ATPS calculo II - fase2 - em andamento marcelo .docx

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ANHANGUERA EDUCACIONAL CENTRO UNIVERSITÁRIO ANHANGUERA DE NITERÓI ENGENHARIA ELÉTRICA ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA: CÁLCULO II

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ANHANGUERA EDUCACIONALCENTRO UNIVERSITRIO ANHANGUERA DE NITERI

ENGENHARIA ELTRICA

ATIVIDADE PRTICA SUPERVISIONADA:CLCULO II

Niteri, RJ.2015Atividade Prtica Supervisionada

Unidade: CENTRO UNIVERSITRIO ANHANGUERA DE NITERI.Curso: ENGENHARIA ELTRICA Turma: B2Disciplina: CLCULO IIAula-tema: CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAO.

RANOME

8091884218820797855582039436318075858980 Ewerton Silva Marcelo Amorim Leonardo PessanhaJoelson Mendes

Professora: LEIDA

Niteri, RJ.2015

Atividade Prtica Supervisionada

Trabalho desenvolvido na disciplina Clculo II, apresentado Anhanguera Educacional como exigncia para a avaliao na Atividade de Prtica Supervisionada, sob a orientao da professora Leida.

Niteri, RJ.2015

Etapa 01

Passo 1 Pesquisar o conceito de velocidade instantnea a partir do limite, com t.Comparar a frmula aplicada na fsica com a frmula usada em clculo e explicar o significado da funo v (velocidade instantnea), a partir da funo s (espao), utilizando o conceito da derivada que voc aprendeu em clculo, mostrando que a funo velocidade a derivada da funo espao.Dar um exemplo, mostrando a funo velocidade como derivada da funo do espao, utilizando no seu exemplo a acelerao como sendo a somatria do ltimo algarismo que compe o RA dos alunos integrantes do grupo.

J observamos que o conceito de velocidade mdia est associado a dois instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o mdulo dessa velocidade mdia.

Por outro lado, conclumos que o mdulo da velocidade mdia entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao grfico da posio em funo do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do grfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.

O conceito de velocidade instantnea est associado a um instante de tempo.Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o mdulo dessa velocidade instantnea. Podemos pensar que o mdulo da velocidade instantnea v (t1) o valor do mdulo da velocidade mdia v (t1,t2) quando t2 tomado muito prximo de t1.

Fig 1. Fonte: internet.Desse modo, o clculo do mdulo da velocidade instantnea v (t1) pode ser feito como o clculo do mdulo da velocidade mdia v (t1, t2), desde que o segmento de reta secante seja substitudo por um segmento de reta tangente ao grfico posio x tempo.

a taxa de variao da posio de um corpo dentro de um intervalo de tempo infinitesimal (na prtica, instantneo). Define-se velocidade instantnea ou simplesmente velocidade como sendo:

Exemplo: Funo x = 3t + t + 2t 4

Velocidade no tempo 5s

x = 3t + t + 2t - 4v = dx = 3x2t + 3t + 2 0

t

v = 6t + 3t + 2

Se t = 5s

v = 6x5 + 3x5 + 2

v = 30 + 75 + 2

v = 102m/s

Acelerao no tempo 5s

v = 6t + 3t + 2a= 6 + 3x2t- + 0

a= 6 + 6t

a= 6 + 6x5

a= 36m/s

Passo 2

Calcular a rea formada pela funo da velocidade, para o intervalo dado acima.

Grfico s(m) x t(s) x = 3t + t + 2t 4Fonte: Autor

Grfico v(m) x t(s) v = 6t + 2t + 2Fonte: AutorPasso 3

Acelerao a taxa de variao da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretaes em situaes mais globais (acelerao mdia) e em situaes mais locais (acelerao instantnea). Elas so definidas como:

(acelerao mdia)

(acelerao instantnea)

Passo 4

Plotar num grfico sua funo a(m/s) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer que tipo de funo voc tem.

Grfico acelerao a(m/s) x t(s) a= 6 + 6t.Fonte: Autor

Etapa 2

O que a Constante de Euler?

Trata-se de um nmero irracional, conhecido como . Foi atribudo este nmero a notao e, em homenagem ao matemtico suo Leonard Euler (1707-1783), visto ter sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse nmero.

Podemos expressar esse nmero com 40 dgitos decimais, ou seja: = 2,718281828459045235360287471352662497757

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo menos uma pgina, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades.Existem inmeros sites na internet que traz informaes ricas sobre esse assunto. Abaixo deixamos alguns para que possa ser pesquisado, alm do Wikipdia.

