Aula1-Ondas

•  Ondaseenergia•  Tipodeondasquantoànatureza•  Tiposdeondaquantoàformadapropagação•  Equaçãodaonda•  Transformaçõesdefunções•  Ondaharmônicaunidimensional

ONDULATÓRIA

Meioelásticoscontínuosarmazenamenergianaformadedeformação.Estaenergiapodesepropagaraolongodomeio.Estadeformaçãopropaganteemummeioelásticocontínuochamamosdeonda.Aondaéportantoumaentidadequecarregaenergiaemummeiosemtransportedematéria.Umpoucoaoestilodoquefoivistonocasodocalor.Masocaloréumaonda?Decertaformasim,masoqueestaremosinteressadossãoondasmacroscópicasondequantidadesfísicasoscilamemporçõesmacroscópicasdoespaço.Enestesentidocalornãopodeservistocomoumaonda.

Concentraçãopuntualdematériaquesemovimentanoespaçoecarregaenergia.Arazãodeestudarmoscorposquepossuemenergiaest\'anofatodequeenergiaéumaquantidadequesetransformaeestatransformaçãopodeterumimensoimpactoprático.Alémdissoumaoutraimportantecaracterísticadaenergiaésuaconservação.Sendoconservativaémaisfácildesercontabilizadaecalculada.Damecânicasabemosqueumcorpo(feitodepartículas)podeterenergiacinéticaepotencial.

Partículas

Ondas

Ondasmecânicas(LeisdeNewton)•  Oscilaçõesdeporçõesdematéria.

Ondaseletromagnéticas(LeisdeMaxwell)•  Oscilaçãodoscamposelétricoemagnético.Ondasdematéria(FísicaQuântica)•  FunçãodeondaquânticaOndasgravitacionais(RelatividadeGeral)•  Oscilaçãodoespaço

TIPOSDEONDASQUANTOÀNATUREZA

TIPOSDEONDASQUANTOÀFORMADEPROPAGAÇÃO

Transversais

~v · d~r(t)dt

= |~v||d~r(t)dt

|Longitudinais

~r(t)~v

m~v · d~r(t)dt

= 0

@2y(x, t)

@t2= v2

@2y(x, t)

@x2

y(x, t) = A f(x + vt) + B g(x− vt)

∂2y(x, t)

∂t2= A v2f ′′(x + vt) + B v2 g′′(x− vt)

Suasoluçãoé

ondef(x)eg(x)sãofunçõesquaisquereAeBconstantes.

Prova

∂2y(x, t)

∂x2= A f ′′(x + vt) + B g′′(x− vt)

Logoaequaçãodaondaésatisfeita

EQUAÇÃODAONDAUNIDIMENSIONAL

Transformaçõesaplicadasaumafunçãoqualquer(inclusivenãoperíodica)

Considereafunção

g(x) = b f(a(x� x0)) + y0

f(x)

TRANSLAÇÕESEREESCALAMENTOSDEUMAFUNÇÃO

Sejaatransformação

escalas translações

TRANSLAÇÕESEREESCALAMENTOSDEUMAFUNÇÃO

a>1estreitaa<1alarga

b>1alongab<1achata

x0>0àdireitax0<0àesquerda

y0>0paracimay0<0parabaixo

TRANSLAÇÕESEREESCALAMENTOSDEUMAFUNÇÃO

Transformaçõesaplicadasaumafunçãoqualquer(inclusivenãoperíodica)

Considereafunção

x0-representaumatranslaçãoàdireitadestevalora-representaumamudançadeescalaemx(estreitamentooualargamento)b-representaumamudançadeescalaemy(achatamentooualongamento)y0--representaumatranslaçãoparacimaemy

g(x) = b f(a(x� x0)) + y0

f(x)

Sejaatransformação

TRANSLAÇÕESEREESCALAMENTOSDEUMAFUNÇÃO

FASESFunçõesperiódicaspodemsercaracterizadasporumaquantidadechamadafase

período

Afaseabsolutaéumamedidaqueindicaemquemomentodoperíodoafunçãoestá.Elavariacontinuamenteentrezeroeovalordoperíodo.Paradefinirafaseabsolutaéprecisoindicaronde“começa”operíodo.Masnumafunçãoperíodicainfinitaistoéarbitrário-- nãohácomeçonemfim.Eseéarbitrárionóstemosqueescolher.Porexemploparasenosafaseabsolutaézeronomomentoqueosenopassaoseuvalorzerocomderivadapositiva.

período

FASEAsfasesabsolutasdoseno

período

� =⇡

2

� = 0 � = 2⇡

FASESSenosecossenossãoamesmafunçãoanãoserporumadiferençadefase��

Afaserelativaouadiferençadefaseséatranslaçãominimanecessáriaparaqueumafunçãosuperponhaaoutra.

FASESSenosecossenossãoamesmafunçãoanãoserporumadiferençadefase��

�� =⇡

2Afaserelativaouadiferençadefaseséatranslaçãominimanecessáriaparaqueumafunçãosuperponhaaoutra.

ANÁLISEDEFOURIERSuperposiçãolineardesenosdediferentesfrequências,faseseamplitudespodemgerarquaisquerfunções.

@2y(x, t)

@t2= v2

@2y(x, t)

@x2

y(x, t) = A f(x + vt) + B g(x− vt)

VOLTANDOÀEQUAÇÃODAONDAUNIDIMENSIONAL

funçãotransladandoparaaesquerda

funçãotransladandoparaadireita

EQUAÇÃODAONDAHARMÔNICAUNIDIMENSIONAL

y(x, t) = A sin(kx� !t+ �)

amplitude

númeroangulardeonda

frequênciaangular

constantedefase

(unidades:comprimento)

(unidades:rad/comprimento)

(unidades:rad/tempo-1)

(unidades:radiano)Radianonãoéumaunidadefísica.Umaquantidadeemradianoséumaquantidadeadimensional.

Rad/seg,Ciclos/segundoOuHertz.

EQUAÇÃODAONDAHARMÔNICAUNIDIMENSIONAL

y(x, t) = A sin(kx� !t+ �)

amplitude

númeroangulardeonda

frequênciaangular

constantedefase

(unidades:comprimento)

(unidades:rad/comprimento)

(unidades:rad/tempo-1)

(unidades:radiano)Radianonãoéumaunidadefísica.Umaquantidadeemradianoséumaquantidadeadimensional.

Rad/seg,Ciclos/segundoOuHertz.

propagaçãoparadireita

EQUAÇÃODAONDAHARMÔNICAUNIDIMENSIONAL

T

y(x, t) = A sin(kx− ωt + φ) = A sin[k(x− ω

kt)+ φ

]

�períodonoespaço

períodonotempo