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DIGRAFOSEsta pgina define um objeto combinatrio conhecido comodigrafo ougrafo dirigido ou aindagrafo orientado. Digrafos so importantes modelos para uma grande variedade de problemas de engenharia, computao, matemtica, economia, biologia, etc.Definies bsicasUmdigrafo (=digraph=directed graph) uma coisa que consiste em dois conjuntos: um conjunto de coisas conhecidas comovrticese um conjunto de coisas conhecidas comoarcos. Cada arco um par ordenado de vrtices. Oprimeiro vrtice do par aponta inicialdo arco e o segundo aponta final.A ponta final de todo arco diferente de sua ponta inicial.Um arco com ponta inicialve ponta finalwser denotado porv-wpreciso estar atento ao contexto para no confundir essa expresso com "vmenosw".) Dizemos que o arcov-wsaideveentraemw. A presena de um arcov-w independente da presena do arcow-v: o digrafo pode ter os arcosv-wew-v, pode ter apenas um deles, ou pode no ter nenhum deles.Dizemos que um vrticew vizinho deum vrticev sev-w um arco do digrafo. Dizemos tambm, nessa circunstncia, quewadjacente av. A relao de vizinhana no simtrica:wpode ser vizinho devsem quevseja vizinho dew.

Exemplo Uma boa maneira de especificar um digrafo exibir o seu conjunto de arcos. Por exemplo, o conjunto de arcos 0-5 0-6 2-0 2-3 3-6 3-10 4-1 5-2 5-10 6-2 7-8 8-1 8-4 10-3 11-8define um dgrafo sobre o conjunto de vrtices0..11. Ovrtice9isolado.Arcos antiparalelos e "arcos paralelos"Dois arcos soantiparalelos se a ponta inicial de um a ponta final do outro e vice-versa. Em outras palavras, dois arcos so antiparalelos se um da formav-w e o outro da formaw-v.Poderamos tentar dizer que dois arcos so "paralelos" (ou "repetidos") se tm a mesma ponta inicial e a mesma ponta final. Mas esse conceito no faz sentido sob nossas definies, uma vez que arcos so meros pares de vrtices e portanto dois arcos diferentes no podem ter a mesma ponta inicial e a mesma ponta final. Portanto, os digrafos no tm arcos "paralelos".Leques e graus de vrticesOleque de sada(=fan-out) de um vrtice num digrafo o conjunto de todos os arcos que saem do vrtice. Oleque de entrada(=fan-in) de um vrtice o conjunto de todos os arcos que entram no vrtice. Oleque(=fan) de um vrtice a unio dos leques de sada e de entrada do vrtice.Ograu de sada(=outdegree) de um vrtice num digrafo o tamanho do seu leque de entrada, ou seja, o nmero de arcos que saem do vrtice. Ograu de entrada(=indegree) o tamanho do leque de entrada do vrtice. Ograu(=degree) a soma dos graus de entrada e sada do vrtice.Umafonte(=source) um vrtice que tem grau de entrada nulo. Umsorvedouro(=sink) um vrtice que tem grau de sada nulo.Um vrtice isoladose seu grau de entrada e seu grau de sada so ambos nulos. claro que um digrafo sem vrtices isolados completamente definido pelo seu conjunto de arcos.Nmero de arcos fcil verificar que a soma dos graus de sada de todos os vrtices de um digrafo igual ao nmero de arcos do digrafo. Asoma dos graus de entradade todos os vrtices tambm igual ao nmero de arcos. Segue da que um digrafo comVvrtices tem no mximoV(V1)arcos. Esse nmero apenas um pouco menor queV2. Um digrafo completo se todo par ordenado de vrtices distintos um arco. Um digrafo completo comVvrtices tem exatamenteV(V1) arcos.Um digrafo denso se tem muitos arcos em relao ao nmero de vrtices e esparso de se tem poucos arcos. Mais precisamente, um digrafo densose o seu nmero de arcos da mesma ordem que o quadrado do nmero de vrtices, digamosV2/10, ouV2/100, ou algo assim. Um digrafo esparsose seu nmero de arcos da mesma ordem queV, digamos 10V, ouV/2, ou algo assim. claro que essas definies s fazem sentido no contexto de uma famlia infinita de digrafos, e no para um digrafo individual.Digrafos simtricos e grafosUm digrafo simtrico se cada um de seus arcos antiparalelo a algum outro arco: para cada arcov-w, o digrafo tambm tem o arcow-v. Por exemplo, o conjunto de arcos abaixo define um digrafo simtrico. 0-1 1-0 0-5 5-0 1-5 5-1 2-4 4-2 3-1 1-3 5-3 3-5Num digrafo simtrico, a relao de adjacncia simtrica: um vrticew adjacente a um vrticevse e somente sev adjacente aw. (Omesmo se aplica ao sinnimovizinhodeadjacente.)

Umgrafo(=graph) o mesmo que um digrafo simtrico. Os arcos de um grafo andam aos pares: cada arcov-w acompanhado do arcow-v. Convm tratar esse par de arcos como uma nova entidade. Assim, diremos que um par dearcos antiparalelos umaaresta (=edge). Qualquer um dos dois arcos da aresta pode ser usado para representar a aresta. Assim, podemos dizer que 0-1 0-5 1-5 2-4 3-1 5-3 o conjunto de arestas do grafo mencionado no exemplo acima. O nmero de arestas de um grafo a metade do seu nmero de arcos: seE denota o nmero de arestas eA denota o nmero de arcos entoE=A/2. Diremos que uma arestav-wligaos vrticesvew. Diremos tambm quev-wincideemve emw.Num digrafo simtrico, todo vrtice tem grau de entrada igual ao grau de sada. Assim, ograude um vrtice em um grafo pode ser definido, indiferentemente, como o seu grau de sada, ou o seu grau de entrada. fcil verificar que a soma dos graus de todos os vrtices de um grafo vale2E, sendoEo nmero de arestas. Portanto, ograu mdiodo grafo o nmero 2E/V, sendoVo nmero de vrtices.