Etapa 1

Aula-tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Passo 1 (Pesquisar sobre velocidade instantânea)

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com∆ t⇾0.

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o

significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço),

utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a

função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço,

utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que

compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois instantes de

tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v (t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.

Por outro lado, concluímos que o módulo da velocidade média entre esses instantes de

tempo pode ser obtido a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função

do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que

correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.

O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.

Por exemplo, t1. E escrevemos v (t1) para o módulo dessa velocidade instantânea. Podemos

pensar que o módulo da velocidade instantânea v (t1) é o valor do módulo da velocidade

média v (t1,t2) quando t2 é tomado muito próximo de t1.

Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v (t1) pode ser feito como o

cálculo do módulo da velocidade média v (t1,t2), desde que o segmento de reta secante seja

substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo.

É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo   infinitesimal

(na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea   ou simplesmente velocidade

como sendo:

Exemplo: Função x = 3t² + t3 + 2t – 4 (Mudar a função)

a) Velocidade no tempo 2s

x = 3t² + t³ + 2t - 4v = dx = 3x2t2-1 + 2xt 3-1 + 2 – 0 dtv = 6t + 2t² + 2Se t = 2sv = 6x2 + 2x2² + 2v = 12 + 8 + 2v = 22m/s

b) Aceleração no tempo 10s

v = 6t + 2t² + 2a= 6 + 2x2t²-¹ + 0a= 6 + 4ta= 6 + 4x10a= 46m/s²

Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as

funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função

você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o

intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Gráfico s(m) x t(s) x = 3t² + t³ + 2t - 4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Gráfico v(m) x t(s) v = 6t + 2t² + 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

10

20

30

40

50

60

70

Passo 3 (Pesquisar sobre aceleração instantânea)

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração

como sendo a derivada da função velocidade.

Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço),

mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de

derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo.

Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais

t(s) x(m)0 -41 22 203 564 1165 206

t(s) v(m)0 21 102 223 384 585 82

(aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas

como:

 (aceleração média)

 (aceleração instantânea)

Passo 4

Plotar num gráfico sua função a(m/s2) x t(s) para um intervalo de 0 a 5 segundos e dizer

que tipo de função você tem.

Gráfico aceleração a(m/s²) x t(s) a= 6 + 4t.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

5

10

15

20

25t(s) a(m/s²)

0 6

1 10

2 14

3 18

4 22

5 26

Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivação

Passo1 (Pesquisar sobre constante de Euler)

O que é a Constante de Euler?

Trata-se de um número irracional, conhecido como “e”. Foi atribuido a este número a

notação “e”, em homenagem ao matemático suiço Leonhard Euler (1707-1783), visto ter

sido ele um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

Podemos expressar esse número com 40 dígitos decimais, ou seja: e =

2,718281828459045235360287471352662497757

Pesquisar mais sobre a constante de Euler e fazer um resumo sobre esse assunto de pelo

menos uma página, constando dos dados principais a respeito do assunto e curiosidades.

Existem inúmeros sites na internet que traz informações ricas sobre esse assunto. Abaixo

deixamos alguns para que possa ser pesquisado, além do Wikipédia.

Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo,

utilizando os seguintes valores para n = {1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000, 100000,

1000000}, esboçar um gráfico representativo e fazer uma conclusão a respeito.

Euler legou à posteridade um número assombroso de trabalhos sobre as mais diversas

áreas, da Engenharia à Mecânica, da Óptica à Astronomia, da Música à Matemática (curvas,

séries, cálculo de variações, cálculo infinitesimal, Geometria, Álgebra).

Produziu tanto durante a sua vida que durante quase 50 anos depois da sua morte, os seus

artigos continuaram a ser publicadas na Academia de S. Petersburgo. A lista bibliográfica das

suas obras, incluindo itens póstumos, contém 886 títulos. A sua pesquisa Matemática chegava

a ser, em média, de 800 páginas por ano, durante toda a sua vida.

No tempo em que esteve em Berlim, Euler ganhou o hábito de escrever artigos e colocá-los

numa pilha. Sempre que era necessário material para as publicações da Academia eram

retirados artigos da mesma. Como a produção de Euler era superior às publicações, os artigos

na base  demoravam muito a ser publicados. Isso explica o fato de quando alguns artigos

surgirem, extensões e melhorias dos mesmos já terem sido publicadas antes, com a assinatura

de Euler.

