Introducao a Relatividade e ao seu Ensino 2/2019

Aula 1: Origens da Relatividade Especial

Profa. Raissa F. P. Mendes

1.1 Introducao

Bem vindos ao curso de Introducao a Relatividade e ao seu Ensino! A Relatividade (Especiale Geral) e uma teoria belıssima, que promoveu uma mudanca radical na forma de entendermosconceitos fundamentais como tempo e espaco. E simplesmente incrıvel que, cerca de 100 anos atras,o ser humano tenha descoberto que a Natureza pode ser descrita da forma que vamos aprender.E os frutos dessa teoria ainda estao sendo colhidos ate hoje: a Relatividade Geral, que e um dosfocos do nosso curso, forma a base para todo o modelo padrao de astrofısica e cosmologia, a basepara o entendimento do Universo como um todo.

Antes do surgimento da Relatividade, no comeco do seculo XX, havia tres grandes areas na Fısica,a Mecanica Classica (MC), o Eletromagnetismo (EM) e a Termodinamica. E e no EM que estao asorigens da Relatividade. Na segunda metade do seculo XIX, comecaram a aparecer contradicoesentre essas grandes areas da Fısica (a cinematica Galileana de um lado e o Eletromagnetismode outro), e daı brotou todo um entendimento novo, na forma da Relatividade Especial (RE, ouRestrita). E da tensao entre a Gravitacao Newtoniana (parte da MC) e a Relatividade Especialsurge a Relatividade Geral (RG). Da mesma forma, de contradicoes entre EM e Termodinamica —radiacao de corpo negro! — surge a Mecanica Quantica. RE e MQ dao origem a Teoria Quanticade Campos, que e a base do Modelo Padrao da Fısica de Partıculas, que descreve tres das quatrointeracoes fundamentais (eletromagnetica, nuclear forte e nuclear fraca). RG e TQC sao tambemincompatıveis: resolver essa contradicao e o maior desafio da fısica moderna.

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1.2 Origens da Relatividade Especial

A Relatividade Especial nasce do Eletromagnetismo, e da sua incompatibilidade com a MecanicaClassica. Tanto que o trabalho (publicado em 1905) em que Einstein estabelece as bases da REtem o nome “Sobre a Eletrodinamica dos Corpos em Movimento”. Antes de chegar nele, vamoscomecar revisando:

Princıpio da Relatividade (Galileu): As leis da mecanica se aplicam em qualquer referencialinercial.

Ou seja, se aplicam em qualquer referencial em que corpos isolados permanecem em repouso ou emmovimento retilıneo e uniforme1. Uma ilustracao disso e o fato de que, se colocamos uma mesa desinuca em um trem que viaja a velocidade constante, podemos jogar exatamente como se o tremestivesse parado. Note que o mesmo nao vale se houver aceleracao: as leis da mecanica nao sao asmesmas em referenciais acelerados. Tomemos, por exemplo, a 2a lei de Newton2:

F = maSe x→ x′ = x−Vt, ou v→ v′ = v −V (Transformacao de Galileu):m→ m, a→ a′ = a− V = a. Se F = F(x1 − x0), F′ = F.

Ou seja, o lado direito de F = ma e invariante por transformacoes de Galileu, e o lado esquerdotambem e se, por exemplo, a forca so depende da distancia relativa entre dois corpos (como a forcagravitacional ou a forca elastica). E a forca de resistencia de arraste F = −bv? Ela depende davelocidade relativa em relacao ao ar: v→ (vparticula − var)!

Entao podemos perguntar: o princıpio da relatividade se aplica ao EM? A primeira vista, a respostae nao: se aplicamos a transformacao de Galileu as equacoes de Maxwell, obtemos um conjuntodiferente de equacoes, que possui solucoes diferentes. Isso parecia implicar que as equacoes deMaxwell, como conhecidas na epoca, so eram validas em um referencial especıfico. Uma outraforma de chegar a isso e lembrar que muitas equacoes da eletrodinamica, comecando com a forcade Lorentz, F = q(E+v×B), fazem referencia explıcita a velocidade da partıcula. Inclusive, o EMprediz uma velocidade c = 1/

√ε0µ0 (onde ε0 e a permissividade eletrica e µ0 e a permeabilidade

magnetica no vacuo), a velocidade da luz no vacuo, com base em suas constantes fundamentais.Mas velocidade em relacao a que?

A interpretacao usual era que a teoria eletromagnetica pressuporia a existencia de um referencialestacionario unico, chamado “eter”, com relacao ao qual todas as velocidades deveriam ser medidas.E as equacoes de Maxwell so valeriam nesse referencial.

1Podemos definir um referencial inercial como aquele em que vale a primeira lei de Newton: em que, na ausenciade forcas, um objeto descreve movimento retilıneo e uniforme. Uma definicao mais abstrata, dada pelo Landau, eque um referencial e inercial se nele o espaco e homogeneo e isotropico e o tempo flui homogeneamente. Pense numonibus fazendo uma curva: existe um ponto “especial”, o centro da curva, que “repele” todos os passageiros!