Construir uma tabela com os clculos e resultados aplicados na frmula abaixo, utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000, 1000000}, esboar um grfico representativo e fazer uma concluso a respeito.

Euler legou posteridade um nmero assombroso de trabalhos sobre as mais diversas reas, da Engenharia Mecnica, da ptica Astronomia, da Msica Matemtica (curvas, sries, clculo de variaes, clculo infinitesimal, Geometria, lgebra).

Produziu tanto durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliogrfica das suas obras, incluindo itens pstumos, contm 886 ttulos. A sua pesquisa Matemtica chegava a ser, em mdia, de 800 pginas por ano, durante toda a sua vida.

No tempo em que esteve em Berlim, Euler ganhou o hbito de escrever artigos e coloc-los numa pilha. Sempre que era necessrio material para as publicaes da Academia eram retirados artigos da mesma. Como a produo de Euler era superior s publicaes, os artigos na base demoravam muito a ser publicados. Isso explica o fato de quando alguns artigos surgirem, extenses e melhorias dos mesmos j terem sido publicadas antes, com a assinatura de Euler.

Jamais algum matemtico ter superado a produo deste homem. Como tal, iremos referir somente algumas das contribuies de Leonard Euler para a cincia.

Inicialmente, o fundamento da utilizao baseava-se em representar um nmero infinito, tal como Wallis (1616-1705) usara o . Desta maneira, Euler apresentava ex = lim (1 + x/i) i onde, atualmente se escreve ex = lim (1 + x/n)n.

Mas somente aps a opo, por parte de Gauss (1777 - 1856), do smbolo no seu livro Disquisitiones Arithmeticae em 1801, que se assegurou a sua utilizao nas notaes Matemticas.

Aps apresentao dos smbolos, cuja introduo e opo se devem a Euler, foi possvel combinar os nmeros e e i com o 0 e o 1 na mais clebre igualdade que contm os cinco nmeros: e i + 1 = 0

Esta revela uma importante relao entre os mesmos. A Euler tambm associada introduo das seguintes notaes:

A sexta constante mais importante da Matemtica, a Constante de Euler.- O logaritmo de x, ln x;- O uso da letra para a adio;- f(x) para uma funo de x.

n = lim (1+ 1 )n n

n n 1 2

5 2,48832 10 2,59374246

50 2,691588029

100 2,704813829

500 2,715568521

1000 2,716923932

5000 2,71801005

10000 2,718145927

100000 2,718268237

1000000 2,718280469

Passo2 (pesquisar sobre sries harmnicas)

Pesquisar sobre sries harmnicas na msica, na matemtica e na fsica e sobre somatria infinita de uma PG. Fazer um relatrio resumo com as principais informaes sobre o assunto de pelo menos 1 pgina e explicar como a Constante de Euler se relaciona com srie harmnica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenas.

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e de uma flauta so um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas notas idnticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso ocorre, se a nota tocada a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impresso sonora ou o colorido particular de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da srie harmnica, que pode ser explicada como o conjunto de frequncias sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.

Quando ouvimos um som, na realidade escutamos tambm uma srie de outras frequncias mais agudas que no conseguimos perceber individualmente, apenas como um conjunto sonoro. Essas frequncias secundrias se manifestam na forma de timbre em nossos ouvidos. Um corpo em vibrao no produz apenas uma nica nota (ou frequncia), mas sim um conjunto de vrias frequncias, que so chamadas de harmnicos. A importncia que cada harmnico ter para cada nota de cada instrumento musical o que definir o timbre.

Num texto anterior (Msica das Esferas) falamos sobre Pitgoras (570 a.C. - 496 a.C.), o matemtico grego que descobriu as relaes entre o tamanho de uma corda e a altura da nota por ela produzida. Pitgoras observou que uma corda de 120 cm, que emitia a nota d 1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a nota d 2, ou seja, um som oitava acima. Quando a corda de 120 cm era dividida em trs partes, sendo tocada uma dessas partes (de 40 cm), obtinha-se a nota sol 2, ou seja, um som uma quinta acima do d 2. Prosseguindo nas divises da corda em quatro, cinco, seis partes, e assim por diante, Pitgoras descobriu relaes matemticas lgicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto menores as divises, mais agudos e dissonantes ficavam os sons secundrios com relao nota original. Pitgoras explicava desse modo, na teoria, a srie harmnica.

