Sistemas linearesAula 1 - Sinais

Conceitos

Sinais e sistemas

Definições

Descrições

Representações matemáticas

Classificações

Sinais

Elementares (básicos)

Operações

Sinais

Definição:

Um sinal é a representação física de uma informação

Função de uma ou mais variáveis, a qual veicula informações sobre o

comportamento ou a natureza de uma natureza física

Função de uma variável independente f(t), em que geralmenta a variável t

representa o tempo

Exemplo

Circuito RC: o sinal pode ser a tensão no capacitor, vc(t), ou a corrente no

resistor, i(t)

Sinais

Exemplo

Batimentos cardíacos;

Flutuação diária dos preço das ações;

Sinais de fala;

Imagem;

Sistema

Entidade que processa sinais, modificando-os ou extraindo informações

Definição

Entidade que processa um conjunto de sinais (entradas) resultando em um outro

conjunto de sinais (saída)

Implementação

Hardware: componentes físicos, elétricos, mecânicos ou hidráulicos

Software: algoritmo que calcula as saídas em funções das entradas

Exemplos:

Sistema automático de fala;

Circuito elétrico;

Classificação de sinais

Sinais de tempo contínuo:

O sinal x(t) é de tempo contínuo se a variável de tempo t for contínua, ou seja,

definida para todo valor de t.

Sinais de tempo discreto:

O sinal x[n] é de tempo discreto se a variável de tempo n for definida em

tempos discretos;

Classificação de sinais

Um sinal de tempo discreto frequentemente é derivado de um sinal de

tempo contínuo fazendo-se amostragem do mesmo a uma taxa uniforme.

Classificação de sinais

Sinais pares e ímpares:

Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal par se:

𝑥 −𝑡 = 𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡

Diz-se que um sinal de tempo contínuo é um sinal ímpar se:

𝑥 −𝑡 = −𝑥 𝑡 , ∀ 𝑡

Definições similares se aplicam a sinais de tempo discreto.

Classificação de sinais

Sinais pares e ímpares

Todo sinal pode ser expresso como a soma de de dois sinais: um sinal par 𝑥𝑝(𝑡) e

um sinal ímpar 𝑥𝑖 𝑡 :

𝑥 𝑡 = 𝑥𝑝 𝑡 + 𝑥𝑖(𝑡)

Como:

𝑥𝑝 𝑡 = 𝑥 −𝑡 𝑒 𝑥𝑖 𝑡 = −𝑥(−𝑡)

Então

𝑥𝑝 𝑡 =𝑥 𝑡 + 𝑥 −𝑡

2𝑥𝑖(𝑡) =

𝑥 𝑡 − 𝑥(−𝑡)

2

Componente PAR de x(t) Componente ÍMPAR de x(t)

Classificação de sinais

Sinais pares e ímpares

Classificação de sinais

Sinais pares e ímpares

Exemplo:

Decomponha 𝑥 𝑡 = 𝑒𝑗𝑡 em sinais pares e ímpares.

Propriedades:

O produto de dois sinais pares ou ímpares resulta em um sinal par;

O produto de um sinal par e um sinal ímpar resulta em um sinal ímpar;

Classificação de sinais

Sinais periódicos e não periódicos:

Um sinal 𝑥(𝑡) é períodico se satisfizer a condição:

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑇 , ∀ 𝑡, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇 > 0

T é chamado de período do sinal;

O menor valor de T que satisfaz a equação acima é chamado de período fundamental e normalmente designado por T0;

Qualquer sinal que não satisfizer a equação acima é chamado de sinal não

periódico ou aperiódico;

Classificação de sinais

Sinal real:

Se um sinal x(t) puder assumir somente valores reais;

Sinal complexo:

Se um sinal x(t) puder assumir valores complexos, então ele é complexo do tipo 𝑥𝑅 𝑡 + 𝑗𝑥𝐼 𝑡 , onde xR(t) e xI(t);

Sinal determinístico:

Seus valores podem ser completamente determinados em qualquer instante de tempo, e são descritos por uma função matemática conhecida;

Sinal aleatório:

Seus valores são aleatórios em qualquer instante do tempo, e são descritos estatisticamente;

Sinais elementares

São sinais que se destacam no estudo dos sinais e sistemas;

Servem como blocos para construção de sinais mais complexos;

São eles:

Exponencial;

Degrau;

Senoidal;

Impulso;

Rampa;

Sinais elementares

Sinal exponencial real:

De forma geral:

𝑥 𝑡 = 𝐵𝑒𝑎𝑡

Onde:

B é a amplitude no instante t = 0;

Se a > 0, exponencial crescente Se a < 0, exponencial decrescente

Sinais elementares

Sinal exponencialmente amortecido:

De forma:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 + ∅

Sinais elementares

Função Degrau ou de Heaviside:

Definição:

𝑢 𝑡 = 1, 𝑡 ≥ 00, 𝑡 < 0

Sinais elementares

Sinais senoidais:

Forma mais geral pode ser escrito como:

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡 + ∅)

Onde:

A é a amplitude;

w é a frequência em radianos por segundo;

Ø é o ângulo de fase em radianos;

Sinais elementares

Função Impulso ou delta de Dirac:

Definição:

𝛿 𝑡 = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≠ 0

E

−∞

∞

𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 1

Sinais elementares

Sinal rampa:

Definição:

𝑟 𝑡 = 𝑡, 𝑡 ≥ 00, 𝑡 < 0

Ou:

𝑟 𝑡 = 𝑡. 𝑢(𝑡)

Sinais de Energia e de Potência

Energia de um sinal

Sinais de Energia e de Potência

Potência de um sinal

Sinais de Energia e de Potência

Potência de um sinal

Sinais de Energia e de Potência

Operações básicas

Operações realizadas nas variáveis dependentes:

Mudança de escala de amplitude:𝑦 𝑡 = 𝑐. 𝑥(𝑡)

Adição:𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 + 𝑧 𝑡

Multiplicação:𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 . 𝑧(𝑡)

Diferenciação:

𝑦 𝑡 =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡

Integração:

𝑦 𝑡 = −∞

𝑡

𝑥 𝑡 𝑑𝑡

Operações básicas

Operações realizadas nas variáveis dependentes:

Exemplos:

Mudança de escala de amplitude: Amplificadores e atenuadores.

Adição: Circuito somador/subtrator com amp-op

Multiplicação: Circuito modulador AM

Diferenciação: Circuito com indutor

𝑣 𝑡 = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)

𝑑𝑡

Integração: Circuito com capacitor

𝑣 𝑡 =1

𝐶 −∞

𝑡

𝑖 𝑡 𝑑𝑡

Operações básicas

Realizadas na variável independente:

Mudança de escala: 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑎. 𝑡)

Se 0 < 𝑎 < 1, expansão;

Se 𝑎 > 1, compressão;

Operações básicas

Reflexão:𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡)

Operações básicas

Deslocamento:

𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0)

Operações básicas

Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de

escala no tempo:

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑎𝑡 − 𝑏

Esta relação deve satisfazer as seguintes equações:

𝑦 0 = 𝑥 −𝑏

𝑦𝑏

𝑎= 𝑥(0)

Primeiro fazemos os deslocamento temporal, 𝑥(𝑡 − 𝑏), posteriormente fazemos o

escalonamento temporal 𝑥(𝑎𝑡)

Operações básicas

Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de

escala no tempo:

Exemplo: 𝑦 𝑡 = 𝑥(2𝑡 + 3)