Aula 01 Modelagem de Sistemas Mecnicos de Translao Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 1 INTRODUO AOS SISTEMAS DE CONTROLE / TEORIA DE CONTROLE AULA 01 MODELAGEM DE SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLAO O processo de modelagem uma etapa de grande importncia no estudo de sistemas de controle. A modelagem responsvel pro traduzir os elementos do mundo real em termos matemticos, ou seja, realizaroequacionamentoresponsvelpordescreveradinmicadosistemaemestudo.Durante nossocursoiremosestudarapenasamodelagemdesistemasmecnicoseeltricos,porm, possvel modelar qualquer tipo de sistema, como por exemplo, sistemas trmicos e hidrulicos (uma boa referncia de estudo para esses tipos de sistema o livro Engenharia de Controle Moderno, do autor Katsuhiko Ogata). Nesta aula iremos abordar o processo de modelagem de sistemas mecnicos, para tal utilizaremos o mtodo de Newton. de grande importncia ressaltar que existem diversas formas de se realizar o processodemodelagemequeabordagensdistintaspodemserobservadasdependendoda bibliografia de referncia. 1.NOTAES Primeiramente,comobjetivodemanterumacomunicaoclaraeobjetiva,faz-senecessrio estabelecerumanotaocomum.Asprincipaisvariveisutilizadasnamodelagemdesistemas mecnicos so: -x, posio [m]; -v, velocidade [m/s]; -a, acelerao [m/s2]; -f, fora [N]. Para facilitar e resumir a notao comum representar a velocidadev porx , uma vez que dxvdt= . Analogamente a acelerao a representada porx , uma vez que 22dxadt= . 2.REPRESENTAES GRFICAS Tambmdegrandeimportnciaestabelecerumpadrodecomunicaogrfico.Qualquer dispositivomecnicopodeserrepresentado,basicamente,portrselementos:Massa,Molae Amortecedor.ATabela1 apresentaarepresentaogrficadecadaumdesseselementosalmde outras situaes que geralmente iro aparecer em nossos exerccios. Aula 01 Modelagem de Sistemas Mecnicos de Translao Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 2 Tabela 1: Representao grfica dos elementos utilizados na modelagem de sistemas mecnicos SmboloDescrio Fora [N] Massa [kg] Mola de constante k [N/m]. Gera uma fora proporcional e em sentido contrrio ao deslocamento x, dada por kf k x = Amortecedor de constante viscosa b [N.s/m]. Gera uma fora proporcional e em sentido contrrio a velocidadex , dada por bf bx = Bloco de massa m com deslocamento sem atrito Bloco de massa m com deslocamento com atrito viscoso de constante b. O atrito tambm responsvel por gerar uma fora proporcional e em sentido contrrio a velocidadex , dada por bf bx = Referncia de sentido de deslocamento positivo 3.MODELAGEM DE SISTEMAS MECNICOS DE TRANSLAO Paraseobteromodelomatemticodeumsistemamecnicorecomendorealizarastrsetapasa seguir: 1.DCL(DiagramadeCorpoLivre):etapaparaidentificartodasasforaspresentesno sistema em estudo; 2.LeisdosElementos:etapaparadescrevertodasasforaspresentesnoselementosem estudo (massa, mola e amortecedor); 3.Leis de Interconexo: etapa para relacionar todas as foras presentes no sistema em estudo com objetivo de obter a EDM (Equao Diferencial do Movimento). fmkbmbmxmAula 01 Modelagem de Sistemas Mecnicos de Translao Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 3 Comobjetivodeapresentaraaplicaodastrsetapasapresentadasacimanoprocessode modelagemdeumsistemamecnicodetranslaoiremosmodelarosistemaMassa-Mola-Amortecedor. EXEMPLO 1: Obter a EDM do sistema Massa-Mola-Amortecedor apresentado na Figura 1. Figura 1 : Sistema Massa-Mola-Amortecedor PrimeiramenteantesdeiniciarmosacriaodoDCL vamos identificar os elementos presentes no sistema. Como podemos observar possumos um bloco de