2Aqui usamos implicitamente a nocao do tempo “absoluto, verdadeiro e matematico” de Newton: ver sec. 1.3.2!

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E entao se torna uma questao fundamental determinar a velocidade desse referencial (se nao, comosabemos onde aplicar as equacoes do EM?). Por exemplo, a Terra se move em torno do Solcom uma velocidade de aproximadamente 30km/s. Ao longo do movimento orbital, a velocidaderelativa da Terra em relacao ao eter deve mudar. Em particular, a velocidade da luz, de 300.000km/s, seria aquela medida em um referencial em repouso em relacao ao eter. Supondo um ventode eter uniforme, se em um ponto da orbita a Terra esta em repouso em relacao ao eter, noponto diametralmente oposto deverıamos observar uma velocidade da luz de 300.060 km/s. Assim,medindo a velocidade da luz com precisao suficiente, deverıamos observar modulacoes, tanto diariasquanto anuais, devido ao movimento relativo da Terra em relacao ao eter. No entanto, todos osexperimentos que se propuseram a medir essa mudanca na velocidade da luz (o mais famoso sendoo experimento de Michelson-Morley, de 1887) deram resultados nulos. Isso gerou modelos cada vezmais complicados para o tal do eter!

Mas Einstein pensou diferente. O que acontece, de fato, quando aplicamos o EM de Maxwell, comoele e, em diferentes referenciais inerciais? Vamos considerar um exemplo. Imagine uma espiracondutora sobre um trenzinho que se move com velocidade constante ao longo de um trilho. Emum certo momento, o trem passa entre os polos de um ıma gigante. O que acontece? Do ponto devista do referencial da estacao, O, existe uma forca magnetica sobre as cargas da espira, que estaose movendo. Isso gera uma fem motora E =

∫(F/q) · dl =

∫(v × B) · dl que induz uma corrente

quando a espira entra ou sai da regiao com campo magnetico. Quando a espira esta toda imersano campo uniforme, nao ha corrente (a forca total sobre ela e nula). Note que, no caso ilustradoabaixo, E = −Bvh.

Por outro lado, o que aconteceria se aplicassemos as mesmas equacoes de Maxwell no referencial emmovimento? Como o anel esta em repouso, v = 0 e nao existe forca magnetica. Mas, a medida que oıma se move, o campo magnetico no trem muda, e a mudanca no campo magnetico induz um campoeletrico, pela lei de Faraday. A forca eletrica resultante gerara uma fem E =

∫E · dl = −dΦ/dt,

onde Φ =∫

B·dA e o fluxo de campo magnetico atravessando a espira. No caso ilustrado na figura,

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Φ = Bhx e dΦ/dt = Bhv. Logo, E = −Bhv, que e o mesmo resultado obtido anteriormente3!

Veja que a interpretacao dos dois observadores e completamente diferente (em um caso a fem edevida a forcas eletricas, em outro a fem e devido a forcas magneticas), mas o observavel (a femou a corrente) calculado nos dois casos e o mesmo!! Isso levou Einstein a postular que as leis doEM devem ser validas, da forma escrita por Maxwell, em qualquer referencial inercial. Como asequacoes de Maxwell nao sao invariantes por transformacoes de Galileu, a conclusao e que elas eque devem ser alteradas, junto com toda a cinematica classica! Em outras palavras: as leis do EMse aplicam sim em qualquer referencial inercial, mas a transformacao entre referenciais inerciaisnao e dada pela transformacao de Galileu. De fato, a transformacao de Galileu, vAC = vAB + vBCsera substituıda por vAC = (vAB + vBC)/(1 + vABvBC/c

2). Se vAB � c e vBC � c, isso se reduz atransformacao de Galileu. Mas para velocidades mais proximas a da luz, tudo muda. Em particular,se vAB = c, automaticamente vAC = c.

Vejamos como Einstein formula o problema em seu artigo de 1905:

“Sabe-se que a eletrodinamica de Maxwell, quando aplicada a corpos em movimento, leva a as-simetrias que nao parecem inerentes aos fenomenos. Tome, por exemplo, a acao eletrodinamicarecıproca de um ıma e um condutor. O fenomeno observavel aqui depende so do movimento relativodo condutor e do ıma, ao passo que a visao usual traca uma distincao profunda entre os casos emque um ou o outro corpo esta em movimento. Pois, se o ıma esta em movimento e o condutorem repouso, aparece na vizinhanca do ıma um campo eletrico com uma certa energia bem definida,produzindo uma corrente onde o condutor esta situado. Mas se o ıma esta em repouso e o condutorem movimento, nenhum campo eletrico aparece na vizinhanca do ıma. No condutor, porem, encon-tramos uma forca eletromotriz, que nao possui energia correspondente por si so, mas que da origema correntes eletricas identicas em posicao e intensidade aquelas produzidas pelas forcas eletricas noprimeiro caso.

