Aula 06 de 10 - Matemática Financeira (10-03-10)

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    MatemticaFinanceira

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    Adm. Dheymia Arajo de Lima

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    Taxa de Juros pg. 16

    O juro produzido em umadeterminada unidade de tempo(ao ano, ao ms, ao dia),representa uma certaporcentagem do capital ou domontante, cuja taxa se chamaTaxa de Juros.

    Em matemtica financeiraexistem diversas taxas de juros:Efetiva, Nominal, Real,Proporcional, Equivalente eoutras.

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    Taxas Proporcionais pg. 16 Duas ou mais taxas so ditas

    proporcionais, quando aplicadas sobreum mesmo capital, durante ummesmo prazo, produzirem um mesmomontante, no final desses prazos, noregime de juros simples.

    i1n1i2n2

    =

    i1 x n 2 = n 1 x i2

    1% ao ms = 3% ao trimestre = 6% ao semestre = 12% ao ano

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    Taxa de Juros pg. 16

    Podemos calcular issocalculando o montanteobtido atravs da aplicaode $1.000,00 por uma ano acada uma dessas taxas em

    regime de juros simples,utilizando a frmula:

    S = P (1 + i x n)

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    Taxa de Juros pg. 16Perodo Taxa Frmula Montante

    final

    Ms 1% S = 1.000 (1 + 0,01 x 12) 1.120,Trimestre 3% S = 1.000 (1 + 0,03 x 4) 1.120,Semestre 6% S = 1.000 (1 + 0,06 x 2) 1.120,

    Ano 12% S = 1.000 (1 + 0,12 x 1) 1.120,

    Frmula Geral

    id x 360 = i m x 12 = i b x 6 = i t x 4 = i q x 3 = i s x 2 = i a

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    Exemplo pg 17

    Qual o montante acumulado no finalde 4 anos, a partir de um principal de$ 100,00, com uma taxa de juros de

    12%a.a, no regime de juros simples? Qual o montante acumulado no finalde 4 anos, a partir de um principal de$ 100,00, com uma taxa de juros de6%a.s, no regime de juros simples?

    Qual o montante acumulado no finalde 4 anos, a partir de um principal de$ 100,00, com uma taxa de juros de3%a.t, no regime de juros simples?

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    Soluo - pg. 17Prazo(n) Taxa(i) FrmulaS = P (1 + i x n)

    Montante(S)

    4 anos 12%a.a = 0,12 S = 100 (1 + 0,12 x 1) 148,

    4 anos = 8semestres

    6%a.s = 0,06 S = 100 (1 + 0,06 x 8) 148,

    4 anos = 16trimestres

    3%a.t = 0,03 S = 100 (1 + 0,03 x 16) 148,

    Concluso: as taxas 12 %a.a ,6% a.s e 3%a.t soproporcionais.

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    Exemplo

    Qual a taxa de juros mensalque proporcional a60%a.s?

    im1

    0,66

    =

    im x 6= 1 x 0,6

    im x 6= 0,6

    im = 0,6 / 6im = 0,1

    im = 10% a.m

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    Taxas Equivalentes pg. 17

    Duas ou mais taxas so ditasequivalentes, seconsiderados o mesmo prazode aplicao e o ms capital,ambas produzirem um

    mesmo montante no finaldesses prazo, no regime de juros compostos.

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    Taxas Equivalentes pg.17 Seja um capital P aplicadopor ano a uma taxa i a:

    O montante S ser igual a:

    S = P (1 + i a)

    Consideremos agora omesmo capital P aplicado por12 meses a uma taxamensal: O montante S ser:

    S = P (1 + i m)12

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    Taxas Equivalentes pg.17

    Portando P (1 + i a) = P (1 + i m)12

    Da conclumos: (1 + i a) = (1 + i m)12

    Frmula Geral (1 + i d)360 = (1 + i m)12 = (1 + i b)6 = (1 + i t)4 = (1

    + i q)3 = (1 + i s)2 = (1 + i a)

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    Exemplo pg 18

    Qual a taxa anual equivalente a 8%ao semestre?

    1 + i a = (1 + i s)2

    1 + i a = (1 + 0,08) 2

    1 + i a = (1,08)2

    1 + i a = 1,1664 ia = 1,1664 - 1

    ia = 0,1664 = 16,64%a.a

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    Taxas Nominais pg.18

    aquela em que a unidadede tempo no coincide com aunidade de tempo dosperodos de capitalizao.

    Exemplo: 60%a.a capitalizadosmensalmente. 24%a.a capitalizados

    trimestralmente

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    Taxas Nominais = Nota

    A taxa nominal bastanteutilizada no mercado, entretanto

    o seu valor nunca usado nosclculos por no representar umataxa efetiva. O que realmenteinteressa a taxa efetiva

    embutida na taxa nominal, poisela que ser efetivamenteaplicada em cada perodo decapitalizao.

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    Taxas Nominais Simbologia

    in = Taxa nominal if = Taxa efetiva n = nmero de perodos de

    capitalizao referente taxanominal

    nin

    if = e i n = if x n

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    Exemplo

    Uma taxa de 15%a.a,capitalizao mensal, ter

    14,55%a.a como taxa efetiva: 15/12 = 1,25 1,025 = 0,1608 = 16,08%

    12%a.a, capitalizados significauma taxa efetiva de: 12/12 = 1%a.m

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    Taxas Efetivas pg. 20

    aquela em que a unidade dereferncia do seu tempo coincidecom a unidade de referncia dosperodos de capitalizao. Exemplo 3% ao ms, capitalizados

    mensalmente; 4% ao trimestre, capitalizados

    trimestralmente 6% ao semestre, capitalizados

    semestralmente; 10% ao ano, capitalizados

    anualmente.

