Universidade Tecnológica Federal do ParanáGerência de Ensino e PesquisaDepartamento Acadêmico de Matemática

Atividade Prática como Componente Curricular

- Proposta 1 -

Nome: Matrícula: Turma:

Justi�que sua resposta, explicitando seu raciocínio, na folha própria desta atividade.

1. As funções polinomiais, as racionais, as de potência (xa) , as exponenciais (ax), as logarítmicas, astrigonométricas e suas inversas, as hiperbólicas e suas inversas e todas aquelas que podem ser obti-das dessas pelas operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e composição são chamadasfunções elementares. Se ψ é uma função elementar, então ψ′ é uma função elementar, masˆ

ψ (x) dx ,

não necessariamente é uma função elementar. E, de fato, a maioria das funções elementares nãotem antiderivadas elementares. Isso, por sua vez, impõe uma severa restrição ao uso do Teorema

Fundamental do Cálculo na determinação de integrais de�nidas. Pode-se mostrar, por exemplo, queas funções f (x) = ex

2e g (x) = 2x2ex

2não têm primitivas expressas por meio de funções elementares.

Todavia,φ (x) =

(2x2 + 1

)ex

2

,

tem. Prove essa última a�rmação, calculandoˆφ (x) dx .

Sugestão: Observe a relação existente entre f ′ (x) e φ (x).

2. O Teorema do Valor Médio para Integrais a�rma que, para uma função contínua λ, em x ∈ [a, b], ovalor médio de λ nesse intervalo, 〈λ〉, é efetivamente atingido por algum ponto c ∈ [a, b]. Para ilustrarisso, considere um bastão de 8 m de comprimento, cuja densidade linear, em quilogramas por metro,é dada por

λ (x) =12√x+ 1

,

onde x ∈ [0, 8] é medido em metros da ponta do bastão. Mostre que a densidade média do bastão éefetivamente atingida em c = 3.

3. Para uma função contínua e positiva f em [a, b], uma interpretação geométrica do Teorema do Valor

Médio para Integrais é que existe um número c ∈ [a, b] tal que o retângulo de altura f (c) e de base[a, b] tem a mesma área que a região sob o grá�co de f de a até b. Para ilustrar isso, determine c demodo que a área sob o grá�co de f (x) = 1 + x2, x ∈ [−1, 2] seja igual à área do retângulo de alturaf (c) e base 3 = 2− (−1).

4. Mostre que1

17≤ˆ 2

1

dx

1 + x4≤ 7

24.

5. Se f for contínua em [a, b], mostre que∣∣∣∣ˆ b

a

f (x) dx

∣∣∣∣ ≤ ˆ b

a

|f (x)| dx .

6. Use a desigualdade do máximo e do mínimo para determinar limites superior e inferior para o valorde ˆ 1

0

dx

1 + x2.

7. O valor de ˆ b

a

(x− x2

)dx ,

é maximizado por quais valores de a e b?

8. O valor de ˆ b

a

(x4 − 2x2

)dx ,

é minimizado por que valores de a e b?

9. Encontre o valor médio de ϕ (x) =

√x2 − 1

x, x ∈ [1, 7].

10. Ache uma função f e um número a tal que, para todo x > 0,

6 +

ˆ x

a

f (t)

t2dt = 2

√x .

11. A lei do �uxo laminar, descoberta em 1840 pelo físico francês Jean-Louis-Marie Poiseuille, estabeleceque a velocidade v do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento l a um distância rdo eixo central é

v =P

4ηl

(R2 − r2

),

onde P é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e η é a viscosidade do sangue. Considerev como função de r com domínio no intervalo [0, R]. Determine:

(a) A velocidade média, 〈v〉, do sangue (em relação a r) nesse intervalo.

(b) A relação entre 〈v〉 e a velocidade máxima do sangue.

12. Considere a função f (x) =1

x4√x2 − 2

, x ∈ R−{−√2, 0,√2}.

(a) Determine

ˆf (x) dx.

(b) Veri�que, por derivação, o resultado obtido no item (a).

2

13. Se um corpo em queda livre parte do repouso, então o seu deslocamento é dado por s = gt2/2. Sejaa velocidade após um tempo T igual a vT . Mostre que, se calcularmos a média das velocidades emrelação a t, obteremos

〈v〉 = vT/2 .

Todavia, se calcularmos a média das velocidades em relação a s, teremos

v = 2vT/3 .

14. Integrais envolvendo função racional de seno e cosseno aparecem no cálculo da velocidade angularmédia do eixo de saída de uma junta universal quando os eixos de entrada e de saída não estão bemalinhadas. O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) notou que a mudança de variável

u = tgx

2,

converte este tipo de função em uma função racional ordinária de u. Utilize está técnica para resolvera integral dada. Em seguida, use derivação para veri�car o resultado obtido.