Jamais algum matemático terá superado a produção deste homem. Como tal, iremos

referir somente algumas das contribuições de Leonard Euler para a ciência.

Inicialmente, o fundamento da utilização baseava-se em representar um número

infinito, tal como Wallis (1616-1705) usara o . Desta maneira, Euler apresentava 

                    ex  = lim (1 + x/i) i  

onde, actualmente se escreve  

                    ex  = lim (1 + x/n)n. 

Mas somente após a opção, por parte de Gauss (1777 - 1856), do símbolo i no seu

livro Disquisitiones Arithmeticae em 1801, é que se assegurou a sua utilização nas notações

Matemáticas. 

Após apresentação dos símbolos, cuja introdução e opção se devem a Euler,  foi

possível combinar os números e  e i   com o 0 e o 1 na mais célebre igualdade que contém os

cinco números:  

                    e i + 1 = 0

Esta revela uma importante relação entre os mesmos. A Euler também é associada à

introdução das seguintes notações:

A sexta constante mais importante da Matemática, a Constante de Euler.

- O logaritmo de x, ln x;

- O uso da letra  para a adição;

- f(x) para uma função de x. 

n ℮ = lim (1+1)n

n ∞⇾ n1 25 2,4883210 2,5937424650 2,691588029100 2,704813829500 2,7155685211000 2,7169239325000 2,71801005

10000 2,718145927100000 2,7182682371000000 2,718280469

Passo2 (pesquisar sobre séries harmônicas)

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre

somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais

informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de

Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as

diferenças.

O ouvido humano consegue distinguir diferentes qualidades de som. As notas de um

piano e de uma flauta são um exemplo. Mesmo quando um piano e uma flauta tocam duas

notas idênticas, perfeitamente afinadas, ainda assim distinguimos uma da outra. Como isso

ocorre, se a nota tocada é a mesma? O que diferencia os sons do piano e da flauta é

o timbre de cada instrumento, algo que pode ser definido como a impressão sonora ou o

“colorido” particular de cada som. Os timbres, por sua vez, resultam da série harmônica, que

pode ser explicada como o conjunto de frequências sonoras que soa em simultaneidade com

uma nota principal.

Quando ouvimos um som, na realidade escutamos também uma série de outras

frequências mais agudas que não conseguimos perceber individualmente, apenas como um

conjunto sonoro. Essas frequências secundárias se manifestam na forma de timbre em nossos

ouvidos. Um corpo em vibração não produz apenas uma única nota (ou frequência), mas sim

um conjunto de várias frequências, que são chamadas de harmônicos. A importância que cada

harmônico terá para cada nota de cada instrumento musical é o que definirá o timbre.

Num texto anterior (“Música das Esferas”) falamos sobre Pitágoras (570 a.C. - 496

a.C.), o matemático grego que descobriu as relações entre o tamanho de uma corda e a altura

da nota por ela produzida. Pitágoras observou que uma corda de 120 cm, que emitia a nota dó

1, por exemplo, quando dividida ao meio, produzia a nota dó 2, ou seja, um som oitava acima.

Quando a corda de 120 cm era dividida em três partes, sendo tocada uma dessas partes (de 40

cm), obtinha-se a nota sol 2, ou seja, um som uma quinta acima do dó 2. Prosseguindo nas

divisões da corda em quatro, cinco, seis partes, e assim por diante, Pitágoras descobriu

relações matemáticas lógicas entre o tamanho das cordas e as alturas das notas. Quanto

menores as divisões, mais agudos e dissonantes ficavam os sons secundários com relação à

nota original. Pitágoras explicava desse modo, na teoria, a série harmônica.

Quando a corda de uma harpa é tocada, ela vibra simultaneamente em toda a sua

extensão e em pequenas partes proporcionais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc.), como assinalou

Pitágoras. Consequentemente, escutamos o som da vibração total da corda e os sons das

vibrações secundárias. Ouvimos, portanto, a nota fundamental e sua série harmônica.