Exemplos desse tipo, junto com buscas mal sucedidas para descobrir qualquer movimento da terracom respeito ao meio luminıfero, sugerem que os fenomenos da eletrodinamica, como aqueles damecanica, nao possuem propriedades correspondentes a ideia de repouso absoluto. Eles sugerem(...) que as mesmas leis da eletrodinamica e da otica serao validas em todos os referenciais emque as equacoes da mecanica sao verdadeiras. Nos vamos elevar essa conjectura (que chamaremosdaqui em diante “princıpio da relatividade”) ao status de um postulado, e tambem introduzir outro

3Para recordar os conceitos de Eletromagnetismo, ver secoes 34.2 a 34.5 do R. Knight (vol. 3).

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postulado, que e irreconciliavel com o primeiro apenas em aparencia, que a luz sempre se propagano espaco livre com uma velocidade bem definida c que e independente do estado de movimento docorpo emissor. Esses dois postulados sao suficientes para se obter uma teoria simples e consistenteda eletrodinamica dos corpos em movimento baseada na teoria de Maxwell para corpos estacionarios.A introducao de um eter luminıfero se provara superflua, uma vez que a visao desenvolvida aquinao requerira um “espaco estacionario absoluto” dotado de propriedades particulares (...)”

1.3 Postulados da Relatividade Especial

Einstein parte, portanto, de dois princıpios.

Postulados da Relatividade Restrita:

• Princıpio da relatividade (P1): As leis da fısica se aplicam em qualquer referencial inercial.Ou: nenhum experimento pode medir a velocidade absoluta de um observador.

• Universalidade da velocidade da luz (P2): A velocidade da luz relativa a qualquer obser-vador nao acelerado e c = 3× 108m/s, independentemente do movimento da fonte de luzrelativa ao observador.

Note que, se assumimos que as equacoes de Maxwell sao as mesmas em todos os referenciais inerciais,somos forcados ao segundo postulado!

Embora conceitualmente simples, esses postulados promoverao mudancas profundas na forma deentendermos o movimento e os conceitos cinematicos mais basicos, como espaco e tempo. Alemdisso, veremos mais a frente como eles levam a uma nocao de geometria do espaco-tempo. Porenquanto, vamos apenas ver, em experimentos mentais simples, como o segundo postulado desa-fia uma nocao bastante arraigada: que a simultaneidade de dois eventos e algo independente doobservador.

1.3.1 Experimento mental: a relatividade da simultaneidade

Situacao: trem viajando a velocidade constante. No centro, ha uma lampada. Em um certomomento, o interruptor e ligado e a luz se propaga ate atingir as extremidades do trem.

Como a lampada e equidistante das duas extremidades, um observador no trem vai julgar que aluz chega nas duas extremidades ao mesmo tempo e vai dizer que os dois eventos – (a) a luz chegana extremidade dianteira e (b) a luz chega na extremidade traseira – sao simultaneos.

Mas, para um observador na estacao, esses eventos nao sao simultaneos. Se L e o comprimento dovagao (como medido pelo observador na estacao) e v e a sua velocidade, o tempo que a luz demorapara chegar na extremidade dianteira e (L/2)/(c − v) ao passo que demora (L/2)/(c + v) para

chegar na extremidade traseira. Esse observador dira que o evento (b) acontece antes do evento(a). Conclusao:

Dois eventos que sao simultaneos em um referencial inercial nao sao, em geral, simultaneos emoutro.

Um outro exemplo parecido: tres observadores, A, B e O viajam num foguete de comprimento L,sendo que O esta a meio caminho entre A e B. A e B emitem um pulso de luz em direcao a O, eO recebe os dois sinais simultaneamente. Que sinal foi emitido primeiro? A resposta depende doreferencial. No referencial inercial em que o foguete esta em repouso, um observador dira que osdois pulsos foram emitidos simultaneamente, pois se propagaram pela mesma distancia e chegaramao mesmo tempo em O. Mas num referencial em que of foguete esta se movendo, um observadorraciocina assim: “Os sinais foram recebidos simultaneamente em O. Quando os pulsos foramemitidos, B estava sempre mais proximo da posicao de recepcao de O que A. Como os dois sinaisviajam com velocidade c, A precisa ter emitido seu pulso antes de B para que os dois chegassemao mesmo tempo em O.”

Esta claro como isso nao aconteceria se o nosso pensamento fosse Galileano? Se a luz tivessevelocidade c com relacao ao ‘eter’ e se o eter fosse carregado pelo foguete, o pulso de A viajaria comvelocidade c+ v e o pulso de B viajaria com velocidade c− v com relacao a um observador externoao foguete (sendo v a velocidade do foguete nesse referencial). Daı, para A, (c + v)t = L/2 + vt et = L/(2c). Para B, (c− v)t = L/2− vt e t = L/(2c). Os eventos de emissao seriam simultaneos.(Isso e o que acontece se substituımos a luz por uma bala!)

Obs.: Nao se trata de uma falha na observacao. Uma crianca que ouve um trovao e ve um raiopode inferir que a fonte da luz nao foi simultanea a fonte do som. Mas esse e um erro trivial –claramente precisamos levar em conta a velocidade de propagacao de cada sinal.

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