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Matemática para Técnico de Enfermagem da

PM MG

Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima


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2 de 97| www.direcaoconcursos.com.br

Matemática para Técnico de Enfermagem da PM MG

Sumário

SUMÁRIO ..................................................................................................................................................2

APRESENTAÇÃO ....................................................................................................................................... 3

COMO ESTE CURSO ESTÁ ORGANIZADO ................................................................................................... 5

CONJUNTOS NUMÉRICOS ......................................................................................................................... 7

NÚMEROS NATURAIS ........................................................................................................................................ 7

NÚMEROS INTEIROS ......................................................................................................................................... 8

Operações com números inteiros ...................................................................................................................... 8

NÚMEROS RACIONAIS..................................................................................................................................... 21

Operações com números racionais .................................................................................................................. 23

Frações e operações com frações .................................................................................................................... 27

EXPRESSÕES NUMÉRICAS .............................................................................................................................. 34

DIVISIBILIDADE ................................................................................................................................................ 37

NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO ................................................................................................................. 39

MÚLTIPLOS E DIVISORES ................................................................................................................................ 41

Mínimo múltiplo comum (MMC) ..................................................................................................................... 41

Máximo divisor comum (MDC) ........................................................................................................................ 50

QUESTÕES DE PROVA COMENTADAS ..................................................................................................... 56

LISTA DE QUESTÕES............................................................................................................................... 80

GABARITO .............................................................................................................................................. 93

RESUMO DIRECIONADO .........................................................................................................................94


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Apresentação

Olá, tudo bem? Sou o professor Arthur Lima. Seja muito bem-vindo a esse meu

curso! Aqui no Direção Concursos sou responsável pelas disciplinas de

Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística. Também sou

um dos coordenadores do site.

Caso não me conheça, sou Engenheiro Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de

Aeronáutica (ITA). Fui aprovado nos concursos de Auditor-Fiscal e Analista-

Tributário da Receita Federal, e exerci o cargo de Auditor por 6 anos. Antes, fui

engenheiro na EMBRAER S/A por 5 anos. Sou professor há 11 anos, sendo 4 em preparatórios para vestibular e

7 em preparatórios para concursos públicos. Ao longo deste tempo pude ver muitos alunos sendo aprovados

nos concursos públicos mais disputados do país – e pude ver inúmeros alunos que tinham MUITA

DIFICULDADE em exatas superarem o “trauma” e conseguirem excelentes desempenhos em suas provas.

Espero que o mesmo aconteça contigo! Sempre me preocupo muito em atender os alunos com maior

dificuldade, pois sei que o ensino de exatas no Brasil é muito ruim. Estaremos juntos nesta jornada até a sua

APROVAÇÃO, combinado? E vamos encurtar este caminho! Também contaremos com a colaboração do

professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentação dele abaixo:

Olá! Meu nome é Hugo Lima e sou Engenheiro Mecânico-Aeronáutico

pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por 5 anos e meio na

Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo que, no período final,

tive que conciliar o trabalho com o estudo para o concurso da Receita Federal.

Fui aprovado para o cargo de Auditor-Fiscal em 2012, cargo que exerço

atualmente. Trabalho com concursos públicos desde 2014 sempre com as

matérias de exatas!

É com MUITA ALEGRIA que iniciamos este curso de MATEMÁTICA. A programação de aulas, que você

verá mais adiante, foi concebida especialmente para a sua preparação focada na PM-MG, para o cargo de

Técnico de Enfermagem. Tomamos por base o EDITAL PUBLICADO EM 24 DE JUNHO DE 2021, e cobriremos

TODOS os tópicos exigidos pela banca, ok? Nada vai ficar de fora, este curso deve ser o seu ÚNICO material

de estudo! E você também não perderá tempo estudando assuntos que não serão cobrados na sua prova. Deste

modo, você aproveita o tempo da melhor forma possível, estuda de modo totalmente focado, e aumenta as

suas chances de aprovação.

Neste material você terá:


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Você nunca estudou Matemática para concursos? Não tem problema, este curso também te atende.

Nós veremos toda a teoria que você precisa e resolveremos centenas de exercícios para que você possa praticar

bastante cada aspecto estudado. Nossa recomendação, nestes casos, é que você comece assistindo as

videoaulas, para em seguida enfrentar as aulas em PDF. E fique à vontade para me procurar no fórum de

dúvidas sempre que for necessário.

Caso você queira tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso, basta me enviar um email ou um direct

pelo Instagram:

Conheça ainda as minhas outras redes sociais para acompanhar de perto o meu trabalho:

Curso completo em VÍDEOteoria e exercícios resolvidos sobre TODOS os pontos do edital

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Fórum de dúvidaspara você sanar suas dúvidas DIRETAMENTE conosco sempre que precisar


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Como este curso está organizado

Como já adiantei, neste curso nós veremos EXATAMENTE o que foi exigido pela banca no seu edital. Os

tópicos cobrados foram os seguintes:

2 MATEMÁTICA 2.1 Conjuntos numéricos (operações básicas, propriedades, múltiplos e divisores, máximo divisor

comum, mínimo múltiplo comum e radicais). 2.2 Polinômios (operações básicas: adição, subtração, multiplicação e

divisão). 2.3 Produtos notáveis. 2.4 Equações do 1º e 2º graus. 2.5 Inequações do 1º e 2º graus. 2.6 Sistemas de

equações do 1º e 2º graus. 2.7 Sistema legal de unidade de medida. 2.8 Razões e proporções. 2.9 Grandezas diretas

e inversamente proporcionais. 2.10 Regra de três simples e composta. 2.11 Funções: polinomial do 1º grau, polinomial

do 2º grau, exponencial e logarítmica. 2.12 Probabilidade. 2.13 Matemática financeira. 2.14 Estatística básica.

Para cobrir este edital integralmente, o nosso curso está organizado da seguinte forma:

Número

da aula

Data de

disponibilização Assunto da aula

0 10/jul Revisão de matemática básica em

vídeo. Conjuntos numéricos.

1 12/jul Proporcionalidade. Grandezas

proporcionais

2 14/jul Matemática financeira.

3 15/jul Teste de Direção

4 17/jul Equações e Inequações

5 19/jul Funções


7 22/jul Análise Combinatória

8 24/jul Probabilidade


10 27/jul Estatística básica

11 29/jul Estatística básica



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Que tal já iniciarmos o nosso estudo AGORA? Separei um conteúdo muito útil para você nesta aula

demonstrativa, que são os Conjuntos Numéricos. Mas antes assista aos vídeos de revisão de matemática

básica, ok? Bons estudos!


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Conjuntos numéricos

NÚMEROS NATURAIS

Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são

aqueles construídos com os algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos escrever os

seus elementos entre chaves:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22…}

As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, existem infinitos números naturais.

Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural propriamente dito (pois não é um

número de “contagem natural”). Por isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos,

isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…}

Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais:

• Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número “n+1”.

• Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto.

• Números consecutivos: são números em sequência. Assim, {2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-1, n e n+1} são números consecutivos.

• Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. A propósito, todos os números que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8 são pares, ok? Os números pares podem ser representados sempre na forma 2.n, onde n é um número natural. Por exemplo, 10 é igual a 2.5, da mesma forma que 28 é igual a 2.14, e assim por diante.

• Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, deixam resto 1. Todos os números que terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9 são ímpares, ok? Os números ímpares podem ser representados na forma 2n+1, onde n é um número natural. Por exemplo, o 15 é igual a 2.7+1, já o 29 é igual a 2.14+1.

Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que:

- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 + 6 = 18; 12 – 6 = 6.

- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8.


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- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 =

7.

- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24.

- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15.

- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado par: 2 x 3 = 6.

NÚMEROS INTEIROS

Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos opostos (negativos). Isto é,

Z = {...-12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}

Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, mas nem todos os números inteiros são

naturais. Assim, podemos dizer que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números

inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama abaixo explicita esta relação entre N

e Z:

Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de números. Vejam que os nomes dos

subconjuntos são autoexplicativos:

a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os números naturais.

b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero também faz parte deste conjunto,

pois ele não é positivo nem negativo.

c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte.

d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz parte.

Operações com números inteiros

As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes números são: adição, subtração,

multiplicação e divisão. Vejamos em detalhes cada uma delas.


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a) Adição:

A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. Isto é, a adição de 15 e 6 é:

15 + 6 = 21

Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois números? Vamos exercitar efetuando a soma

728 + 46. Primeiramente, você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela direita (casa

das unidades):

728

+46

A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos

colocar o algarismo das unidades (4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a próxima

soma:

1

728

+46

4

Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e adicionar também o número que veio da soma

anterior (1). Assim, obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado:

728

+46

74

Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. Como o segundo número (46) não possui

casa das unidades, podemos simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo:

728

+46

774

Chegamos ao nosso resultado final.

Vamos trabalhar uma questão de prova bem interessante?

FCC – METRÔ/SP – 2014) O algarismo do milhar do resultado da soma

6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666

é igual a

(A) 0.


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(B) 6.

(C) 4.

(D) 8.

(E) 7.

RESOLUÇÃO:

Temos a soma:

Podemos começar esta soma, a partir da casa das unidades (direita). Somando as casas das unidades, temos 9

vezes o número 6, o que nos permite fazer rapidamente 9 x 6 = 54. Deixamos o 4 no resultado, e levamos o 5

para a próxima soma:

5

4

Somando as casas das dezenas, temos 8 x 6 = 48. Somando o 5 que veio da operação anterior, temos 48 + 5 =

53. Deixamos o 3 no resultado e levamos o 5 para a próxima operação.

5


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34

Somando as casas das centenas, temos 7 x 6 = 42. Somando as 5 unidades que vieram da operação anterior,

ficamos com 47. Deixamos o 7 no resultado e levamos o 4 para a próxima operação:

4

734

Somando as casas do milhar, temos 6 x 6 = 36. Somando com o 4 que veio da operação anterior, temos 36 + 4

= 40. Portanto na casa do milhar vai ficar um 0, indo o 4 para a próxima operação:

4


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0734

Podemos parar esta soma por aqui, pois chegamos na casa do milhar.

Resposta: A

Antes de conhecermos a próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de adição.

• propriedade comutativa: dizemos que a adição de números inteiros possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728.

• propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números, podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta propriedade está presente na adição. Ex.:

2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14

• elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 2; 45 + 0 = 45.

• propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro. Ex: a soma dos números inteiros 2 e 5 gera o número inteiro 7 (2 + 5 = 7).

b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de um deles, o valor do outro. Isto

é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 unidades de 9, restando 4 unidades:

9 – 5 = 4

Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a subtração de números. Vamos efetuar a

operação 365 – 97:


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365

- 97

Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do outro, alinhando as casas das unidades.

Começamos a efetuar a subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não podemos

subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “emprestar” uma unidade da casa das dezenas de 365. Levando este valor

para a casa das unidades, temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim podemos

subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado:

365

- 97

8

Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 – 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma

unidade na primeira subtração acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade da

casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim, teremos 15 – 9 = 6. Vamos anotar este resultado:

365

- 97

68

Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos mais um 3 na casa das centenas de 365,

e sim 2, pois já usamos uma unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta levarmos

este 2 para o resultado:

365

- 97

268

E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 97 é menor que 365, devemos:

- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97;

- colocar o sinal negativo (-) no resultado.

Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades da operação de subtração.

• propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268.


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• propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois (A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A

• elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 2 – 0 = 2.

• propriedade do fechamento: a subtração de números inteiros possui essa propriedade, pois a subtração de dois números inteiros SEMPRE gera outro número inteiro.

• elemento oposto: para todo número A, existe também o seu oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e -5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é aquele número que, somado a A, resulta em zero: A + (-A) = 0.

c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de adições. Por exemplo, a multiplicação

15 x 3 é igual à soma do número 15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 3 + 3 + ...

+ 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação:

57

x 13

Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos multiplicando os números das unidades: 3

x 7 = 21. Deixamos o algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das dezenas (2) para a

próxima operação:

2

57

x 13

1

Agora devemos multiplicar os número das unidades do segundo número (3) pelo número das dezenas do

primeiro número: 3 x 5 = 15. Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio da

operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos:

57

x 13

171

Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das unidades

do primeiro número (7): 1 x 7 = 7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos colocá-lo

logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). Veja:

57


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x 13

171

7

A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo número (1) pelo algarismo das

dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 5. Assim, temos:

57

x 13

171

57

Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo:

57

x 13

171

+570

741

Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 57, transformando-o em 570. Fazemos

isto porque este resultado (57) surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). Se fosse

do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 zeros, e assim por diante.

É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de números. Você deve se lembrar que:

SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO

- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25.

- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. Ex.: 5x(-5) = -25.

Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos

multiplicado (-57) x (-13) deveríamos obter 741.

Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação:

• propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 x 3 = 15).

• propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois (A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24.

• elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5.


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• propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, pois a multiplicação de números inteiros SEMPRE gera um número inteiro (ex.: 5 x 7 = 35).

• propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que:

Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)

Exemplificando:

5x(3+7) = 5x(10) = 50

ou, usando a propriedade:

5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50

Veja comigo essa questão:

CONSULPLAN – Pref. Cascavel/PR – 2016) Considere a operação apresentada:

Qual é o valor de J para que a operação seja verdadeira?

A) 3.

B) 4.

C) 5.

D) 6.

E) 7.

RESOLUÇÃO:

Observe que nossa primeira multiplicação será J x J, e o resultado obtido deve terminar com o mesmo

número J. Isto acontece com o 5 (pois 5x5 = 25) e 6 (pois 6x6 = 36), que são os dois valores possíveis para J. Veja

como fica com cada um deles:

15 x 5 = 75

16 x 6 = 96

Fica evidente que o correto é considerar J = 6, pois o resultado deve começar com 9.

Resposta: D

d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A em partes de mesmo valor,

sendo um total de B partes. Ex.: Ao dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No

caso, 10 2 5 = . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso abaixo, onde dividimos 715 por 18:

715 |18


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Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) e o 18 de divisor (número que está

dividindo o 715). Como o divisor possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da esquerda

do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). Já 18x3 = 54. Assim, temos:

715 |18

3

Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a seguir efetuar a subtração:

715 |18

-54 3

17

Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5):

715 |18

-54 3

175

Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no resultado, à direita, e anotar o resultado

da multiplicação 9 x 18 abaixo do 175, para efetuarmos a subtração:

715 |18

-54 39

175

-162

13

Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, encerramos a divisão. Obtivemos o

quociente (resultado) 39 e o resto igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, pois ela deixou um resto.

Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor (18) pelo quociente (39), adicionada do

resto (13). Isto é:

715 = 18 x 39 + 13

Como regra, podemos dizer que:

Dividendo = Divisor x Quociente + Resto


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Use essa informação na próxima questão:

VUNESP – CRO/SP – 2015) Dividindo-se um determinado número por 18, obtém-se quociente n e resto 15.

Dividindo-se o mesmo número por 17, obtém-se quociente (n + 2) e resto 1. Desse modo, é correto afirmar que

n(n + 2) é igual a

(A) 440.

(B) 420.

(C) 400.

(D) 380.

(E) 340.

RESOLUÇÃO:

Lembrando que:

Dividendo = divisor x quociente + resto

Temos:

Dividendo = 18 x n + 15

Dividendo = 17 x (n+2) + 1

Como em ambos os casos o número (dividendo) é o mesmo:

18 x n + 15 = 17 x (n+2) + 1

18n + 15 = 17n + 34 + 1

18n – 17n = 35 – 15

n = 20

Assim, n.(n+2) = 20.(20+2) = 20.22 = 440.

