Todas as grandezas do mundo no valem uma boa amizade (Gandhi)

Prof. Me. ARI JR.

MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL PARA DADOS NO AGRUPADOSA partir das idades das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma nica idade que caracteriza o grupo todo.

Considerando as temperaturas de vrios momentos em um ms qualquer, podemos determinar uma s temperatura que d uma idia de todo o perodo.

Avaliando as notas de um aluno no bimestre, podemos registrar com apenas uma nota seu aproveitamento.

Em situaes como estas, o nmero obtido a medida da tendncia central dos vrios nmeros usados. A mdia aritmtica a mais conhecida entre as medidas de tendncia central. Alm delas, veremos a moda e a mediana.

Mdia Aritmtica ()Uma idia bastante importante a idia de mdia. Uma mdia de uma lista de nmeros um valor que pode substituir todos os elementos da lista sem alterar uma certa caracterstica da lista. Se essa caracterstica a soma dos elementos da lista, obtemos a mais simples de todas as mdias, a mdia aritmtica. A mdia aritmtica (simples) da lista de n nmeros x1; x2; ... ; xn um valor tal que

Portanto, a mdia aritmtica (simples) da lista de n nmeros x1; x2; ... ; xn definida por

Por exemplo: Se os contedos de 4 baldes de gua so: 3 , 5, 2, e 1. E, se toda essa gua fosse distribuda igualmente entre esses baldes, com quantos litros de gua ficaria cada um?

A quantidade de gua de cada um seria razo da quantidade total de gua para o nmero de baldes, isto :

O resultado 2,75 chamado de mdia aritmtica dos valores 3, 5, 2, e 1.

Podemos entender a mdia aritmtica de duas ou mais quantidades como sendo o valor que cada uma delas teria se, mantendo-se a soma delas, todas fossem iguais.

A mdia aritmtica dos nmeros x1, x2, x3, ..., xn, que se indica por x, dada por:

ou

Mdia Aritmtica Ponderada ()Cinco baldes contm 4 litros de gua cada um, trs outros contm 2 de gua cada um, e, ainda, dois outros contm 5 de gua cada um. Se toda essa gua fosse distribuda igualmente entre esses baldes, com quantos litros ficaria cada um?

A quantidade de gua de cada balde seria a razo da quantidade total de gua para o nmero de baldes, isto :

O resultado 3,6 chamado de mdia aritmtica ponderada dos valores 4, 2 e 5, com pesos (fatores de ponderao) 5, 3 e 2, respectivamente.

A mdia aritmtica ponderada dos nmeros x1, x2, x3, ..., xn com pesos, p1, p2, p3, ..., pn, respectivamente, o numero tal que:

Atividades de Fixao01) (UEPA) A figura abaixo mostra o ciclo de crescimento do eucalipto, uma planta utilizada para produzir pasta de celulose e bastante usada na fabricao de papel, carvo vegetal e madeira. A mdia, aproximada, de crescimento do eucalipto, nos 7 primeiros anos, de acordo com os dados apresentados, :

a) 15,34 m

b) 20,28 m

c) 25,47 m

d) 26,38 m

e) 27,20 m

A BUSCA DO CONHECIMENTO

02) (UEPA) Aos alunos foi dada a tarefa de calcular a mdia da turma em matemtica, cuja distribuio encontrava-se no quadro magntico LAFIMAT. Naquela tabela, a coluna Xi representava um registro das notas e a coluna Fi, a freqncia das mesmas. Ao final do tempo previsto, os alunos apresentaram a resposta correta, que :

a) 5,88

b) 5,90

c) 9,80

d) 9,83

e) 9,88

03) (UEPA)

