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Aula 1_3Campo ElétricoCarga Distribuída

Física Geral e Experimental III

Prof. Cláudio GraçaCapítulo 2

Campos Elétricos de distribuições contínuas de carga elétrica

• Fundamentos: (Lei de Coulomb + Princípio da Superposição)



Tipos de distribuição contínua de carga:



• Exemplos: carga volumétrica; superficial; linear

++++++++++++++++++++++++++

rE(r) = ?• Linha de carga infinita



permanecem os mesmos.

• Mudanças:

• Outro Exemplo: Anel de carga

∑ ∫⇒

Densidade de Carga• Como representar uma carga “q” distríbuida em um objeto?

Carga totalq

Elementos de cargadq

• Superfície de carga:σ = carga/m2 dq = σ dA

• Linha de carga:λ = carga/m dq = λ dx

• Volume de carga:ρ = carga/m3 dq = ρ dV

Geometria para o cálculo do campo

∫∫∫ −−=

v

dv"r'r"r'r)r(kE 3rr

rrrρ

dv)r(dq ρ=

∫∫∫=v

dvrr)r(kE 2r

rρ

dvrr)r(Ed 2r

rρ=

22

11'''

'''

'''

'''

rrr

rrrrr

rrr

rr

rr

rr

rrr

−=

−−=

−=

Geometria para o cálculo do campo

∫∫∫=v

dvrr)r(kE 2r

rρ

22

11'''

'''

''''''

rrr

rrrrr;rrr

rrr

rr

rrrrr

−=

−−=−=

Substituindo teremos:

32

1'''

'''

'''

'''

''' rrrr

rrrr

rr rr

rr

rr

rr

rr −−=

−−

−∫∫∫

−−=

v'''

'''

dvrrrr)r(kE 3rr

rrrρ

Exemplos: Distribuição contínua de carga

++++++++++++++++++++++++++r

E(r) = ?Fundamentos: principio da superposição“somar o campo elétrico produzido por cada elemento de carga, utilizando o principio a superposição para obter o campo final”

Aplicar:• Utilizar a Lei de Coulomb para calcular o campo dE produzido por cada elemento de carga• Planeje a integracão ao longo da linha usando os limites…• x: {de -∞ a +∞} ou θ: {de - π/2 a +π/2}

• Procure as simetrias ? Isto pode ajudar com simplificações.

++++++++++++++++++++++++++++θ

x

dE

dq

-∞ +∞

Densidade de carga = λ

Linha de carga

Devemos somar todas as contribuições dE de cada segmento dx para o campo total.

dx"r'r"r'rkEd 3rr

rrr

−−λ=

jY'rix"r

==

r

r

23

22 Yx

)ixjY(dxkEd+

−= λr

++++++++++++++++ x

y

rθdE

dxix"r =r

jY'r =r

Densidade de carga = λ

Linha de carga

Devemos somar todas as contribuições dE de cada segmento dx para o campo total.

23

22 Yx

)ixjY(dxkEd+

−= λr

jYx

YdxkEd

iYx

xdxkEd

y

x

23

22

23

22

+=

+−=

λ

λ

r

r

++++++++++++++++ x

y

rθdE

dxix"r =r

jY'r =r

Linha de carga

jYx

YdxkEd

iYx

xdxkEd

y

x

23

22

23

22

+=

+−=

λ

λ

r

r

∫∫

∫∫

+==

+−==

xyy

xxx

Yx

YdxkEdE

Yx

xdxkEdE

23

22

23

22

λ

λ

x

x

r

r

( )

( )∫

∫

+=

+−=

xy

xx

Yx

dxYkE

Yx

xdxkE

23

22

23

22

λ

λ

Linha de carga

( ) ( )