Resposta: A

As regras de sinais na divisão são as mesmas da multiplicação:

SINAIS NA DIVISÃO

- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo.

- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo.

Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), deveríamos obter -5. E se tivéssemos

dividido (-10) por (-2) deveríamos obter 5.

Vejamos as principais propriedades da operação de divisão:

• propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A / B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5.


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• propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A / B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de (3/5)/2.

• elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 1 = 5.

• propriedade do fechamento: aqui está a grande diferença entre números inteiros. A divisão de números inteiros NÃO POSSUI essa propriedade, pois ao dividir números inteiros podemos obter resultados fracionários ou decimais (como no exemplo 2 / 100 = 0,02), que não pertencem ao conjunto dos números inteiros.

Antes de prosseguirmos, veja mais essas questões:

FCC – CETAM – 2014) Analise as três afirmações relativas a operações com inteiros não negativos:

I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7.

II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7.

III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos.

Está correto o que se afirma APENAS em

(A) I e II.

(B) I e III.

(C) II e III.

(D) II.

(E) III.

RESOLUÇÃO:

Vamos avaliar cada uma das afirmações. Vale lembrar que estamos tratando apenas de números inteiros não

negativos, ou seja: 0, 1, 2, 3, 4, ... Note que este é simplesmente o conjunto dos números naturais.

I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 7.

ERRADO, pois o resto sempre deve ser menor que o divisor.

II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao divisor, o maior resto é igual a 7.

Lembrando que:

Dividendo = divisor x quociente + resto,

Como o divisor é igual ao quociente, podemos escrever:

Dividendo = divisor x divisor + resto

88 = divisor x divisor + resto

Veja que o divisor por igual a 8, teríamos:

88 = 8 x 8 + resto

88 = 64 + resto

resto = 22,

O que é impossível, pois o resto deve ser menor que o divisor.

Por outro lado, se tivermos divisor igual a 9, ficamos com:


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88 = 9 x 9 + resto

88 = 81 + resto

7 = resto

Veja que, de fato, o maior resto é 7. Item CORRETO.

III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três algarismos terá, no máximo, 7 algarismos.

Para verificarmos essa afirmação, basta multiplicar o maior número de 4 algarismos (9.999) pelo maior número

de três algarismos (999):

9.999 x 999 =

9.999 x (1000 - 1) =

9999x1000 - 9999x1 =

9.999.000 - 9.999 =

9.999.000 - 10.000 + 1 =

9.989.000 + 1 =

9.989.001

Veja que esse número tem 7 algarismos, o que confirma a afirmação deste item. CORRETO.

Resposta: C

FCC – SABESP – 2012) Uma montadora de automóveis possui cinco unidades produtivas num mesmo país. No

último ano, cada uma dessas unidades produziu 364.098 automóveis. Toda a produção foi igualmente

distribuída entre os mercados consumidores de sete países. O número de automóveis que cada país recebeu

foi

(A) 26.007

(B) 26.070

(C) 206.070

(D) 260.007

(E) 260.070

RESOLUÇÃO:

Como são 5 unidades produtivas, o total de automóveis produzidos será: 5 x 364.098 = 1.820.490 automóveis.

Toda essa produção foi distribuída para 7 países. Vamos montar a divisão que resultará no número de

automóveis que cada país recebeu:

Portanto, o total foi de 260.070 automóveis para cada país.

Resposta: E


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NÚMEROS RACIONAIS

Os números racionais são aqueles que podem ser representados na forma da divisão de dois números

inteiros. Isto é, são aqueles números que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são

números inteiros. Exemplos:

5

4 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número inteiro 4.

−15

4 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9.

73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 pelo número 1.

Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer número natural é também inteiro. E agora

vemos que todo número inteiro é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da

divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma 𝐴

1 (A dividido por 1, onde A é um número

inteiro qualquer). Veja se este novo diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz sentido

para você:

O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito na forma , concorda?). Porém,

quando escrevemos um número racional na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto

porque a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0

0, cujo valor é indeterminado).

No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de números:

• Frações. Ex.: , , etc.

• Números decimais. Ex.: 1,25


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Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um número definido de casas após a vírgula. Por

isso, ele também poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-lo como ou mesmo

simplificá-lo para .

• Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente).

As dízimas periódicas são consideradas racionais porque também podem ser escritas na forma . O

número deste exemplo poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem encontrar qual

fração é equivalente a uma determinada dízima periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252...

ou .

Guarde isso:

A respeito disso, julgue as duas assertivas abaixo:

FGV – CAERN – 2010) Julgue as afirmativas a seguir:

I – 0,555... é um número racional

II – Todo número inteiro tem antecessor

RESOLUÇÃO:

Repare que o número 0,555... é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas são um tipo de

número RACIONAL. A afirmativa I está CERTA.

Seja qual for o número inteiro, sempre podemos subtrair 1 unidade dele, obtendo o seu antecessor. Por

exemplo, o antecessor de 57 é o 56. O antecessor de 0 é -1. E o antecessor de -99 é o -100. A afirmativa II está

CERTA também.

Resposta: C C

Veja comigo mais um exercício acerca dos números racionais:

FCC – SABESP – 2018) Os canos de PVC são classificados de acordo com a medida de seu diâmetro em

polegadas. Dentre as alternativas, aquela que indica o cano de maior diâmetro é

Números racionais

Frações

Decimais (finitos)

Dízimas


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(A) 5/8.

(B) 1/2.

(C) 1 ¼.

(D) 3/4.

(E) 1 ½.

RESOLUÇÃO:

Quando queremos comparar números racionais, o ideal é deixar todos na forma decimal. Isto é, dividir o

numerador pelo denominador da fração. Veja:

5/8 = 0,4

½ = 0,5

1 ¼ = 1 + 0,25 = 1,25 (repare que 1 ¼ significa 1 MAIS ¼)

¾ = 0,75

1 ½ = 1 + 0,5 = 1,5

Logo, o maior diâmetro será 1 ½ polegadas, que corresponde a 1,5 polegadas.

Resposta: E

Operações com números racionais

Além do que já vimos ao trabalhar com os números inteiros, precisamos aprender agora a trabalhar com

os números decimais, isto é, aqueles números que possuem “casas após a vírgula”. A manipulação deles é

essencial para a resolução de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, subtraí-los,

multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes dos mesmos. Vejamos cada uma dessas

operações em detalhes.

a) Adição de números decimais:

A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição comum. Isto é:

- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a vírgula logo abaixo da vírgula do outro,

e as casas correspondentes uma embaixo da outra;

- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita para a esquerda;

- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser transferidas para a próxima adição (das

casas logo à esquerda).

Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os números um embaixo do outro, com a

vírgula uma embaixo da outra, temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical:

13,47

+ 2,9

Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo acima da casa das unidades do segundo

número (2). A primeira casa decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal do

segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 7, podemos considerá-la igual a 0. Agora,


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basta começar a somar as casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o resultado. Quando

houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 +

2). Com isso, temos:

13,47

+ 2,9

16,37

Vamos fazer uma questão juntos?

FCC – DPE/RS – 2017) Sabendo que o número decimal F é 0,8666 . . . , que o número decimal G é 0,7111 . . . e

que o número decimal H é 0,4222 . . . , então, o triplo da soma desses três números decimais, F, G e H, é igual a

(A) 6,111 . . .

(B) 5,888 . . .

(C) 6

(D) 3

(E) 5,98

RESOLUÇÃO:

Podemos resolver de forma aproximada, somando os números com 4 casas decimais:

0,8666

+ 0,7111

+ 0,4222

Veja que eu coloquei uma vírgula embaixo da outra, de modo que as casas decimais correspondentes também

estão uma embaixo da outra. Começamos a soma pela direita, fazendo 6+1+2 = 9. Essa mesma soma se repete

nas duas casas à esquerda. Na casa logo antes da vírgula, temos 8+7+4 = 19, de modo que devemos deixar o 9

e passar o 1 para a próxima casa, isto é, após a vírgula, ficando com:

0,8666

+ 0,7111

+ 0,4222

1,9999

Note que 1,9999 é aproximadamente 2. Se tivéssemos colocado mais casas decimais em nossos números,

chegaríamos em algo com ainda mais casas decimais, como 1,9999999... Este número pode ser substituído por

2, pois ele fica tão próximo de 2 quanto a gente queira, é só ir colocando mais casas decimais na soma.

O TRIPLO da soma é 3×2 = 6, que nos dá o gabarito na alternativa C.

Outra forma de resolver seria encontrando a fração geratriz de cada número decimal, o que me parece uma

solução bem mais demorada e trabalhosa.

Resposta: C

b) Subtração de números decimais:

Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, com a vírgula do primeiro na mesma

vertical da vírgula do segundo número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita para a

esquerda. Vejamos:


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13,47

- 2,9

10,57

Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 – 9 foi preciso pegar uma unidade da

casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 –

9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3”

já havia sido utilizada.

Pratique as subtrações de números decimais resolvendo esse exercício:

FGV – CODEBA – 2016) Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das

marés alta (A) e baixa (B), formando a tabela a seguir.

A maior diferença entre as alturas de duas marés consecutivas foi

(A) 1,0.

(B) 1,1.

(C) 1,2.

(D) 1,3.

(E) 1,4.

RESOLUÇÃO:

Podemos ir calculando as diferenças entre os valores da tabela. Basta subtrairmos valores consecutivos. Veja:

0,3 – 1 = -0,7

1,1 – 0,3 = 0,8

0,2 – 1,1 = -0,9

1,3 – 0,2 = 1,1

0,4 – 1,3 = -0,9

1,4 – 0,4 = 1

0,5 – 1,4 = -0,9

1,2 – 0,5 = 0,7

0,4 – 1,2 = -0,8

1,0 – 0,4 = 0,6

Note que a maior diferença é 1,1.

Resposta: B

c) Multiplicação de números decimais:

Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, com duas observações:

- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na subtração, isto é, com a vírgula de

um logo abaixo da vírgula do outro.


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- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número de casas decimais dos dois

números sendo multiplicados. Assim você saberá posicionar a vírgula.

Vejamos o nosso exemplo:

13,47

x 2,9

12123

+ 26940

39,063

Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação de 13,47 por 9. Já a segunda linha

refere-se à multiplicação de 13,47 por 2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à frente

do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, lembrando que existem 3 casas decimais nos

números sendo multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas decimais no resultado, o que

leva ao número 39,063.

d) Divisão de números decimais:

Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente multiplicar ambos os números (divisor

e dividendo) por uma potência de 10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais

presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente.

Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o número que possui mais casas decimais é o

divisor (0,25), possuindo 2 casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, de modo a

retirar ambas as casas decimais:

3,5 x 100 = 350

0,25 x 100 = 25

Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, tendo como resultado o número 14.

Faça a próxima questão comigo:

CESPE – CORREIOS – 2011) Suponha que uma pessoa compre 5 unidades de um mesmo produto, pague com

uma nota de R$ 50,00 e receba R$ 15,50 de troco. Nessa situação, cada unidade do referido produto custa

a) mais de R$ 7,50.

b) menos de R$ 3,00.

c) mais de R$ 3,00 e menos de R$ 4,50.

d) mais de R$ 4,50 e menos de R$ 6,00.

e) mais de R$ 6,00 e menos de R$ 7,50.

RESOLUÇÃO:


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Pagando 50 e recebendo 15,50 de troco, o valor efetivamente pago foi:

Pagamento = 50 – 15,50 = 34,50 reais

Como foram adquiridas 5 unidades, então devemos dividir esse valor pago por 5. Para montar a divisão, vamos

multiplicar 34,5 e 5 por 10. Fica:

Portanto, cada unidade custa 6,90 reais.

Resposta: E

Trabalhe ainda os cálculos a seguir:

EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi visto aqui, efetue as seguintes

operações, cujo gabarito é fornecido em seguida.

a) 2,25 + 1,7

b) 2,25 – 1,7

c) 2,25 x 1,7

d) 2,25 / 1,5

e) 0,898 + 1,12

f) 0,898 – 1,12

g) 0,898 x 1,12

h) 0,898 / 0,01

Respostas:

a) 3,95

b) 0,55

c) 3,825

d) 1,5

e) 2,018

f) -0,222

g) 1,00576

h) 89,8

Frações e operações com frações

Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos lidando com frações, que nada mais

são que operações de divisão. Escrever 2

5 é equivalente a escrever 2 ÷ 5. As frações estão constantemente


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presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é essencial lembrar como efetuamos cada operação com

elas: soma, subtração, multiplicação e divisão.

a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com

um denominador comum. Este denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os denominadores

das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos

entender isto com o exemplo abaixo:

1 3

6 8+

Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 8x3 = 24).

Para trocar o denominador da fração 1

6 para 24, é preciso multiplicar o denominador 6 por 4. Assim,

também devemos multiplicar o numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 1 4

6 24= .

Já para trocar o denominador da fração 3

8 para 24, é preciso multiplicar o denominador 8 por 3. Assim,

também devemos multiplicar o numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 3 9

8 24= .

Lembre-se disso: o mesmo número utilizado para multiplicar o denominador deve ser usado para multiplicar o numerador!

Agora sim podemos efetuar a soma, mantendo o denominador e somando apenas os numeradores:

1 3 4 9 4 9 13

6 8 24 24 24 24

++ = + = =

Antes de avançarmos, pratique a soma de frações com essa questão:

FGV – BANESTES – 2018) Na igualdade 3

5 +

3

20 +

3

25 =

x

100 o valor de x é:

A) 59

B) 65

C) 77

D) 83

E) 87

RESOLUÇÃO:

Para somar as frações devemos colocá-las sobre um mesmo denominador. Veja que 100 é múltiplo comum de

5, 20 e 25. Logo: 20 x 3

100 +

5 x 3

100 +

4 x 3

100 =

x

100

60

100 +

15

100 +

12

100 =

x

100


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87

100 =

x

100

X = 87

Resposta: E

b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o

denominador de uma pelo denominador da outra. Veja nosso exemplo:

1 3 1 3 3

6 8 6 8 48

= =

Pratique a multiplicação de frações:

Resolva mais estes dois exercícios:

FCC – TRF/3ª – 2016) Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C

o quociente da divisão de 14 por 22.

O produto A . B . C é igual a

(A) 3,072072072 . . .

(B) 3,636363 . . .

(C) 3,121212 . . .

(D) 3,252525 . . .

(E) 3,111 . . .

RESOLUÇÃO:

Vamos multiplicar as divisões 8/3, 15/7 e 14/22, que correspondem ao produto A x B x C:

8 15 14

3 7 22

8 15 2

3 1 22

8 5 1

1 1 11

40

11

3,63...

=

=

=

=

Logo, A x B x C = 3,6363.. que corresponde à letra B.

Resposta: B

c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda. Veja isso em nosso

exemplo:

1

1 3 1 8 863 6 8 6 3 18

8

= = =


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Exercite mais um pouco as operações com frações:

FCC – MANAUSPREV – 2015) Considere as expressões numéricas, abaixo.

1 1 1 1 1

2 4 8 16 32A = + + + + e

1 1 1 1 1

3 9 27 81 243B = + + + +

O valor, aproximado, da soma entre A e B é

(A) 1.

(B) 2,5.

(C) 1,5.

(D) 2.

(E) 3.

