Aula 03 - Vetores

PR-VESTIBULARLIVRO DO PROFESSOR

FSICA

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2006-2008 IESDE Brasil S.A. proibida a reproduo, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorizao por escrito dos autores e do detentor dos direitos autorais.

Produo Projeto e Desenvolvimento Pedaggico

Disciplinas Autores

Lngua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales Mrcio F. Santiago Calixto Rita de Ftima BezerraLiteratura Fbio Dvila Danton Pedro dos SantosMatemtica Feres Fares Haroldo Costa Silva Filho Jayme Andrade Neto Renato Caldas Madeira Rodrigo Piracicaba CostaFsica Cleber Ribeiro Marco Antonio Noronha Vitor M. SaquetteQumica Edson Costa P. da Cruz Fernanda BarbosaBiologia Fernando Pimentel Hlio Apostolo Rogrio FernandesHistria Jefferson dos Santos da Silva Marcelo Piccinini Rafael F. de Menezes Rogrio de Sousa Gonalves Vanessa SilvaGeografia DuarteA.R.Vieira Enilson F. Venncio Felipe Silveira de Souza Fernando Mousquer

I229 IESDE Brasil S.A. / Pr-vestibular / IESDE Brasil S.A. Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2008. [Livro do Professor]

732 p.

ISBN: 978-85-387-0576-5

1. Pr-vestibular. 2. Educao. 3. Estudo e Ensino. I. Ttulo.

CDD 370.71


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04

Tpicos de cinemtica

vetorial: vetor posio,

deslocamento e acelerao

Algumas grandezas fsicas, para que fiquem completamente definidas, necessitam, alm de um nmero e de uma unidade de medida, informaes referentes a direo e sentido. Essas grandezas so chamadas de vetoriais e so representadas por entes matemticos conhecidos por vetores. Teremos neste tpico uma rpida introduo ao estudo dos vetores.

Grandezas escalares Certas grandezas fsicas como comprimento,

massa, tempo, temperatura, rea, volume e outras, ficam perfeitamente definidas por um nmero (inten-sidade ou mdulo) e uma unidade de medida. Essas grandezas so denominadas grandezas escalares.

Quando, por exemplo, dizemos que o compri-mento de nossa rua de 35m, conseguimos transmitir uma ideia completa a quem nos ouve; nada mais h o que indagar, pois foram fornecidos um nmero, que o mdulo ou intensidade da grandeza comprimento (35) e uma unidade de medida (metro).

Grandezas vetoriais Quando algum se desloca de uma posio para

outra, no basta dizer que percorreu, por exemplo,

50m. Para que a ideia fique completa, h necessidade de se especificar alm do mdulo (50) e da unidade de comprimento (m) tambm a direo e o sentido em que o deslocamento se realizou.

Quando um corpo sofre um deslocamento de uma posio A para uma posio B, essa mudana de posio definida pelo segmento orientado AB, que une a posio inicial A posio final B, como mostra a figura a seguir:

Mdulo: AB = 50m

Direo: 20 com a horizontalSentido: de A para B

As grandezas que, para ficarem completamen-te caracterizadas, necessitam que especifiquemos mdulo, direo e sentido so chamadas grandezas vetoriais (velocidade, acelerao, fora etc.). Para represent-las usamos um ente matemtico chama-do vetor.

Vetor: conceito e notaoDois segmentos orientados que tm mdulos,

direes e sentidos iguais so chamados equipolen-tes. Ao conjunto dos infinitos segmentos equipolen-tes a um dado segmento orientado AB chamamos vetor AB e representamos por AB, como ilustrado na figura:


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Chamando de v este conjunto infinito, pode-se

escrever que o vetor v o conjunto de todos os seg-mentos XY, tais que XY seja equipolente ao segmento AB; ou seja:

v =

AB = {XY/XY e qAB}

Dessa forma, um mesmo v determina infinitos

segmentos orientados, chamados representantes de v e todos equipolentes entre si. Na prtica, no entan-to, embora lidando em realidade com representantes de vetores, usa-se indiscriminadamente o nome vetor para cada um desses representantes.

O v caracterizado pelos mesmos mdulo, di-

reo e sentido dos infinitos segmentos orientados equipolentes entre si e por ele representados.

Operaes com vetores

Multiplicao por um nmero ou escalar

Ao se multiplicar um vetor a por um escalar

(nmero) n, obtm-se um vetor na de mdulo igual

ao produto dos mdulos, de direo igual de a e

de sentido ou igual (se n>0), ou contrrio (se n

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Pela extremidade de cada vetor, trace o seguin-te. Para obter a resultante, ligue a primeira origem com a ltima extremidade.

No h frmula para calcular o mdulo do vetor resultante.

Diferena de vetores

Para subtrair dois vetores, soma-se o vetor minuendo ao vetor subtraendo multiplicado por 1. Note o exemplo, em que se deseja encontrar o vetor D =

a

b :

Somando os vetores a e

b pela regra do pa-

ralelogramo, obtm-se o representante em preto do vetor

D. Ocorre, entretanto, que em vermelho tem-se

outro representante do mesmo vetor, em consequ-ncia da congruncia dos tringulos retngulos da figura. Isso nos permite enunciar a seguinte regra prtica para subtrair dois vetores:

Considerar dois outros representantes dos vetores dados que tenham origem comum.

O vetor diferena obtido ligando as extremidades desses representantes, e aponta para o representante do vetor minuendo.

