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1. Modelos Dinâmicos convencionais 1.1. A Importância das Variáveis Desfasadas (lags) Nos modelos de séries temporais a reacção da variável dependente perante variações das variáveis explicativas raramente é instantânea, a variável dependente reage com um lapso de tempo. As razões que explicam este lapso de tempo são: (i) razões psicológicas (ii) razões técnicas (iii) razões institucionais O atraso verificado na reacção da variável dependente pode ser representado com as variáveis desfasadas "lags" - transforma os modelos estáticos em dinâmicos

- torna possível distinguir os efeitos de curto e longo prazo 1.2. Tipo de modelos dinâmicos: (i) os modelos com desfasamentos distributivos Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + b2Xt-2 + ..... + ut (desfasamentos apenas na variável explicativa) onde b0, b1, b2, ...... efeitos de curto prazo b0+b1+b2+...... efeito total de longo prazo (ii) os modelos com desfasamentos auto-regressivos Yt = a + bXt + δ1Yt-1 + δ2Yt-2 + .... + ut (desfasamentos apenas na variável dependente)

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(ii) os modelos com desfasamentos distribuídos e auto-regressivos Yt = a + b0Xt + b1Xt-1 + b2Xt-2 + ...+ δ1Yt-1 + δ2Yt-2 + ... + ut(desfasamentos quer na variável explicativa quer na variável dependente) 1.3. Estimação dos Modelos com Desfasamentos Distribuídos (i) Estimação ad-hoc: Manter os desfasamentos cujos coeficientes apresentam significância estatística (ii) Estimação com base em princípios teóricos: Admitir um mecanismo consistente com a teoria económica O Modelo de Ajustamento Parcial Este modelo é frequentemente utilizado para estimar a equação do investimento que se baseia no princípio do acelerador O modelo de ajustamento parcial assume a seguinte relação de equilíbrio (de longo prazo): Yt* = b0 + b1X1t +…+bnXnt+ ut com ut ~ iid(0,σu

2) onde Yt* representa - o nível de equilíbrio no longo prazo

- nível óptimo

- nível desejado

- é uma variável não observável A hipótese do ajustamento parcial admite o seguinte mecanismo:

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Yt-Yt-1 = δ(Yt*-Yt-1) onde δ é o coeficiente do ajustamento parcial (0<δ<1) (Yt-Yt-1) é a variação actual (Yt*-Yt-1) é a variação óptima Assim: δ=1 → Yt-Yt-1=Yt*-Yt-1 → Yt = Yt* indica um ajustamento instantâneo (no mesmo período) δ=0 → Yt=Yt-1 indica estagnação ou situação de equilíbrio Alternativamente, a equação do mecanismo do ajustamento parcial Yt-Yt-1 = δ(Yt*-Yt-1) pode ser apresentada do seguinte modo: Yt = δYt* + (1-δ)Yt-1 - Yt é explicado por uma média ponderada de Yt* e Yt-1

- δ e (1-δ) são os coeficientes de ponderação O modelo de ajustamento parcial de curto prazo define-se como: Yt = δ(b0 + b1X1t + …+ bnXnt + ut) + (1-δ)Yt-1 ou Yt = δb0 + δb1X1t +…+δbnXnt +(1-δ)Yt-1 + δut

onde δb0, δb1 ,…, δbn e (1-δ) representam os efeitos de curto prazo O valor do coeficiente do ajustamento δ encontra se pelo coeficiente estimado da variável dependente desfasada Yt-1. No longo prazo assume-se δ=0, logo Yt=Yt-1, que é a condição de equilíbrio no estado estacionário. Substituindo esta condição na relação anterior de curto prazo obtemos a relação de longo prazo: Yt = δb0 + δb1X1t +…+δbnXnt + (1-δ)Yt + δut Yt –(1-δ) Yt = δb0 + δb1X1t +…+δbnXnt +δut

[1-(1-δ)] Yt = δb0 + δb1X1t +…+δbnXnt +δut

tntn

tt uXbXbbY)]1(1[)]1(1[

...)]1(1[)]1(1[ 1

10

δδ

δδ

δδ

δδ

−−+

−−++

−−+

−−=

Os efeitos de longo prazo são obtidos pelas relações:

)]1(1[0

δδ

−−b para a parte constante

)]1(1[1

δδ

−−b para o coeficiente de X1t

………………

)]1(1[ δδ

−−nb para o coeficiente de Xnt

Desta forma os efeitos de longo prazo são obtidos dividindo os efeitos de curto prazo sobre o coeficiente do ajustamento δ, uma vez que [1-(1-δ)]=δ.

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As vantagens do modelo do ajustamento parcial são as seguintes:

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- contem um erro não auto-regressivo (porquê?)