RESOLUÇÃO:

Para resolver essa questão você deve lembrar que só podemos somar frações que estejam escritas com o

mesmo denominador. Assim, podemos fazer as seguintes somas:

1 1 1 1 1

2 4 8 16 32A = + + + +

16 8 4 2 1 31

32 32 32 32 32 32A = + + + + =

1 1 1 1 1

3 9 27 81 243B = + + + +

81 27 9 3 1 121

243 243 243 243 243 243B = + + + + =

Portanto,

31 121

32 243A B+ = +

Observe que 31/32 é aproximadamente igual a 1 (pois o numerador é praticamente o mesmo valor do

denominador). E observe que 121 é aproximadamente a metade de 243, de modo que 121/243 é

aproximadamente igual a ½, ou seja, 0,5. Portanto, esta soma é aproximadamente igual a 1 + 0,5 = 1,5. Com

este cálculo aproximado, podemos marcar rapidamente a alternativa C.

Observe que, propositalmente, o examinador solicitou o valor aproximado da soma, afinal o cálculo exato da

soma das duas frações seria bastante trabalhoso, a começar pelo fato que precisaríamos encontrar um

denominador comum que fosse múltiplo de 32 e de 243.

Resposta: C

É interessante aproveitar que estamos conversando sobre frações para falar sobre simplificação.

Observe a fração 8

18 logo acima. Perceba que tanto o numerador como o denominador podem ser divididos por

um MESMO número: 2. Se dividirmos tanto o 8 como o 18 por 2, ficamos com a fração 4

9. Essa fração é


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equivalente à anterior, porém tem números menores, o que geralmente facilita os cálculos. Portanto, guarde

isso:

Podemos simplificar frações dividindo o numerador e o denominador pelo MESMO número

Será que podemos simplificar ainda mais a fração 4

9 ? Perceba que não é possível fazer essa simplificação,

pois não existe um número natural capaz de dividir tanto o 4 como o 9. Dizemos que isso acontece porque os

números 4 e 9 são primos entre si (isto é, não possuem nenhum divisor em comum). Por este motivo, dizemos

que a fração 4

9 é uma fração irredutível, isto é, não pode ser mais simplificada / reduzida.

Resolva as próximas questões utilizando a simplificação de frações:

FGV – IBGE – 2016) A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de quilômetros e esse valor é chamado de

“1 unidade astronômica” (1UA). A estrela Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do

Sol. A distância de Sírius ao Sol em UA é:

(A) 5.400;

(B) 54.000;

(C) 540.000;

(D) 5.400.000;

(E) 54.000.000.

RESOLUÇÃO:

Escrevendo 81 trilhões, temos 81.000.000.000.000 de quilômetros. Veja que 150 milhões de quilômetros são

150.000.000. Assim, o número de UA que representa a distância do Sol à estrela Sirius é:

N = 81.000.000.000.000 / 150.000.000

Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por 1.000.000 (um milhão). Basta

“cortar” seis zeros de cada número, ficando:

N = 81.000.000 / 150

Podemos dividir numerador e denominador por 10, obtendo:

N = 8.100.000 / 15

Podemos dividir numerador e denominador por 3, obtendo:

N = 2.700.000 / 5

Está vendo que o denominador é 5? Neste caso, eu recomendo que você MULTIPLIQUE o numerador e o

denominador por 2, pois assim o cálculo fica mais fácil. Veja:

N = 5.400.000 / 10

N = 540.000 quilômetros

Resposta: C

VUNESP - PM/SP - 2015) A representação fracionária do resultado da operação 0,21875 − 0,15625 é

a) 1/16

b) 3/16

c) 9/32

d) 7/32


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e) 5/32

RESOLUÇÃO:

Fazendo a subtração, temos:

0,21875

- 0,15625

0,06250

Como as respostas são frações, devemos escrever este número na forma de fração. Veja que:

Precisamos agora simplificar essa fração. Podemos começar dividindo numerador e denominador por 5,

sucessivas vezes. Ficamos com:

Temos nosso gabarito na alternativa A.

Resposta: A

A dica abaixo é muito útil para a interpretação do enunciado das questões, isto é, para sermos capazes de

passar a informação escrita no enunciado em língua portuguesa para a “linguagem matemática”:

DICA SOBRE FRAÇÕES

Trabalhando com frações, podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como:

- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 1

10003 !

- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 2

257 .

- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente

1(700 600)

4 + .

- quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a resposta é dada pela expressão 5

( )9

X Y − .

Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao longo dos exercícios! Veja este, por

exemplo:


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VUNESP – Câmara de São José do Rio Preto – 2015) Uma brincadeira antiga com números começava com a

pergunta:

“Quanto é a metade de dois mais dois?”

E o interpelado quase sempre respondia com “2”, quando a resposta correta é “3”. Essa brincadeira usa a ordem

de precedência dos operadores, que exige que a divisão venha antes da soma, quando não há parênteses

envolvidos.

Usando a ordem de precedência dos operadores, e considerando que não há parênteses envolvidos, para a

pergunta:

“Quanto é a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze”?

A resposta correta é

(A) –151.

(B) –85.

(C) 5.

(D) 120.

(E) 762

RESOLUÇÃO:

Vamos por partes:

“décima segunda parte de mil duzentos e doze” = (1

12) x 1212

“doze vezes nove” = 12x9 + 12

Juntando:

“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove” = (1

12)x1212 – 12x9

Com mais o final:

“a décima segunda parte de mil duzentos e doze subtraída de doze vezes nove mais doze”

= (1

12)x1212 – 12x9 + 12

= 101 – 108 + 12

= 113 – 108

= 5

Resposta: C

Agora veja como operações com frações podem aparecer em um problema de raciocínio matemático:

FCC – DPE/RS – 2017) Carlos comeu a terça parte de uma pizza. Angelina chegou depois e comeu a metade do

que Carlos havia deixado da pizza. Por último, Beatriz chegou e comeu o correspondente à metade do que

Angelina havia comido. A fração que sobrou dessa pizza foi

(A) 1/6

(B) 3/8

(C) 2/9

(D) 1/5

(E) 1/12

RESOLUÇÃO:


Aula 00



Seja P o total da pizza. Como Carlos comeu 1/3 de P, a sobra foi:

Sobra após Carlos = 𝑃 −𝑃

3=

3𝑃

3−

𝑃

3=

2𝑃

3

Angelina comeu metade disto, sobrando a outra metade, isto é:

Sobra após Angelina = 1

2 𝑥 (

2𝑃

3) =

2𝑃

6=

𝑃

3

Beatriz comeu metade do que Angelina havia comido. Isto é,

Beatriz comeu = 1

2𝑥 [

1

2𝑥 (

2𝑃

3)] =

1

2𝑥

𝑃

3=

𝑃

6

Após Angelina comer, havia sobrado P/3 da pizza. Como Beatriz comeu P/6, sobrou ainda:

Sobra após Beatriz = 𝑃

3−

𝑃

6=

2𝑃

6−

𝑃

6=

𝑃

6

Portanto, da pizza de tamanho P sobrou apenas a fração P/6, ou seja, sobrou 1/6 da pizza.

Resposta: A

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de acordo com sinais matemáticos, que

indicam as operações a serem efetuadas. Veja um exemplo:

( 25 2) (9 3) 7 4 + − − =

A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que você se lembre das seguintes regras:

1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves.

2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver

operações de soma ou subtração.

Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver as duas operações que encontram-

se entre parênteses. Dentro desses parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a

primeira a ser resolvida:

(5 2) (9 3) 7 4+ − − =

A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, obtendo:

7 6 7 4 − =

Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes:

42 7 4− =

Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves:


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35 4 =

Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, obtendo:

35 4 8,75 =

Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de divisão como outra qualquer, e se houver

uma fração em sua expressão numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela operação de

divisão.

Importante: se tivermos operações equivalentes (somas/subtrações, ou multiplicações/divisões) em

sequência, devemos resolvê-las na ordem que aparecem. Por exemplo, qual é o resultado correto da expressão:

20 ÷ 20 ÷ 5

O certo é resolver na ordem, ou seja, primeiramente dividir 20 por 20, obtendo 1, e então dividir o 1 por 5,

obtendo 1/5 ou simplesmente 0,2. Isto é:

20 ÷ 20 ÷ 5 = 1 ÷ 5 = 0,2

ATENÇÃO, pois se você primeiramente quiser dividir segundo número 20 por 5, vai obter o resultado 4.

Dividindo o primeiro 20 por 4, você obteria 5, ERRANDO o cálculo:

20 ÷ 20 ÷ 5 = 20 ÷ 4 = 5

Veja comigo as questões a seguir:

FGV – BANESTES – 2018) O resultado da operação 5 + 3 x 7 – 4 é:

(A) 14.

(B) 22.

(C) 24.

(D) 28.

(E) 52.

RESOLUÇÃO:

Devemos começar primeiro pela operação de multiplicação. Logo:

5 + 3 x 7 – 4 =

5 + 21 – 4

Agora, podemos fazer as operações na ordem que elas aparecem. Somando o 5 com o 21, e depois subtraindo

4, temos:

26 – 4 =

22

Resposta: B

FCC – TRT/11 – 2017) O valor que corresponde ao resultado correto da expressão numérica

(132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42)

é


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a) 2/5

b) 1/4

c) 3/4

d) 1/5

e) 1/3

RESOLUÇÃO:

Devemos começar resolvendo as potências dentro de cada parênteses:

(132 – 112) / (122 / 3) / (102 – 92 – 42) =

(169 – 121) / (144 / 3) / (100 – 81 – 16) =

Agora resolvemos as demais operações dentro dos parênteses

48 / 48 / 3 =

1 / 3

Resposta: E

FCC – CNMP – 2015) O resultado da expressão numérica

( ) ( ) ( )1 2 1 3 11 10 3 9 4 5

. 6 13 . . 4 2 . . 1 11 . .3 3 5 5 4 4 7 7 9 9

− − + − − − − − + − − −

é igual a

(A) - 4.

(B) 8.

(C) - 6.

(D) 9.

(E) - 12.

RESOLUÇÃO:

1 2 1 3 11 10 3 9 4 5.( 6 13). .( 4 2). .( 1 11). .

3 3 5 5 4 4 7 7 9 9

− − + − − − − − + − − − =

1 2 1 6 9.7. .( 6). .10. .

3 5 4 7 9

− − − − − =

( )1 2 1 6

.7. .( 6). .10. . 13 5 4 7

− − − − − =

( )1 2 1 6

.7. .(6). .10. . 13 5 4 7

− =

( )1 2 1 6

.1. .(2). .10. . 11 5 4 1

− =

( )1 1 1 6

.1. .(1). .10. . 11 5 1 1

− =

( )60

15

− =

( ) ( )12 . 1− =


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12−

Resposta: E

VUNESP – PREF. GARÇA – 2018) Considere a resolução da expressão numérica

por uma aluna:

Analisando-se a resolução, é correto afirmar que

(A) há erro na passagem da linha 1 para a linha 2, apenas.

(B) há erro na passagem da linha 2 para a linha 3, apenas.

(C) há erro na passagem da linha 3 para a linha 4, apenas.

(D) há erro nas passagens da linha 1 para a 2 e da linha 2 para a 3, apenas.

(E) não há erro em passagem alguma.

RESOLUÇÃO:

Observe que o cálculo foi feito corretamente. A aluna optou por aplicar a propriedade distributiva da

multiplicação, multiplicando por ½ cada um dos termos da equação. Repare que, ao multiplicar o termo −8

2 por

1

2, obteve-se o valor de −

8

4, o que está correto. Feito isto, foi realizada primeiramente a operação de divisão,

para só então serem realizadas as demais operações.

Resposta: E

DIVISIBILIDADE

Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas

decimais. Para saber se um número é divisível por outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.:

25 5 5 = e o resto é ZERO, portanto 25 é divisível por 5.

O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o número 1765830275 é divisível por 5.

Efetuar esta divisão à mão consome muito tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem

os critérios de divisibilidade. Vamos passar por cada um deles rapidamente?

Divisibilidade por 1

Aqui é fácil: TODOS os números são divisíveis por 1.


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Os números PARES são divisíveis por 2. Vale lembrar que pares são os números que terminam em 0, 2, 4,

6 ou 8. Portanto, o número 365978 certamente é divisível por 2, afinal ele termina em 8, sendo um número par.


Os números divisíveis por 3 são aqueles cuja SOMA DOS ALGARISMOS é divisível por 3.

Por exemplo, 257 é divisível por 3? Podemos somar os seus algarismos, obtendo 2+5+7 = 14. Como 14

NÃO é divisível por 3, podemos garantir que 257 também NÃO é divisível por 3.

E 801, será que é divisível por 3? Somando os algarismos, temos 8+0+1 = 9. Como 9 É divisível por 3,

podemos garantir que 801 também É divisível!


Para checar se um número é divisível por 4, basta olhar para o número formado pelos DOIS ÚLTIMOS

dígitos.

Por exemplo, será que o ano de 2018 é divisível por 4? NÃO, pois o número formado pelos dois últimos

dígitos é o 18, e sabemos que 18 não é divisível por 4.

E será que 1980 é divisível por 4? SIM, pois os últimos dígitos são 80, e este número é divisível por 4.


Este é bem simples: qualquer número terminado em 0 ou em 5 é divisível! Assim, certamente 930 e 935

são divisíveis por 5, mas 934 não.


Para saber se um número é divisível por 6, basta testar se ele é divisível por 2 e TAMBÉM é divisível por 3.

Ou seja, os números pares divisíveis por 3 são também divisíveis por 6. Nenhum número ímpar é divisível por 6.

Será que 801 é divisível por 6? Certamente NÃO, pois embora seja divisível por 3 (vimos acima), ele não é

par, de modo que não é divisível por 2.

Será que 642 é divisível por 6? Veja que este número é par, sendo divisível por 2. E é divisível por 3, afinal

6+4+2=12, que é um número divisível por 3. Logo, 642 é divisível por 6.

Divisibilidades por 7 e 8

Quanto ao 7 e 8, eu recomendo que você faça o “arroz com feijão”. Isto é, caso você queira testar se 97 é

divisível por 7, o melhor a fazer é realizar rapidamente a divisão, identificando se há resto ou não. O mesmo

vale para o 8 (mas neste caso é bom notar que nenhum número ÍMPAR é divisível por 8, portanto podemos

descartar o 97).

Existem critérios de divisibilidade para 7 e 8, mas eles são muito trabalhosos, de modo que considero mais

interessante você fazer a divisão.



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Aqui temos uma situação parecida com a divisibilidade por 3. Basta SOMAR OS ALGARISMOS e checar

se a soma é divisível por 9. Por exemplo, 729 é divisível por 9, afinal 7+2+9 = 18, que é um número divisível por

9.

Já 805 não é divisível por 9, pois 8+0+5 = 13.


Essa é fácil! Qualquer número terminado em ZERO é divisível por 10. Assim, 790 certamente é divisível

por 10, mas 791 não é.

Tabelão – critérios de divisibilidade

Veja na tabela abaixo a compilação dos critérios de divisibilidade que trabalhamos acima.

Divisor* Critério Exemplos

1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...

2 Números pares (terminados em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc.

3 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 3 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), etc.

4 Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for

divisível por 4 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc.

5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc.

6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc.

9 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 9 126 (1+2+6 = 9), 7155 (7+1+5+5=18) etc.

10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc.

*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, e praticamente não são cobrados.

NÚMEROS PRIMOS E FATORAÇÃO

Dizemos que um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo.