O clculo do mdulo D do vetor diferena aplicao direta da lei dos cossenos. Na figura, con-siderando o tringulo retngulo de hipotenusa na cor vermelha, essa lei nos permite escrever:

D2=a2+b2 2ab cos

Na frmula acima, se = 90, vem cos = 0 e a frmula da diferena recai no teorema de Pitgoras. Na figura, sendo =90, vem:

D2=32+42 2(3)(4)(0) = 25 e D = 5

Teorema de LammyRelembrando: quando somamos vetores pela

regra do polgono, desenhamos o representante de um deles e, por sua extremidade, o representante de outro, e assim sucessivamente at o ltimo vetor

a ser somado. O representante do vetor resultante aquele obtido ligando a primeira origem ltima extremidade. Se a extremidade do ltimo coincidir com a origem do primeiro, o mdulo do vetor resul-tante valer zero. Nesse caso, o vetor resultante

R

o vetor nulo (mdulo zero e direo indeterminada) e podemos escrever

R =

O.

Na situao considerada de ser nulo o vetor re-sultante e se forem somente trs os vetores a somar, a regra do polgono nos conduzir a um tringulo, como mostrado na figura.

Pela lei dos senos, os lados de um tringulo so proporcionais aos senos dos ngulos opostos. Da vem o teorema de Lammy:

R =

a +

b +

c =

O a

sen = b

sen = c

sen

TrajetriaTrajetria o caminho descrito por um corpo

mvel. importante sabermos determinar a qualquer instante a posio do corpo em sua trajetria, para o qu se impe nela estipularmos um ponto fixo para origem de contagem das distncias, adotarmos uma unidade de comprimento e convencionarmos um sentido como sendo positivo. O ponto fixo chamado origem da trajetria e o sentido positivo indicado por uma seta; o sentido oposto ao indicado pela seta negativo. Ainda, as trajetrias podem ser retilneas ou curvilneas.

A posio do corpo, em certo instante, fica de-terminada por sua distncia s, origem da trajetria e medida sobre esta.

Como visto no estudo da cinemtica escalar, a forma da trajetria depende do referencial. Por exem-plo, se voc est viajando num trem e olha uma lm-pada no teto do mesmo, para voc ela est em repouso


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mas para um observador que a avista da plataforma ela se move com a mesma velocidade do trem.

Vetor posio do corpo mvel

Um vetor iniciando na origem de um sistema de referncia e com extremidade no corpo mvel determina univocamente a trajetria e as sucessi-vas posies do corpo. A esse vetor d-se o nome de posio.

: Vetor posio

Vetor deslocamento Tambm chamado vetor variao de posio,

o vetor deslocamento referente a um intervalo de tempo t= t2 t1 obtido ligando a posio inicial s1 posio final s2, como ilustrado na figura:

r : Vetor deslocamento

r = r2 r1O vetor r independe da origem do sistema de referncia, como mostrado na figura.

A origem do sistema de referncia mudou de O1 para O2 e o vetor r no se alterou.

Sendo | s| o mdulo da variao de posio escalar, aquela medida sobre a trajetria, e | r | o mdulo do vetor deslocamento, tem-se que | r | | s|, prevalecendo o sinal de igualdade quando a trajetria retilnea, como esclarece a figura a seguir:

Velocidade vetorial mdiaA velocidade vetorial mdia, que representare-

mos por Vm , conceituada como

Vm = rt

Considerando que t positivo, resulta que a velocidade vetorial mdia colinear com o vetor variao de posio, tendo o mesmo sentido, como mostrado na figura a seguir:

v rv

s

m

importante no confundir velocidade escalar mdia com velocidade vetorial mdia. Na figura ao lado, a velocidade escalar mdia o quociente entre a variao de posio escalar s e o intervalo de tempo necessrio para que o corpo mvel a realize sobre o arco da curva.

Velocidade vetorial instantnea

A velocidade vetorial instantnea v , ou simples-mente velocidade vetorial, o limite da velocidade


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vetorial mdia quando o intervalo de tempo t tende a zero, conforme ilustrado na figura a seguir:

vm

v

r

Note que o vetor velocidade sempre tangen-te trajetria e voltado para o sentido em que se desloca o corpo mvel na trajetria.

Vetor acelerao mdia (am)O vetor acelerao mdia a variao do vetor

velocidade na unidade de tempo; ou seja,

am = vt

conforme mostra a figura a seguir: = V2 V1

v1v2 v2

v

am

v1-

O vetor acelerao mdia tem a direo e o sen-tido do vetor variao de velocidade e seu mdulo vale o mdulo deste dividido por t.

Vetor acelerao instantnea (a )

O vetor acelerao instantnea o limite para o qual tende o vetor acelerao mdia quando o interva-

lo de tempo tende a zero: a =lim

vtt 0

. Esse vetor no

tem direo fixa; sua direo depende do particular movimento do corpo mvel. Normalmente, costuma-mos decomp-lo em duas componentes ortogonais: uma tangente trajetria e outra normal a esta e voltada para o centro de curvatura da trajetria.

A componente tangencial descreve as varia-es da velocidade em mdulo. Tem o sentido do movimento se este acelerado e sentido oposto se retardado. Seu mdulo igual ao mdulo da ace-lerao escalar.

A componente normal, tambm chamada acele-rao centrpeta, descreve as variaes da velocidade em direo.

at

aa

N

t

N

a = at+ aNat = |a|escalaraN =

v2R

(*)

(Unifesp-adap.) Sendo u a unidade de medida do 1. mdulo desses vetores, calcule o mdulo do vetor a w + v .

Soluo: `Quando operamos vetores, um mtodo para determi-narmos o vetor resultante R consiste em calcularmos as componentes deste segundo, os eixos coordenados. Determinadas tais componentes (Rx, Ry) basta fazer R = Rx + Ry. O teorema de Pitgoras nos permite ento calcular o mdulo do vetor resultante: R

2= Rx

2 + Ry

2.

