Isomorfismo de grafo

Prof. Andre Luiz

Teoria dos grafos

Isomorfismo de grafos

Decidir quando dois desenhos de grafos

representam o mesmo grafo uma tarefa difcil

Uma tarefa relacionada a de decidir quando duas

especificaes diferentes de grafos so

estruturalmente equivalentes

Desenvolver um algoritmo para tomar estas

decises um problema no resolvido

Isomorfismo de grafos

A forma e o comprimento de uma aresta e a sua

posio no espao no fazem parte da

especificao de um grafo

Cada grafo tem infinitas representaes espaciais

2 3

0 1

6 7

4 5

2 3

0

1

6 7

4

5

Dois desenhos diferentes do mesmo grafo

Isomorfismo de grafos

Como reconhecemos que os grafos abaixo so o

mesmo grafo?

Os vrtices e arestas tem rtulos iguais

Ambos tm 8 vrtices e 12 arestas

Cada par de vrtices adjacentes em um grafo

adjacente no outro grafo

2 3

0 1

6 7

4 5

2 3

0

1

6 7

4

5

Dois desenhos diferentes do mesmo grafo

Equivalncia estrutural

O conceito de isomorfismo vem formalizar

exatamente a ideia de grafos que, apesar de no

serem iguais, apresentam as mesmas propriedades

estruturais.

Equivalncia estrutural

Se os grafos no tiverem rtulos ou os rtulos

forem diferentes a tarefa fica mais difcil

3

5

2 1

6

7

4

8

u

w t

s

x

y v

z

Equivalncia estrutural

A especificao de um grafo G pode ser

transformada na especificao de um grafo H pela

seguinte funo bijetora f nos rtulos dos vrtices

3

5

2 1

6

7

4

8

u

w t

s

x

y v

z

1 s 5 w 2 t 6 x 3 u 7 y 4 v 8 z

Formalizando equivalncia

Definio: Seja G e H dois grafos simples, uma

bijeo de vrtices f: VG VH preserva adjacncia se para cada par de vrtices adjacentes u e v no

grafo G, os vrtices f(u) e f(v) so adjacentes no

grafo H.

Definio: f preserva no-adjacncia se f(u) e f(v)

forem no-adjacentes sempre que u e v forem no-

adjacentes

Formalizando equivalncia

Definio: Uma bijeo de vrtices f: VG VH entre os conjuntos de vrtices de dois grafos simples G e H preserva estrutura se ela preserva adjacncia e no-adjacncia.

Para cada par de vrtices em G: u e v so adjacentes em G ento f(u) e f(v) so

adjacentes em H

u e v no so adjacentes em G ento f(u) e f(v) no so adjacentes em H

Isomorfismo de grafos

A figura abaixo define um isomorfismo entre os dois

grafos simples mostrados. Verifique que a funo

preserva a estrutura.

2 3

0 1

6 7

4 5

c

e

b a

f

g

d

h

a=f(0)

d=f(3)

f=f(5)

g=f(6)

b=f(1)

c=f(2)

e=f(4)

h=f(7)

Isomorfismo de grafos

Fica mais fcil analisar a preservao da estrutura

alterando-se os rtulos do segundo grafo

2 3

0 1

6 7

4 5

2

4

1 0

5

6

3

7

Isomorfismo de grafos

No exemplo abaixo, a funo j j+4 bijetora e preserva adjacncia, mas no um isomorfismo.

Por que?

1 2

0 3

5 6

4 7

Isomorfismo de grafos

No exemplo abaixo, a funo j j mod 2 preserva adjacncia e no-adjacncia, mas no um

isomorfismo. Por que?

2

1 0

1 0

Isomorfismo de grafos

A relao isomrfico a uma relao simtrica, transitiva e reflexiva, sendo assim um relao de

equivalncia. Reflexiva: G isomrfico a ele prprio

Simtrica: se G isomrfico a H, ento H isomrfico G

Transitiva: se F isomrfico a G, e G isomrfico H, ento F

isomrfico H

Definio: Cada classe de equivalncia chamada um

tipo isomrfico.

Os grafos abaixo representam os 4 tipos isomrficos de

um grafo simples de 3 vrtices

Isomorfismo de dgrafos

Definio: Dois dgrafos so isomrficos se existe

um isomorfismo f entre seus grafos equivalentes

que preserve a direo de cada aresta.

Isto , a aresta e direcionada de u para v se, e

somente se, f(e) direcionada de f(u) para f(v).

Dgrafos no-isomrficos

Isomorfismo por fora bruta

A definio de isomorfismo implica que dois grafos

so isomorfos se for possvel ordenar seus vrtices

de forma que suas matrizes de adjacncia sejam

iguais

u

x w

v a b

c

d

AG =

AH =

G H

Isomorfismo por fora bruta Algoritmo: Teste fora bruta para o isomorfismo de grafos

funo isomorfos(G,H)

se |VG| |VH| ento

retorne 0

se as sequncias de graus no so iguais ento

retorne 0

Fixe uma ordenao para o grafo G

Escreva a matriz de adjacncia AG com esta ordenao

para cada ordenao de vrtices de H faa

Escreva a matriz de adjacncia AH se AH=AG ento

retorne 1

retorne 0

Isomorfismo por fora bruta

Seria muito til ter um algoritmo rpido para

verificar se dois grafos quaisquer so isomorfos

Dado uma bijeo de vrtices, pode-se verificar se

os grafos so isomorfos visitando todos os pares

de vrtices

No entanto existem n! bijees possveis para

verificar

O algoritmo fora bruta no funciona

O problema do isomorfismo

O problema do isomorfismo construir um

algoritmo para decidir o isomorfismo de grafos, ou

de provar que este algoritmo no existe.

Aplicao: Disputa de patentes e espionagem

industrial na indstria de chips e circuitos

eletrnicos. Provar que um circuito um mero

rearranjo de outro circuito.

Exerccios

Ache os tipos isomrficos de uma rvore de 4

vrtices

Exerccios

Ache uma bijeo de vrtices que defina um

isomorfismo entre os grafos abaixo:

u v

x w r z s t

Exerccios

Ache uma bijeo de vrtices que defina um

isomorfismo entre os grafos abaixo:

u v

x w

s z

r t

Exerccios

Ache uma bijeo de vrtices que defina um

isomorfismo entre os grafos abaixo:

u v

x w

s z

r t

y q