Veja, por exemplo, o número 7. Como qualquer número, ele pode ser dividido por 1, tendo como resultado 7 e

não deixando resto algum. Entretanto, experimente dividi-lo por 2, 3, 4, 5 ou 6, e verá que sempre há um resto

diferente de zero. Apenas ao dividi-lo por 7 é que não encontraremos resto novamente. Portanto, 7 é um

número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Diversos outros números possuem essa propriedade,

como os listados abaixo:


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{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...}

A título de curiosidade, repare que o 2 é o único número primo par. Todos os demais são ímpares. O 1 não

é considerado número primo, ok? O menor número primo é o 2 mesmo.

Qualquer número natural pode ser representado como uma multiplicação de números primos. Por

exemplo, 6 pode ser representado por 2 x 3. Este processo de transformar um número qualquer em um produto

de números primos é chamado de fatoração.

Vamos fatorar o número 24. Devemos começar tentando dividi-lo por 2, que é o menor número primo.

Esta divisão é exata (não possui resto), e o resultado é 12. Podemos dividir novamente por 2, tendo resultado

6, e dividir o 6 outra vez por 2, tendo resultado 3. Agora não é mais possível dividir por 2. Assim, devemos partir

para o próximo número primo, que é o 3. Dividindo 3 por 3 temos resultado 1. Repare que para chegar no

resultado 1 foi preciso dividir 24 por 2 em 3 etapas, e a seguir dividir por 3 em uma etapa. Portanto, 24 = 2 x 2 x

2 x 3, ou simplesmente 24 = 23 x 3. Visualize este processo abaixo:

Número Fator primo

24 2

12 2

6 2

3 3

1 Logo, 24 = 23 x 3

Para praticar, vejamos a fatoração do número 450:

Número Fator primo

450 2

225 3

75 3

25 5

5 5

1 Logo, 450 = 2 x 32 x 52


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Vejamos ainda a fatoração do número 1001. Observe que ele não é divisível (ou seja, deixa resto) por 2, 3

ou 5. Apenas ao chegar o fator primo 7 é que conseguimos dividi-lo. Acompanhe abaixo:

Número Fator primo

1001 7

143 11

13 13

1 Logo, 1001 = 7 x 11 x 13

A fatoração será muito útil na obtenção do Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum entre dois

números, como veremos a seguir.

MÚLTIPLOS E DIVISORES

Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a pena você desenvolver a

rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo

divisor comum entre dois números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível por

outro (critérios de divisibilidade).

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos multiplicando X por outro

número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6, 9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser

obtidos multiplicando 3 por 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os

múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois. Exemplificando, vamos listar

alguns múltiplos de 8 e de 12:

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc.

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc.

Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24, 48, 72. Isto é, são múltiplos

em comum desses 2 números. O menor deles, neste caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC)

entre 8 e 12. O cálculo do MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante.

Cálculo do MMC por fatoração simultânea

Podemos obter rapidamente o MMC entre 2 ou mais números fazendo a fatoração simultânea dos dois

números. O primeiro passo é montar uma tabela como esta abaixo, onde temos uma coluna para cada número

(8 e 12) e uma coluna para os Fatores Primos:


Aula 00



Fatores Primos 8 12

2

Veja que eu já coloquei na tabela o fator primo 2, que é o menor de todos. Podemos dividir 8 e 12 por 2,

obtendo 4 e 6. Podemos novamente dividir ambos os números por 2, obtendo 2 e 3. Veja isso na tabela:

Fatores Primos 8 12

2 4 6

2 2 3

Agora temos uma situação interessante: o 2 pode ser dividido por 2, mas o 3 não pode. Como proceder?

Como o cálculo é de MMC, devemos dividir aquele número que é possível (2) e simplesmente copiar o outro.

Atenção, pois essa é uma diferença importante em relação ao cálculo de MDC! Veja como ficamos:

Fatores Primos 8 12

2 4 6

2 2 3

2 1 3

A coluna do 8 já chegou no nosso “objetivo”, que é o valor 1. A coluna do 12 ainda precisa de mais uma

divisão. Agora não dá mais para dividir ninguém por 2, motivo pelo qual tentamos o próximo fator primo, que

é o 3. Ficamos com:

Fatores Primos 8 12

2 4 6

2 2 3


Aula 00



2 1 3

3 1 1

Logo, MMC = 23x3

Veja que chegamos ao objetivo, que é o valor 1 em cada coluna. Com isso, basta multiplicar os fatores

primos para obter o MMC, como fiz acima, obtendo MMC = 23x3 = 8x3 = 24.

Compreendeu? Em síntese, os passos são os seguintes:

PASSOS PARA CALCULAR O MMC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA):

1 – Montar tabela com uma coluna para os fatores primos e colunas para cada um dos números;

2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e só ir aumentando quando NENHUM dos números puder

ser dividido;

LEMBRANDO QUE:

a) Se algum dos números não puder ser dividido, basta copiá-lo para a próxima linha;

b) O objetivo é fazer com que todos os números cheguem ao valor 1;

c) O MMC será a multiplicação dos fatores primos utilizados.

Esse método permite calcular o MMC de quantos números você quiser. Por exemplo, que tal calcularmos

o MMC entre 30, 40 e 50? Veja a tabela:

Fatores Primos 30 40 50

2 15 20 25

Note que eu já preenchi a primeira linha, dividindo todos os números por 2. Vou continuar dividindo por

2, pois é possível dividir o 20. O 15 e 0 25 precisam ser copiados, pois não é possível fazer a divisão:



Aula 00



2 15 20 25

2 15 10 25

Podemos dividir por 2 mais uma vez, obtendo o 5 no lugar do 10. Então ficamos só com números ímpares

(15, 5, 25). Precisamos partir agora para a divisão por 3, pois o 15 pode ser dividido por este número. Cuidado

para não “pular” essa etapa e ir direto para a divisão por 5!


2 15 20 25

2 15 10 25

2 15 5 25

3 5 5 25

Podemos agora continuar dividindo todos os números por 5, obtendo 1, 1 e 5. Dividindo mais uma vez por

5, teremos o nosso objetivo, e podemos multiplicar a coluna dos fatores primos:


2 15 20 25

2 15 10 25

2 15 5 25

3 5 5 25

5 1 1 5

5 1 1 1

Logo, MMC = 23x3x52

O mínimo múltiplo comum é 23x3x52 = 8x3x25 = 600.

Entendeu bem agora? Se você gostou deste método, nem precisa se preocupar com o próximo.


Aula 00



Cálculo do MMC por fatoração separada

Por via das dúvidas, vou te apresentar uma outra fórmula de calcular o MMC. São os seguintes passos:

CÁLCULO DO MMC – FATORAÇÃO SEPARADA DE CADA NÚMERO

1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos;

2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS E NÃO COMUNS dos dois números, de MAIOR expoente.

Vamos calcular o MMC entre 8 e 12 usando este método?

Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo 12 em fatores primos, temos

que 12 = 2x2x3 = 22x3.

Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de maior expoente. O 2 aparece

com um expoente 3 na fatoração do 8, então devemos pegar o 23. Já o 3 aparece com um expoente 1 na

fatoração do 12, portanto devemos pegar o 31. O MMC será 23 x 31 = 24.

E como fica o MMC entre 30, 40 e 50? Fatorando rapidamente os números, temos:

30 = 2x3x5

40 = 23x5

50 = 2x52

Para montar o MMC, devemos pegar os fatores que aparecem nessas multiplicações, que são o 2, o 3 e o

5. O 2 com maior expoente é o 23. O 3 só aparece assim. Já o 5 de maior expoente é o 52. O MMC será, portanto:

23 x 3 x 52 =

8 x 3 x 25 =

600

Quando e como utilizar o MMC nos exercícios

Uma dúvida muito comum dos alunos é: quando devo usar o MMC nas minhas questões de prova? Como

regra, eu digo que o MMC estará presente naquelas questões que nos apresentam “fenômenos” que ocorrem

com frequências diferentes, e queremos saber quando eles ocorrerão juntos. Por exemplo, 2 pessoas que

dão festas com regularidades diferentes (uma a cada 9 dias e a outra a cada 15 dias), e queremos saber quando

teremos festas simultâneas. Ou então 3 funcionários de uma empresa tais que um folga a cada 5 dias, o outro

a cada 7 dias e o outro a cada 9 dias, e queremos saber quando eles terão folga juntos. Vejamos um exemplo:


Aula 00



Dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar festas em suas casas periodicamente. João costuma

realizar festas de 9 em 9 dias, enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve

festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos coincidirão novamente?

Veja que temos 2 fenômenos (festas do João e festas do José) que ocorrem com frequências diferentes –

a cada 9 e 15 dias, respectivamente. Queremos saber quando os fenômenos coincidem. Questão clássica de

MMC!

Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias, a seguinte daqui a 18, a outra

daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc.

Observe que os dias em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é, múltiplos

comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos, isto é, no mínimo múltiplo comum entre

9 e 15. Calculando rapidamente este MMC:

Fatores Primos 9 15

3 3 5

3 1 5

5 1 1

MMC = 32x5 = 45

Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a 45 dias.

Veja comigo os exercícios a seguir:

VUNESP – CÂMARA DE DOIS CÓRREGOS – 2018) Uma caixa-forte tem 3 sistemas eletrônicos de segurança

independentes, conectados a órgãos distintos. No momento de qualquer violação, os três sistemas enviam

sinais codificados simultaneamente. A partir daí, um deles repete o envio da mensagem a cada 15 segundos, o

outro a cada 25 segundos, e o terceiro, a cada 30 segundos. Caso ocorra qualquer violação, o menor intervalo

de tempo decorrido entre dois envios simultâneos de mensagens pelos três sistemas será igual a

(A) 3min 15s.

(B) 2min 50s.

(C) 2min 30s.

(D) 2min 25s.

(E) 1min 50s.

RESOLUÇÃO:

Temos 3 fenômenos que ocorrem em frequências diferentes (a cada 15, 20 e 30 segundos,

respectivamente) e queremos saber quando ocorrerão juntos. Questão CLÁSSICA de MMC!


Aula 00



Veja que os envios simultâneos ocorrerão nos múltiplos comuns entre 15, 25 e 30 segundos. Assim,

podemos descobrir o menor tempo entre dois envios simultâneos calculando o MÍNIMO múltiplo comum, que

é:

Portanto, a cada 150 segundos teremos envios simultâneos pelos três sistemas. Veja que:

150 segundos =

120 + 30 =

2x60 + 30 =

2 minutos + 30 segundos

Resposta: C

FCC – TRT/PR – 2015) Para um evento promovido por uma determinada empresa, uma equipe de funcionários

preparou uma apresentação de slides que deveria transcorrer durante um momento de confraternização. Tal

apresentação é composta por 63 slides e cada um será projetado num telão por exatos 10 segundos. Foi ainda

escolhida uma música de fundo, com duração de 4min40s para acompanhar a apresentação dos slides. Eles

planejam que a música e a apresentação dos slides comecem simultaneamente e “rodem” ciclicamente, sem

intervalos, até que ambas finalizem juntas. A fim de estudar a viabilidade desse plano, eles calcularam que a

quantidade de vezes que a música teria de tocar até que seu final coincidisse, pela primeira vez depois do início,

com final da apresentação seria

(A) 35.

(B) 9.

(C) 5.

(D) 42.

(E) 12.


Aula 00



RESOLUÇÃO:

Temos 63 slides que ficarão por 10 segundos cada, totalizando 63 x 10 = 630 segundos para a apresentação. Já

a música tem 4 minutos e 40 segundos, ou seja, 4x60 segundos + 40 segundos = 240 + 40 = 280 segundos.

A apresentação finaliza nos múltiplos de 630 segundos (630, 1260 etc), e a música finaliza nos múltiplos de 280

segundos (280, 560 etc). Para sabermos quando a música e a apresentação terminarão juntas, podemos obter

o mínimo múltiplo comum entre 630 e 280:

O mínimo múltiplo comum é 8 x 9 x 5 x 7 = 2520. Portanto, a música e a apresentação vão terminar juntas após

2520 segundos. Até este momento, a música terá tocado 2520 / 280 = 9 vezes.

Resposta: B

IBFC – PM/SE – 2018) Um comerciante vende balas em pacotinhos, sempre com a mesma quantidade. Ao fazer

isso, percebeu que dentre as balas que possuía poderia colocar 8, 12 ou 20 balas em cada pacote. Nessas

condições, assinale a alternativa que apresenta o número mínimo de balas que o comerciante dispunha:

a) 120

b) 240

c) 360

d) 60

RESOLUÇÃO:

Observe que o número de balas que o comerciante tinha era um múltiplo de 8, pois seria possível colocar 8 balas

por pacote. Este número de balas também é múltiplo de 12 e de 20, pois seria possível montar pacotes com 12

e pacotes com 20 balas. Portanto, o número de balas é um MÚLTIPLO COMUM entre 8, 12 e 20. Podemos

calcular o menor múltiplo comum entre esses números, que nos dará o MÍNIMO de balas que o comerciante

dispunha:


Aula 00



Portanto, o comerciante tinha pelo menos 120 balas. Esse é o menor número, sendo o gabarito a alternativa A.

Podemos aproveitar para calcular o MMC pela fatoração separada dos números. Veja:

8 = 2³

12 = 2² x 3

20 = 2² x 5

O MMC será o produto dos fatores comuns e não comuns de maior expoente. Logo:

MMC (8, 12, 20) = 2³ x 3 x 5 = 8 x 15 = 120 balas

Resposta: A

CESPE – BNB – 2018) Situação hipotética: Carlos possui uma quantidade de revistas que é maior que 500 e

menor que 700. Separando as revistas em conjuntos de 8 revistas, Carlos verificou que sobrou um grupo com 3

revistas. O mesmo acontecia quando ele separava as revistas em conjuntos de 14 ou em conjuntos de 20

revistas: sempre sobrava um conjunto com 3 revistas. Assertiva: Nesse caso, é correto afirmar que Carlos possui

563 revistas.

RESOLUÇÃO:

Veja que o número de revistas NÃO é múltiplo de 8, 14 nem de 20, pois ao dividir o número de revistas por esses

divisores, obtemos o resto 3. Assim, o número de revistas deve ser 3 unidades maior do que um múltiplo

COMUM entre 8, 14 e 20. Calculando o MMC entre esses três números:


Aula 00



Portanto, o MMC é 280. Outro múltiplo comum entre 8, 14 e 20 seria 2x280 = 560. Somando 3 unidades,

chegamos a 563. Portanto, de fato 563 é uma possibilidade para o número de revistas. Mas será que é a única

possibilidade? SIM, pois se somarmos mais 280 unidades, passaremos de 700 (e a questão disse que o número

de revistas está entre 500 e 700).

Item CERTO. Vale dizer que você poderia também resolver rapidamente dividindo 563 por 8, 14 e 20. Você

notaria que o resto da divisão é 3 em todos os casos.

Resposta: C

Máximo divisor comum (MDC)

Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o maior número pelo qual tanto

A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto é, sem deixar resto.

Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os divisores de cada um deles.

Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40:

- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8.

Vejam que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40.

