Curso de Férias: Felipe – Cap 1

Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c (termo independente) são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1. 2 x² + 7x + 5 = 02. 3 x² + x + 2 = 03. x² . 5x + 6 = 0

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

1. 4 x² + 6x = 02. 3 x² + 9 = 03. 2 x² = 0

Resolvidos: a) 6x² + x - 1 = 0 b) 2x² - 7x = 15 c) (x + 3)² = 1

1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:

a) 5x2 - 3x - 2 = 0 b) 3x2  + 55 = 0 c) x2 - 6x = 0 d) x2 - 10x + 25 = 0 e) x² - 5x + 6 = 0 f) x² - 8x + 12 = 0 g) x² + 2x - 8 = 0 h) x² - 5x + 8 = 0 i) 2x² - 8x + 8 = 0 j) x² - 4x - 5 = 0 k) 4x² + 9 = 12x l) x² = x + 12 m) 2x² = -12x - 18 n) 4x² - x + 1 = x + 3x² o) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x² p) 4 + x.( x - 4) = x

Equação do 2º grau com b = 0

Coeficiente b = 0

Toda equação incompleta do 2º grau, que possui o termo b com valor igual a zero, pode ser resolvida isolando o termo independente (sempre resulta em raízes opostas). Observe a resolução a seguir:

Ex 1: 4y2 – 100 = 04y2 = 100

y2 = 100 : 4y2 = 25√y2 = √25y’ = 5y” = – 5

Ex 2)      x² - 25 = 0x² = 25x = + ou - √ 25x = + ou – 5

EX 3)      2x² - 18 = 02x²= 18x² = 18 / 2x² = 9

EX4)      7x²- 14 = 07x²= 14x²= 14/ 7x² = 2

x = + ou - √2 Ex5)      x ²+ 25 = 0

x²= -25x = + ou - √-25 = nenhum real, pois (nenhum real)² = -25

Logo V = vazio

Exercícios:

1)      Resolva as seguintes equações do 2º grau , sendo U = R

a)      x²- 49 = 0 (R: 7, -7)b)      x² = 1 (R: 1, -1)c)      2x² - 50 = 0 (R: 5, -5)d)      7x² - 7 = 0 (R: 1, -1)e)      4x²= 36 (R: 3, -3) f)        5x² - 15 = 0 (R: √3, -√3)g)      21 = 7x² (R: √3, -√3)h)      5x² + 20 = 0 (R: vazio)i)        4x² - 49 = 0 ( R: 7/2, -7/2) j)        16 = 9x² (R: 4/3 , -4/3) k)      3x² + 30 = 0 (R: vazio)l)        9x² - 5 = 0 (R: √5/3 , -√5/3)

2)      Resolva as equações do 2º grau, sendo U = R

a)      7x² + 2 = 30 (R: 2, -2)b)      2x² - 90 = 8 (R: 7, -7)c)      4x²- 27 = x² (R: 3, -3)d)      8x² = 60 – 7x² (R: 2, -2)

3)      Resolva as equações do 2º grau, sendo U = R

a)      3 (x² - 1) = 24 (R: 3, -3)b)      2( x² - 1) = x² + 7 (R: 3, -3)c)      5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R: 3, -3)d)      (x -3) (x – 4) + 8 = x (R: 2, -2)

OBS: Equações com b=c=0 , temos a solução sendo zero, por exemplo:

2x2 = 0 -> x = 0 1000x2 = 0 -> x = 0

Equação do 2º grau e fatoração:

Coeficiente c =01º tipo: Equação com dois termos

x² = 8x (proibido cancelar o "x")Dos dois lados há um fator "x" pelo menos. Deixe-os do mesmo lado.x² - 8x = 0Separe o fator comum. (Coloque em evidência o "x")x(aqui dentro você deve colocar o que deve ser multiplicado para que a equação volte ao normal) = 0x( x - 8 ) = 0 (equação fatorada)Perceba que se você multiplicar x por (x - 8) chegará em x² - 8x.

x² - 9 = 0Dica: sempre que encontrar uma expressão do tipo a² - b², pense em transformá-la para a² - b² = (a + b)(a - b).(x + 3)(x - 3) = 0Se não acreditar, pode fazer a multiplicação distributiva, e chegará a x² - 9. Lembre-se: fatorar é só escrever de outra forma.

2º tipo: Trinômio Quadrado Perfeito

Quando você tiver uma expressão do tipo a² + 2ab + b², pense logo em transformá-la para (a + b)².Como identificar? Olhe se no começo e no final é possível extrair raiz.

x² + 6x = - 9 (passe o "-9" para o outro lado)x² + 6x + 9 = 0 (a raiz de x² é x, e a de 9 é 3. Confira agora se 6x = 2.a.b = 2.3.x, o que é verdade)(x + 3)² = 0Perceba que se você realizar a multiplicação (x+3) por (x+3) chegará em x² + 6x + 9.

3º tipo: Soma e Produto – relações de girard

A soma e produto facilita muito, pois para fatorar qualquer equação de segundo grau, basta escrever da forma:

a(x – x1)(x – x2), em que a é um número qualquer e x1 e x2 são as raízes da equação. "a" é um número que pode dividir cada parte do polinômio.

Exemplos:

x² - 3x + 2 = 0Qual é o maior número pelo qual o polinômio pode ser dividido? 1. Então nosso n é "1".Quais são as raízes da equação, ou seja, quais os números que possuem soma "3" e multiplicação "2"?1 e 2, certo? Se não tiver certeza, faça isso por Bháskara.Logo, a fatoração dessa equação deverá ser:1(x - 1)(x - 2) = 0 ou simplesmente (x - 1)(x - 2) = 0

Esse terceiro tipo resume todos os outros, mas é utilizado quando não for possível resolver do 1º ou 2º.Veja:x² = 4Você não precisa fazer Bháskara para achar as raízes iguais a 2 e -2.Pelo 3º tipo, você teria a fatoração (x - 2)(x + 2) = 0.