Este mtodo das componentes uma aplicao do co-nhecido teorema de Carnot: A projeo da resultante sobre um eixo a soma algbrica das projees das componentes sobre o mesmo eixo.

Na figura, note que a + b + c = R . As projees sobre o eixo x esto nas mesmas cores e se tem ax + bx + cx = Rx

Indo agora resoluo de nosso exerccio, por observa-o da figura do enunciado, tem-se:


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cos = Vv

e v1= v

cos

(UNESP - adap.) Um caminhoneiro efetuou duas en-3. tregas de mercadorias e, para isso, seguiu o itinerrio indicado pelos vetores deslocamentos d1 e d2 ilustrados na figura.

Para a primeira entrega, ele se deslocou 10km e para a segunda entrega, percorreu uma distncia de 6km: Calcule a distncia a que o caminhoneiro se encontra do ponto de partida ao final da segunda entrega.

Soluo: `A distncia requerida o mdulo do vetor deslocamento, aquele ligando a posio inicial posio final. Esse vetor, pela regra do polgono, a soma vetorial R dos vetores da figura.

Usaremos o mtodo da decomposio, aplicando o teorema de Carnot e chamando o primeiro vetor de A e o segundo de B .

A X = 0 ; AY = 10

B X = 6 cos 30 = 3 3 ; BY = 6 sen 30 = 3

R X = AX + BX = 0 + 3 3 = 3 3

R Y = AY + BY = 10 + 3 = 7

R2 = Rx2+ Ry

2

R2 = (3 3 )2 + ( 7)2

R2 = 27 + 49 =76

R = 2 19

Aps a segunda entrega, a distncia ao ponto inicial de 2 19 km

2

Rx= ax+ ( wx) + vx = +2 2 + 0 = 0

Ry = ay + ( wy) + vy = + 2 2 2 = 2

O vetor resultante vertical para baixo e tem mdulo 2.

(UERJ-adap.) No Cdigo de Trnsito Brasileiro so 2. considerados os seguintes tipos de vias urbanas: trn-sito rpido, arteriais, coletoras e locais. Nessas vias, as velocidades mximas permitidas so, respectivamente, 80km/h, 60km/h, 40km/h e 30km/h.

Para coibir transgresses ao dispositivo legal, so utilizados equipamentos pticos-eletrnicos, popularmente conhecidos como pardais, para fotografar veculos que superam um determinado limite estabelecido V de velocidade.

Em um trecho retilneo de uma estrada, um pardal colocado formando um ngulo com a direo da velocidade do carro, como indica a figura a seguir.

Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrar velocidades superiores a V, quando o ngulo = 0.

A velocidade v do veculo que acarretar o registro da infrao pelo pardal, com relao velocidade padro V, ser de:

V sen a)

V cos b)

V/ sen c)

V/ cos d)

Soluo: ` DSendo V1 a nova velocidade mxima, acima da qual ha-ver registro de infrao, dever ter intensidade suficiente para projetar no eixo do equipamento o valor limite V que corresponde a = 0, como mostrado na figura.

No tringulo retngulo da figura, tem-se que:


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OBS: Cabe aqui a observao de que as concluses apressadas devem ser sempre descartadas e, mesmo quando h necessidade de rapidez, alguma anlise deve ser feita. O aluno mais afoito logo veria um tringulo retngulo pitagrico quando traasse o vetor resultante R e erraria a questo, atribuindo a R o valor 8. Em realidade, no se trata de um tringulo retngulo, como abaixo se v:

Se os vetores R e B fossem perpendiculares, viria que o ngulo entre os vetores A e R seria 30, o que implicaria B = A . sen 30 = 10/2 = 5km; isso absurdo, pois contraria a hiptese do enunciado de ser B = 6km. Da, o tringulo no retngulo.

(UFAL) Num estacionamento, um coelho se desloca, em 4. sequncia, 12m para o oeste, 8m para o norte e 6m para o leste. O deslocamento resultante tem mdulo:

26m a)

14m b)

12m c)

10m d)

2m e)

Soluo: ` DConsiderando o Norte ao alto desta pgina, o Sul na parte de baixo, o Leste direita e o Oeste esquerda, temos a seguinte trajetria para o coelho:

Na figura ao lado, determinando o vetor deslocamento pela regra do polgono, o tringulo retngulo mostrado pitagrico e tem catetos 6m e 8m; da, sua hipotenusa vale 10m, que o mdulo do vetor deslocamento r .

(UFC) M e N so vetores de mdulos iguais (|M| = |N| 5. = M). O vetor M fixo e o vetor N pode girar em torno do ponto O (veja figura) no plano formado por M e N. Sendo R = M + N , indique, entre os grficos a seguir, aquele que pode representar a variao de |R| como funo do ngulo entre M e N.

a)

b)

c)

d)

e)

Soluo: ` BR2 = M 2 + M 2 2 . M . M . cos

R2 = 2M 2 (1 + cos ) = 4M2 cos2 (12)

R = 2M |cos (12)|. Vejamos a correspondncia entre os valores de R e :

= 0 rad R = 2M

= ( /2) rad R = M 2

= rad R = 0

= (3 /2)rad R = M 2

= 2 rad R = 2M(Unicamp-adap.) Satlites de comunicaes so retrans-6. missores de ondas eletromagnticas. Eles so operados normalmente em rbitas cuja velocidade angular igual da Terra, de modo a permanecerem imveis em relao s antenas transmissoras e receptoras.


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Essas rbitas so chamadas de rbitas geoestacionrias.

Dada a distncia R entre o centro da Terra e o satlite, determine o mdulo de seu vetor deslocamento entre 9h e 15h.