massam que se deslocasematrito,umaforafresponsvelporfornecer "energia"aosistema,umamolaeumamortecedor responsveisporgerarforascontrriasadireodo movimento(nesteexercciofoiadotadaarbitrariamente comosentidopositivoosentidodaesquerdaparadireita como apresentado na seta de referncia). ETAPA 1: DCL Nesta etapa deve ser desenhado o corpo em estudo, bloco de massa m, e nele ser colocado todas as foras presentes no sistema, inclusive as fora externa. O DCL do exemplo encontra-se na Figura 2. Figura 2: DCL do sistema Massa-Mola-Amortecedor Obs.:As foras f, fk e fb eram esperadas, porm, a fora fitambmaparecenoDCL.Aforaficorrespondea fora de inrcia, um artifcio que reduz os erros durante o processo de modelagem (comprovado pelo autor deste trabalho ao longo dos anos lecionando esta disciplina). Aforafiexpressapor if ma = epossuisentidocontrrioaodomovimento,nocasodo exemplo, para a esquerda (mesmo sentido das forasfk e fb). Finalizado o DCL pode-se se iniciar a prxima etapa. ETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOS Nestaetapadeve-selistartodasasforaspresentesnosistemaeescreverasequaesques descrevem.Obs.:Nonecessriolistaraforaexternaf,umavezqueestavistacomouma constante, ou melhor, uma entrada como ser visto em aulas futuras.A seguir soapresentadas as equaes que descrevem cada uma das foras: Depossedetodasasequaespode-sepassarparaaprximaetapaqueconsisteemestabelecer uma relao entre cada uma das foras e suas respectivas equaes. mkbxfvi. kf k x = (fora gerada pela mola) vii. bf bx =(fora gerada pelo amortecedor) viii. if mx = (fora de inrcia) Aula 01 Modelagem de Sistemas Mecnicos de Translao Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 4 ETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXO Uma maneira de se relacionar todas as foras pode-se dar por meio da Lei de D'Lambert que nos fornece que em um corpo de massa constante o somatrio de foras externas igual ao produto da massa e da acelerao do corpo, ou seja: ( )extiif Mx = ComoemnossoDCLjconsideramosaforadeinrciafi,tambmchamadadeForade D'Lambert, apenas faz-se necessrio igualar o somatrio de foras zero0iif| |= |\ .. Adotando foras no sentido esquerda para direita como sendo positivas, no nosso exemplo temos: 0i b kf f f f =Substituindo i, ii e iii obtidos na Etapa 2, temos: f mx bx kx = + +Esta equao a EDM do problema em estudo e ser utilizada futuramente para se obter a Funo de Transferncia do mesmo problema. EXEMPLO2:ObteraEDMdosistemaMassa-Molaquesemovimentacomatritoapresentadona Figura 3. Figura 3: Sistema Massa-Mola com atrito Este exemplo similar ao exemploanterior, uma vez que oatritotambmmodeladocomoumamortecedor. Assim como o amortecedor o atrito trabalha se opondo ao movimento,ouseja,geraumaforacontrriaaosentido do movimento. Diferentementedoexemploanterior,nesteexemplo apenas ser apresentado a soluo de cada uma das etapas, ficandoacargodoleitorainterpretao,devidoo processo de resoluo ser idntico ao do Exemplo 1. ETAPA 1: DCLETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOSETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXO i. kf k x = ii. bf bx = iii. if mx = 0i b kf f f f =f mx bx kx = + +ComopodemosobservaraEDMobtidanoExemplo2idnticadoExemplo1istodeve-seao fato dos dois sistemas serem equivalentes ou anlogos. extremamente comum uma mesma EDM representarsistemasdistintos,estaanalogiaaproveitadanamodelagemdesistemastrmicose hidrulicos. mkxfbmffkfifbAula 01 Modelagem de Sistemas Mecnicos de Translao Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 5 EXEMPLO 3: Obter a EDM do sistema apresentado na