EXERCÍCIOS (revisão)

Resolva as equaçõespor fatoração:

a)x² - 25 = 0b) 9 - x² = 0c) 3n² - 6n = 0d) y² - 10y + 25 = 0e) 9n² + 24n + 16 = 0f) 4x² - 12x + 9 = 25

Exercícios:

a) x² - 49 = 0 b) 5x² - 20 = 0 c) 5.(x² - 1) = 4.(x² + 1)

d) x² - 7x = 0 e) 3x² - 4x = 0 f) x² - √3 x = 0

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7)b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)

c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4)d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3)f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)

g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)

i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)

k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3)b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)

c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5)d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)

f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)

Equações do 2º grau completas:

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5

2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2

3)  x² -7 x + 10 = 0, onde a = 1, b = -7 e c = 10

4) 5x² - x -3 = 0, onde a = 5, b = -1 e c = -3

Resolução de equações completas do 2° grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax² + bx + c= 0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

Δ = b²- 4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:

1) Δ > 0 , a equação te duas raízes reais e diferentes.

2)  Δ = 0, a equação tem uma raiz

3)  Δ < 0 , a equação não tem raízes reais

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1) Identificar os coeficientes: a = 1, b = -5, c = 6

2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.

3) Calcular Δ = (-5)² -4×1×6 = 25-24 = 1

4) Escrever a fórmula de Bhaskara:

PRA FINALIZAR:

exercícios de fixação

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio)d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)e) 5x² - 3x - 2 = 0f) x² - 10x + 25 = 0g) x² - x - 20 = 0h) x² - 3x -4 = 0i) x² - 8x + 7 = 0

RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU

1) x² - 5x + 6 = 0 (R: 2, 3)2) x² - 8x + 12 = 0 (R: 2, 6)3) x² + 2x - 8 = 0 (R: 2, -4)4) x² - 5x + 8 = 0 (R: vazio)5) 2x² - 8x + 8 = 0 (R: 2,) 6) x² - 4x - 5 = 0 (R: -1, 5)7) -x² + x + 12 = 0 (R: -3, 4)8) -x² + 6x - 5 = 0 (R: 1, 5)9) 6x² + x - 1 = 0 (R: 1/3 , -1/2)10) 3x² - 7x + 2 = 0 (R: 2, 1/3)11) 2x² - 7x = 15 (R: 5, -3/2)12) 4x² + 9 = 12x (R: 3/2)13) x² = x + 12 (R: -3 , 4)14) 2x² = -12x - 18 (R: -3 )15) x² + 9 = 4x (R: vazio)16) 25x² = 20x – 4 (R: 2/5)17) 2x = 15 – x² (R: 3, -5)

18) x² + 3x – 6 = -8 (R: -1, -2)19) x² + x – 7 = 5 (R: -4 , 3)20) 4x² - x + 1 = x + 3x² (R: 1)21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x² (R: -3)22) 4 + x ( x - 4) = x (R: 1,4)23) x ( x + 3) – 40 = 0 (R: 5, -8)24) x² + 5x + 6 = 0 (R:-2,-3)25) x² - 7x + 12 = 0 (R:3,4)26) x² + 5x + 4 = 0 (R:-1,-4)27) 7x² + x + 2 = 0 (vazio) 28) x² - 18x + 45 = 0 (R:3,15)29) -x² - x + 30 = 0 (R:-6,5)30) x² - 6x + 9 = 0 (R:3)31) (x + 3)² = 1 (R:-2,-4)32) (x - 5)² = 1 (R:3,7)33) (2x - 4)² = 0 (R:2)34) (x - 3)² = -2x² (R:vazio)35) Quais são as soluções da equação 3x² - 12 = 0?36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio)38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)

PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU

1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R: 9 e -10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero. (R: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R: 1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R: 10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número.         Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número. (R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número      (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R: 3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R: -8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R: -7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R: 8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro

desse número seja igual a 40. (R: 4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R: 8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R: 1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? (R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número. (R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R: 7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número? (R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm) RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS

Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau

1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)Exemplos:1) x² - 25 = 0    x² = 25    x = √25    x = 5    logo V = (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0    2x² = 18    x² = 18/2    x² = 9    x = √9    x = 3    logo V = (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0    7x² = 14    x² = 14/7    x² = 2    x = √2    logo V = (-√2 e +√2)

4) x² + 25 = 0    x² = -25    x = √-25    obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau    a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7)    b) x² = 1 (R: +1 e -1)    c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5)    d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)    e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3)    f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)    g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio)    h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )    i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7)    j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)    k) 8x² = 60 – 7x²              (R: 2 e -2)    l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)    m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3)    n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)    o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)

2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 (c = 0)Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos1) resolver x² - 5x = 0    fatorando x(x – 5) = 0    deixando um dos fatores nulo temos x = 0    e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5    logo, V = (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0    fatorando: x(3x – 10) = 0    deixando um dos fatores nulo temos x = 0    Tendo também 3x – 10 = 0    3x = 10    x = 10/3    logo V= (0 e 10/3)    Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.    a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7)    b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)    c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4)    d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)    e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3)    f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)    g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)    h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)    i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)    j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)    k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)    l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau    a) x² + x (x – 6) = 0 (R: 0 e 3)    b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)    c) x(x – 3) -2 (x - 3) = 6 (R: 0 e 5)    d) (x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)

    e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)    f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)