Aula 07 Medidas de Tendencia Central de Dados Não Agrupados

AULA 07ESTATÍSTICA

Professor: João AlessandroMEDIDAS DE

TENDÊNCIA CENTRAL

DE DADOS NÃO AGRUPADOS

NOTAÇÃO

Característica amostra população

∑ ∑Somatório de um conjunto de valores

Valores individuais dos dados x i x i

Número de valores (tamanho do conjunto) n N

Média aritmética µ

Desvio padrão s σ

σ 2s 2Variância

Range (amplitude) R -

x

Notações Estatísticas

Achatamento - curtoseAssimetria - coeficiente de assimetria

-Média aritmética-Mediana-Moda-Quartis-Percentis

-Amplitude-Variância-Desvio padrão-Coeficiente de Variação-Desvio médio

MEDIDAS ESTATÍSTICAS DISPERSÃO

POSIÇÃO tendência central

FORMA

Sínteses Numéricas

µ = Σ x N

Média de todos os valores de uma população.

χ = Σ x n

_Média de um conjunto de valores

amostrais.

Obs.: A média nos dá uma idéia de onde os valores do meu conjunto de dados tende a se concentrar.

Corresponde ao somatório de um conjunto de valores dividido pelo número destes valores.

Média = Σ x n

n = número de valores

Medidas de Posição – Tendência Central

Média aritmética

Média aritmética

Exercício : Um estudante fez quatro provas e obteve as notas 89, 94, 95 e 86, a sua nota média é:

5,894

86959489 =+++=x

notação

=+++=n

xxxx n...21

n

x

n

xn

ii ∑∑

==1


Média aritmética


É a mais importante das medidas de tendência central;

A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada;

Para um dado conjunto de números, a média é única;

É sensível (ou afetada) a todos os valores do conjunto. Assim se um valor se modifica, a média também se modifica;

Somando-se ou reduzindo-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará aumentada ou reduzida dessa constante: µ(x ± k) = µ (x) ± k;

Multiplicando-se ou dividindo-se cada valor do conjunto por uma constante, a média ficará multiplicada ou reduzida por essa constante: µ(x .\ k) = µ (x) .\ k

Foi introduzida recentemente nos estudos estatísticos;

Se obtém eliminando do conjunto de dados os “m” maiores e os “m” menores valores;

Média aparada

No conjunto de dados abaixo, calcular a média aparada, com m =2

1, 2, 6, 7, 6, 8, 10, 8, 12, 23, 25, 8, 9, 7, 11, 12, 13, 10, 8, 9, 7, 12, 12, 10, 9, 11,7, 8, 6, 8, 9, 10, 11, 8, 7, 11, 12, 6, 10, 9, 7, 8, 10, 6, 7, 12, 8, 9, 10,

Normalmente m correspondente: 2,5% a 5% dos valores observados;

Na verdade o que se está fazendo é eliminando os valores extremos superiores e inferiores (valores discrepantes - outliers);


Média aparada

0

5

10

15

20

25

30

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

A média aparada exclui valores discrepantes

A média aritmética de todos os valores é = 9,29Excluindo os dois menores e dois maiores valores (1, 2, 23 e 25), a média aparada é = 8,98


Cada elemento do conjunto pode ter importância diferente (peso). Neste caso o cálculo da média deve levar em conta os pesos desiguais de cada elemento.

Exercício : O colégio definiu que as provas mensais teriam peso de 30% e a prova final teria peso de 40% no cálculo dos rendimentos dos alunos. Veja o quadro abaixo e calcule a média do aluno.

Média ponderada

800,30

0,30Mês 2 90

96

exame nota pesoMês 1

Final 0,40

=0,3*80 + 0,3*90 + 0,4*96

0,3 + 0,3 + 0,489,4=px


Média ponderada

Notação

n

nnp ppp

pxpxpxx

++++++=

...

...

21

2211p1, p2....pn são os pesos

∑

∑

=

== n

ii

i

n

ii

p

p

pxx

1

1


A Mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto, quando estes estão em ordem crescente.

Divide um conjunto de dados ordenados em dois grupos iguais.

3, 7, 5, 5, 1, 9, 15, 13, 17, 13, 17Dado o conjunto de 11 dados:Calcule a mediana.

Exercício

5 dados

11, 13, 13, 15, 179,Conjunto dados ordenados

5 dados

1, 3, 5, 5, 7,

Valor central = mediana

Mediana - Med


Conjunto de valores pares ( n = par)

+ Med = valorn/2 (n / 2) + 1

valor )( / 2

Conjunto de valores impares (n = impar)

valor(n+ 1) / 2

582107

232

,/)(

/)(

=+=+= posiçãovalorposiçãovalorMed

5, 7, 10, 11, 14 n = 5

103 == posiçãovalorMed

exemplo

Med = valor (5+1)/2 = valor 3

(valor 4/2 + valor (4/2 + 1))/2

5, 7, 10, 11 n = 4 exemplo


Mediana - Med

Med =

Med =

Exercício: Calcular a mediana das medidas de um conjunto de eixo:

(3,0 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,3 ; 3,5 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,0 ; 3,4 ; 2,7)

(2,7 ; 2,8 ; 2,9 ; 3,0 ; 3,0 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5)

Resolução:

Med = 3,0 + 3,1 2

= 3,05

Interpretação do resultado: 50% dos dados brutos são valores menores ou iguais a 3,05 e 50% desses são valores maiores ou iguais a 3,05.


Mediana - Med

Média aritmética MedianaX

Salário dos funcionários de um restaurante

200, 250, 250, 300, 450, 460, 510 7,3457

510460450300250250200 =++++++=x

A média de 345,7 sintetiza razoavelmente o conjunto de dados (salários)

Salário dos funcionários incluindo o gerente

200, 250, 250, 300, 450, 460, 2300 4,601=7

2300+460+450+300+250+250+200=x

A média de 601,4 não sintetiza razoavelmente o conjunto de dados Nos dois casos a mediana é 300. Para o segundo caso a mediana representa melhor o conjunto de dados.

Num conjunto de dados fortemente desviado, a mediana é uma medida mais representativa (distribuição de rendas, folha de pagamentos)


Moda - MO

A Moda de um conjunto de valores é o valor que apresenta maior freqüência em um conjunto de observações.

É o valor ou classe de maior freqüência num conjunto de dados.

- pode não existir

- pode não ser única

Exercício : Dado o conjunto de dados 10, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 18. Calcule a moda.A moda é constituída de dois valores: MO = 10 e 18 (duas vezes cada)


x = ∑ xn

COMPARAÇÃO


medida definição quão freqüent

e

existência considera todos valores

?

afetada pelos

valores extremos

vantagens e desvantagens

média “média” mais familiar

existe sempre

sim sim muito utilizada em estatística

mediana Valor médio

usada existe sempre

não não costuma ser boa escolha se há valores extremos

moda valor mais freqüente

usada às vezes

pode não existir; pode ter mais de uma moda

não não apropriada para dados ao nível nominal

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