O grfico acima mostra a evoluo da entrega de declaraes e documentos, via internet. A mdia, em milhes de unidades, de entrega de declaraes e documentos no perodo de 2000 a 2005 :

a) 22,4

b) 28,5

c) 33,6

d) 40,5

e) 45,6

04) (UEPA) Uma escola em Belm atribui pesos para o clculo das quatro avaliaes anuais. A primeira avaliao tem peso 1; a segunda, peso 2; a terceira, peso 3 e; a quarta, peso 4. Sendo assim, considerando as quatro avaliaes de um aluno que obteve para 1, 2, 3 e 4 avaliaes, as respectivas notas: 6,0; 4,0; 7,0 e 9,5, a mdia foi exatamente:

a) 6,6

b) 6,9

c) 7,1

d) 7,3

e) 7,6

05) Numa empresa, dez operrio tm salrio de R$ 2.000,00 mensais; doze tm salrio de R$ 1.500,00 mensais; e oito operrios tm salrio de R$ 1.400,00 mensais. Qual o salrio mdio desses operrios?

Moda (Mo)Consideramos as idades, em anos, dos dez atletas que representaram o colgio nos ltimos jogos interestaduais: 16, 19, 19, 22, 17, 19, 19, 17, 18, 18. A idade de maior freqncia possvel 19 anos, por isso dizemos que a moda dessa amostra 19 anos, e indicamos:

Mo = 19 anos

Em uma amostra cujas freqncias dos elementos no so todas iguais, chama-se moda, que se indica por Mo, todo elemento de maior freqncia possvel.

Observaesa) Na amostra 3, 4, 7, 3, 7, 9, 7, temos:

Mo = 7

b) Na amostra 9, 9, 5, 7, 10, 2, 10, temos duas modas (amostra bimodal):

Mo = 9 e Mo = 10

c) A amostra 1, 5, 7, 6, 45, 2, 0 no apresenta moda, pois todos os seus elementos tm a mesma freqncia.

Exemplo: (UEPA) O grfico de setores abaixo mostra os resultados obtidos em uma pesquisa com clientes de um supermercado sobre um de seus produtos. De acordo com sua satisfao, cada cliente indicava uma nota de 1 a 5 para o mesmo produto. O grfico abaixo, por exemplo, mostra que 5% dos consumidores deram nota 1 para o produto consultado.

Considerando o mesmo grfico, correto afirmar que a moda do conjunto de todas as notas dadas para o produto foi:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Mediana (Md)As estaturas, em centmetros, dos cinco jogadores da equipe de basquetebol do nosso colgio so:

184; 179; 190; 181; 178

Dispondo essas estaturas em rol, temos:

178; 179; 181; 184; 190

O termo central desse rol chamado de mediana da amostra. Indicando a mediana por Md, temos:

Md = 181 cm

Dispondo em rol as notas da prova de histria dos alunos de 1 srie B, temos:

Como o nmero de termos do rol par, define-se a mediama da amostra como a mdia aritmtica entre os termos centrais do rol, isto :

Consideramos n nmeros dispostos em rol x1, x2, x3, ..., xn.

Sendo n mpar, chama-se mediana (Md) o termo central desse rol, isto , o termo x1, com:

Sendo n par, chama-se mediana (Md) a mdia aritmtica entre os termos centrais desse rol, isto , a mdia aritmtica entre os termos x1, e x1 + 1 com:

Nota

Para se determinar a mediana, a amostra pode ser colocada em rol do menor nmero para o maior, ou do maior para o menor. Nos dois ris o termo mdio o mesmo.

ExercciosLeia o Texto XVII para responder s questes 01 e 02.

01) (UEPA) Em relao aos dados obtidos nessa pesquisa correto afirmar que a mdia percentual de estudantes que sofrem bullying, nas capitais brasileiras, igual a:

a) 38,65%

b) 35,89%

c) 33,94%

d) 32,92%

e) 30,66%02) (UEPA) Observando os dados apresentados no grfico anterior, possvel afirmar, em relao ao valor da mediana que:

a) ter valor correspondente a 33,2%.

b) ter valor correspondente ao da cidade de Porto Alegre.

c) ter valor correspondente a 32,4%.

d) ter valor correspondente ao da cidade de Joo Pessoa.

e) ter valor correspondente a 31,2%.

03) (ENEM) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de gincana na qual as pontuaes recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A mdia das cinco equipes foi de 2 pontos.