Soluo: `t = 15 9 = 6,0h

Em 24h a Terra d uma volta completa ao redor do pr-prio eixo, o que corresponde a um ngulo central de 2 radianos. Em 6,0h, portanto, subentendido um ngulo central = /2 rad = 90

Sendo r o raio da Terra (6400 km), a situao pode ser vista como na figura abaixo, para um observador situado em certa posio do espao).

1 500h

Na figura, tem-se AC = r, AE = R.

BC o lado do quadrado inscrito na circunferncia de crculo de raio r; assim, tem-se: BC = r 2 .

DE o lado do quadrado inscrito na circunferncia de crculo de raio R; assim, tem-se: DE = R 2 .

A medida de DE o mdulo solicitado do vetor deslo-camento.

(Fatec) Num certo instante, esto representadas a 7. acelerao e a velocidade vetoriais de uma partcula. Os mdulos dessas grandezas esto tambm indicados na figura.

Dados: sen 60 = 0,87

cos 60 = 0,50

10m/s

4,0m/s2

60o

No instante considerado, o mdulo da acelerao escalar, em m/s2, e o raio de curvatura, em metros, so, respectivamente:

3,5 e 25a)

2,0 e 2,8b)

4,0 e 36c)

2,0 e 29 d)

4,0 e 58 e)

Soluo: ` DComo visto, o mdulo da acelerao escalar iguala 1. o mdulo da acelerao tangencial. Como o vetor velocidade tangente trajetria, para encontrar o mdulo da acelerao tangencial, basta projetar o vetor acelerao sobre o vetor velocidade. Da:

at = 4 cos 60 = 4 .1/2 = 2,0m/s2.

O mdulo da acelerao centrpeta vale v2. 2/R e, portanto, R = v2/acp. Para encontrar o mdulo da ace-lerao normal ou centrpeta, basta projetar o vetor acelerao na direo perpendicular do vetor v:

acp = a sen 60 = 4 . 3

2 = 2 3

Da: R = v2

acp

= 102

2 3 = 50 3

3 29m

(FEI) Uma automvel realiza uma curva de raio 20m 8. com velocidade constante de 72km/h. Qual a sua acelerao, em m/s2, durante a curva?

0 a)

5b)

10c)

20d)

3,6 e)

Soluo: ` DSendo v = 72km/h = 20m/s constante, ento nula a componente tangencial da acelerao, que indica a variao em mdulo da velocidade. Assim, s existe acelerao centrpeta, que caracteriza as alteraes da velocidade em direo. Da, tem-se:

a = acp= v2/R = 202/20 = 20m/s2.

(Ufscar) Nos esquemas esto representados os veto-9. res da velocidade e da acelerao do ponto material P. Assinale a alternativa em que o mdulo da velocidade desse ponto material permanece constante.

a)

P

a

v

b)

P

a

v

c)

P

a

v


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d) P

a

v

e) Pa

v

Soluo: ` CSe o mdulo da velocidade permanece constante, ento nula a acelerao tangencial e, para que isso ocorra, o vetor acelerao tem de ser perpendicular tangente e trajetria no ponto considerado e, portanto, perpendicular tambm ao vetor velocidade.

Aproveitando a oportunidade, classifique os movimen-10. tos correspondentes s alternativas apresentadas no exerccio anterior.

Soluo: `Para resolver esse exerccio, voc deve proceder da seguinte forma:

Imagine dois eixos perpendiculares entre si no ponto considerado: um tangente trajetria no ponto con-siderado, o outro perpendicular a este.

Sobre esses eixos, projete o vetor acelerao, ob- tendo as componentes tangencial e normal desta, respectivamente.

O vetor acelerao aponta sempre para a parte cn- cava da trajetria, pois a direo dele passa pelo centro de curvatura.

Se o vetor acelerao est voltado para o sentido do movimento, a componente tangencial tem o mesmo sentido da velocidade e o movimento acelerado.

Se o vetor acelerao est voltado para o sentido contrrio ao do movimento, a componente tangen-cial tem sentido oposto ao da velocidade e o movi-mento retardado.

Se o vetor acelerao colinear com o vetor velocidade, trata-se de movimento retilneo.

Movimento curvilneo acelerado, concavidade para a) cima.

Movimento curvilneo retardado, concavidade para b) cima.

Movimento circular uniforme, concavidade para cima.c)

Movimento retilneo retardado.d)

Movimento retilneo acelerado.e)

(UFSC-adap.) Um satlite artificial, de massa m, descre-11. ve uma rbita circular de raio R em torno da Terra, com velocidade orbital v de mdulo constante, conforme re-presentado esquematicamente na figura. (Desprezam-se interaes da Terra e do satlite com outros corpos)

MR

m

v

Considerando a Terra como referencial na situao descrita, assinale a(s) proposio(es) correta(s):

(01) O satlite sofre a ao da fora gravitacional exercida pela Terra, de mdulo igual a Fg = G Mm/R2, onde G a constante de gravitao universal, M a massa da Terra e R o raio da rbita do satlite.

(02) Para um observador na Terra, o satlite no possui acelerao.

(04) A fora centrpeta sobre o satlite igual fora gravitacional que a Terra exerce sobre ele.

(08) A fora exercida pelo satlite sobre a Terra tem intensidade menor do que aquela que a Terra exer-ce sobre o satlite; tanto que o satlite que orbita em torno da Terra e no o contrrio.

(16) A acelerao resultante sobre o satlite indepen-de da sua massa e igual a G M/R2, onde G a cons-tante de gravitao universal e M a massa da Terra.

(32) A acelerao resultante sobre o satlite tem a mesma direo e sentido da fora gravitacional que atua sobre ele.