(a)

ˆdx√

3 cosx− senx.

(b)

ˆdx

2 senx+ sen 2x.

(c)

ˆ2 tg x

2 + 3 cosxdx .

(d)

ˆdx

1 + sen x+ cosx.

15. Seja k ∈ R uma constante. Utilize duas técnicas de integração distintas e apropriadas para deduzirque as funções

ϕ (x) = − cotg x− cossecx+ k ,

eψ (x) = − cotg

x

2+ k ,

são primitivas da função

f (x) =1

1− cosx.

16. Se f é uma função contínua, determine o valor da integral

I =

ˆ a

0

f (x) dx

f (x) + f (a− x),

fazendo a substituição u = a− x e somando a integral resultante a I.

17. Use a técnica do exercício 16 para determinar o valor de

ˆ π/2

0

senn x

senn x+ cosn xdx ,

onde n é um inteiro positivo arbitrário.

3

18. Calcule a integral dada.

(a)

ˆ π/2

0

dx

1 + (tg x)√2. Sugestão: considere o intervalo de integração da forma [0, π/4] ∪ [π/4, π/2].

(b) limx→0

1

x3

ˆ x

0

t2

1 + t4dt .

19. Determine f ′ (2) se f (x) = eg(x) e g (x) =

ˆ x

2

t

1 + t4dt .

20. Faça o que se pede.

(a) Use a substituição hiperbólicax = a senh t ,

para mostrar que ˆdx√x2 + a2

= senh−1(xa

)+ k , k ∈ R .

(b) Prove que, para todo x ∈ R,

senh−1 x = ln(x+√x2 + 1

).

(c) Conclua que ˆdx√x2 + a2

= ln(x+√x2 + a2

)+ c ,

para alguma constante c ∈ R.

21. Para x > 0, use a substituição hiperbólica

x = a coshu ,

para mostrar que ˆdx√x2 − a2

= ln∣∣∣x+√x2 − a2∣∣∣+ k ,

onde k ∈ R é uma constante de integração qualquer.

22. Calcule

limx→3

(x

x− 3

ˆ x

3

sen t

tdt

).

23. Faça o que se pede.

(a) Use a mudança de variável u = π − x para mostrar queˆ π

0

xf (senx) dx =π

2

ˆ π

0

f (senx) dx .

(b) Calcule a integral ˆ π

0

x senx

1 + cos2 xdx .

4

24. (Regra de Leibniz ) Prove que f for contínua em [a, b] e se u (x) e v (x) forem funções deriváveis de xcujos valores situam-se em [a, b], então

d

dx

ˆ v(x)

u(x)

f (t) dt = f (v (x))dv

dx− f (u (x)) du

dx.

25. Use a regra de Leibniz para determinar o valor de x que maximiza o valor da integralˆ x+3

x

t (5− t) dt .

Problemas como esse surgem na teoria matemática das eleições políticas. Veja �The entry problemin a political race�, de Steven J. Brams e Philip D. Stra�n Jr., em Political Equilibrium, editado porPeter Ordeshook e Kenneth Shep�e (Boston: Kluwer-Nijho�, 1982, p. 181-195).

26. Se

x sen πx =

ˆ x2

0

f (t) dt ,

onde f é uma função contínua, ache f (4).

27. Prove que se f for contínua, entãoˆ x

0

f (u) (x− u) du =

ˆ x

0

(ˆ u

0

f (t) dt

)du .

28. Um aluno (precipitado), ao calcular a integral

I =

ˆ 1

−1

√1 + x2 dx ,

raciocinou da seguinte forma: fazendo a mudança de variável u = 1 + x2, os novos extremos deintegração seriam iguais a 2 (x = −1 → u = 2; x = 1 → u = 2) e assim a integral obtida após amudança de variável seria igual a zero e, portanto, I = 0!! Pergunta-se:

(a) O valor de I é, de fato, zero?

(b) Onde está o erro, se existente algum, no raciocínio do aluno?

29. Fórmulas de redução são expressões que permitem substituir uma integral que contém certa potênciade uma função por uma integral da mesma forma, mas com uma potência menor. Fórmulas de reduçãosão também chamadas de relações de recorrência para integrais. Deduza as seguintes fórmulas deredução:

(a)

ˆsenn x cosm x dx = −senn−1 x cosm+1 x

m+ n+n− 1

m+ n

ˆsenn−2 x cosm x dx, n 6= −m.

(b)

ˆtgn x dx =

1

n− 1tgn−1 x−

ˆtgn−2 x dx, n > 1.

30. Aplicando repetidas vezes fórmulas de redução, mais cedo ou mais tarde, obtém-se a integral originalem termos de uma potência baixa o bastante para ser calculada diretamente. Determine:

(a)

ˆtg5x dx.

(b)

ˆsen3 x cos2 x dx.

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