Série Harmônica Matemática

Em matemática, a série harmônica é a série infinita definida como:

O nome harmônico é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de

onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música).

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade

Média por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a série

é termo a termo maior que ou igual à série

que claramente diverge.

Passo 3

CRESCIMENTO POPULACIONAL

Com base nas informações acima, considerar uma colônia de vírus em um determinado

ambiente. Um analista de um laboratório ao pesquisar essa população, percebe que ela

triplica a cada 8 hora. Dessa forma, utilizando o modelo populacional de Thomas

Malthus, quantos vírus haverá na colônia após 48 horas em relação à última contagem?

Nt= No x ert n48= 50xe48x0,137326No= 50xer8 n48= 50xe6x591673150= 50xer8 n48= 36449,59er8= 150/50er8= 3Ln er8 = 3r8 = Ln3r= Ln3/8r= 0,137326

Etapa 4

Aula – tema: Aplicações das Derivadas e Exemplos da Indústria, do Comércio e da

Economia.

Passo 1

Construir uma tabela com base nas funções abaixo.

Se ao analisar a situação da empresa “Soy Oil”, sua equipe concluir que a Função Preço

e a Função Custo em relação as quantidades produzidas de 1000 unidades, são dadas

respectivamente por: P(q) = -0,1q + a e C(q) = 0,002q³ - 0,6q² + 100q + a, em que a

representa a soma dos últimos 3 números dos RAs dos alunos que participam do grupo,

observando o seguinte arredondamento: Caso a soma dê resultado variando entre [1000

e 1500] utilizar a = 1000; Caso a soma dê resultado variando entre [1500 e 2000] utilizar

a = 1500; Caso a soma dê resultado variando entre [2000 e 2500], utilizar a = 2000; e

assim sucessivamente. Construir uma tabela para a função Custo e uma tabela para a

função Receita em milhares de reais em função da quantidade e plotando num mesmo

gráfico.

(Mudar os últimos números dos RA dos participantes que corresponde ao a)995 – Aluízio683 – Leonardo182 – Heber-------1860

P(q) = -0,1q + aP(1000) = -0,1x(1000) + 1860P(1000) = - 100 + 1860P(1000) = 1760

700 800 900 10001100120013001320

1330

1340

1350

1360

1370

1380

1390

Gráfico P(q) = -0,1q + a

a= [1500 e 2000] = 1500

C(q) = 0,002q³ - 0,6q² + 100q + aC(1500) = 0,002x(1500)³ - 0,6x(1500)² + 100x(1500) + 1860C(1500) = 6750000 – 1350000 + 150000 + 1860C(1500) = 5551860

700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 16000

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

Gráfico C(q) = 0,002q³ - 0,6q² + 100q + a

Passo 2

Responder para qual intervalo de quantidades produzidas, tem-se R(q) > C(q)? Para

qual quantidade produzida o Lucro será o máximo? Fazer todas as análises utilizando a

primeira e a segunda derivada para justificar suas respostas, mostrando os pontos de

lucros crescentes e decrescentes.

P(800) = -0,1x(800) + 1860 1385

P(900) = -0,1x(900) + 1860 1375

P(1000) = -0,1x(1000) + 1860 1365

P(1100) = -0,1x(1100) + 1860 1355

P(1200) = -0,1x(1200) + 1860 1345

C(800) = 0,002x(800)³ - 0,6x(800)² + 100x(800) + 1860 721465

C(900) = 0,002x(900)³ - 0,6x(900)² + 100x(900) + 1860 1063465

C(1500) = 0,002x(1500)³ - 0,6x(1500)² + 100x(1500) +1860 5551860

C(1100) = 0,002x(1100)³ - 0,6x(1100)² + 100x(1100) + 1860 2047465

C(1200) = 0,002x(1200)³ - 0,6x(1200)² + 100x(1200) +1860 2713465

Passo 3

Responder qual o significado da Receita Média Marginal? Sendo a função Custo Médio

[Cms (q) ] da produção dado por , calcular o custo médio para a produção de 100.000

unidades. É viável essa quantidade a ser produzida para a empresa?

Cms = C(q) Q

Cms = 55518601000000

Cms = 555186