Soluo: ` Soma: 53(01) De acordo com a Lei da Atrao Gravitacio-nal, de Newton, da qual trataremos em aula futura, a matria atrai a matria na razo direta das massas e na razo inversa do quadrado das distncias. As-sim, dois corpos de massas M e m, separados por uma distncia R, sofrem a ao de uma fora de atrao mtua de mdulo Fg=GMm/R

2, onde G a constante de gravitao universal. A proposio, portanto, est correta.

(02) O satlite executa movimento circular unifor-me; assim, possui acelerao centrpeta acp=v

2/R. A proposio, portanto, est errada.

(04) A proposio est correta. O nico agente capaz de exercer uma fora sobre o satlite a Terra e essa fora a de atrao gravitacional, de acordo com o que se viu no item (01). Essa fora, sempre voltada para o centro de curvatura da trajetria, impede que o satlite saia pela tangente, devido inrcia de sua massa; essa , pois, a fora centrpeta, que igual ao produto da massa do satlite pela acelerao centrpeta.


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Obs.: Por oportunas, cabem aqui algumas conside-raes:

Pelo exposto, tem-se F g = Fcp ou GMm/R2 = macp,

donde se v que a acelerao centrpeta tem a expresso GM/R2.

E mais: a fora de atrao gravitacional tambm a fora com que o satlite atrado para o centro da Terra; representa, portanto, tambm o peso do satlite em rbita. Da, vem que Fg = Peso = m . g, onde g a acelerao da gravidade na altura da rbita. Em consequncia disso, vem que g=GM/R2=acp .

(08) Pela 3. Lei de Newton (Princpio da Ao e da Reao), que ser visto em aula futura, quando um corpo exerce sobre outro uma fora, este rea-ge, exercendo sobre o primeiro uma fora igual e em sentido contrrio. Da, a fora com que a Terra atrai o satlite tem mdulo igual ao daquela com que o satlite atrai a Terra. A proposio, portanto, est errada.

(16) J se viu no item (04) que acp= g= GM/R2.

Assim, independe da massa do satlite. A proposi-o, portanto, est correta.

(32) Correto. J se viu no item (04) que Fg=macp.

As proposies corretas, portanto, so as de nume-raes 01, 04, 16 e 32, que totalizam 53.

Uma grandeza fsica vetorial fica perfeitamente definida 1. quando dela se conhece:

valor numrico, direo e unidade.a)

valor numrico, unidade e direo. b)

direo, unidade e sentido.c)

valor numrico, unidade, direo e sentido.d)

(Cesgranrio) Das grandezas fsicas apresentadas nas 2. opes abaixo, assinale aquela de natureza vetorial.

Presso.a)

Fora eletromotriz.b)

Corrente eltrica.c)

Campo eltrico.d)

Trabalho.e)

(Cesgranrio) Na figura OP = 18, as coordenadas (x,y) 3. do ponto P, indicado, so:

(Cesgranrio) Decompomos um vetor de mdulo 13 em 4. dois outros ortogonais, sendo que um deles tem mdulo 12. O mdulo do outro ser:

5a)

1b)

25c)

4d)

8e)

Desejamos decompor um vetor de mdulo 50 em dois 5. outros ortogonais de mdulos iguais. Determine o m-dulo desses vetores.

(Mackenzie) A resultante de dois vetores perpendicu-6. lares entre si tem mdulo igual 20 . Sabendo que o mdulo de um dos vetores o dobro do outro, calcule os mdulos dos dois vetores.

(UFPI) A resultante dos vetore 7. 21 v e v

mais bem re-presentada por:

(Feso) Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela 8. em que todas as grandezas fsicas relacionadas so de natureza vetorial:

velocidade, acelerao e energia potencial. a)

posio, impulso e potncia.b)

acelerao, fora e trabalho.c)

velocidade, quantidade de movimento e energia d) cintica.

fora, quantidade de movimento e impulso. e)

Uma bola arremessada com velocidade de 20m/s, 9. segundo um ngulo de 37O com a horizontal. Determinar as componentes da velocidade na horizontal (vx) e na vertical (vy).

Dados: cos 37 = 0,8 sen 37 = 0,6


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Dados os vetores, determinar a expresso cartesiana de:10.

2 a

+ b

- c

a) a

- 3 b

+ 2 c b)

Uma partcula descreve a trajetria da figura abaixo.11.

O vetor que pode representar o deslocamento entre os pontos A e B:

a)

b)

c)

d)

e)

Um veculo se desloca 190km para o Norte, depois 50km 12. para o leste e finalmente 70km para o Sul.

Determinar o mdulo do deslocamento vetorial.

Dado o grfico cartesiano abaixo, represente:13.

o vetor posio a) Ar (2,5);

o vetor posio b) Br (5,8);

o vetor deslocamento c) ABr

.

(PUC-Rio) Um carro se desloca 200m para o nordeste e 14. 200m para noroeste. Determine a distncia final em que se encontra o carro em relao ao ponto de partida.

400ma)

200mb)

200c) 2m

100d) 2m

400e) 2m

Quando um atleta percorre metade de uma pista de 15. corrida circular de raio igual a 400m, sofre um desloca-mento vetorial de:

800a) m

400b) m

200c) m

400md)

800me)

O comprimento do ponteiro dos segundos de um 16. relgio igual a 10cm. Considere um ponto M em sua extremidade, sabendo-se que esse ponto deslocou-se do nmero 12 ao 6 do relgio, determine:

O deslocamento escalara)

O mdulo do deslocamento vetorial. b)

(Osec) Um mvel percorre uma trajetria circular de 17. 1,00m de raio com velocidade escalar constante. Aps 1/4 de volta, o vetor deslocamento do mvel tem mdulo aproximadamente igual a:

1,00ma)

1,41mb)

6,28mc)

3,14md)

0,252me)

Um corpo lanado verticalmente para cima com velo-18. cidade inicial de 20m/s. Desprezando-se a resistncia do ar e sendo g = 10m/s2, determinar:

O deslocamento escalar entre os instantes em que a) ele lanado e que ele volta a passar pelo mesmo ponto.