Cálculo do MDC por fatoração simultânea

O método mais interessante para calcular o MDC entre 2 ou mais números é a fatoração simultânea. Para

você compreender, vamos calcular o MDC entre 32 e 40. Podemos montar uma tabela com uma coluna para os

Fatores Primos, e colunas para cada número. Veja:

Fatores

Primos

32 40


Aula 00



Agora podemos ir dividindo os números pelos fatores primos, começando pelo menor deles (2). Mas

ATENÇÃO: no cálculo do MDC, só podemos dividir os números por fatores que sejam capazes de dividir OS

DOIS NÚMEROS AO MESMO TEMPO! Veja isso abaixo:

Fatores Primos 32 40

2 16 20

2 8 10

2 4 5

Perceba que não há nenhum número que seja capaz de dividir o 4 e o 5 ao mesmo tempo! Portanto,

devemos parar o cálculo por aqui. O MDC será a multiplicação dos fatores primos, ou seja, 2x2x2 = 23 = 8.

Vamos praticar mais um pouco, agora calculando o MDC entre 3 números: 30, 40 e 50. Montei a tabela

abaixo e comecei a divisão pelo 2, o menor fator primo:


2 15 20 25

Perceba que somente o 20 pode continuar sendo dividido por 2. Não podemos fazer isso no cálculo do

MDC! Devemos buscar um fator primo capaz de dividir todos os números. Veja que o 3 é capaz de dividir

somente o 15. E note que o 5 é capaz de dividir TODOS! Vamos utilizá-lo:


2 15 20 25

5 3 4 5

Perceba que não há nenhum número capaz de dividir 3, 4 e 5 ao mesmo tempo. Devemos parar o cálculo

por aqui. O MDC será a multiplicação dos fatores primos, ou seja, 2x5 = 10.


Aula 00



Compreendeu? Vamos anotar esse procedimento:

PASSOS PARA CALCULAR O MDC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA):


2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e só utilizar fatores capazes de dividir TODOS os números;

LEMBRANDO QUE:

a) Se algum dos números não puder ser dividido, devemos passar para o próximo fator primo;

b) Quando não houver um fator primo capaz de dividir todos os números, devemos parar o cálculo;


Cálculo do MDC por fatoração separada

Uma outra forma de calcular o MDC utiliza a fatoração de cada número separadamente. Os passos são os

seguintes:

1 - Decompor cada um dos números em fatores primos;

2 - O MDC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS de MENOR expoente;

Vamos utilizar este método para obter o MDC entre 32 e 40. Fatorando os números separadamente,

temos:

32 = 25

40 = 23x5

O único fator COMUM nas duas fatorações é o 2. Ele aparece com MENOR expoente em 23. Logo, o MDC

é igual a 23, ou seja, 8.

Vamos agora calcular o MDC de 30, 40 e 50. Fatorando-os separadamente:

30 = 21x31x51

40 = 23x51


Aula 00



50 = 21x52

Os fatores comuns nas 3 fatorações são o 2 e o 5. O 2 aparece com menor expoente em 21. E o 5 aparece

com menor expoente em 51. Assim, o MDC é 21 x 51 = 2 x 5 = 10.

Quando e como utilizar o MDC nos exercícios

O máximo divisor comum é útil em situações onde temos grupos de coisas diferentes e queremos DIVIDIR

os elementos de cada grupo usando um mesmo fator. Veja este exemplo:

Temos 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos

devem ter o mesmo número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível?

Perceba que nós temos grupos de “coisas” (animais) diferentes: cães e gatos. Queremos dividir os cães

em grupo, e dividir os gatos em grupos. O nosso objetivo é que todos os grupos tenham o mesmo número de

integrantes. Para isso, precisaremos encontrar um número “n” de integrantes para cada grupo que seja capaz

de dividir tanto o 20 como o 30. Ou seja, o número de integrantes do grupo deve ser um Divisor Comum entre

20 e 30. Se queremos o MENOR número de grupos possível, precisamos de grupos com a MAIOR quantidade

de elementos cada. Ou seja, precisamos do MAIOR Divisor Comum que pudermos utilizar – o MDC!

Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também que 30 = 2x3x5. Portanto,

MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar grupos de 10 elementos.

Repare que, formando grupos de 10 elementos, ficaremos com 2 grupos de cães e 3 grupos de gatos.

Assim, o menor número de grupos possível é 5.

Veja essas questões comigo:

VUNESP – CÂMARA SJC– 2018) Dois grupos, um contendo 126 técnicos legislativos e outro contendo 72

analistas legislativos, todos recém-contratados, serão divididos em grupos menores para participarem de

cursos de formação, cada grupo contendo o mesmo número x de técnicos legislativos e y de analistas

legislativos, sendo x e y os menores números possíveis. Sabendo que nenhum desses recém-contratados

poderá ficar fora dos grupos menores, o valor de y corresponderá, do número total de recém-contratados em

cada grupo menor, aproximadamente, a

(A) 32%

(B) 34%

(C) 36%

(D) 38%

(E) 40%

Resolução:


Aula 00



Perceba que temos 2 grupos (126 técnicos e 72 analistas) e queremos dividi-los de modo a ter x técnicos

e y analistas em cada subgrupo, isto é, cada subgrupo terá número de grupos de técnicos e de analistas. Ou

seja, o número de grupos que vamos dividir deve ser um DIVISOR COMUM entre 126 e 72.

Queremos que cada grupo seja composto pelo menor número possível de integrantes, de modo que

precisamos ter o MAIOR número de grupos possível. Para isso, o número de grupos deve ser o MAIOR divisor

comum entre 126 e 72.

Podemos obter o MDC por meio da fatoração simultânea:

Serão 18 grupos de técnicos e analistas. Como temos 126 técnicos, teremos x = 126 / 18 = 7 técnicos em

cada um dos 18 grupos. Como temos 72 analistas, teremos y = 72 / 18 = 4 analistas em cada um dos 18 grupos.

Cada grupo terá um total de 7 + 4 = 11 recém-contratados. Logo, o valor de y corresponde a,

aproximadamente,

4/11 = 0,36 = 36%

Resposta: C

VUNESP – Pref. Cotia/SP – 2017) Em um congresso, estão presentes 56 pessoas da região Norte, 84 pessoas

da região Sul e 98 pessoas da região Centro-Oeste. A organização do congresso deseja dividir essas pessoas

em grupos contendo representantes das três regiões, de modo que o número de representantes de cada região,

por grupo, seja igual. Dessa maneira, o menor número de grupos que podem ser formados é

(A) 13.

(B) 14.

(C) 15.

(D) 16.

(E) 17.

RESOLUÇÃO:

Veja que devemos dividir 56, 84 e 98 pelo mesmo número, ou seja, devemos buscar um divisor COMUM.

A ideia é pegar o MAIOR divisor comum, para formar o menor número de grupos possível. Calculando o MDC:


Aula 00



Cada grupo terá 14 elementos. O total de grupos é 4+6+7 = 17 (veja que basta somar a linha em negrito na

tabela.

Resposta: E

FCC – TRT/20 – 2016) Uma entidade assistencial pretende montar kits com vestimentas de inverno para

distribuir em creches da cidade. Para a montagem dos kits, a entidade dispõe de 60 cobertores idênticos, 72

casacos idênticos e 108 calças idênticas. Se todos os kits são iguais e se todas as 240 vestimentas são utilizadas

nos kits, o número máximo de kits que a entidade conseguirá montar é igual a

(A) 24.

(B) 180.

(C) 60.

(D) 12.

(E) 6.

RESOLUÇÃO:

Precisamos achar um mesmo número que seja capaz de dividir os 60 cobertores, os 72 casacos e as 108 calças

sem deixar resto. Estamos falando de um divisor comum desses números. Como queremos o maior número

possível de kits, devemos buscar o MÁXIMO divisor comum entre eles. Fazemos isso assim:

Como não há mais nenhum fator primo que divide 5, 6 e 9 simultaneamente, podemos parar por aqui. O MDC

é 2x2x3 = 12. Este é o total de kits.

Resposta: D

Chega de teoria! Vamos praticar tudo o que vimos até aqui?


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Questões de prova comentadas

1. FGV – BANESTES – 2018)

Na igualdade 3

5 +

3

20 +

3

25 =

x


A) 59

B) 65

C) 77

D) 83

E) 87

RESOLUÇÃO:

Para somar as frações devemos colocá-las sobre um mesmo denominador. Veja que 100 é múltiplo comum de

5, 20 e 25. Logo:

20 x 3

100 +

5 x 3

100 +

4 x 3

100 =

x

100

60

100 +

15

100 +

12

100 =

x

100

87

100 =

x

100

X = 87

Resposta: E


O resultado da operação 5 + 3 x 7 – 4 é:

(A) 14.

(B) 22.

(C) 24.

(D) 28.

(E) 52.

RESOLUÇÃO:

Devemos começar primeiro pela operação de multiplicação. Logo:

5 + 3 x 7 – 4 = 5 + 21 – 4 = 26 – 4 = 22

Resposta: B


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3. FGV – IBGE – 2017)

Uma corda de 7 metros e 20 centímetros de comprimento foi dividida em três partes iguais. O comprimento de

cada parte é:

(A) 2 metros e 40 centímetros;

(B) 2 metros e 50 centímetros;

(C) 2 metros e 60 centímetros;

(D) 2 metros e 70 centímetros;

(E) 2 metros e 80 centímetros.

RESOLUÇÃO:

Para fazer a divisão de 7,2 metros por 3, vamos multiplicar ambos por 10 e montar a divisão:

O resultado, portanto, é 2,4 metros. Ou seja, 2 metros e 40 centímetros.

Resposta: A

4. FGV – IBGE – 2017)

O valor da expressão 2.(1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7– ... + 2015 – 2016 + 2017) é:

(A) 2014;

(B) 2016;

(C) 2018;

(D) 2020;

(E) 2022.

RESOLUÇÃO:

Veja que 1 – 2 é igual a -1. Da mesma forma, 3 – 4 também é igual a -1. Do número 1 até o 2016, temos 2016/2 = 1008 pares de números cuja soma é -1, o que totaliza -1008. Assim, ficamos com a expressão:

2.(1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7– ... + 2015 – 2016 + 2017) =

= 2.(-1008 + 2017) =

= 2.1009 =


Aula 00



= 2018

Resposta: C

5. FGV – IBGE – 2017)

Suponha que a#b signifique a - 2b.

Se 2#(1#N) =12, então N é igual a:

(A) 1;

(B) 2;

(C) 3;

(D) 4;

(E) 6.

RESOLUÇÃO:

Veja que a#b significa o primeiro número (a) menos o dobro do segundo (2b). Assim,

1#N = 1 – 2N

Logo,

2#(1#N) = 12

2#(1 – 2N) = 12

2 – 2.(1 – 2N) = 12

2 – 2 + 4N = 12

4N = 12

N = 12/4

N = 3

Resposta: C

6. FGV – IBGE – 2017)

Em certo concurso inscreveram-se 192 pessoas, sendo a terça parte, homens. Desses, apenas a quarta parte

passou. O número de homens que passaram no concurso foi:

(A) 12;

(B) 15;

(C) 16;

(D) 18;


Aula 00



(E) 20.

RESOLUÇÃO:

Os homens são a terça parte de 192, ou seja, 192/3 = 64 homens. Destes, apenas 1/4 passou, ou seja, 64/4 = 16

homens foram aprovados.

Resposta: C

7. FGV – SEPOG/RO – 2017)

Altair tem uma barraca de peixes no mercado e, certo dia, começou sua venda com 24 tambaquis, todos de

mesmo peso. De manhã vendeu a terça parte por 13 reais cada um e, de tarde, reduziu o preço para 9 reais cada

peixe e acabou vendendo todos. Nesse dia, Altair arrecadou a quantia de

(A) 232 reais.

(B) 236 reais.

(C) 240 reais.

(D) 244 reais.

(E) 248 reais.

RESOLUÇÃO:

Veja que Altair vendeu 1/3 de 24, ou seja, 8 tambaquis por 13 reais cada, e os outros 16 tambaquis foram

vendidos por 9 reais cada, totalizando:

Vendas = 8×13,00 + 16×9,00 = 104 + 144 = 248 reais

Resposta: E

8. FGV – MP/BA – 2017)

Gastão comprou quatro latas de refrigerante. Cada lata custou R$ 2,60 e Gastão pagou com uma nota de R$

20,00. Gastão tem que receber um troco de:

(A) R$ 8,40;

(B) R$ 8,60;

(C) R$ 8,80;

(D) R$ 9,40;

(E) R$ 9,60.

RESOLUÇÃO:

Como cada uma das 4 latas custa 2,60 reais, o custo total é de 4×2,60 = 10,40 reais. Pagando com 20 reais, o

troco é de 20 – 10,40 = 9,60 reais.


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Resposta: E

9. FGV – SEE/PE – 2016)

Dados os números: a = 0,34; b = 0,4; c = 0,19 e d = 0,312, a diferença entre o maior desses números e o menor

deles é

(A) 0,15.

(B) 0,21.

(C) 0,293.

(D) 0,308.

(E) 0,31.

RESOLUÇÃO:

O maior número é o 0,4. O menor é o 0,19. Assim, temos:

0,4 – 0,19 = 0,21

Resposta: B

10. FGV – SEE/PE – 2016)

O número de três algarismos: n = 68D é primo. O algarismo D, das unidades, é

(A) 1.

(B) 3.

(C) 5.

(D) 7.

(E) 9

RESOLUÇÃO:

Se D = 1 teremos 681, que é divisível por 3, afinal a soma dos seus algarismos é 15. Também serão divisíveis por

3 os números 684 e 687. D também não pode ser par, pois neste caso o número seria divisível por 2.

Descartamos assim o 682, 686 e 688. D também não pode ser nem 0 e nem 5, pois estes números serão

divisíveis por 5. Descartamos assim o 680 e o 685.

Sobram o 683 e o 689 apenas. Testando alguns divisores, veja que 689 é divisível por 13 (o quociente é igual a

53). Assim, se algum dos números é primo, este só pode ser o 683. Logo, D = 3.

Resposta: B


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11.FGV – CODEBA – 2016)

Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das marés alta (A) e baixa (B),

formando a tabela a seguir.


(A) 1,0.

(B) 1,1.

(C) 1,2.

(D) 1,3.

(E) 1,4.

RESOLUÇÃO:

Podemos ir calculando as diferenças entre os valores da tabela. Veja:

0,3 – 1 = -0,7

1,1 – 0,3 = 0,8

0,2 – 1,1 = -0,9

1,3 – 0,2 = 1,1

0,4 – 1,3 = -0,9

1,4 – 0,4 = 1

0,5 – 1,4 = -0,9

1,2 – 0,5 = 0,7

0,4 – 1,2 = -0,8

1,0 – 0,4 = 0,6

Note que a maior diferença é 1,1.

Resposta: B

12. FGV – SME/SP – 2016)

Em algumas expressões numéricas, é possível economizar parênteses, colchetes ou chaves sem alterar o

resultado.

7² – {[3 x (100 – 4)] + 10}.

Assinale a opção que indica a expressão numérica com mesmo resultado da expressão acima.

a) 7² – 3 x 100 – 4 + 10


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b) 7² – 3 x 100 – 4 – 10

c) 7² – 3 x 100 – 3 x 4 + 10

d) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 – 10

e) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 + 10

RESOLUÇÃO:

Vamos resolver passo-a-passo a expressão dada:

7² – {[3 x (100 – 4)] + 10} =

= 49 – {[3 x (96)] + 10} =

= 49 – {[288] + 10} =

= 49 – {288 + 10} =

= 49 – {298} =

= - 249

Agora, vamos analisar cada alternativa:

a) 7² – 3 x 100 – 4 + 10

49 – 300 – 4 + 100 = 45 – 200 = -155

b) 7² – 3 x 100 – 4 – 10

49 – 300 – 4 – 10 = 49 – 300 – 14 = 35 – 300 = -255

c) 7² – 3 x 100 – 3 x 4 + 10

49 – 300 – 12 + 10 = 49 – 300 – 2 = 47 – 300 = - 253

d) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 – 10

49 – 300 + 12 – 10 = 49 – 300 + 2 = 51 – 300 = - 249

Esse é o nosso gabarito.

e) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 + 10

49 – 300 + 12 + 10 = 49 – 300 + 22 = 71 – 300 = 229

Resposta: D

13. FGV – SEE/PE – 2016)

Consultando os dados do último censo demográfico, Ana, ao anotar a população de sua cidade, trocou o

algarismo das dezenas com o algarismo das unidades. Sabe-se que a diferença entre a população correta e a

população anotada por Ana é um número compreendido entre 50 e 60. A diferença citada é

(A) 52.