As notas das equipes foram colocadas no grfico a seguir, entretanto, esqueceram de representar as notas da equipe D e da equipe E.Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e E, pode-se concluir que os valores da moda e da mediana so, respectivamente.

a) 1,5 e 2,0.

b) 2,0 e 1,5.

c) 2,0 e 2,0.

d) 2,0 e 3,0.

e) 3,0 e 2,0.

04) (ENEM) Depois de jogar urn dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas.e anotar o nmero obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuio de frequncias.

A mdia, mediana e moda dessa distribuio de frequncias so, respectivamente

a) 3, 2 e 1

b) 3, 3 e 1

c) 3, 4 e 2

d) 5, 4 e 2

e) 5, 2 e 4

05) (ENEM) A tabela mostra alguns dados da emisso de dixido de carbono de uma fbrica, em funo do nmero de toneladas produzidas.

Cadernos do Gastar II, Matemtica TP3. Disponvel em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa mdia de variao entre a emisso de dixido de carbono (em ppm) e a produo (em toneladas)

a) inferior a 0,18.

b) superior a 0,18 e inferior a 0,50.

c) superior a 0,50 e inferior a 1,50.

d) superior a 1,50 e inferior a 2,80.

e) superior a 2,80.06) (ENEM) Na tabela, so apresentados dados da cotao mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Braslia, em reais, por caixa de 30 dzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotaes mensais do ovo extra branco nesse perodo era igual a

a) R$ 73,10.

b) R$ 81,50.

c) R$ 82,00.

d) R$ 83,00.

e) R$ 85,30.

07) (MACK SP)

A tabela acima refere-se a uma prova aplicada a 200 alunos, distribudos em 4 turmas A, B, C e D. A mdia aritmtica das notas dessa prova

a)4,65

b)4,25

c)4,45

d)4,55

e)4,35

08) (ACAFE SC) A tabela abaixo fornece dados sobre o nmero total de veculos emplacados circulando na cidade de Florianpolis no perodo de 2002 a 2011.

Segundo dados do IBGE, a populao de Florianpolis em 2007 era de 396.723 habitantes, enquanto que em 2010 era de 421.203 habitantes.Com base nessas informaes, analise as seguintes afirmaes:

I.O crescimento mdio do nmero de veculos de 2003 a 2011 foi de 21.9774,9.

II.O maior crescimento percentual na frota de veculos aconteceu no ano de 2002 para o ano de 2003.

III.Considerando os dados do IBGE e do DETRAN-SC, conclui-se que a taxa percentual de crescimento do nmero de veculos em Florianpolis seja aproximadamente 3,4 maior que a taxa de crescimento de habitantes da cidade.

Assinale a alternativa correta.

a)Apenas I e II esto corretas.

b)Apenas II e III esto corretas.

c)Apenas a afirmao III est correta.

d)Todas as afirmaes esto corretas.

09) (FGV) A mdia aritmtica de trs nmeros supera o menor desses nmeros em 14 unidades, e 10 unidades menor do que o maior deles. Se a mediana dos trs nmeros 25, ento a soma desses nmeros igual a

a)60.

b)61.

c)63.

d)64.

e)66.

010) (UNIFOR CE) O grfico abaixo mostra a variao do IPC, ndice de Preos ao Consumidor, em uma capital brasileira pesquisada no perodo de abril a agosto de 2011.

Baseado nos dados do grfico acima, podemos afirmar que a mdia do IPC durante esses cincos meses foi, aproximadamente, de:a)0,10%

b)0,22%

c)0,33%

d)0,42%

e)0,50%

011) (UEFS BA)

Disponvel em: . Acesso em: 20 dez. 2010.

O grfico mostra o nmero de gols por temporada, marcados pelo atacante brasileiro Ronaldo fenmeno, at maio de 2009.Se no for considerado o ano de 2000, em que o craque esteve em tratamento de uma sria leso no joelho e praticamente no jogou, a sua mdia de gols entre 1997 e 2008 foi de, aproximadamente,a) 26,18b) 25,84c) 25,52d) 25,26e) 24,92

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