O deslocamento vetorial.b)

(PUC-SP) Se a velocidade vetorial de um ponto material 19. constante e no-nula, sua trajetria:

uma parbola.a)

pode ser retilnea, mas no necessariamente.b)

deve ser retilnea.c)


12 EM

_V_F

IS_0

04

uma circunferncia.d)

pode ser uma curva qualquer.e)

(FEI-SP) Sabendo-se que a acelerao total (resultante) 20. de um mvel nula, pode-se afirmar que:

sua velocidade nula. a)

seu movimento circular e uniforme.b)

seu movimento uniforme, qualquer que seja sua c) trajetria.

seu movimento s pode ser retilneo e uniforme.d)

nenhuma das anteriores correta.e)

(PUC-RS) As informaes a seguir referem-se a um 21. movimento retilneo realizado por um objeto qualquer:

A velocidade vetorial pode mudar de sentido.I.

A velocidade vetorial tem sempre mdulo constante.II.

A velocidade vetorial tem direo constante.III.

A alternativa que representa corretamente o movimento retilneo :

I, II e IIIa)

somente IIIb)

somente IIc)

II e IIId)

somente I e IIIe)

(USS) Um corpo est com movimento uniforme, com 22. sentido de (1) para (2). Quando ele passa pelo ponto A, o par de vetores, velocidade e acelerao representativo do movimento ser:

a) v

a

b) v

a

c) v

a = 0

d) v

a

e) v

a

(FEI-SP) Uma partcula descreve uma circunferncia 23. com movimento uniforme. Pode-se concluir que:

sua velocidade vetorial constante.a)

sua acelerao tangencial no-nula. b)

sua acelerao centrpeta tem mdulo constante.c)

sua acelerao vetorial resultante nula.d)

suas aceleraes tangencial e resultante so iguais e) em mdulo.

(UFMG) Um ventilador (veja figura) acaba de ser desli-24. gado e est parando vagarosamente no sentido horrio. A direo e o sentido da acelerao da p do ventilador no ponto P :

(USS) Uma pista de corridas de 25. kart vista de cima, e no ponto P h um carro em movimento uniforme.

Qual das opes abaixo melhor representa a velocidade e a acelerao do carro no ponto P?

Velocidade Acelerao

I IIa)

V IIb)

I IIIc)

V IIId)

III IVe)


13EM

_V_F

IS_0

04

(Uerj) Dado o esquema responda as questes 26 e 27.

Suponha constante a desacelerao de um dos carros 26. no trecho retilneo entre as curvas Laranja e Laranjinha, nas quais ele atinge, respectivamente, as velocidades de 180km/h e 150km/h. O tempo decorrido entre as duas medidas de velocidade foi de 3 segundos.

O mdulo da desacelerao, em m/s2, equivale, aproximadamente, a:

0a)

1,4b)

2,8c)

10,0d)

A velocidade vetorial mdia de um carro de Frmula 1, 27. em uma volta completa do circuito, corresponde a:

0a)

24b)

191c)

240d)

O comprimento do ponteiro dos segundos de um 28. relgio igual a 10cm. Considere um ponto M em sua extremidade, sabendo-se que esse ponto deslocou-se do nmero 12 ao 6 do relgio, determinar:

a velocidade escalar mdia, em cm/s;a)

o mdulo da velocidade vetorial mdia, em cm/s.b)

(Cesgranrio) No grfico anexo esto representados trs 1. vetores a

, b

e c

. Os vetores i

e j

so unitrios. Analise as expresses:

a

= 2 i

+ 3 j

I.

b

= 2 j

II.

b

+ c

= i

III.

Podemos afirmar que:I e II esto corretas.a)

II e III esto corretas.b)

I e III esto corretas.c)

esto todas corretas.d)

h apenas uma correta. e)

(Mackenzie) Na figura abaixo esto representados cinco 2. vetores de mesma origem e cujas extremidades esto sobre os vrtices de um hexgono regular cujos lados medem k unidades. Calcule o mdulo da resultante desses vetores.

2ka)

3kb)

4kc)

5kd)

6ke)

(PUC-SP) A soma de dois vetores, de mdulos respec-3. tivamente iguais a 12u e 16u, igual a s

.

Podemos afirmar que: a) s = 20u

b) s > 20u

c) s = 28u

4u d) s 28u

e) s < 20u

Que ngulo devem fazer dois vetores, de mesmo mdulo, 4. para que a intensidade do vetor soma seja igual a de cada componente?

Dado: cos

2

= 1 + cos

2

(Cesgranrio) Na figura abaixo esto representados os 5. vetores a

, b

e c

e os versores i

e j

.

Assinale a sentena errada:


14 EM

_V_F

IS_0

04

b

= 2 j

a)

a

= 3 i

b)

c

= 2 ( i

+ j

)c)

c

= a

+ b

d)

c

= 2 2 e)

(FOA) Para o sistema de vetores representado abaixo, 6. a nica igualdade correta :

a)

a + b + c = db)

a + b + c = -dc)

a + b + c + d = 0d)

a - b + c - d = 0e)

(UFLA) Os vetores 7. a

, b

e c

, representados abaixo, tm resultante nula. Sabendo que:

b

= 6 , podemos afirmar que os mdulos de a

e c

valem respectivamente:

3 e a) 2

623 +

26b) e 2 3

3c) 2 e 3

6 e 3d)

3 e 3e) 2

Consideremos quatro vetores de mdulos iguais a 6, 8. tais que, ao se determinar a sua resultante pelo mtodo do polgono, obteve-se um quadrado, dando resultante

nula. Se trocarmos os sentidos de dois deles, consecu-tivos, a resultante ter mdulo de:

3 a)

6 b)

12 c)

6d) 2

12e) 2

No diagrama abaixo temos 9. b = 20u. Determine o mdulo do vetor a .