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    Taxas Efetivas

    Simbologia: if = taxa efetiva

    Frmula Geral

    PSif = - 1 x 100 PJif = x 100

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    Exemplo

    Qual a taxa de juros mensalcobrada por uma instituio

    financeira que empresta $2.400,00, pelo prazo de 6meses, sabendo-se que o

    tomador dever pagar nofinal desse prazo $2.465,00?

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    Soluo

    PS

    if = - 1 x 100

    2.400

    2.465if = - 1 x 100

    if = (1,27 -1) x 100

    if = 0,27 x 100if = 2,71% a.s

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    Cont. Soluo

    (1 + i m) = (1 + i s) (1 + i m) = (1 + 0,0271)

    (1 + i

    m) = (1,0271)

    (1 + i m) = 1,0549 1 + i m = 1,0549 1 + i m = 1,0549 1/12

    1 + i m = 1,0549 0,0833 1 + i m = 1,0045 im = 1,0045 -1

    im = 0,0045= 0,45%a.m

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    Taxa Real pg. 20

    A taxa real a taxa efetivacorrigida pela taxa inflacionriado perodo da operao.

    So taxas usadas nas aplicaesps-fixadas. A taxa de juros real no inclui ainflao estimado para o perodo.Ela pode ser calculada a partir deuma taxa nominal ou efetiva,expurgando-se a inflao nelaembutida atravs da seguintefrmula:

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    Taxa Real (frmula) pg. 20

    Simbologia: ir = taxa de juros real unitria

    in = taxa de juros nominal unitria F = inflao unitria no perodo

    1 + F1 + i n1 + i r = 1 + F

    1 + i nir = - 1

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    Exemplo pg. 20

    Suponha um pas onde a taxa deinflao mensal seja de 20% a.m. Seum emprstimo tem uma taxa nominalde 26%, qual a taxa real desteemprstimo?

    1 + F1 + i n

    ir = - 1

    1 + 0,201 + 0,26ir = - 1

    1,20

    1,26ir = - 1

    ir = 1,05 - 1

    ir = 0,5

    ir = 5% a.m

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    Exerccio

    1 - Indique a taxaquadrimestral e anualproporcionais a 6% a.t.

    2 - Calcular a taxaquadrimestral equivalente a5,3% a.t.

    3 - Sendo uma taxa de 54%ao ano, com capitalizaotrimestral, qual a taxa

    efetiva?

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    Cont. Exerccio

    4 Uma pessoa aplicou hoje aimportncia de $ 800,00,recebendo no final de 3 meses $

    150,00 de juros. Qual a taxaefetiva mensal recebida pelaaplicao?

    5 - Suponha que a taxa deinflao mensal seja de 10% a.m.Se um emprstimo tem uma taxanominal de 12,20%, qual a taxareal deste emprstimo?

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    Resposta 1

    iq4

    0,063=

    iq x 3 = 4 x 0,06

    iq x 3 = 0,24

    iq = 0,24 / 3

    iq = 8% a.q

    ia12

    0,063=

    ia x 3 = 12 x 0,06

    ia x 3 = 0,72

    ia = 0,72 / 3

    ia

    = 24% a.a

    iq = 0,08 ia = 0,24

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    Resposta 2 (1 + i q)3 = (1 + i t)4

    (1 + i q)3 = (1 + 0,053) 4

    (1 + i q)3 = (1,053) 4

    (1 + i q)3

    = 1,2295 1 + i q = 31,2295 1 + i q = 1,2295 1/3

    1 + i q = 1,2295 0,3333

    1 + i q = 1,0713 iq = 1,0713 -1 iq = 0,0713 = 7,13%a.q

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    Resposta 3

    in= 54%a.a n = trimestre = 4

    nin

    if =

    454if =

    if = 13,5% a.t

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    Resposta 4

    PJ

    if = x 100

    800150if = x 100

    if = (0,1875) x 100

    if = 18,75% a.t

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    Cont. Resposta 4

    (1 + i m) = (1 + i t)4 (1 + i m) = (1 + 0,1875) 4 (1 + i

    m) = (1,1875) 4

    (1 + i m) = 1,9885 1 + i m = 1,9885 1 + i m = 1,9885 1/12

    1 + i m = 1,9885 0,0833 1 + i m = 1,0590 im = 1,0590 -1

    im = 0,0590= 5,90%a.m

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    Resposta 5

    1 + F1 + i n

    ir = - 1

    1 + 0,101 + 0,122

    ir = - 1

    1,101,122

    ir = - 1

    ir = 1,02 - 1

    ir = 0,2

    ir = 2% a.m

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    Valor Presente e Valor Futuro pg. 21

    Um real na mo hoje valemais do que um real a ser

    recebido daqui a um ano,pois se voc tiver um realhoje voc pode investi-lo e

    receber juros desteinvestimento, de forma quedaqui a um ano voc termais do que um real.

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    Consideraes pg. 21

    Valor Presente (P): Tambm chamado de capital

    ou principal, o valor que eutenho na data 0.

    Valor Futuro (S): Tambm chamado de

    Montante, o valor que tereiem uma data n no final dofluxo, aps juros, entradas esadas.