sendo então a e b os coeficientes que irão multiplicar respectivamente (u,v) que é o vetor correspon-

dente a resolução do Sistema Linear clássico para o encontro da matriz Rθ (de rotação), (A

-λ1 Id).X = 0.

Sendo X = (u,v) temos que X

||X ||.(Cos[θ], Sin[θ]) que finalmente nos traz Rθ =

Cos θ -Sin θ

Sin θ Cos θ =

//que para o caso onde a →35, b → -

45 \\ = Rθ =

35

45

-45

35

.

A grande sacada deste método é que já temos os valores do Cos(θ) e Sin(θ) sendo respectiva-

mente a e b. Logo, também já podemos facilmente encontrar o valor de θ com a função ArcCos ou

ArcSin.

Ou seja, precisávamos encontrar um sistema de coordenadas cujo o qual não houvesse termo

cruzado (xy) na equação geral da curva. No caso, a função dada não possui os termos d, e, f

esperados em uma cônica, facilitando nosso trabalho.

Então, para prosseguirmos com as análises, usaremos o comando Simplify para que o Mathemat-



ica substitua os valores de a e b na equação q[x,y]. Sendo assim, teremos uma q2[u,v] nos eixos

coordenados em R2 os quais possuem coincidência de zeros entre curva e espaço.

(**Observação: O método tradicional elucidado pela

Geometria Analítica não prevê casos em que f = o ou f = z,

dificultando toda a questão de se transportar para os novos eixos coordenados,

retornando sempre a uma equação do tipo x2+y2=0...No entanto,

a forma aqui demonstrada pode aparentemente driblar esse problema.**)

Simplifyq3 5 u + (4 / 5) v, -(4 / 5) u + 3 5 v

-25 u2 - 2 v2

q2[u_, v_]

q2[u_, v_]

Pronto, finalmente temos a equação nos novos eixos coordenados u e v sendo q2(u,v) =

-25 u2 + 50 v2. Pode-se facilmente perceber que quando u = 0 e v = 0, a hipérbole passará pela

origem, ou seja, a troca de eixos foi acertada.

q2[0, 0]

q2[0, 0]

A forma mais simples de se saber com qual cônica degenerada estamos trabalhando, é fazendo o

Determinante da Matriz A = a

b

2b

2c

, sabendo que em q2 {a, b, c, d, e ,f} = {-25, 0, 50, 0, 0, 0}.

A = -25 00 50

;

Det[A]

-1250

Temos que o Det[A] < 0, logo por definição é uma hipérbole. Vejamos a mesma no ContourPlot.



ContourPlot-25 u2 - 2 v2, {u, -8, 8}, {v, -8, 8}, Axes → True,

Frame → False, Mesh → Full, AxesLabel → {"u", "v"}, Contours → 2

-5 5u

-5

5

v

Agora vamos resolver o sistema linear para encontrar o valor do ângulo usado na construção de Rθ

.

Sabemos que esse sistema nos retorna os valores de um vetor X = (u, v) preferencialmente quando

a norma = 1. Portanto, basta que façamos X

||X ||.(Cos[θ], Sin[θ]) e finalmente poderemos definir e

comprovar não só a matriz de rotação Rθ =

35

45

-45

35

como consequentemente o ângulo o qual

está rotacionada a nossa hipérbole em torno de x,y para x’,y’ que iremos denotar de

X1 e X2 respectivamente e também encontra os valores de u,v nas coordenadas x,y.

Rθ =

35

45

-45

35

;

X2 = u

v;

X1 = xy;

Solve35

45

-45

35

. uv ==

xy, {u, v}

u →1

5(3 x - 4 y), v →

1

5(4 x + 3 y)

NArcCos 3

5

°

53.1301



NArcSin 4

5

°

53.1301

Como queríamos demonstrar, podemos obter os eixos coordenados u,v (x’,y’) em função de x,y. E

além disso, também chegamos a conclusão de que o ArcSin 45 = 53.1301° =

ArcCos 35, uma vez que já sabíamos os valores de a

b =

CosθSinθ

bastava que se

resolvesse a equação simples para θ e encontrar o seu valor.

Finalmente, posto que temos todos os valores nos eixos primitivos, podemos colocar em contraste

ao comando ContourPlot tanto os geradores (u,v), (x,y) e a hiperbole.

u2[x_, y_] =1

53 x - 4 y;

v[x_, y_] =1

54 x + 3 y;

q[x_, y_] = 23 x2 + 72 x y + 2 y2;

Para calcular as assíntota usaremos o truque de saber a equação reduzida, -25 u2 + 50 v2 = 0,

simplificada para u2 = 2 v2, tendo em mente que a regra geral y = ± ba

então a equação das assínto-

tas será:

n[x_] = ± 2 v;

Hiperbole = ContourPlot[q[x, y], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, Axes → True, Frame → False,

Mesh → Full, AxesLabel → {"x", "y"}, Contours → 2, ColorFunction → "Hue"];

ContourPlot::cfun : Value of option ColorFunction -> Hue is not a valid color function, or a gradient ColorData entity.

Eixos = ContourPlot[{u2[x, y] ⩵ 0, v[x, y] ⩵ 0},

{x, -1, 1}, {y, -1, 1}, ContourStyle → Directive[Red, Thick]];

Assintotas = ContourPlotu2[x, y] ⩵ 2 v[x, y], u2[x, y] ⩵ - 2 v[x, y],

{x, -1, 1}, {y, -1, 1}, ContourStyle → Directive[Black, Thick];



Show[Hiperbole, Eixos, Assintotas]

-1.0 -0.5 0.5 1.0x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y



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