(Olimpada Brasileira de Fsica) A figura mostra seis 10. vetores a, b, c, d, e e f, que formam um hexgono.

De acordo com a figura, podemos afirmar que:

a + b + c + d + e + f = 6aa)

a + b + c = - d e fb)

a + b + c + d + e + f = 3ac)

a + b + c = d + e - fd)

a + b + c = 0e)

(UFCE) 11. M e N so vetores de mdulos iguais (M = N = M). O vetor M fixo e o vetor N pode girar em torno do ponto O (veja figura) no plano formado por M e N . Sendo R = M + N , indique, entre os grficos a seguir, aquele que pode representar a variao de |R| como funo do ngulo entre M e N.

a)


15EM

_V_F

IS_0

04

b)

c)

d)

e)

(UFRN) A figura abaixo representa os deslocamentos de 12. um mvel em vrias etapas. Cada vetor tem mdulo igual a 20m. A distncia percorrida pelo mvel e o mdulo do vetor deslocamento so, respectivamente:

20a) 5 m e 20 5 m

20b) 5 m e 40m

100m e 20c) 5 m

40m e 40d) 5 m

100m e 40e) 5 m

Na figura abaixo esto representados os vetores cor-13. respondentes posio de uma partcula nos instantes t1 = 2,0s e t2 = 5,0s.

Qual dos vetores abaixo pode representar o vetor deslocamento, entre os instantes considerados.

a)

b)

c)

d)

e)

Uma partcula executa um movimento circular, no sentido 14. indicado na figura. Sendo o raio da trajetria 7m, deter-minar o mdulo de deslocamento vetorial entre:

A e C.a)

A e B.b)

(UFRS) Um automvel percorre uma estrada contida no 15. plano XY, conforme a figura. s 10 horas, esse automvel encontra-se nas coordenadas (x1 , y1) = (2,2) e, s 10 horas e 30 minutos, nas coordenadas (x2 , y2) = (6,5).

O mdulo do vetor deslocamento, nesse intervalo de tempo, :

(2 + a) 3 )km

15,0kmb)

7,0kmc)

5,0kmd)

2,5kme)

O vetor posio inicial de uma partcula igual a 16. 0r

= 6 i 8 j

e o vetor posio final r

= i

+ 2 10 j

.

Determinar o vetor deslocamento.

(Fatec) Um ponto material movimenta-se a partir do ponto 17. A sobre o diagrama anexo, da seguinte forma: 6 unidades (u) para o Sul; 4 u para o Leste e 3 u para o Norte.


16 EM

_V_F

IS_0

04

O mdulo do deslocamento vetorial desse mvel foi de:

13ua)

5ub)

7uc)

3ud)

1ue)

Um carro percorre um arco de 60 de uma circunferncia 18. de raio igual a 1 000m. Calcular o mdulo do desloca-mento vetorial.

Em uma cidade os quarteires so retngulos de 19. 800m 600m.

Uma pessoa caminhando vai da esquina A at a esquina B, conforme a figura acima, com velocidade de 2m/s.Determinar:

O tempo que levou no percurso.a)


(FCMSC) Uma partcula se move em um plano, em 20. relao a um sistema de eixos cartesianos fixos, sendo x e y as coordenadas de sua posio; os grficos a seguir nos do x e y em funo do tempo t.

Dentre os valores a seguir o que mais se aproxima do mdulo do vetor deslocamento do mvel entre os instantes t = 2,0s e t = 9,0s :

10cma)

20cmb)

30cmc)

40cmd)

50cme)

Uma partcula em movimento tem uma trajetria que 21. descreve um hexgono regular (ABCDEF) de lado igual a 12m. Partindo do ponto A, determinar quando ela passa no ponto D:

A distncia percorrida.a)


Duas partculas A e B descrevem uma trajetria sobre 22. os lados de um pentgono regular de lado igual a 50cm, partindo do mesmo vrtice. A partcula A per-corre 3 lados com acelerao de mdulo constante, em sentido horrio, e a partcula B percorre 2 lados no sentido anti-horrio com velocidade constante, no mesmo intervalo de tempo. Sendo o deslocamento ve-torial da partcula A rA e o da partcula B rB, comparar rA com rB; isto , se rA > rB, rA = rB ou rA < rB. Justifique sua resposta.

(EN) O ingls Robin Johnston ganhou a primeira regata 23. volta ao mundo, retornando ao porto de partida, percor-rendo 3,00 . 104 milhas em 313 dias.

Sabendo que 1 milha tem aproximadamente 1,85km, a velocidade escalar mdia e a velocidade vetorial mdia so, respectivamente, em km/h:

zero e 7,39a)

7,39 e zerob)

7,39 e 427c)

427 e 7,39d)

(UFRRJ) Um motorista percorre, num movimento 24. retilneo, 32km em 30min. Para 1 hora para almoar e retorna, fazendo 70km em 30min. Nessas duas horas, a velocidade vetorial mdia do motorista de:

20km/ha)

19km/hb)

44km/hc)

56km/hd)

60km/he)

(FOA-RJ) Um mvel parte do repouso com uma acele-25. rao escalar constante de 2,0m/s2 e percorre uma tra-jetria circular de raio igual a 100m. Aps 10 segundos, as componentes tangencial e centrpeta da acelerao valem, respectivamente, em m/s2:

2,0 e 2,0a)

2,0 e 4,0b)

4,0 e 2,0c)


17EM

_V_F

IS_0

04

4,0 e 4,0d)

10 e 10e)

(UFRRJ) Um corpo abandonado a uma altura H (em 26. relao ao solo) em queda livre. Ao passar por um ponto A da trajetria retilnea, possui uma velocidade escalar de 10m/s. Um observador fixo na terra poder afirmar, quanto ao mdulo do vetor velocidade, em um ponto B situado a 2,2m de A, que o mdulo do vetor:

depende da massa do corpo.a)

de 12m/s.b)

proporcional ao quadrado do tempo.c)

um vetor cujo mdulo constante.d)

vale 15m/s.e)

(Uerj) Pardal a denominao popular do dispositivo 27. ptico-eletrnico utilizado para fotografar veculos que superam um determinado limite estabelecido de velocidade v.