Quando a corda de uma harpa tocada, ela vibra simultaneamente em toda a sua extenso e em pequenas partes proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como assinalou Pitgoras. Consequentemente, escutamos o som da vibrao total da corda e os sons das vibraes secundrias. Ouvimos, portanto, a nota fundamental e sua srie harmnica.

Srie Harmnica Matemtica

Em matemtica, a srie harmnica a srie infinita definida como:

O nome harmnico devido semelhana com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver srie harmnica (msica).

Esta srie diverge lentamente. A demonstrao (feita originalmente na Idade Mdia por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a srie

termo a termo maior que ou igual srie que claramente diverge.

Passo 3

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Com base nas informaes acima, considerar uma colnia de vrus em um determinado ambiente. Um analista de um laboratrio ao pesquisar essa populao, percebe que ela triplica a cada 8 horas. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas Malthus, quantos vrus haver na colnia aps 48 horas em relao ltima contagem?

Nt= No x ert n48= 50xe48x0,137326

No= 50xer8 n48= 50xe6x591673

150= 50xer8 n48= 36449,59

er8= 150/50

er8= 3

Ln er8 = 3

r8 = Ln3

r = Ln3/8

r = 0,137326

Etapa 03

Passo 1

Criar um nome e slogan para a empresa de consultoria e assessoramento em engenharia que voc e sua equipe decidem abrir. A empresa Soy Oil, desejando inovar, na apresentao de sua nova linha de leo para cozinha, contrata vocs para criarem uma nova embalagem da lata, a qual dever armazenar o produto.

Nome da Empresa NOVA MARCA CONSULTORIA LTDA.Slogam = ADEQUE-SE AO MERCADO.

Nmeros do RAS: 8859399895, 8404996586, 8068830851, 8072856945.

Maior nmero encontrado nos RAS = 9. Dimetro adotado D=19cm.

Dimetro:D=2 x R R=19 R=9,5cm 2

rea da circunfernciaAc = r Ac = x 9,5 cm Ac = 283,52 cm

VolumeV = Ac x H V = 283,52 x 6.407,55 cm V= 6.407,55 V= 6.4dm 1000

Passo 2

Fazer um layout com escala, representando a lata de leo do passo 1 e criar um prottipo em tamanho real. Fazer um relatrio justificando de forma positiva a utilizao dessa nova embalagem, que dever ser apresentada a diretoria da empresa Soy Oil.

No solicitado pela professora.

Passo 3

Analisar o texto abaixo e responder a pergunta:A empresa Soy Oil adquiriu uma nova mquina para evaso do leo dentro das latas que sero comercializadas. O bico da envasadura em formato de uma pirmide hexagonal regular invertida, com 50 cm de altura e de aresta da base de 10 cm. O leo escoa por meio de uma pequena abertura no bico da pirmide, aps a pirmide atingir seu volume mximo.Sabendo que o leo flui no bico a uma taxa de 3 cm3/s. Com que velocidade o nvel do leo estar se elevando quando atingir 20 cm de altura?

Soluo:

3cm/s = 50cm/V V=50cm/ 3cm/s V= 16,67 cm/s

V= 50cm 20cm . V= 30cm . V= 2,99cm/s. 16,67cm/s - 6,64cm/s 10,03s

Passo 4

Calcular qual o volume mximo de leo que cabe no bico? Qual a velocidade com que o nvel do leo estar se elevando quando atingir 45 cm de altura? Fazer um relatrio com todos os clculos realizados nos quatro passos da Etapa 3, para entregar ao seu professor.

Soluo:

rea da circunferncia = 283,52cm H=45cm

Clculo do Volume V=Ac . H V=283,52 x 45 V=4252,8cm 3 3

Clculo da velocidade = 3cm/s = 50cm/V V= 50 V=16,67s 3

V= 50cm-45cm V= 5cm V= 0,497cm/s. 16,67cm/s 6,64cm/s 10,03cm/

Etapa 04

Passo 1

Construir uma tabela com base nas funes abaixo.