( ) θ

θYcos

Yx

uuudu

Yx

xdx

Yx

xdx

x

uuuxx

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−==+

=+

∫∫∫

2122

21

21

23

23

2223

22

1

1221

212

21

( ) 2223223

23

22

11Ysencosd

Y)(coscosYd

YYx

dxx

θθθθθ

θθ θ

===+

∫ ∫∫ −

Fazendo xdxdu,Yxu 222 =+=

Fazendo θ

θθθθθθ

θ 221

cosYdd)tan(Ydtan

ddYdx;tan

Yx =+===

Como 22 Yx

xsen+

=θ( ) x

x )Yx(Yx

Yx

dx2

122223

22 +=

+∫

Linha de carga

( )

θ

θ

θλλ

θλλ

cosYk

)Yx(YxkE

senYk

YxYkE

x

xy

x

x

=+

=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

2122

2122

Linha de carga

2

1

2

1

θ

θ

θ

θ

θλ

θλ

cosYkE

senYkE

y

x

=

= Linha Infinita:

Semi-infinita

finita { }21

20

22

θθθ

πθ

ππθ

;

;

;

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

Linha Infinita:

Semi-infinita

finita

YkE;

YkE yx

λλ =−=

( ) ( )11 ; θθλθθλ coscosYkEsensen

YkE yx −=−= 22

YkE;E yx

λ20 ==

Linha de cargaLinha infinita:

Semi-infinitaYkE;

YkE

YkE;E

yx

yx

λλ

λ

=−=

== 20

++++++++++++++++ x

y

rθE

dx+++++++++++++++++++++++++

x

y

Linha de carga infinita

++++++++++++++++ x

y

dx

rY

θ

dEUsamos a Lei de Coulomb para obter dE:

Mas x e θ não são independentes!x = Y tanθ

dx = Ysec2θ dθ

220 Yx

dq4

1dE+πε

=

Posição r em função de x e Y?

Yd

41dE

0

θλπε

=

Carga dq em função de dx?

dxdq λ=

θ=+=

cosY)Yx(r 2/122

( )20 cos/Y

dx4

1dEθ

λπε

=

Portanto,

2

2

0 Ydxcos

41dE θλπε

=

x

Linha de carga Infinita• Componentes:

• Integração:

2

2

2

2

2

2

2

2

41

41

41

41

π

π

π

π

θ

θ

+

−

+

−

+

−

+

−

===

=−==

∫ ∫

∫ ∫

senYλ

πεθcos

Yλdθ

πεdEE

Ycosλ

πεsenθ

Yλdθ

πεdEE

o

π/

π/ oyy

o

π/

π/ oxx

Exθθλπε

−= sinYd

41dE

0x

++++++++++++++++ x

y

dx

rYθ

dEθ

Ey

θθλπε

+= cosYd

41dE

0y

• Solução:

• Conclusão:

O campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga:– é perpendicular a todos os pontos da linha– é proporcional à densidade de carga– diminui com 1/r.

++++++++++++++++++x

y

dx

rY

θdE

0sin2/

2/=∫

+

−θθ

π

πd

2cos2/

2/=∫

+

−θθ

π

πd Y

24

1E0

yλ

πε=

0=xE


• Conclusão:

O campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga:– é perpendicular a todos os pontos da linha– é proporcional à densidade de carga– diminui com 1/r.

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++x

r


Campo de um plano infinito de cargaO campo elétrico devido a uma linha Infinita de carga vale:

rdyk

rkdE σλ 22 ==

• λ é a densidade linear [C/m] e• σ é a densidade superficial [C/m2]

θθθθθ

dsecZdy;tanZy;secZcosZr 2====

Portanto: θθσθ

θθσ dsecksecZ

dsecZkdE 22 2

==

Utilizando os argumentos de simetria conclui-se que : Ex=0; Ey=0

∫−

===

===2

22

22

22π

π εσσπθσ

θσθθθσθ

oz

z

kdkE

dkcosdseckcosdEdE

Portanto o campo é constante e Independente de Z.

