Aula 06 “Análise no domínio do tempo” Parte I Sistemas de 1ª...

Aula 06

“Análise no domínio

do tempo”

Parte I

Sistemas de 1ª ordem

outputinput

Sistema de primeira ordem

do tipo

cbs

a)s(G

+=

SSistemas de primeira ordem

Análise no domínio do tempo - Sistemas de 1ª ordem______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

cbs

a

)s(R

)s(Y

+=

cbs

a

+

Sistemas de primeira ordem

Ko

,

1sc

bc

a

c

)cbs(c

a

)s(R

)s(Y

+=+=

T

ou seja:

outputinput


cbs

a

+


ou seja:

outputinput

1Ts

K

)s(R

)s(Y o

+=

1Ts

K o

+

a função de transferência pode ser reescrita como:


1Ts

K

)s(R

)s(Y o

+=

1Ts

K o

+

a função de transferência:

Ko = ganho do sistema

T = constante de tempo do sistema

outputinput



Exemplo 1:

4s5

2

)s(R

)s(Y

+=

Ko = 3

Exemplo 2:

4s

12

)s(R

)s(Y

+=

Ko = 2/4 = 0,5 T = 5/4 = 1,25

polo:

s = – 0,8

polo:

s = – 4

T = ¼ = 0,25


Qual é a resposta ao degrau ?(step response)

Entrada degrau unitário

1Ts

K o

+outputinput


r(t) =


)s(R1Ts

K)s(Y o ⋅

+=

para calcular fazemos:

)1Ts(

TK

s

K

s

1

)1Ts(

K)s(Y ooo

+−=⋅

+=

Sistemas de primeira ordem1Ts

K o

+outputinput


0t,)e1(K)t(y T/t

o >−= −

[ ])s(Y)t(y 1−= L

logo, a resposta ao degrau unitário é:

1Ts

K o

+outputinput



a resposta ao degrau unitário é:

0t,)e1(K)t(y T/t

o >−= −

1Ts

K o

+outputinput


r(t) =


entrada degrau unitário

0t,)e1(K)t(y T/t

o >−= −

a resposta ao degrau unitário é:


0t,)e1(K)t(y T/t

o >−= −

oK632,0)e1(K)T(yTtSe 1

o =−=⇒= −

oK865,0)e1(K)T2(yT2tSe 2

o =−=⇒= −


o =−=⇒= −


o =−=⇒= −


o =−=⇒= −

Observe que, para a resposta ao degrau unitário:


outputinput

Qual é a resposta ao impulso ?(impulse response)

entrada impulso unitário

1Ts

K o

+


r(t) =


)s(R1Ts

K)s(Y o ⋅

+=


)1Ts(

K1

)1Ts(

K)s(Y oo

+=⋅

+=

outputinput 1Ts

K o

+



0t,eT

K)t(y T/to >⋅= −

[ ])s(Y)t(y 1−= L

logo, a resposta ao impulso unitário é:

outputinput 1Ts

K o

+



a resposta ao impulso unitário é:

0t,eT

K)t(y T/to >⋅= −

outputinput 1Ts

K o

+


r(t) =


entrada impulso unitário

a resposta ao impulso unitário é:

0t,eT

K)t(y T/to >⋅= −


0t,eT

K)t(y T/to >⋅= −

)T/K(368,0eK)T(yTtSe oo1 ⋅=⋅=⇒= −

)T/K(135,0eK)T2(yT2tSe oo2 ⋅=⋅=⇒= −

)T/K(05,0eK)T3(yT3tSe oo3 ⋅=⋅=⇒= −

)T/K(02,0eK)T4(yT4tSe oo4 ⋅=⋅=⇒= −

)T/K(007,0eK)T5(yT5tSe oo5 ⋅=⋅=⇒= −


Observe que, para a resposta ao impulso:

Qual é a resposta à rampa ?(ramp response)

entrada rampa unitária

outputinput 1Ts

K o

+


r(t) =


)s(R1Ts

K)s(Y o ⋅

+=


)1Ts(

TK

s

TK

s

K

s

1

)1Ts(

K)s(Y

2

22

oooo

++−=⋅

+=

outputinput 1Ts

K o

+



0t,)eTTt(K)t(y T/t

o >⋅+−= −

[ ])s(Y)t(y 1−= L

logo, a resposta à rampa unitária é:

outputinput 1Ts

K o

+



0t,eTTt)t(y T/t >⋅+−= −

Se Ko = 1, a resposta à rampa unitária é:

outputinput 1Ts

K o

+



resposta à rampa unitária para Ko = 1:

0t,eTTt)t(y T/t >⋅+−= −

outputinput 1Ts

K o

+


r(t) =


entrada rampa unitária

for the unit ramp input, the output is:

0t,eTTt T/t >⋅+−= −

1K o =



Erro p/ entrada rampa unitária

Erro para entrada rampa unitária, Ko = 1:

( )1Ts

Ts

s

1

1Ts

11Ts

s

1

1Ts

11

s

1

s

1

1Ts

1

s

1)s(E

22

222

+⋅=

+−+⋅=

=

+−⋅=⋅

+−=

outputinput 1Ts

K o

+



Erro em estado estacionário:

T1Ts

Tlim

1Ts

Ts

s

1slim)s(Eslime

0s

20s0sss

=+

=

=+

⋅⋅=⋅=

→

→→

Tess =

outputinput 1Ts

K o

+



Erro p/ entrada rampa unitária


Obrigado!

Felippe de Souza

[email protected]

Departamento de Engenharia Eletromecânica

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