(B) 54.

(C) 55.

(D) 56.


Aula 00



(E) 57.

RESOLUÇÃO:

Sejam A e B os algarismos corretos das dezenas e das unidades. Ou seja, temos um número do tipo AB.

Trocando-os, ficamos com BA. A diferença entre eles é:

AB – BA =

10A + B – (10B + A) =

9A – 9B =

9(A – B)

Veja que a diferença deve ser um número múltiplo de 9. Entre 50 e 60, o único múltiplo de 9 é o 54.

Resposta: B

14. FGV – SEE/PE – 2016)

Paula escreveu um número inteiro três vezes e um outro número inteiro quatro vezes. A soma dos sete números

é 200 e um dos números é 36. O outro número é

(A) 56.

(B) 42.

(C) 32.

(D) 26.

(E) 23.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que o 36 é um dos números, mas não sabemos se ele foi escrito 3 ou 4 vezes. Vamos testar as duas

possibilidades e ver em qual delas o outro número será inteiro também, como disse o enunciado.

Suponha que o 36 é o número que foi escrito três vezes. Assim, teríamos a soma 3x36 = 108, faltando 200 – 108

= 92, afinal a soma de todos os números é 200. Assim, o número escrito quatro vezes seria o 92/4 = 23. Veja que

foi possível obter um valor inteiro. Logo, nossa resposta é o 23 (letra E).

Se você assumisse que o 36 é o número que foi escrito quatro vezes, teria a soma 36x4 = 144, restando 200 –

144 = 56 para o outro número. Assim, o número escrito três vezes seria o 56/3 = 18,66 (veja que este NÃO é um

número inteiro).

Resposta: E

15. FGV – CODEBA – 2016)


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Fernanda tem cinco filhas. Algumas das filhas de Fernanda também têm cinco filhas e as outras não têm filha

alguma. No total, Fernanda tem 20 filhas e netas e nenhuma bisneta. O número de filhas e netas de Fernanda

que não têm filhas é

(A) 10.

(B) 12.

(C) 15.

(D) 17.

(E) 18.

RESOLUÇÃO:

Fernanda tem 5 filhas, portanto as netas somam 20 – 5 = 15. Como as filhas de Fernanda que também são mães

possuem 5 filhas cada uma, fica claro que 3 filhas de Fernanda tem 5 filhas cada uma, totalizando as 3x5 = 15

netas de Fernanda.

Assim, das 5 filhas de Fernanda, 3 também são mães e 2 não tem filhas. Ao todo, as mulheres que NÃO tem

filhas são as 2 filhas de Fernanda e as 15 netas de Fernanda, totalizando 17.

Resposta: D

16. FGV – CODEBA – 2016)

Hércules recebe R$ 65,00 por dia normal de trabalho e mais R$ 13,00 por hora extra. Após 12 dias de trabalho,

Hércules recebeu um total de R$ 845,00. Sabendo que Hércules pode fazer apenas uma hora extra por dia, o

número de dias em que Hércules fez hora extra foi

(A) 1.

(B) 3.

(C) 5.

(D) 7.

(E) 9.

RESOLUÇÃO:

Como trabalhou 12 dias, Hércules recebeu 12 x 65 = 780 reais. O restante foram as horas extras, que somaram

845 – 780 = 65 reais. Como ele recebe 13 reais por hora extra, o total de horas extras é de 65 / 13 = 5. E, como ele

faz apenas uma hora extra por dia, o total de dias com horas extras é igual a 5.

Resposta: C

17. FGV – CODEBA – 2016)


Aula 00



Para quaisquer números reais diferentes x e y, representemos por M(x, y) o maior entre x e y e por m(x, y) o

menor entre x e y. Sejam a, b, c, d, e números reais tais que a b c d e . O valor de M(m(b,d),m(M(a,e),c)) é

(A) a.

(B) b.

(C) c.

(D) d.

(E) e.

RESOLUÇÃO:

Vamos por partes. Veja que m(b,d) é o menor número entre b e d, que neste caso é b. Ou seja, m(b,d) = b.

Veja ainda que M(a,e) é o maior número entre a e e, que é o número e. Ou seja, M(a,e) = e. Assim,

m(M(a,e), c) = m(e, c) = c

(pois c é menor que e)

Assim,

M(m(b,d),m(M(a,e),c)) =

M( b, c) =

c

Resposta: C

18. FGV – CODEBA – 2016)

Certo dia, por causa do engarrafamento, João demorou 4 horas para fazer um percurso que, normalmente, leva

um quinto desse tempo. Normalmente, João faz esse percurso em

(A) 45 minutos.

(B) 48 minutos.

(C) 1 hora e 05 minutos.

(D) 1 hora e 12 minutos.

(E) 1 hora e 20 minutos.

RESOLUÇÃO:

Veja que 1/5 de 4 horas corresponde a 1/5 x 4 = 4/5 = 0,8 horas. Passando para minutos, temos 0,8 x 60 minutos

= 48 minutos.

Resposta: B


Aula 00



19. FGV – CODEBA – 2016)

Uma sequência de números inteiros positivos é formada seguindo três regras. A partir de um número inteiro

positivo, aplica-se a regra adequada a ele para se obter o segundo termo da sequência. Para cada novo termo

obtido, aplica-se a regra adequada a ele para se obter o termo seguinte. As três regras são:

Regra 1: se o inteiro é menor ou igual a 9, multiplique-o por 7;

Regra 2: se o inteiro é maior do que 9 e par, divida-o por 2;

Regra 3: se o inteiro é maior do que 9 e ímpar, subtraia 5 dele.

Na sequência cujo primeiro termo é 16, tem-se que

(A) o quinto termo é 7.

(B) o sexto termo é 14.

(C) o sétimo termo é 49.

(D) o oitavo termo é 22.

(E) o nono termo é 44

RESOLUÇÃO:

Se o primeiro é 16 (maior que 9 e par), aplica-se a regra 2, dividindo-o por 2 e obtendo o 2º termo, que é 8. Este

é menor ou igual a 9, aplicando-se a regra 1, chegando a 8x7 = 56, que é o 3º termo. Agora aplicamos a regra 2,

obtendo o 4º termo, que é 56 / 2 = 28. Novamente aplicamos a regra 2, obtendo o 5º termo, que é 28/2 = 14.

Novamente aplicamos a regra 2, obtendo o 6º termo, que é 14/2 = 7. Agora aplicamos a regra 1, obtendo o 7º

termo, que é 7x7 = 49. Temos isso na letra C.

Resposta: C

20. FGV – CODEBA – 2016)

Quatro máquinas mantêm uma indústria em operação, sem interrupções, 24 horas por dia, 7 dias na semana.

Das quatro máquinas, há sempre três em operação e uma em manutenção. Nos últimos 30 dias, a manutenção

foi feita de tal maneira que as quatro máquinas ficaram em operação o mesmo número de horas. Nos últimos

30 dias, o número de horas que cada máquina ficou em operação foi

(A) 180.

(B) 240.

(C) 360.

(D) 480.

(E) 540.

RESOLUÇÃO:


Aula 00



Veja que a cada dia 1 máquina está em manutenção e 3 trabalhando, ou seja, temos ¾ das máquinas

funcionando. Isto indica que cada máquina funcionou durante ¾ do período de 30 dias, ou seja, durante ¾ x 30

= 22,5 dias de 24 horas cada, totalizando 22,5 x 24 = 45 x 12 = 540 horas.

Resposta: E

21. FGV – CODEBA – 2016)

João e Maria estão em uma fila e Maria está à frente de João. Há 8 pessoas à frente de Maria, e 14 pessoas atrás

dela. Há 7 pessoas atrás de João. O número de pessoas que está à frente de João é

(A) 13.

(B) 14.

(C) 15.

(D) 16.

(E) 17.

RESOLUÇÃO:

Veja que a fila possui 8 pessoas à frente de Maria, 14 atrás dela, e mais a própria Maria, totalizando 8 + 14 + 1 =

23 pessoas. Se há 7 pessoas atrás de João, à frente dele teremos 23 – 7 – 1 = 15 pessoas (veja que subtraí mais 1

unidade, afinal João não está à frente dele mesmo).

Resposta: C

22. FGV – IBGE – 2016)

A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de quilômetros e esse valor é chamado de “1 unidade astronômica”

(1UA). A estrela Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do Sol. A distância de Sírius ao

Sol em UA é:

(A) 5.400;

(B) 54.000;

(C) 540.000;

(D) 5.400.000;

(E) 54.000.000.

RESOLUÇÃO: Escrevendo 81 trilhões, temos 81.000.000.000.000 de quilômetros. Veja que 150 milhões de quilômetros são 150.000.000. Assim, o número de UA que representa a distância do Sol à estrela Sirius é:

N = 81.000.000.000.000 / 150.000.000 N = 81.000.000 / 150

N = 8.100.000 / 15


Aula 00



N = 2.700.000 / 5 N = 540.000 quilômetros

Resposta: C

23. FGV – DPE/MT – 2015)

Sabe-se que o número 3 2

4 3

x x− é um número inteiro. Sobre o número x conclui-se que

(A) é um número par mas não necessariamente múltiplo de 3.

(B) é um múltiplo de 3 mas não necessariamente um número par.

(C) é negativo.

(D) é um múltiplo de 6.

(E) é um múltiplo de 4 mas não necessariamente um múltiplo de 6.

RESOLUÇÃO:

Observe que:

3x/4 – 2x/3 =

9x/12 – 8x/12 =

x/12

Note que 12 = 2x2x3. Assim, como x/12 é um número inteiro, então x deve ser um múltiplo de 12. Como 12 é

2x2x3, podemos dizer que x deve ser também múltiplo de 2, de 3, de 4 e de 6 (que são divisores de 12).

Resposta: D

24. FGV – DPE/MT – 2015)

Em um canil há 42 cães adultos, dos quais metade são fêmeas. Um terço das fêmeas teve filhotes e, em média,

cada uma destas fêmeas teve cinco filhotes. O número total de cães, adultos e filhotes, nesse canil é

(A) 70.

(B) 77.

(C) 84.

(D) 91.

(E) 98.

RESOLUÇÃO:


Aula 00



Sabemos que metade dos 42 cães adultos são fêmeas, portanto podemos dizer que temos 21 fêmeas adultas.

Um terço dessas fêmeas, ou 21x(1/3) = 7 fêmeas, possuem 5 filhotes em média cada uma, totalizando 7x5 = 35

filhotes. O total de cães nesse canil é igual a 42 + 35 = 77.

Resposta: B

25. FGV – DPE/RO – 2015)

O avô de João fará 90 anos e no dia do aniversário, como presente, João dará ao seu avô exatamente 90

bombons. Os bombons preferidos do avô de João são vendidos em caixas com 6 bombons e em caixas com 8

bombons. O menor número possível de caixas de bombons que João poderá comprar é:

(A) 10;

(B) 11;

(C) 12;

(D) 13;

(E) 14.

RESOLUÇÃO:

Para dar o menor número possível de caixas, devemos usar o máximo de caixas de 8 bombons que pudermos.

Dividindo 90 por 8, temos o resultado 11 e o resto 2. Assim, caso usemos 11 caixas de 8 bombons, restarão 2

(que não é múltiplo de 6, portanto não forma caixas de 6 bombons). Se usarmos 10 caixas de 8 bombons, temos

10×8 = 80, sobrando 10 bombons (que também não é múltiplo de 6). Se usarmos 9 caixas de 8 bombons, temos

9×8 = 72, sobrando 18 bombons, que podem ser acomodados em 3 caixas de 6 cada.

Assim, o menor número de caixas é 9 + 3 = 12.

Resposta: C

26. FGV – PREFEITURA DE NITERÓI – 2015)

Uma máquina é capaz de imprimir e encadernar cada exemplar de um determinado livro em 2min45s.

Trabalhando continuamente, o tempo que essa máquina levará para imprimir e encadernar 100 livros é:

(A) 3h45min;

(B) 3h55min;

(C) 4h15min;

(D) 4h25min;

(E) 4h35min.

RESOLUÇÃO:


Aula 00



Veja que 2 minutos correspondem a 2 x 60 = 120 segundos. Assim, 2 minutos e 45 segundos são 120 + 45 = 165

segundos. Para encadernar 100 livros são necessários 100 x 165 = 16500 segundos.

Para transformar em minutos, basta dividirmos por 60, ficando com 16500 / 60 = 275 minutos. Veja que 275

minutos correspondem a 240 + 35 minutos, ou seja, 4x60 + 35 minutos, que são 4 horas e 35 minutos.

Resposta: E

27. FGV – DPE/MT – 2015)



(A) 70.

(B) 77.

(C) 84.

(D) 91.

(E) 98.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que metade dos 42 cães adultos são fêmeas, portanto podemos dizer que temos 21 fêmeas adultas.

Um terço dessas fêmeas, ou 21x(1/3) = 7 fêmeas, possuem 5 filhotes em média cada uma, totalizando 7x5 = 35

filhotes. O total de cães nesse canil é igual a 42 + 35 = 77.

Resposta: B

28. FGV – TJRJ – 2014)

Mario fez uma viagem de ônibus que durou três horas e meia. Assim que o ônibus partiu, Mario dormiu. Quando

acordou, dois quintos do tempo da viagem haviam passado. O tempo que Mario passou dormindo nessa

viagem foi de:

(A) 1h 10min;

(B) 1h 24min;

(C) 1h 32min;

(D) 1h 48min;

(E) 2h 12min.

RESOLUÇÃO:

Mario dormiu 2/5 de 3,5 horas (três horas e meia), ou seja:

Tempo dormindo = (2/5) x 3,5


Aula 00



Tempo dormindo = 2 x 0,7

Tempo dormindo = 1,4 horas

Tempo dormindo = 1 hora + 0,4 x 60 minutos

Tempo dormindo = 1 hora + 24 minutos

Resposta: B

29. FGV – SUDENE/PE – 2013)

Regina fez este ano 50 anos. Ela acredita que um ano é místico quando a soma dos algarismos é 7 ou múltiplo

de 7. Por exemplo, para ela o próximo ano de 2014 será místico. Desde que Regina nasceu até hoje, o número

de anos místicos desse período foi:

(A) 3.

(B) 4.

(C) 5.

(D) 6.

(E) 7.

RESOLUÇÃO:

Se ela fez 50 anos em 2013, então ela nasceu em 2013 – 50 = 1963.

Somando seus algarismos, temos 1 + 9 + 6 + 3 = 19, que não é múltiplo de 7. Em 1964 temos 1 + 9 + 6 + 4 = 20,

que também não é múltiplo de 7. Já em 1965 temos 1 + 9 + 6 + 5 = 21, que é múltiplo de 7. Portanto, 1965 é o

primeiro ano místico. Repare que até 1969 não teremos mais anos místicos, pois vamos apenas somando uma

unidade a mais, e depois de 21 o próximo múltiplo de 7 é 28.