Figura 4. Figura 4: Sistema com dois blocos interligados Comopode-seobservarnesteexemplo possumosdoiscorposinterligados,isto implicaemumainteraoentreosdois corposquedeverserconsiderada.Uma vezqueexistemdoiscorpostambmser necessrioelaborardoisDCL,umpara cadacorpoemestudo.Oselementosque interligamosdoiscorpos(molae amortecedor)geramforasquedevem aparecer nos DCL dos dois corpos. ETAPA 1: DCL Um ponto de grande importncia que deve ser considerado antes de se iniciar a construo do DCL refere-se aos deslocamentos x1 e x2. Deve-se adotar qual dos dois deslocamentos maior, ou seja, determinarseoblocom2puxaoblocom1ouseoblocom2empurradopeloblocom1.Oautor destetrabalhoparticularmenteprefereadotar 2 10 x x > > ,fazendocomqueoblocom2puxeo bloco m1, uma vez que a nica fora externa esta ligado ao corpo 2. Cabe ressaltar que a escolha de umaconfiguraodiferentenointerferenoresultadodamodelagem,desdequesemantenhaa coerncia durante todo o processo de modelagem. Adotando 2 10 x x > > , temos: Pode-seobservarqueosnos doiscorposforamadicionadas asforasdeinrcia(fi1efi2), bemcomoasforasfk2efb aparecem nos dois corpos. De posse dos dois DCL pode-se prosseguir para a prxima etapa. ETAPA 2: LEIS DOS ELEMENTOS Deformaanlogaaorealizadonosoutrosdoisexemploslista-setodasasforaspresentesno sistema e escreve-se as equaes que s descrevem. Umaatenodeveserdadasequaesiiieiv,comopode-seobservaremvezdeapenasum deslocamento ou uma velocidade, temos uma diferena de deslocamento( )2 1x x e de velocidade m1k1x1m2fk2bx2m1fk2fk1fi1fbm2ffk2fi2fbi. 1 1 1 kf k x = ii. 1 1 1 if m x = iii.( )2 2 2 1 kf k x x = iv.( )2 1 bf bx x = v. 2 2 2 if m x = Aula 01 Modelagem de Sistemas Mecnicos de Translao Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 6 ( )2 1x x .Istodeve-seaofatoquesaparecerforasentreoscorposcasoumdoscorposse desloquemaisqueooutro,ouseja,existaummovimentorelativoentreoscorpos.Atenoesta situao muito comum e deve-se analisar cuidadosamente cada caso (exerccio) e no decorar que entredoiscorposdeve-seutilizaradiferena( )2 1x x ,umavezqueestadevesercompatvels consideraesadotadasbemcomoadinmicadosistema,estaamaiorfontedeerrosno processo de modelagem. ETAPA 3: LEIS DE INTERCONEXO Assimcomonosexemplosanterioresdeve-seestabelecerumarelaoentreasforas,anica diferenanesteexemplodeve-seaofatodesernecessrioaplicaraLeideD'Lambertparacada corpo, obtendo assim um EDM para cada corpo, como apresentado a seguir. Corpo m1 Corpo m2 2 1 10k b i kf f f f + =( ) ( )2 1 2 2 1 1 1 1 1bx x k x x m x k x + = +2 2 2 1 1 1 1 1 2 1bx k x m x bx k x k x + = + + + ( I ) 2 20i b kf f f f =( ) ( )2 2 2 1 2 2 1f m x bx x k x x = + + 1 2 1 2 2 2 2 2f bx k x m x bx k x + + = + + ( II ) 4.CONSIDERAES FINAIS Omtodoapresentadonestaaulaapenasumasugesto,aosolhosdoautordestetrabalho,este mtodo eficaz do ponto de vista de reduzir o nmero de erros durante o processo de modelagem, istodeve-seaofatodecadaumadas etapasconduziroleitor aumasoluoorganizadaesucinta. Aoseadquirirprticanoprocessodemodelagem,pode-seeliminaroprocessoemetapas,porm, nestemomentoinicialdoestudooautordestetrabalhoponderaserimportanteseguiromtodo sugerido.Oprocessodemodelagemapesardeaparentarsersimplesnecessitademuitaatenoe prticasendonecessriotreinar,paratalsugeridoalgunsexercciosnaseqncia,casosintaa necessidade de praticar mais, recorra a literatura especializada.5.EXERCCIOS DE FIXAO Obter a EDM dos sistemas a seguir: a) b) mkb1xfb2m1k1x1m2fk2b2x2b1b3Aula 01 Modelagem de Sistemas Mecnicos de Translao Prof. MSc Eng. Anderson Harayashiki Moreira 7 c) d) e) mkb1xfm1x1m2fk2b2x2kb1m1b1b2k1m2k2x2fb3x1