ELIPSE

01 – Determinar os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das

elipses dadas. Esboçar o gráfico. a) x2/36 + y2/100 = 1

Solução:- O centro da elipse é o ponto (0, 0). O semi-

eixo maior é b, tal que b2 = 100 b = 10.

Vértices: (0, + b) = (0, + 10)

O semi-eixo menor é a, tal que a2 = 36 a = 6.

Neste caso, a elipse tem eixo maior vertical, estando o

foco sobre tal eixo. A distância focal “c” , distância de

cada foco ao centro é dada por c2 = b2 – a2 c2 = 100

– 36 = 64 c = 8.

Excentricidade e = c/b = 8/10 = 4/5.

Resposta: Vértices (0, + 10); Focos (0, + 8), Excentricidade 4/5.

b) 9x2 + 25y2 = 25

Solução:- Transformando a equação temos:

9x2/25 + 25y2/25 = 25/25 x2/(25/9) + y2/1 = 1

Semi-eixo maior a2 = 25/9 a = 5/3

Semi-eixo menor b2 = 1 b = 1

Como a > b os focos estão sobre o eixo maior que é horizontal.

Assim, c2 = a2 – b2 = 25/9 – 1 = 16/9 c = 4/3

Excentricidade: e = c/a = (4/3)/(5/3) = 4/5

Resposta: Vértices: (+ 5/3, 0); Focos (+ 4/3, 0); Excentricidade: e = c/a

= (4/3)/(5/3) = 4/5.

02 - Determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:

a) Centro (0, 0), eixo menor igual a 6, foco no eixo dos x e passa pelo

ponto

P(-25, 2).

Solução:- eixo maior a horizontal pois os focos estão no eixo dos x.

O semi-eixo menor é b = 6/2 = 3.

A equação terá então a forma x2/a2 + y2/32 = 1.

Como a elipse passa pelo ponto P(-25, 2), devemos ter:

(-25)2/a2 + 22/32 = 1 20/a2 + 4/9 = 1 180 + 4a2 = 9a2

5a2 = 180 a2 = 36.

Portanto, a equação é: x2/36 + y2/9 = 1 ou x2 + 4y2 – 36 = 0.

Resposta:x2/36 + y2/9 = 1

b) Vértices A (0, + 6) e passando por P (3, 2).

Solução:- o eixo maior é vertical, sendo então b = 6 o semi-eixo maior. Como os

vértices

são simétricos em relação à origem, o centro é a origem (0, 0)

Portanto, x2/a2 + y2/62 = 1. Passando pelo ponto (3, 2), 9/a2 + 4/36 = 1 a2 =

81/8.

A equação é então: x2/(81/8) + y2/36 = 1 8x2/81 + y2/36 = 1.

Resposta: 8x2/81 + y2/36 = 1.

c) Centro (2, -1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria

paralelos

aos eixos coordenados.

Solução: Pela figura nota-se que o semi-eixo maior, horizontal, vale 2 unidade e o

semi-eixo menor vale 1 unidade.

A equação é então:

(x – 2)2/22 + (y + 1)2/12 = 1 (x2 – 4x + 4)/4 + (y2 + 2y + 1)1 = 1

x2 – 4x + 4 + 4y2 + 8y + 4 = 1 x2 + 4y2 – 4x + 8y + 7 = 0.

Resposta: x2 + 4y2 – 4x + 8y + 7 = 0.

03 - Determinar o centro, os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade

das

elipses. Esboçar os gráficos.

a) (x – 2)2/16 + (y + 3)2/9 = 1.

Solução:- Centro (2, -3). Semi-eixos a = 16 = 4 e b = 9 = 3.

Distância focal: c2 = a2 – b2 = 16 – 9 = 7 c = 7

Focos (2 + 7, -3) e (2 - 7, -3)

Vértices: (2 – 4, -3) = (-2, -3) e (2 + 4, -3) = (6, - 3).

Excentricidade e = c/a = 7/4.

Resposta: Vértices (-2, -3) e (6, -3); focos (2 + 7, -3) e (2 - 7, -3);

excentricidade 7/4.

b) 16x2 + y2 + 64x – 4y + 52 = 0

Solução:- Transformando para a forma reduzida teremos: 16.(x2 + 4x + 4) + (y2 – 4y + 4) = -52 + 16.4 + 4 16.(x + 2)2 + (y – 2)2 = 16

(x + 2)2/1 + (y – 2)2/16 = 1.

Da equação tiramos: centro (-2, 2).

Semi-eixo maior b = 16 = 4 e semi-eixo menor a = 1 = 1.

O eixo maior é então vertical. Distância focal c2 = b2 – a2 = 16 – 1 c = 15.

Focos: (-2, 2 + 15) , vértices (-2, 2 – 4) = (-2, -2) e (-2, 2 + 4) = (-2, 6).

Excentricidade: e = c/b = 15/4.

Resposta: Vértices (-2, -2) e (-2, 6), focos (-2, 2 + 15), excentricidade

15/4.