Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Passo 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com .

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o

significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando

o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função

velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço,

utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo

que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Velocidade instantânea: ao trafegar em uma estrada você pode observar no velocímetro do

carro que a velocidade indicada varia no decorrer do tempo. Esta velocidade que você lê no

velocímetro em um determinado instante é denominada velocidade instantânea. Para

determinar esta velocidade tem-se que calcular o limite de ( S/ t), para  t tendendo a zero; Já

observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois instantes de tempo. Por

exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.

Por outro lado, concluímos que o módulo da velocidade média entre esses instantes de tempo

pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do

tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que

correspondem aos instantes de tempo t1 e t2 .

Exemplo: Função x = 4 t²+ t3 + 7t – 8

Velocidade no tempo 3s

V=d.x 8t + 3t² +7

d.t

V=8.3+3.3²+7

V= 58 m/s

Aceleração no tempo 2s

V=d.x 8t + 3t² + 7

d.t

a=d.v 8+6.t

d.t

a= 8+6.t

a=8+6 .2

a=20 m/s²

Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plotenum gráfico as

funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função

você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o

intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Gráfico s(m) x t(s) x = 4.x t²+ + t3 + 7t – 8

Gráfico v(m) x t(s) v = 8x+3t²+7

Passo 3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração

como sendo a derivada da função velocidade.

Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço),

mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de

derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Aceleração instantânea da partícula no instante t é o limite dessa razão quando Δt tende a

zero. Representando a aceleração instantânea por ax, temos então:

A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está

alterando naquele instante. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao

tempo: a = dv dt. Vamos derivar a equação da velocidade instantânea para obter a aceleração

instantânea. Função da velocidade em um determinado instante.

V=V0¹-¹ + a*t¹-¹

V=1*V0¹-¹ + 1*a*t¹-¹

a=a

Podemos observar que a derivada da velocidade instantânea resulta direto na aceleração.

Passo 4

Plotar num gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer

que tipo de função você tem.

Gráfico aceleração a(m/s²) x t(s) a=8+6t

Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivação

Passo1

O que é a Constante de Euler?

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De

Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a

constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu

seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano

Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de

Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subseqüentes terem mostrado que

ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou

1811209008239.) (Wikipédia, 24/03/2012). Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é

ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu

denominador tem mais do que 10242080 dígitos (Havil, page 97). Em 1736, quando publicou o

seu livro Mechanica, onde a dinâmica de Newton (1642-1727) foi apresentada de forma

analítica, foi impresso pela primeira vez o número ℮. A partir deste momento, a notação do

número foi facilmente aceita e adotada nos cálculos matemáticos, bem como a padronização

da denominação de exponencial. A constante de Euler-Mascheroni é uma constante

matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da

diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

que pode ser condensada assim : em que E(x) é a parte inteira de x.]

Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o

infinito. n ℮=lim→∞ 1+1 n 1+1

℮=lim→∞ (2) ℮=lim→∞ = 2 ℮=lim→∞ 5 ℮=lim→∞ 1+1 5 ;

Valores de n 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 1000000 (0,000001) 1

℮=lim→∞ (1,2) ℮=lim→∞ = 2,48832 ;

Constante ℮ 2 2,48832 2,59374246 2,691588029 2,704813829 2,71556852 2,716923931

2,718010049 2,718145935 2,718268297 1000000 ℮ ≈ 2,718 2,717 2,716 2,705 2,692 2,594

2,488 2 1 5 10 50 100 500 1000 5000 10000 100000 n

Conforme a função tende a +∞, mais ela se aproxima de 2,72.

Conforme tabela abaixo:

℮ = lim (1+1)n

n⇾∞ n

1 2

5 2,48832

10 2,59374246

50 2,691588029

100 2,704813829

500 2,715568521

1000 2,716923932

5000 2,71801005

10000 2,718145927

100000 2,718268237

100000

02,718280469

Passo2

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre

somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações

sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se

relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as

diferenças.

Em matemática, o termo série harmônica refere-se a uma série infinita. Os estudos realizados

por Pitagoras,revela que uma corda colocada em vibração não vibra apenas em sua extensão

total, mas em seções menores, os ventres, que vibram em frequências mais altas que a

fundamental. Pela relação entre os comprimentos das seções e as frequências produzidas por

cada uma das subdivisões, pode-se facilmente concluir que a corda soa simultaneamente, na

frequência fundamental (F) e em todas as suas frequências múltiplas inteiras.

Em física, série harmônica é o conjunto de ondas composto da frequência fundamental e de

todos os múltiplos inteiros desta frequência. De forma geral, uma série harmônica é resultado

da vibração de algum tipo de oscilador harmônico. Entre estes estão inclusos os pêndulos,

corpos rotativos e a maior parte dos corpos produtores de som dos instrumentos musicais. As

principais aplicações práticas do estudo das séries harmônicas estão na música e na análise

de espectros eletromagnéticos, tais como ondas de rádio e sistemas de corrente alternada

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um piano e

de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas notas

idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso ocorre,

se a nota tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta é o timbre de cada

instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o “colorido” particular de

cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série harmônica, que pode ser explicada como

o conjunto de frequências sonoras que soa em simultaneidade com uma nota principal.