Se ao analisar a situao da empresa Soy Oil, sua equipe concluir que a Funo Preo e a Funo Custo em relao as quantidades produzidas de 1000 unidades, so dadas respectivamente por: e , em que a representa a soma dos ltimos 3 nmeros dos RAs dos alunos que participam do grupo, observando o seguinte arredondamento: caso a soma d resultado variando entre [1000 e 1500[, utilizar a = 1000; caso a soma d resultado variando entre [1500 e 2000[, utilizar a = 1500; caso a soma d resultado variando entre [2000 e 2500], utilizar a = 2000; e assim sucessivamente. Construir uma tabela para a funo Custo e uma tabela para a funo Receita em milhares de reais em funo da quantidade e plotando num mesmo grfico.

Soluo:

Nomes e 03 ltimos nmeros dos RAS.Ewerton = 218Marcelo = 555Leonard = 631Joelson = 980Total = 2.384, logo o valor adotado ser a =2000.

Funo preo = P(q)= - 0,1q + aP(1000) = -0,1 x (1000) + 2000 R$1.700P(1500) = -0,1 x (1500) + 2000 R$1.750P(2000) = -0,1 x (2000) + 2000 R$1.800P(2500) = -0,1 x (2500) + 2000 R$1.850P(3000) = -0,1 x (3000) + 2000 R$1.900P(3500) = -0,1 x (3500) + 3000 R$2.650

Grfico Funo preo P(q)=-0,1q+aFonte: Autor

Funo Custo = C(q)= 0,002q - 0,6q2 + 100q + aC(1000) = 0,002 x (1000) - 0,6 x (1000) + 100 x (1000) + 3000 R$-256.992,00C(1500) = 0,002 x (1500) - 0,6 x (1500) + 100 x (1500) + 3000 R$-656.973,00C(2000) = 0,002 x (2000) - 0,6 x (2000) + 100 x (2000) + 3000 R$-1.236.936,00C(2500) = 0,002 x (2500) - 0,6 x (2500) + 100 x (2500) + 3000 R$-1.996.875,00C(3000) = 0,002 x (3000) - 0,6 x (3000) + 100 x (3000) + 3000 R$-2.936.874,00C(3500) = 0,002 x (3500) - 0,6 x (3500) + 100 x (3500) + 3000 R$-4.056.657,00

Grfico Funo custo P(q)=-0,1q+aFonte: Autor

Passo 2

Construir uma tabela com base nas funes abaixo Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual quantidade produzida o Lucro ser o mximo? Fazer todas as anlises, utilizando a primeira e a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os pontos de lucros crescentes e decrescentes..

Resposta:

R(q) = P(q) C(q)R(q) =(-0,1q + a) (0,002q - 0,6q + 100q + a)R(q) = -0,1+a 0,002q + 0,6q - 100q aR(q) = -0,002q + 0,6q - 100,1q

Derivada Primeira:d (-0,002q+0,6q-100,1q)dx -0,002 d (q)+0,6 d (q) -100,1 d (q) dx dx dx (-0,002x3q)+(0,6x2q) -100,1x1 -0,006q+1,2q -100,1

Aplicando a derivada primeira:

C(800) = 0,006 x (800) + 1,2 x (800) + 100,1 R$-2.779,90C(900) = 0,006 x (900) + 1,2 x (900) + 100,1 R$-3.679,90C(1000) = 0,006 x (1000) + 1,2 x (1000) + 100,1 R$-4.699,90C(1100) = 0,006 x (1100) + 1,2 x (1100) + 100,1 R$-5.839,90

Derivada Segunda:d (-0,006q+1,2q-100,1)dx -0,006 d (q)+1,2 d (q) -100,1 d dx dx dx (-0,006x2q)+(1,2x1) + 0 -0,012q+1,2

Aplicando a derivada primeira:

C(800) = 0,012 x (800) + 1,2 R$-8,4C(900) = 0,012 x (900) + 1,2 R$-9,6C(1000) = 0,012 x (1000) + 1,2 R$-10,8C(1100) = 0,012 x (1100) + 1,2 R$-12

Passo 3

Responder qual o significado da Receita Mdia Marginal? Sendo a funo Custo Mdio [Cms(q)] da produo dado por Cms= C(q)/Q, calcular o custo mdio para aproduo de 100.000 unidades. vivel essa quantidade a ser produzida para a empresa?

Resposta:

Cms = c(q)/QCms = 1502000/100.00Cms = 15,03

RefernciasABNT, Normalizao de Trabalhos Acadmicos Anhanguera.HALLYDAY, David; RESNICK, Robert. Fsica I PLT.HUGHES-HGALLETT, Deborah. Clculo de uma varivel PLT.

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