Distribuição esférica de carga

Modelo de Dalton Modelo de ThomsonModelo atômico deRutherford

DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE SIMÉTRICA

• Condutor

• Isolante

Campo de uma distribuição casca esférica de carga

θθπσ

θθπσπ

σ

dsenR

Rd)Rsen(σdAdq;Rq

Aq

2

2

2

24

=

====

αθθπσα cosr

dsenRkcosrkdqdEx 2

2

2

2==

xrRrxcoscosxrrxR

xRrdrsenθen

dxRsenrdrcosxRRxr

22

222

222222

222

−+=∴−+=

=

=∴−+=

αα

θθθ

dr)rRx(

xRk

xrRrx

xRrdr

rRkdEx 2

22

2

222

2

2

12

2 −+=−+= σππσ

( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+−−−−+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=−+=+

−

+

−∫ RxRxRxRxRx

xRk

rRxr

xRkdr)

rRx(

xRkE

Rx

Rx

Rx

Rxx

111 222

22

22

22

2

σπσπσπ

Campo de uma distribuição esférica de carga

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

22

2

2

222

222

22

22

22

2

4

22

2

11

1

xqkE;

xRk

RRxRk

RxRx)Rr()Rr(RxR

xRk

RxRxRxRxRx

xRk

rRxr

xRkdr)

rRx(

xRkE

x

Rx

Rx

Rx

Rxx

==

+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

+−−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+−−−−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=−+=+

−

+

−∫

πσ

σπ

σπ

σπ

σπσπ

Consequentemente o campo de uma casca é idêntico ao de uma carga pontual no centro da caca.

Para o campo no interior da casca, deve-se alterar os limites de integração:

022

2=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=+

−

Rx

xRx r

RxrxRkE σπ

Blindagem eletrostática

Campo por uma esfera maciça de carga

2rkqdq

rkEn

r == ∫

O campo de uma esfera, pode ser calculado pela soma dos campos de ncascas de espessura infinitesimal, portanto

Para campos no interior da esfera, a carga que entra no cálculo, é devidaàs cascas no interior do ponto:

rRkq

rkqE

Rqrr

R

qrq

rRr

r

32

3

33

3

3

34

343

4

==

===

<

π

πρ

Resumo:Distribuições de campo elétrico

Dipolo ~ 1 / r3

Carga pontual ou esférica ~ 1 / r2

Linha infinitade carga ~ 1 / r

Quadrupolo 1/ r4

Plano infinito de carga 1 / r0 constante

Problema • Considere um anel circular com densidade

uniforme de carga (λ C/m) . A carga total do anel é +Q.

• Qual é o valor do campo elétrico na origem?+

(a) zero Rπλ

πε2

41

0(b) 2

041

RRλπ

πε(c)

• Relembre que o campo total, na origem, é SOMA VETORIAL de todas as contribuições dos elementos de carga.

• Se a soma fosse ALGÉBRICA o resultado correto seria a opção (b) faça esse exercício.

• Cada contribuição de um elemento de carga é anulada pela contribuição do elemento oposto!!

+

• Portanto, a SOMA VETORIAL, de todas as contribuições será ZERO!

+++++

+++ + + +

+

+

R

++

+

+

+

+

+

Campo criado por um anel de carga

2/122

c3

c2

)az("r'rjasenicosajyix"r

kz'r

dl"r'r"r'rkrd

"r'rdqkE

),z,0,0(P

+=−θ+θ=+=

=

−−λ=

−=

=

∫∫

rr

r

r

rr

rr

rrr

a.r" raio de anel um por :ponto No

( ) kazkqzE

EE

/z

y

x

2322

00

+=

==

r( ) θ+

θ−θ−λ= ∫π

adaz

jasenicosakzkE2

02/322

r Por simetria

Campo criado por um anel de carga

( )

. zkq a;z para

como,

2≅>>

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

≅

+−≅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=+

=

==

z

22

z

2

2/32

2/323

2/322z

y

x

E

,

za

231z

kqE

...)z/a(231

za1

k

za1z

kqzkaz

kqzE

0E0E

r

O anel se comporta como um monopolo de carga

Campo criado por um disco de carga

{ } { }

( )

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

+=

=+

=

==

==

====

∫

∫∫

21220

2322

02322

2

0

22

122

020

/

a

/

a

/z

z

azzk

bzbdbak

bzbdbdzkE

a;b;;bz

rdbd"rkcos

rdAkdE

bdθdlbr"bd.dbdAdAdq

πσπσ

θσ

πθ

θσασθ

σ

π

e onde onde

O campo se torna constanteo2

k2E,a

;0, E0z

εσ=πσ→∞→

==

finito, z mantendo para e

simetria de argumentos pelos só para

Disco de carga com raio “a”

Limitações da Lei de Coulomb

0r quando →∞⇒= 2rQkE

Ou seja o cálculo do campo não pode incluir o domínio da carga!!! Como se enfrenta este problema?

