1. Introdução

2. Vetores: Tratamento Geométrico

3. Vetores: Tratamento Algébrico

4. Produto Escalar

5. Produto Vetorial

6. Produto Misto

7. Estudo da Reta

8. Estudo do Plano

9. Distâncias

3. Vetores: Tratamento Algébrico• Decomposição de um vetor no plano• Expressão analítica de um vetor• Igualdade de vetores• Operações com vetores• Vetor definido por dois pontos• Ponto médio• Paralelismo de dois vetores• Módulo de um vetor• Vetores no espaço: • Conceitos; Igualdade; Operações; Vetor definido por dois

pontos; Ponto Médio; Paralelismo; Módulo de um vetor.

A base canônica determina o sistema cartesiano ortogonal xOy no plano

A um ponto P(x,y) qualquer desse plano corresponde o vetor

No espaço, de forma análoga, consideraremos a base canônica . como sendo aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogonal Oxyz

Estes três vetores são unitários, orotogonais dois a dois, e estão representados com origem no ponto O

Os três eixos cartesianos são determinados peloponto O e e pela direção dos vetores da base: Eixo Ox (das abcissas): Eixo Oy (das ordenadas): Eixo Oz (das cotas):

x

y

z

O

1

1

1

Cada dupla de vetores da base (ou cada dupla de eixos) determina um plano coordenado

Teremos três planos coordenados:

Planos Coordenados

O

x

y

z

O

x

y

z

O

x

y

z

Plano xOy (ou xy): Plano xOz (ou xz): Plano yOz (ou yz):

Assim como no plano, a cada ponto P(x,y,z) do espaço irá corresponder o vetor

As próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as componentes do vetor na base canônica

A expressão analítica do vetor . é dada por:

Exemplos:

Expressão Analítica de um Vetor no Espaço

P

x

y

z

x

y

z

P

x

y

z

Tomemos o paralelepípedo da figura ao lado, onde P(2,4,3).

Dizemos que um ponto (x,y,z) está no: Eixo dos x quando y = 0 e z = 0 →A(2,0,0) Eixo dos y quando x = 0 e z = 0 → C(0,4,0) Eixo dos z quando x = 0 e y = 0 → E(0,0,3) Plano xy quando z = 0 → B(2,4,0) Plano xz quando y = 0 → F(2,0,3) Plano yz quando x = 0 → D(0,4,3)

x

y

z

O

2A B

C

DE

F P

4

3

O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim como D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente

O ponto A é a projeção de P no eixo dos x, assim como C e E são as projeções de P nos eixos dos y e dos z, respectivamente

Todos os pontos da face PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele

Todos os pontos da face PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele

Todos os pontos da face PFAB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele

x

y

z

O

2A B

C

DE

F P

4

3

O eixo dos x pode ser descrito como o conjunto dos pontos do tipo (x,0,0), ou seja, daqueles que têm y = 0 e z = 0

O plano xy pode ser descrito como o conjunto de pontos do tipo (x,y,0), ou seja, daqueles que têm z = 0

Os demais eixos e planos podem ser descritos de forma análoga

Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3,-2,4), procedemos da seguinte forma:1) Marca-se o ponto A’(3,-2,0)

no plano xy2) Desloca-se A’ paralelamente

ao eixo dos z, 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 unidades para baixo) para obter o ponto A

Marcando um Ponto no Espaço

x

y

z

3

-2

4

A’

A

Os três planos coordenados se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões denominadas octantes

O primeiro octante é constituído dos pontos com todas coordenadas positivas (cinza)

Os demais octantes acima do plano xy se sucedem em ordem numérica, a partir do primeiro, no sentido positivo (verde, azul e vermelho, nesta ordem)

Os octantes abaixo do plano xy se sucedem na mesma ordem a partir do quinto que, por convenção, se situa sob o primeiro

Octantes

x y

z

1°

2°

3°

4°

C’

D’A’

B’

A figura abaixo apresenta os pontos A, B, C e D situados acima do plano xy, e os pontos A’, B’, C’ e D’ situados abaixo do plano xy:

Octantes

A’(6,4,-2), no 5° octante B’(-6,-5,-2), no 6° octante C’(-6,-5,-2), no 7° octante D’(5,-3,-2), no 8° octante

A(6,4,2), no 1° octante B(-5,3,2), no 2° octante C(-6,-5,2), no 3° octante D(5,-3,2), no 4° octante

BC

x

z

AD

56

-3

3

-6-5

xy

-5y

O

4

1) Traçar o retângulo de vértices A(0,0,1), B(0,0,2), C(4,0,2) e D(4,0,1);

2) Traçar o retângulo formado pelos pontos (x,y,z) tal que –1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 e z = 3;

3) Calcular a distância do ponto A(3,4,–2):a) ao plano xyb) ao plano xzc) ao plano yzd) ao eixo dos xe) ao eixo dos yf) ao eixo dos z

Exercícios

Dois vetores e são iguais se, e somente se:

Exemplo: Quais os valores de a, b e c, sabendo que os vetores

. e são iguais?

Igualdade de Vetores

Dados os vetores e e define-se:

Exemplo: Sejam os vetores e , calcule o vetor

Operações com Vetores

(soma de dois vetores)

(multiplicação de um número real por um vetor)

Se e são dois pontos quaisquer no espaço, então

Já vimos que: se , então :

Vetor Definido por Dois Pontos

x

y

z

O

Se e são pontos extremos de um segmento, o ponto médio M de AB é

Ponto Médio

Se os vetores e são paralelos, então:

Paralelismo de Dois Vetores

O módulo do vetor é dado por:

Módulo de um Vetor

1) Dados os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores , . e , verificar se existem os números a1, a2 e a3 tais que

2) Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3,-2,4), B(5,1,-3) e C(0,1,2)

3) Sabendo que o ponto P(-3,m,n) pertence à reta que passa pelos pontos A(1,-2,4) e B(-1,-3,1), determinar m e n

4) Seja o triângulo de vértices A(4,-1,-2), B(2,5,-6) e C(1,-1,-2). Calcular o comprimento da mediana do triângulo relativa ao lado AB

Exercícios