- distingue os efeitos de curto e longo prazo

- explica a rapidez do ajustamento entre a variação actual e variação óptima da variável dependente. 1.4. Teste de Autocorrelação dos Modelos Auto-regressivos. Teste h de Durbin Nos modelos auto-regressivos o teste de DW não é válido para testar a hipótese de autocorrelação dos erros da 1ª ordem (ut=ρut-1+εt) A estatística de DW=2(1- $ρ ) tende ser enviesada em torno de 2. Um teste mais adequado foi desenvolvido pelo próprio Durbin que define a estatística h de Durbin do seguinte modo:

h–D = )]ˆ[var(1

ˆibT

T−

ρ

onde ∑

∑

=

=−

= T

tt

T

ttt

u

uu

1

2

21

ˆ

ˆˆρ

é o coeficiente estimado da autocorrelação da 1a ordem, var( ) é a variância estimada do coeficiente da variável dependente desfasada Y

ib

t-1 do modelo auto-regressivo. A estatística h de Durbin segue assimptoticamente a distribuição Normal estandardizada h-D N(0,1) &~

Uma forma alternativa da estatística h de Durbin é obtida substituindo $ρ =1-DW/2

assim:

h-D = )]ˆ[var(1)2/1(

ibTTDW

−−

Através das tabelas da distribuição normal estandardizada e admitindo uma probabilidade de 95%1 definimos o seguinte intervalo de confiança para a variável h-D: Pr(-1,96 < h-D < 1,96) = 0,95 Critério de decisão sobre a autocorrelação dos erros da primeira ordem: (i) não rejeitar a hipótese nula de não autocorrelação (H0 : ρ=0) se -1,96 < h-D < 1,96 (ii) não rejeitar a hipótese de autocorrelação (HA : ρ≠0) se |h-D| > 1,96 (iii) não rejeitar a hipótese de autocorrelação positiva (HA : ρ>0) se h -D> 1,96 (iv) não rejeitar a hipótese de autocorrelação negativa (HA : ρ<0) se h -D< -1,96

1 Se a probabilidade admitida for de 90% o intervalo será [-2,58 ; 2,58]. Se a probabilidade admitida for de 99% o intervalo será [-1,64 ; 1,64].

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1.5. Teste de Autocorrelação dos erros geral (Teste LM) O teste de Durbin-Watson ou o teste h de Durbin (nos modelos autoregressivos) permitem testar a autocorrelação dos erros somente da 1ª ordem, i.e. ut=ρut-1+εt Um teste mais geral que permite testar a autocorrelação dos erros de ordem k, i.e. ut=ρ1ut-1+ρ2ut-2+…+ρkut-k.+ εt é o test LM apresentado do seguinte modo: H0: Ausência de autocorrelação dos erros (ρ1=ρ2=….ρk=0) HA: Autocorrelação dos erros (ρ1 ou ρ2….ou ρk≠0) 1º Passo: Estime o modelo estrutural pelo método OLS

Y tntnttt uxbxbxbb + + +++= ...22110

para obter os resíduos tu 2º Passo: Efectua a regressão auxiliar

ktkttntnttt uauauaxbxbxbbu −−− +++++++= ˆ...ˆˆ...ˆ 221122110 para obter o coeficiente de determinação R2

3º Passo: Calculada a estatística LM dada por:

)(~ 22 kTRLM χ= 4º Passo: Critério de decisão, não rejeitar a hipótese nula se TR2 < x2(k) ou alternativamente p-value>0.05 Convém aqui lembrar que ao fazer os desfasamentos na regressão auxiliar perdem-se as observações para os primeiros k períodos.

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UM EXEMPLO NUMÉRICO Função de importações de Portugal, 1970-2004. Modelo da procura de importações:

tubt

btt ePYbM 21

0* =

M*

t = procura de importações de longo prazo (nível óptimo não observável), Yt = rendimento real, Pt = preços relativos das importações. Modelo linear log-log lnM*

t = lnb0 + b1lnYt + b2lnPt + ut Mecanismo do ajustamento parcial

Mt/Mt-1 = (M*t/Mt-1)δ com 0<δ<1

ou alternativamente

lnMt-lnMt-1 = δ(lnM*t-lnMt-1).

Modelo de ajustamento parcial da procura de importações de curto prazo:

lnMt = δlnb0 + b1δlnYt + b2δlnPt + (1-δ)lnMt-1 + δut Modelo estimado de curto prazo (economia Portuguesa) lnMt = -5.57813 + 1.06330 lnYt – 1.00415 lnPt + 0.366221 lnMt-1 (0.809283) (0.135396) (0.134559) (0.0766465) tstat = (-6,893) (7,853) (-7,463) (4.778) R²=0.9944 h-D=1.667 DW=1.3397

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Elasticidades de curto prazo b1δ =1.0633 elasticidade rendimento b2δ =-1.00415 elasticidade preço δ = 1-0.366221= 0.633779 coeficiente de ajustamento Indicando que 63% da diferença entre a variação actual e variação óptima da procura das importações se concretiza no mesmo ano. Elasticidades de longo prazo b1δ/δ = 1.0633 / 0.633779 = 1.678 elasticidade rendimento b2δ/δ = -1.00415 / 0.633779 = -1.584 elasticidade preço O modelo da procura das importações de longo prazo lnMt = -8.80 + 1.678lnYt -1.584lnPt

Testar a autocorrelação dos erros da primeira ordem teste h de Durbin dado pela relação:

h-D = [ ]( / )var( $)

1 21 1

−− −

DWT

T δ

h-D = [ ]

66716.10766465,034134)2/3397.11( 2 =

−−

uma vez que -1,96 < h-D < 1,96 Não se rejeita a hipótese da independência dos erros ao nível de 5%.

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