Exemplos:

• Campo no centro do disco:

• Campo devido a uma linha de carga infinita:

( )

( ) ( ) ( )!!zero! realmente é agora o,r para limite cujo →

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−πσ=

+πσ=

=+

θσ=

∫

∫∫≠

π

2/1222/122

a

r2/322

a

0r2/322

2

0z

rzz1

azz1k2

rzrdr2ak

rzrdrdzkE

Y2

41E

0y

λπε

=

0=xE As duas componentes para um ponto no infinito, tenderiam a zero, o que é uma incoerência pois existe carga lá, lembre-se a linha é infinita.... A lei de Coulomb não se aplica a pontos onde exista carga, pois E ⇒ ∞

Campo criado por um plano de carga

o2k2E,a

0, E0z

εσ=πσ→∞→

→=

para e

para

O campo se torna constante

++++++++++++++++++++++++++ o2εσE =

Campo criado por dois planos de carga

o2k2E,a

0, E0z

εσ=πσ→∞→

→=

para e

para

O campo se torna constante

++++++++++++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

E=0

E=0

o

Eεσ=

Movimento de cargas elétricas em campos elétricos

• Relembre a definição do campo elétrico EqFrr

=

• Relembre da Física I

• Considere partículas com carga e massa movendo-se no campo elétrico.

Observe que uma partícula movendo-se num campo elétrico, ésemelhante ao movimento de projéteis…

ax = 0 ay = constantevx = vox vy = voy + atx = xo + voxt y = yo + voyt + 1/2 at2

EmqaamFrrrr

=⇒=

• Considere o seguinte campo elétrico, com um elétron colocado na posição indicada.

++++++++++++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -e-

Qual será a velocidade do elétron quando ele atingir a placa positiva?

d = 10 cm, E = 100 N/C, e = 1.6 x 10-19 C, m = 9.1 x 10-31 kg


d

++++++++++++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -e-

vo = 0, yo = 0vf

2 – vo2 = 2aΔx

ou,

smxv f /109.1 6=

( )( ) ( )mkgx

CNCxv f 1.0101.9

/100106.12 31

192

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

−

xmqEv f Δ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 22


++++++++++++++++++++++++++

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

e+

222

o

xK4

eExmeE

v21y

meEgpara

=−=

<<

22

o

22o

y

0ooox

x)gmeE(

v21y

2t)g

meE(

2aty

tvx

t)gmeE(t

mmgeEatv

0x;0y;vv

+−=

+−==

=

+=+==

===


Voxe+ Vox

Vy

e+

y

x

Aplicações TecnológicasPrecipitação Eletrostática

Aplicações Tecnológicas: Jato de tinta

1. Carga: Material fotocondutor, é um semi-condutor que fica condutor quando exposto àluz.

2. Exposição à luz; partes expostas à luz perdem a carga, e as não expostas permanecem com a carga.’

3. Revelação da imagem: o toner positivo éatraído para as partes com carga do tambor.

4. Transferência de imagem: O toner étransferido para o papel com a carga negativa do tambor.

Aplicações Tecnológicas: Máquina Copiadora Xerox

O propulsor se ioniza na fonte de íons S e éexpulso como feixe de íons positivos com uma velocidade que depende da diferença de potencial V existente entre S e o anel acelerador B. Para evitar que o foguete se carregue, são injetados elétrons no feixe mediante o filamento F. O feixe éfocado mediante o anel A.

A força de empuxo será dada por:

dtdmv

dtdpF ==

Aplicações Tecnológicas: Motor Iônico

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