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2.3.3. MOVIMENTO DE PRECESSÃO (“WHIRLING”) DE EIXOS ROTATIVOS

Em muitos equipamentos mecânicos encontramos rotores montados em eixos rotativos e em certas ocasiões estes eixos ficam submetidos a grandes amplitudes de vibração.

Para explicar este fenômeno, serão feita análises em um simples sistema rotativo constituído de um disco desbalanceado (representando o rotor), um eixo circular de massa desprezível em relação ao disco e mancais de rolamento de flexibilidade desprezível em relação ao eixo, ou seja mancais considerados rígidos. O rotor considerado é dito então isotrópico.

Rotor de Jeffcott ou Rotor De Laval

2

Devido ao desbalanceamento de massa e à rotação do eixo, há o surgimento de uma força centrífuga causando o eixo fletir.

A trajetória do centro do eixo em relação a linha que une os mancais é conhecida com movimento de precessão (“whirling”) ou rotação secundária.

De maneira geral, quando o rotor não é isotrópico, pode haver movimento de precessão direta ou de precessão retrógrada.

O movimento de precessão direta (“forward whirl”) é quando o centro do eixo gira no mesmo sentido da rotação do eixo

o movimento de precessão retrógrada (“backward whirl”) é quando o centro do eixo gira no sentido contrário ao da rotação do eixo.

Precessão Direta

Precessão Retrógrada

3

O: Centro de rotação

C: Centro geométrico

G: Centro de massa do disco

e : Excentricidade (medida do ponto C ao ponto G)

d : Deflexão do eixo (Amplitude do movimento de precessão ou amplitude de whirling) : Velocidade de rotação do eixo

: Ângulo de fase

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Para se determinar as equações do movimento, assume-se que as forças atuantes no disco são a força elástica restauradora do eixo e a dissipação de energia representada pela força de amortecimento viscoso, e estas forças estão atuando no centro do disco de coordenadas xc e yc

)(txkF ckx

Portanto, as forças elásticas e de amortecimento atuantes no centro do disco são iguais a:

)(tykF cky

)(txcF ccx )(tycF ccy Forças atuando na direção x

Forças atuando na direção y

As forças de inércia da massa (situada em G) são:

)(txmF gix )(tymF giy

Aplicando a segunda lei de Newton:

)()( txc(t)xktxm ccg

)()( tyc(t)yktym ccg

5

0)()( (t)xktxctxm ccg

0)()( (t)yktyctym ccg

O movimento de precessão é dado pelas coordenadas do centro do eixo, portanto temos que exprimir as coordenadas em G em termos de coordenadas em C:

)cos()()( tetxtx cg )sen()()( tetyty cg

0)()]cos([ 2 (t)xktxctexm ccc

Substituindo estas expressões e suas segunda derivadas, vem:

0)()]sen([ 2 (t)yktycteym ccc

)cos()( 2 tme(t)xktxcxm ccc

)sen()( 2 tme(t)yktycym ccc Equações do Movimento

6

As soluções em regime permanente são:

)cos( tX(t)xc )sen( tY(t)yc

222

22

222

2

)2()1(

/

)2()1(

/

rr

e

rr

kmeX n

222

2

)2()1( rr

erX

222

2

)2()1( rr

erY

2

2arctg

1

r

r

222

222

)2()1()()(

rr

ertytxd

222

2

)2()1( rr

r

e

d

A seguir a análise do

gráfico d/e versus r

7

222

2

)2()1( rr

r

e

d

8

Análise do Gráfico de ( d/e ) ( r ) (Cont.)

Caso i: região onde a razão de freqüências é muito menor do que 1, ou seja, a freqüência de rotação é muito menor que a freqüência natural do sistema: r << 1 (ou << n) (ou r 0).

Neste caso a deflexão tende a zero, assim como o ângulo de fase. A Figura abaixo exemplifica este caso.

d=0

9

Caso ii: região onde a razão de freqüências é quase igual a 1, ou seja, a freqüência de rotação é quase igual a freqüência natural do sistema (velocidade crítica): r 1 (ou n). Neste caso a

deflexão é controlada exclusivamente pelo amortecimento () e o ângulo de fase é em torno de 90o. Esta é a região da ressonância, uma região crítica, de altas amplitudes de vibração (dependendo do valor do amortecimento).

10

Caso iii: região onde a razão de freqüências é muito maior do que 1, ou seja, a freqüência de rotação é muito maior que a freqüência natural do sistema: r>>1 (ou >>n) (ou r ). Neste caso a

deflexão do eixo é aproximadamente igual a excentricidade, e o ângulo de fase aproximadamente igual a 180o.

d=e

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Exercício

Considere um rotor de um compressor de massa 55 kg em um eixo cuja rigidez é 1,4x107N/m, com uma velocidade de operação de 6000 rpm e fator de amortecimento viscoso igual a 0,05. A excentricidade devido ao desbalanceamento de massa é igual a 1000m. Calcule:

a) A velocidade crítica do rotor;

b) A amplitude (deflexão) da vibração na velocidade de operação; e

c) A amplitude na velocidade crítica.

Solução

a) m

knc srad / 5,504

55

104,1 7

b) 24,1

5,504

60/)26000(

n

r222

2

)2()1(

rr

red

e = 1000x10-6 = 10-3 m

mm 2,2m 0022,0)24,105,02(])24,1(1[

24,110222

3

d

c) Na velocidade crítica: r = 1. mm 10m 01,0)05,0(2

10

2

3

ed

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* Determinação da Primeira Velocidade Crítica de Sistemas Rotativos com Vários Discos

Determinação através de um método aproximado de determinação da primeira velocidade crítica (primeira freqüência natural) do sistema - Método de Rayleigh.

Neste método de Rayleigh despreza-se o amortecimento.

n

iii

n

iii

c

m

mg

1

2

1

m1

m2

m3

13

As deflexões nas localizações das cargas podem ser obtidas a partir da superposição das deflexões devido a cada carga agindo separadamente.

Exemplo: Calcule a primeira freqüência natural da vibração lateral do sistema abaixo utilizando o método de Rayleigh.

Solução:

a) Determinação da equação da linha elástica:

222

6)( bxL

EIL

Pbxxy

para )( bLx

14

b) Determinação das deflexões estáticas:

b.1) Devido à massa de 135 kg:

mEIEIL

yy3

2221

10273,35,15,25,5

6

5,25,1)81,9135()5,2(

mEIEIL

yy 10889,2

5,10,45,56

0,45,1)81,9135()0,4(

3222

2

b.2) Devido à massa de 225 kg:

mEIEIL

yy3

2222

10455,55,25,15,5

6

5,15,2)81,9225()5,1(

mEIEIL

yy 10524,7

5,20,35,56

0,35,2)81,9225()0,3(

3222

1

15

Adicionando y’ e y”, as deflexões em 1 e 2, devido às duas cargas, vêm a ser:

mEIEIEI

yy 10344,810455,510889,2 333

222

mEIEIEI

yy 10797,1010524,710273,3 333

111

Substituindo os valores das deflexões e das massas na expressão de Rayleigh, tem-se:

322 10344,8135797,10225

344,8135797,1022581,9

EIc

rad/s 03129,0 EIc