Em 1970 a soma é 1 + 9 + 7 + 0 = 17. Assim, o próximo ano místico é 1974, pois a soma é 21.

Em 1980 a soma é 18, de modo que o próximo ano místico é 1983, cuja soma é 21.

Em 1990 a soma é 19, e o próximo ano místico é 1992, cuja soma é 21. Note ainda que o mesmo ocorrerá em

1999, cuja soma é 28.

Em 2000 a soma é 2, e o próximo ano místico é 2005, cuja soma é 7.

Em 2010 a soma é 3, e o próximo ano místico é somente em 2014, como dito no enunciado.

Assim, ao todo os anos místicos são SEIS: 1965, 1974, 1983, 1992, 1999, 2005.

Resposta: D


Sendo a e b números naturais não nulos, considere as operações e definidas a seguir:


Aula 00



a b = a + b + 1

a b = a x(b+1)

onde + e x são as operações usuais de adição e multiplicação de números naturais, respectivamente. Se a, b e c

são naturais não nulos quaisquer, analise as afirmativas a seguir:

I. 2 1 = 2 1

II. a b = b a

III. a (b c) = (a b) (a c)

Assinale:

(A) se apenas a afirmativa I for verdadeira.

(B) se apenas a afirmativa II for verdadeira.

(C) se apenas as afirmativas I e III forem verdadeiras.

(D) se apenas as afirmativas II e III forem verdadeiras.

(E) se todas as afirmativas forem verdadeiras.

RESOLUÇÃO:

Vamos usar as regras dadas pelo enunciado para calcular cada operação:

a b = a + b + 1

a b = a x(b+1)

2 1 = 2 + 1 + 1 = 4

2 1 = 2 x (1 + 1) = 4

Logo, o item I está correto.

a b = a x (b + 1) = axb + ax1 = ab + a

b a = b x (a + 1) = bxa + bx1 = ab + b

Logo, o item II está errado.

a (b c) = a (b + c + 1) = a x (b + c + 1 + 1) = ab + ac + 2a

(a b) (a c) = (ab + a) (ac + a) = (ab + a + ac + a + 1) = ab + ac + 2a + 1

Logo, o item III está errado.

Resposta: A

31. FGV – DETRAN/MA – 2013)


Aula 00



A figura a seguir mostra uma operação de adição com dois números de três algarismos. Cada letra representa

um algarismo diferente dos que já aparecem, letras iguais representam algarismos iguais e letras diferentes

representam algarismos diferentes.

AB8

BBC

77A

A letra C representa o algarismo:

(A) 3.

(B) 4.

(C) 5.

(D) 6.

(E) 7.

RESOLUÇÃO:

AB8

BBC

77A

Observe que A deve ser menor do que 7, pois na última operação (à esquerda) temos A + B = 7. Da mesma

forma, é preciso que B seja menor do que 7.

Repare ainda na operação do meio, que é B + B. Ela deve dar um número terminado em 7. Como B + B é par, é

preciso que venha 1 unidade da operação 8 + C. Assim, na verdade temos B + B = 6, de modo que B = 3. Ficamos

com:

A38

33C

77A

Na operação da esquerda, note que é preciso ter A = 4, de modo que A + 3 = 7. Até aqui, temos:

438

33C

774

Logo, é preciso ter C = 6, para que 8 + C = 14, ficando o 4 e passando 1 unidade para a próxima conta. De fato:

438

336

774


Aula 00



Resposta: D

32. FGV – POLÍCIA CIVIL/MA – 2012)

Uma companhia de soldados é composta por três pelotões. Em um dia de solenidades em que compareceram

todos os soldados da companhia, os três pelotões estavam formados, cada um deles em forma retangular de 6

colunas com 8 soldados em cada uma delas. Uma formação possível para essa companhia, em forma retangular

única, com exatamente todos os soldados a ela pertencentes é:

(A) 16 colunas, cada uma delas com 9 soldados.

(B) 12 colunas, cada uma delas com 13 soldados.

(C) 10 colunas, cada uma delas com 15 soldados.

(D) 9 colunas, cada uma delas com 18 soldados.

(E) 8 colunas, cada uma delas com 20 soldados.

RESOLUÇÃO:

O número de soldados em cada um dos 3 pelotões é de 6 x 8 = 48. Ao todo, temos 3 x 48 = 144 soldados nos três

pelotões.

Das opções de resposta, apenas a alternativa A contempla 144 soldados, pois 16 x 9 = 144.

Resposta: A

33. FGV – SEFAZ/RJ – 2011)

Quando o número 121 é dividido por um certo divisor, o resto da divisão é 4. Quando o número 349 é dividido

pelo mesmo divisor, o resto da divisão é 11. Quando a soma dos números 121 e 349 é dividida pelo mesmo

divisor, o resto é 2. O valor do divisor é

(A) 15 .

(B) 19 .

(C) 9.

(D) 13 .

(E) 17 .

RESOLUÇÃO:

Quando um número N é dividido pelo divisor D, deixando quociente Q e resto R, podemos dizer que:

N = D x Q + R

Se 121 dividido por D deixa resto 4, podemos dizer que:

121 = D x Q121 + 4


Aula 00



Na equação acima, Q121 é o quociente da divisão de 121 por D. Igualmente, se 349 dividido por D deixa resto 11,

podemos dizer que:

349 = D x Q349 + 11

Somando as equações acima, temos:

121 + 349 = D x Q121 + 4 + D x Q349 + 11

470 = D x (Q121 + Q349) + 15

Pela equação acima, diríamos que a divisão da soma de 121 com 349 (470) por D deixa resto 15. Entretanto, o

enunciado disse que esse resto é de apenas 2. Isso indica que parte do resto 15 também é divisível pelo divisor

D, deixando resto igual a 2. Das alternativas de resposta, vemos que 15 dividido por 13 deixa resto igual a 2.

Portanto, o divisor é D = 13.

Resposta: D

34. FGV – CAERN – 2010)

Analise as afirmativas a seguir:

I – 6 é maior do que 5

2

II – 0,555... é um número racional

III – Todo número inteiro tem um antecessor

Assinale:

Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas

Se somente a afirmativa II estiver correta

Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas

Se somente a afirmativa I estiver correta

Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas

RESOLUÇÃO:

Vamos comentar cada alternativa:


2

Vamos assumir que essa afirmativa é verdadeira e testá-la. Se 5

62

, então, elevando os dois lados ao

quadrado:

( )2

2 56

2


Aula 00



256

4

6 4 25

24 25

Veja que 24 > 25 é um absurdo. Portanto, só se pode concluir uma coisa: 5

62

, ou seja, a alternativa I é falsa.


0,555... ou 0,5 é uma dízima periódica. Como vimos, as dízimas periódicas também são números racionais,

pois podem ser escritos na forma A

B, onde A e B são números inteiros. Essa alternativa está correta.


De fato, todo número inteiro tem um antecessor. Basta visualizar a reta numérica, e veremos que para

cada número inteiro n, existe um número inteiro n-1, que é o seu antecessor:

Assim, essa alternativa também está correta.

Resposta: E.

35. FGV – CODEBA – 2010 – Adaptada)

Sejam a, b e c números inteiros diferentes de zero e a b c

ka b c

= + + . O conjunto de todos os possíveis

valores de k é:

(A) {-3, -1, 0, 1, 3}

(B) {-3, -1, 1, 3}

(C) {3 }.

(D) naturais diferentes de zero.

(E) reais deferentes de zero.

RESOLUÇÃO:

Lembrando que o módulo de um número |a| é igual ao valor absoluto deste número, isto é, tem valor positivo,

vemos que a

a só pode assumir 2 valores:

a

a= 1, se a for maior que zero. Ex.:

5 51

5 5= =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1


Aula 00



a

a= -1, se a for menor que zero. Ex.:

5 51

5 5

−= = −

− −

Portanto, tanto a

a como

b

b como

c

c podem assumir o valor 1 ou -1. Se os três forem 1, temos:

k = 1 + 1 + 1 = 3

Se os três forem -1, temos:

k = -1 + (-1) + (-1) = -3

Já se dois forem iguais a 1 e apenas um for igual a -1, temos k = 1. E se dois forem iguais a -1 e apenas 1 for igual

a 1, temos k = -1.

Portanto, os valores possíveis para k são { -3, -1, 1, 3}.

Resposta: B

36. FGV – SENADO – 2008)

Uma lesma está no fundo de um poço com 12m de profundidade. Durante o dia ela sobe 5m e, à noite,

escorrega 3m. O número de dias necessários para ela sair do poço é:

(A) 5.

(B) 6.

(C) 7.

(D) 8.

(E) 10.

RESOLUÇÃO:

Se a lesma sobe 5m e escorrega 3, o valor “líquido” que ela sobe por dia é:

V = 5 – 3 = 2m

A uma primeira vista, você poderia marcar a letra B (6 dias), afinal 6 x 2m = 12m. Entretanto, repare que no final

do 4º dia a lesma já subiu 8m. No 5º dia, ela subirá 5m, atingindo 13m (isto é, já saindo do poço). Normalmente

ela escorregaria 3m, retornando à posição 10m. Como ela já saiu do poço, isso não mais se aplica.

Resposta: A

37. FGV – Senado Federal – 2008)

Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo.


Aula 00



O valor de A + B + C é:

(A) 10.

(B) 11.

(C) 12.

(D) 13.

(E) 14.

RESOLUÇÃO:

Observe nesta multiplicação que o algarismo C, quando multiplicado por 3, tem como resultado um número

terminado em 4. Sabendo disso, só há uma possibilidade para C: ele deve ser o 8, pois 8x3 = 24.

Portanto, ao multiplicar C=8 por 3, colocamos o algarismo 4 no resultado. O algarismo das dezenas de 24 (o 2)

deve ser somado ao resultado da multiplicação de B por 3, tendo como resultado um número terminado em

C=8. Veja que o único algarismo que multiplicado por 3 termina em um número com final 6 (que, somado com

2, leva ao número 8) é o algarismo B=2.

Multiplicando A por 3, devemos ter como resultado um número terminado em B=2. A única possibilidade é que

A seja igual a 4, pois 4x3 = 12. Assim, temos A = 4, B = 2 e C = 8. Veja que, de fato:

1428

x3

4284

Portanto, A + B + C = 14.

Resposta: E

38. FGV – PREF. CAMPINAS – 2008)

Marcelo coleciona lápis. O número de lápis que Marcelo possui é maior que 150 e menor que 200. Ele possui

também muitas caixas, todas iguais, e experimenta guardar seus lápis nessas caixas. Colocando 8 lápis em cada

caixa, sobra 1 lápis. Colocando 11 em cada caixa, sobram 6 lápis. Então, colocando 10 lápis em cada caixa,

sobrarão:

(A) 2 lápis.

(B) 3 lápis.

(C) 5 lápis.


Aula 00



(D) 7 lápis.

(E) 8 lápis.

RESOLUÇÃO:

Sendo L o número de lápis, temos que 150 < L < 200.

Se dividirmos por 8, o resto é 1. Os números entre 150 e 200 que, divididos por 8, deixam resto 1, são 153, 161,

169, 177, 185 e 193 (basta você descobrir o primeiro e ir somando 8).

Se dividirmos L por 11, o resto é 6. Entre 150 e 200, os números que deixam resto 6 ao serem divididos por 11

são: 160, 171, 182 e 193 (novamente, basta descobrir o primeiro e ir somando 11).

Veja que apenas o número 193 é comum a ambos os casos. Portanto, temos 193 lápis. Dividindo por 10, temos

quociente 19 e resto 3 (conforme a letra B).

Resposta: B

Fim de aula. Até o próximo encontro! Abraço,

Prof. Arthur Lima


Aula 00



Lista de questões


Na igualdade 3

5 +

3

20 +

3

25 =

x


A) 59

B) 65

C) 77

D) 83

E) 87


O resultado da operação 5 + 3 x 7 – 4 é:

(A) 14.

(B) 22.

(C) 24.

(D) 28.

(E) 52.

3. FGV – IBGE – 2017)

Uma corda de 7 metros e 20 centímetros de comprimento foi dividida em três partes iguais. O comprimento de

cada parte é:

(A) 2 metros e 40 centímetros;

(B) 2 metros e 50 centímetros;

(C) 2 metros e 60 centímetros;

(D) 2 metros e 70 centímetros;

(E) 2 metros e 80 centímetros.

4. FGV – IBGE – 2017)

O valor da expressão 2.(1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7– ... + 2015 – 2016 + 2017) é:

(A) 2014;

(B) 2016;


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(C) 2018;

(D) 2020;

(E) 2022.

5. FGV – IBGE – 2017)

Suponha que a#b signifique a - 2b.

Se 2#(1#N) =12, então N é igual a:

(A) 1;

(B) 2;

(C) 3;

(D) 4;

(E) 6.

6. FGV – IBGE – 2017)

Em certo concurso inscreveram-se 192 pessoas, sendo a terça parte, homens. Desses, apenas a quarta parte

passou. O número de homens que passaram no concurso foi:

(A) 12;

(B) 15;

(C) 16;

(D) 18;

(E) 20.

7. FGV – SEPOG/RO – 2017)

Altair tem uma barraca de peixes no mercado e, certo dia, começou sua venda com 24 tambaquis, todos de

mesmo peso. De manhã vendeu a terça parte por 13 reais cada um e, de tarde, reduziu o preço para 9 reais cada

peixe e acabou vendendo todos. Nesse dia, Altair arrecadou a quantia de

(A) 232 reais.

(B) 236 reais.

(C) 240 reais.

(D) 244 reais.

(E) 248 reais.


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8. FGV – MP/BA – 2017)

Gastão comprou quatro latas de refrigerante. Cada lata custou R$ 2,60 e Gastão pagou com uma nota de R$

20,00. Gastão tem que receber um troco de:

(A) R$ 8,40;

(B) R$ 8,60;

(C) R$ 8,80;

(D) R$ 9,40;

(E) R$ 9,60.

9. FGV – SEE/PE – 2016)

Dados os números: a = 0,34; b = 0,4; c = 0,19 e d = 0,312, a diferença entre o maior desses números e o menor

deles é

(A) 0,15.

(B) 0,21.

(C) 0,293.

(D) 0,308.

(E) 0,31.

10. FGV – SEE/PE – 2016)

O número de três algarismos: n = 68D é primo. O algarismo D, das unidades, é

(A) 1.

(B) 3.

(C) 5.

(D) 7.

(E) 9

11.FGV – CODEBA – 2016)

Durante três dias, o capitão de um navio atracado em um porto anotou a altura das marés alta (A) e baixa (B),

formando a tabela a seguir.


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(A) 1,0.

(B) 1,1.

(C) 1,2.

(D) 1,3.

(E) 1,4.

12. FGV – SME/SP – 2016)

Em algumas expressões numéricas, é possível economizar parênteses, colchetes ou chaves sem alterar o

resultado.

7² – {[3 x (100 – 4)] + 10}.

Assinale a opção que indica a expressão numérica com mesmo resultado da expressão acima.

a) 7² – 3 x 100 – 4 + 10

b) 7² – 3 x 100 – 4 – 10

c) 7² – 3 x 100 – 3 x 4 + 10

d) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 – 10

e) 7² – 3 x 100 + 3 x 4 + 10

13. FGV – SEE/PE – 2016)

Consultando os dados do último censo demográfico, Ana, ao anotar a população de sua cidade, trocou o

algarismo das dezenas com o algarismo das unidades. Sabe-se que a diferença entre a população correta e a

população anotada por Ana é um número compreendido entre 50 e 60. A diferença citada é

(A) 52.