Uma série harmônica alternada é convergente como conseqüência do teste da série alternada,

e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural. Se definirmos no

enésimo número harmônico tal que então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo

natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integral cujo valor é ln(n). Mais

precisamente, se considerarmos o limite: onde γ é a constante Euler-Mascheroni, pode ser

provado que: 1. O único Hn inteiro é H1. 2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Passo 3

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado

ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela

triplica a cada 8 hora. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas

Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

Nt= No x ert n48= 50xe48x0,137326

No= 50xer8 n48= 50xe6x591673

150= 50xer8 n48= 36449,59

er8= 150/50

er8= 3

Ln er8 = 3

r8 = Ln3

r= Ln3/8

r= 0,137326

Etapa 4

Aula – tema: Aplicações das Derivadas e Exemplos da Indústria, do Comércio e da

Economia.

Passo 1

Construir uma tabela com base nas funções abaixo.

Se ao analisar a situação da empresa “Soy Oil”, sua equipe concluir que a Função Preço

e a Função Custo em relação as quantidades produzidas de 1000 unidades, são dadas

respectivamente por: P(q) = -0,1q + a e C(q) = 0,002q³ - 0,6q² + 100q + a, em que a

representa a soma dos últimos 3 números dos RAs dos alunos que participam do grupo,

observando o seguinte arredondamento: Caso a soma dê resultado variando entre [1000

e 1500] utilizar a = 1000; Caso a soma dê resultado variando entre [1500 e 2000] utilizar a

= 1500; Caso a soma dê resultado variando entre [2000 e 2500], utilizar a = 2000; e assim

sucessivamente. Construir uma tabela para a função Custo e uma tabela para a função

Receita em milhares de reais em função da quantidade e plotando num mesmo gráfico.

261 – Sergio

287 – Luciano

108 – Gedeon

Total=656

P(q) = -0,1q + a

P(1000) = -0,1x(1000) + 656

P(1000) = - 100 + 656

P(1000) = 556

a= [1000 e 2000] = 1000

C(q) = 0,002q³ - 0,6q² + 100q + a

C(1000) = 0,002x(1000)³ - 0,6x(1000)² + 100x(1000) + 656

C(1000) = 2000000 – 600000 + 100000 + 656

C(1000) = 1500656

Passo 2

Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para qual

quantidade produzida o Lucro será o máximo? Fazer todas as análises utilizando a

primeira e a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os pontos de

lucros crescentes e decrescentes.

P(800) = -0,1x(800) +656 736

P(900) = -0,1x(900) + 656 746

P(1000) = -0,1x(1000) + 656756

P(1100) = -0,1x(1100) + 656766

P(1200) = -0,1x(1200) + 656776

C(800) = 0,002x(800)³ - 0,6x(800)² + 100x(800) + 656 719344

C(900) = 0,002x(900)³ - 0,6x(900)² + 100x(900) + 656 1062656

C(1000) = 0,002x(1000)³ - 0,6x(1000)² + 100x(1000) +656 1500656

C(1100) = 0,002x(1100)³ - 0,6x(1100)² + 100x(1100) + 6562046656

C(1200) = 0,002x(1200)³ - 0,6x(1200)² + 100x(1200) +656 2712656

Passo 3

Responder qual o significado da Receita Média Marginal? Sendo a função Custo Médio

[Cms (q) ] da produção dado por , calcular o custo médio para a produção de 100.000

unidades. É viável essa quantidade a ser produzida para a empresa?

Cms = C(q)

Q

Cms = 1500656

1000000

Cms = 1500656

Conclusão

Nesta ATS Aprendemos as relações que a matemática tem na física, na musica, as relações

harmônicas nas diversas áreas Aprendemos que a constante de Euler-Mascheroni é

uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Aprendemos um

pouco mais relações as matemáticas com o nosso cotidiano.

Bibliografia

1. PLT – 2010 Cálculo de uma variável / Deborah Hughes-Hallett – 3.ed. – Rio de Janeiro: LTC

2008.

2. https://docs.google.com/leaf?

id=0B9WATR68YYLOYjlhMzdiY2UtZWM0ZS00NDU2LTlhMTItZWZkY2U4YWI5ZDli&hl=pt_BR.

3. https://docs.google.com/document/d/16FTUKsbSY13FTiOuPnOvKRlotcajgbPeYr_bFD17taU/

edit?hl=pt_BR.

4. https://docs.google.com/viewer?

a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B9WATR68YYLONTZlNThiOTAtYmE4YS00NDEzLWJ

hM2YtYjUzYTU3NjQ5MzMz&hl=pt_BR

5. https://docs.google.com/file/d/0B9WATR68YYLOMmJlM2RmNmItOGRiMy00Z

WU1LTg4YTctODEzMWJmMDg4MzAy/edit?hl=pt_BR&pli=1 de março de 2012.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada Acesso em: 10 de junho de 2012.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada_de_segunda_ordem junho de 2012.

https://docs.google.com/document/d/1Roj1Nw6US3sYZ7HKfSAKvbrBK4cIkh7A

AZvZ_UC1rOU/edit?hl=pt_BR&pli=1 Acesso em: de 10 de junho de 2012.