Em um trecho retilneo de uma estrada, um pardal colocado formando um ngulo com a direo da velocidade do carro, como indica a figura a seguir.

Suponha que o pardal tenha sido calibrado para registrar velocidades superiores a v, quando o ngulo = 0o.A velocidade v do veculo, que acarretar o registro da infrao pelo pardal, com relao velocidade padro v, ser:

v sen a)

v cos b)

v/ sen c)

v/ cos d)

(PUC-Rio) Um objeto em movimento circular uni-28. forme passa pelo ponto A e, 1 segundo aps, passa pelo ponto B.

A acelerao vetorial mdia nesse intervalo de tempo , em m/s2:

2a)

2b)

4c)

0d)

0,5 e)

Um carro faz uma curva de raio igual a 100m, com velo-29. cidade constante em mdulo igual a 20m/s, descrevendo um ngulo reto em 10s. Determinar:

O mdulo da variao da velocidade.a)

O mdulo do vetor acelerao.b)

(FEI-SP) A velocidade 30. v

de um mvel em funo do tempo acha-se representada pelo diagrama vetorial da figura.

A intensidade da velocidade inicial v0 = 20m/s.

Determine o mdulo da acelerao vetorial mdia entre os instantes t = 0 e t = 8s.

(FEI-SP) Uma partcula descreve uma circunferncia 31. de raio de 20cm, percorrendo 1/6 da mesma em 8s. Qual , em cm/s o mdulo do vetor velocidade mdia da partcula no referido intervalo de tempo?

(UFF) A figura representa a fotografia estroboscpica do 32. movimento de um disco que desliza sem atrito sobre uma mesa. O disco descreve uma trajetria circular, percor-rendo ngulos iguais em intervalos de tempo iguais.

Sabendo-se que o flash da mquina fotogrfica disparado a cada 0,50s:

Determine o mdulo do vetor velocidade mdia do a) disco entre as posies 4 e 12.

Represente graficamente, na figura, os vetores ve-b) locidade v

e a acelerao a

do disco no instante em que este passa pela posio 8.


18 EM

_V_F

IS_0

04

(Unicamp) A figura abaixo representa um mapa da 33. cidade de Vitria a qual indica a direo das mos do trfego. Devido ao congestionamento, os veculos trafe-gam com a velocidade mdia de 18km/h. Cada quadra desta cidade mede 200m por 200m (do centro de uma rua ao centro da outra rua). Uma ambulncia localizada em A precisa pegar um doente localizado bem no meio da quadra em B, sem andar na contramo.

Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percur-a) so de A para B?

Qual o mdulo do vetor velocidade mdia (em b) km/h) entre os pontos A e B?

(EN) Um mvel desloca-se em uma trajetria retilnea na 34. direo do eixo Ox, de tal maneira que sua velocidade v varia com o tempo t de acordo com a equao: v =(4t 8) i onde t dado em segundos, v em metros por segundo e i o versor mostrado na figura.

Sabendo que para t = 1s o vetor posio da partcula (cuja origem est em O) dado por r = 2i (com r em metros) determine:

O vetor posio da partcula no instante t = 0.a)

O vetor posio da partcula no instante t = 6s.b)

O mdulo do vetor deslocamento entre os instantes c) t = 0 e t = 6s.

A distncia total percorrida entre os instantes t = 0 e d) t = 6s.


19EM

_V_F

IS_0

04

D1.

D2.

(93. 3 ; 9)

A4.

x = 25 5. 2

x = 2 e 2x = 4 6.

A7.

E8.

Vy = 12m/sVX = 16m/s

9.

10.

9i + 7ja)

4 i 5 jb)

D11.

130km12.

13.

C14.

E15.

16.

31,4cm a)

20cmb)

B17.

Nos dois casos nulo18.

C19.

D20.

E21.

E22.

C23.


20 EM

_V_F

IS_0

04

D24.

C25.

C26.

A27.

28.

1,05cm/sa)

0,66cm/sb)

D1.

E2.

D3.

1204. o

D5.

D6.

A7.

E8.

IaI =20 2

9.

B10.

B11.

C12.

B13.

14.

a)

b) = 2 x 7 = 14m

D15.

4 16. +10

B17.

1 000m18.

19.

2 100sa)

3 000mb)

C20.

21.

36ma)

24m b)

22. = =

B23.

B24.

B25.

B26.

D27.

B28.

29.

= 20 2 m/sa)

Iab) mI = 20 2

10= 2 2 m/s2

5m/s30. 2

O arco descrito corresponde a 6031. 0, logo temos um tringulo eqiltero cujos lados so dois raios e o des-

locamento vetorial. = 20cm e I I = 2,5cm/s

32.

2,5cm/s a)

b) va

33.

3min.a)

10km/hb)

34.

a)

b)

I Ic) = 24m

40md)


sae-pre-vestibular-extensivo-fisica-cap-000sae-pre-vestibular-extensivo-fisica-cap-004

Aula 03 - Vetores

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