(B) 54.

(C) 55.

(D) 56.

(E) 57.


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14. FGV – SEE/PE – 2016)

Paula escreveu um número inteiro três vezes e um outro número inteiro quatro vezes. A soma dos sete números

é 200 e um dos números é 36. O outro número é

(A) 56.

(B) 42.

(C) 32.

(D) 26.

(E) 23.

15. FGV – CODEBA – 2016)

Fernanda tem cinco filhas. Algumas das filhas de Fernanda também têm cinco filhas e as outras não têm filha

alguma. No total, Fernanda tem 20 filhas e netas e nenhuma bisneta. O número de filhas e netas de Fernanda

que não têm filhas é

(A) 10.

(B) 12.

(C) 15.

(D) 17.

(E) 18.

16. FGV – CODEBA – 2016)

Hércules recebe R$ 65,00 por dia normal de trabalho e mais R$ 13,00 por hora extra. Após 12 dias de trabalho,

Hércules recebeu um total de R$ 845,00. Sabendo que Hércules pode fazer apenas uma hora extra por dia, o

número de dias em que Hércules fez hora extra foi

(A) 1.

(B) 3.

(C) 5.

(D) 7.

17. FGV – CODEBA – 2016)

Para quaisquer números reais diferentes x e y, representemos por M(x, y) o maior entre x e y e por m(x, y) o

menor entre x e y. Sejam a, b, c, d, e números reais tais que a b c d e . O valor de M(m(b,d),m(M(a,e),c)) é

(A) a.


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(B) b.

(C) c.

(D) d.

(E) e.

18. FGV – CODEBA – 2016)

Certo dia, por causa do engarrafamento, João demorou 4 horas para fazer um percurso que, normalmente, leva

um quinto desse tempo. Normalmente, João faz esse percurso em

(A) 45 minutos.

(B) 48 minutos.

(C) 1 hora e 05 minutos.

(D) 1 hora e 12 minutos.

(E) 1 hora e 20 minutos.

19. FGV – CODEBA – 2016)

Uma sequência de números inteiros positivos é formada seguindo três regras. A partir de um número inteiro

positivo, aplica-se a regra adequada a ele para se obter o segundo termo da sequência. Para cada novo termo

obtido, aplica-se a regra adequada a ele para se obter o termo seguinte. As três regras são:

Regra 1: se o inteiro é menor ou igual a 9, multiplique-o por 7;

Regra 2: se o inteiro é maior do que 9 e par, divida-o por 2;

Regra 3: se o inteiro é maior do que 9 e ímpar, subtraia 5 dele.

Na sequência cujo primeiro termo é 16, tem-se que

(A) o quinto termo é 7.

(B) o sexto termo é 14.

(C) o sétimo termo é 49.

(D) o oitavo termo é 22.

(E) o nono termo é 44

20. FGV – CODEBA – 2016)

Quatro máquinas mantêm uma indústria em operação, sem interrupções, 24 horas por dia, 7 dias na semana.

Das quatro máquinas, há sempre três em operação e uma em manutenção. Nos últimos 30 dias, a manutenção


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foi feita de tal maneira que as quatro máquinas ficaram em operação o mesmo número de horas. Nos últimos

30 dias, o número de horas que cada máquina ficou em operação foi

(A) 180.

(B) 240.

(C) 360.

(D) 480.

(E) 540.

21. FGV – CODEBA – 2016)

João e Maria estão em uma fila e Maria está à frente de João. Há 8 pessoas à frente de Maria, e 14 pessoas atrás

dela. Há 7 pessoas atrás de João. O número de pessoas que está à frente de João é

(A) 13.

(B) 14.

(C) 15.

(D) 16.

(E) 17.

22. FGV – IBGE – 2016)

A distância da Terra ao Sol é de 150 milhões de quilômetros e esse valor é chamado de “1 unidade astronômica”

(1UA). A estrela Sírius, a mais brilhante do céu, está a 81 trilhões de quilômetros do Sol. A distância de Sírius ao

Sol em UA é:

(A) 5.400;

(B) 54.000;

(C) 540.000;

(D) 5.400.000;

(E) 54.000.000.

23. FGV – DPE/MT – 2015)

Sabe-se que o número 3 2

4 3

x x− é um número inteiro. Sobre o número x conclui-se que

(A) é um número par mas não necessariamente múltiplo de 3.


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(B) é um múltiplo de 3 mas não necessariamente um número par.

(C) é negativo.

(D) é um múltiplo de 6.

(E) é um múltiplo de 4 mas não necessariamente um múltiplo de 6.

24. FGV – DPE/MT – 2015)



(A) 70.

(B) 77.

(C) 84.

(D) 91.

(E) 98.

25. FGV – DPE/RO – 2015)

O avô de João fará 90 anos e no dia do aniversário, como presente, João dará ao seu avô exatamente 90

bombons. Os bombons preferidos do avô de João são vendidos em caixas com 6 bombons e em caixas com 8

bombons. O menor número possível de caixas de bombons que João poderá comprar é:

(A) 10;

(B) 11;

(C) 12;

(D) 13;

(E) 14.

26. FGV – PREFEITURA DE NITERÓI – 2015)

Uma máquina é capaz de imprimir e encadernar cada exemplar de um determinado livro em 2min45s.

Trabalhando continuamente, o tempo que essa máquina levará para imprimir e encadernar 100 livros é:

(A) 3h45min;

(B) 3h55min;

(C) 4h15min;

(D) 4h25min;


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(E) 4h35min.

27. FGV – DPE/MT – 2015)



(A) 70.

(B) 77.

(C) 84.

(D) 91.

(E) 98.

28. FGV – TJRJ – 2014)

Mario fez uma viagem de ônibus que durou três horas e meia. Assim que o ônibus partiu, Mario dormiu. Quando

acordou, dois quintos do tempo da viagem haviam passado. O tempo que Mario passou dormindo nessa

viagem foi de:

(A) 1h 10min;

(B) 1h 24min;

(C) 1h 32min;

(D) 1h 48min;

(E) 2h 12min.


Regina fez este ano 50 anos. Ela acredita que um ano é místico quando a soma dos algarismos é 7 ou múltiplo

de 7. Por exemplo, para ela o próximo ano de 2014 será místico. Desde que Regina nasceu até hoje, o número

de anos místicos desse período foi:

(A) 3.

(B) 4.

(C) 5.

(D) 6.

(E) 7.


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Sendo a e b números naturais não nulos, considere as operações e definidas a seguir:

a b = a + b + 1

a b = a x(b+1)

onde + e x são as operações usuais de adição e multiplicação de números naturais, respectivamente. Se a, b e c

são naturais não nulos quaisquer, analise as afirmativas a seguir:

I. 2 1 = 2 1

II. a b = b a

III. a (b c) = (a b) (a c)

Assinale:

(A) se apenas a afirmativa I for verdadeira.

(B) se apenas a afirmativa II for verdadeira.

(C) se apenas as afirmativas I e III forem verdadeiras.

(D) se apenas as afirmativas II e III forem verdadeiras.

(E) se todas as afirmativas forem verdadeiras.

31. FGV – DETRAN/MA – 2013)

A figura a seguir mostra uma operação de adição com dois números de três algarismos. Cada letra representa

um algarismo diferente dos que já aparecem, letras iguais representam algarismos iguais e letras diferentes

representam algarismos diferentes.

AB8

BBC

77A

A letra C representa o algarismo:

(A) 3.

(B) 4.

(C) 5.

(D) 6.

(E) 7.

32. FGV – POLÍCIA CIVIL/MA – 2012)


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Uma companhia de soldados é composta por três pelotões. Em um dia de solenidades em que compareceram

todos os soldados da companhia, os três pelotões estavam formados, cada um deles em forma retangular de 6

colunas com 8 soldados em cada uma delas. Uma formação possível para essa companhia, em forma retangular

única, com exatamente todos os soldados a ela pertencentes é:

(A) 16 colunas, cada uma delas com 9 soldados.

(B) 12 colunas, cada uma delas com 13 soldados.

(C) 10 colunas, cada uma delas com 15 soldados.

(D) 9 colunas, cada uma delas com 18 soldados.

(E) 8 colunas, cada uma delas com 20 soldados.

33. FGV – SEFAZ/RJ – 2011)

Quando o número 121 é dividido por um certo divisor, o resto da divisão é 4. Quando o número 349 é dividido

pelo mesmo divisor, o resto da divisão é 11. Quando a soma dos números 121 e 349 é dividida pelo mesmo

divisor, o resto é 2. O valor do divisor é

(A) 15 .

(B) 19 .

(C) 9.

(D) 13 .

(E) 17 .

34. FGV – CAERN – 2010)

Analise as afirmativas a seguir:


2



Assinale:

Se somente as afirmativas I e III estiverem corretas

Se somente a afirmativa II estiver correta

Se somente as afirmativas I e II estiverem corretas

Se somente a afirmativa I estiver correta

Se somente as afirmativas II e III estiverem corretas


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35. FGV – CODEBA – 2010 – Adaptada)

Sejam a, b e c números inteiros diferentes de zero e a b c

ka b c

= + + . O conjunto de todos os possíveis

valores de k é:

(A) {-3, -1, 0, 1, 3}

(B) {-3, -1, 1, 3}

(C) {3 }.

(D) naturais diferentes de zero.

(E) reais deferentes de zero.

36. FGV – SENADO – 2008)

Uma lesma está no fundo de um poço com 12m de profundidade. Durante o dia ela sobe 5m e, à noite,

escorrega 3m. O número de dias necessários para ela sair do poço é:

(A) 5.

(B) 6.

(C) 7.

(D) 8.

(E) 10.

37. FGV – Senado Federal – 2008)

Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo.

O valor de A + B + C é:

(A) 10.

(B) 11.

(C) 12.

(D) 13.


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(E) 14.

38. FGV – PREF. CAMPINAS – 2008)

Marcelo coleciona lápis. O número de lápis que Marcelo possui é maior que 150 e menor que 200. Ele possui

também muitas caixas, todas iguais, e experimenta guardar seus lápis nessas caixas. Colocando 8 lápis em cada

caixa, sobra 1 lápis. Colocando 11 em cada caixa, sobram 6 lápis. Então, colocando 10 lápis em cada caixa,

sobrarão:

(A) 2 lápis.

(B) 3 lápis.

(C) 5 lápis.

(D) 7 lápis.

(E) 8 lápis.


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Gabarito 1. E

2. B

3. A

4. C

5. C

6. C

7. E

8. E

9. B

10. B

11. B

12. D

13. B

14. E

15. D

16. C

17. C

18. B

19. C

20. E

21. C

22. C

23. D

24. B

25. C

26. E

27. B

28. B

29. D

30. A

31. D

32. A

33. D

34. E

35. B

36. A

37. E

38. B


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Resumo direcionado

CONJUNTO DEFINIÇÃO EXEMPLOS OBSERVAÇÕES

Números Naturais

(N)

Números positivos

construídos com os

algarismos de 0 a 9,

sem casas decimais

N = {0, 1, 2, 3 …} Lembrar que o zero não é

positivo nem negativo, mas está

incluído aqui.

Números Inteiros

(Z)

Números naturais

positivos e negativos

Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} Subconjuntos:

Não negativos: {0, 1, 2...}

Não positivos: {..., -2, -1, 0}

Positivos: {1, 2, 3...}

Negativos: { …-3, -2, -1}

Números

Racionais (Q)

Podem ser

representados pela

divisão de 2 números

inteiros

Frações: , ;

Números decimais de

representação finita. Ex.:

1,25 (igual a )

As dízimas periódicas são

números racionais. Ex.:

0,333333... ou ou

Números Naturais:

• Sucessor: é o próximo número natural.

• Antecessor: é o número natural anterior.

• Números consecutivos: são números em sequência, como {n-1, n e n+1}

• Números naturais pares: podem ser representados sempre na forma 2.n

• Números naturais ímpares: podem ser representados na forma 2n+1

Números Inteiros:

• todos os números Naturais são também Inteiros;

• zero não é positivo e nem negativo, e sim nulo;

SINAIS NA MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

- números de mesmo sinal: resultado positivo

- números de sinais diferentes: resultado negativo

Dividendo = Divisor x Quociente + Resto


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Números Racionais:

• Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o mesmo denominador, isto é, com

um denominador comum. Para mudar o denominador, lembre que o mesmo número utilizado para

multiplicar o denominador deve ser usado para multiplicar o numerador. Igualados os

denominadores, devemos somar os numeradores e manter o denominador.

• Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo numerador da outra, e o

denominador de uma pelo denominador da outra.

• Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da segunda.

Podemos simplificar frações dividindo o numerador e o denominador pelo MESMO número

• Se o numerador e o denominador são primos entre si, a fração é irredutível

Trabalhando com frações, podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação

Expressões Numéricas:

1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves.

2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações

de soma ou subtração.

Se tivermos operações equivalentes (somas/subtrações, ou multiplicações/divisões) em sequência,

devemos resolvê-las na ordem que aparecem.

• um número é divisível por outro quando esta divisão é exata, não deixando resto nem casas decimais.

Divisor* Critério Exemplos

1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...

2 Números pares (terminados em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc.

3 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 3 0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6), etc.

Números racionais

Frações

Decimais (finitos)

Dízimas


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4 Se o número formado pelos 2 últimos dígitos for

divisível por 4 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc.

5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc.

6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15) etc.

9 Números cuja soma dos algarismos é divisível por 9 126 (1+2+6 = 9), 7155 (7+1+5+5=18) etc.

10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc.

*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, e praticamente não são cobrados.

• um número é primo quando ele só pode ser dividido, sem deixar resto, por 1 e por si mesmo;

• o 2 é o menor número primo, e é o único número primo par;

• primeiros números primos:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...}

• fatoração é o processo utilizado para escrever qualquer número natural como sendo a multiplicação entre

números primos;

PASSOS PARA CALCULAR O MMC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA):


2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e aumentar quando NENHUM dos números puder ser dividido;

LEMBRANDO QUE:

a) Se algum dos números não puder ser dividido, basta copiá-lo para a próxima linha;

b) O objetivo é fazer com que todos os números cheguem ao valor 1;


CÁLCULO DO MMC – FATORAÇÃO SEPARADA DE CADA NÚMERO

1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos;

2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS E NÃO COMUNS dos dois números, de MAIOR expoente.

• o MMC estará presente naquelas questões que nos apresentam “fenômenos” que ocorrem com frequências

diferentes, e queremos saber quando eles ocorrerão juntos


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PASSOS PARA CALCULAR O MDC (FATORAÇÃO SIMULTÂNEA):


2 – Começar a divisão dos números pelo menor fator primo (2) e só utilizar fatores capazes de dividir TODOS os números;

LEMBRANDO QUE:

a) Se algum dos números não puder ser dividido, devemos passar para o próximo fator primo;

b) Quando não houver um fator primo capaz de dividir todos os números, devemos parar o cálculo;


CÁLCULO DO MDC (FATORAÇÃO SEPARADA):

1 - Decompor cada um dos números em fatores primos;

2 - O MDC será formado pela multiplicação dos fatores COMUNS de MENOR expoente;

o máximo divisor comum é útil em situações onde temos grupos de coisas diferentes e queremos DIVIDIR os

elementos de cada grupo usando um mesmo fator.

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