AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS
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SISTEMAS DE COORDENADAS
HISTÓRICO
Descoberta por René Descartes (1596-1650), estabeleceu relações entre Geometria e Álgebra. Criou o sistema de coordenadas cartesianas (homenagem a Descartes, CARTESIUS forma latina). Serviu de base para Newton fundamentar o Cálculo Diferencial e Integral.
A idéia básica da Geometria Analítica é fazer com que cada ponto no plano ou no espaço seja caracterizado por suas distâncias (x, y e z) em relação aos eixos de coordenadas e estudar o relacionamento entre x e y quando o ponto se encontra sobre diferentes tipos de linhas geométricas (curvas).
Exemplos:
Quando um ponto P de coordenadas x e y encontra-se sobre uma linha reta.
Ax + By + C = 0
Quando um ponto P de coordenadas x e y encontra-se sobre uma circunferência.
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Quando um ponto P de coordenadas x , y e z encontra-se sobre um parabolóide hiperbólico.
z = x.y
1
x
P
x
y
x
P
x
y
x
yP
x
y
a
br
x
yP
x
y
a
br
Localização de pontos numa superfície esférica
Cálculo de áreas e volumes através de coordenadas.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS OU RETANGULARES
a) no plano IR2
Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa do plano cartesiano:
x ® abscissay ® ordenada
1º quadrante = x > 0 e y > 0 2º quadrante = x < 0 e y > 0 3º quadrante = x < 0 e y < 0 4º quadrante = x > 0 e y < 0
2
x
y
y
z
x
x
y
y
z
x
Exemplo:
b) No espaço IR3
Exemplo:
3
- 4 x
y
- 3
- 4
2
- 3
1
2
- 4 x
y
- 3
- 4
2
- 3
1
2
1
2
x
y
z
x
y
z
P(x,y,z)
x ® abscissay ® ordenadaz ® cota
x ® abscissay ® ordenadaz ® cota
x
y
z
x
y
z
P(x,y,z)
x ® abscissay ® ordenadaz ® cota
x ® abscissay ® ordenadaz ® cota
x
y
z
x
y
z
P(x,y,z)
x ® abscissay ® ordenadaz ® cota
x ® abscissay ® ordenadaz ® cota
x
y
z
3
4
2
P(3,4,2)
x
y
z
3
4
2
P(3,4,2)
SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES
Exemplo: Nas abelhas a fonte de alimento é comunicada pela abelha campeira às demais abelhas, por uma dança, que toma como referência a nascente do sol, o leste. Se a fonte de alimento P estiver a 400 m da colméia e formando um ângulo de 600 no sentido horário em relação à direção do sol nascente (leste), pode-se saber, através das coordenadas polares sua posição exata:
Tabela resumo:
4
x
y
(
P(x,y)
x
y
® argumento ® distância polar ® argumento ® distância polar
x
y
(
P(x,y)
x
y
® argumento ® distância polar ® argumento ® distância polar
sul
leste
(300
400 m
P
x
y
oeste
colméia sul
leste
(300
400 m
P
x
y
oeste
colméia
x
CART® POLAR POLAR ® CART
x
yarctg
x
ytg
yx
22
cos.
sen.
x
y
x
CART® POLAR POLAR ® CART
x
yarctg
x
ytg
yx
22
cos.
sen.
x
y
COORDENADAS CILÍNDRICAS
COORDENADAS ESFÉRICAS
5
x
y
z
x
y
z
P(,,z)
y
x
y
z
x
y
z
P(,,z)
y
CART® CIL. CIL. ® CART
zzx
yarctg
yx
22
zz
x
y
cos.
sen.
CART® CIL. CIL. ® CART
zzx
yarctg
yx
22
zz
x
y
cos.
sen.
x
y
z
x
yz
P(r,,)
r
y
O
A P’
(
® colatitude de P ® longitude ouazimute de P
® colatitude de P ® longitude ouazimute de P
x
y
z
x
yz
P(r,,)
r
y
O
A P’
(
® colatitude de P ® longitude ouazimute de P
® colatitude de P ® longitude ouazimute de P
(
OP’
zr
P’
O
A
(
x
y
OA = OP’.cosmas
AP’ = OP’.sen
z = r.cosmas
OP’ = r.senx = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos
Se elevarmos x, y e z aoquadrado teremos: Se elevarmos x, y e z aoquadrado teremos:
(
OP’
zr
P’
O
A
(
x
y
OA = OP’.cosmas
AP’ = OP’.sen
z = r.cosmas
OP’ = r.senx = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos
Se elevarmos x, y e z aoquadrado teremos: Se elevarmos x, y e z aoquadrado teremos:
x = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos
x = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos
22222222222 cos...cos.. rsensenrsenrzyx
222222222 cos.).(cos. rsensenrzyx 2222222 cos.. rsenrzyx )cos.( 222222 senrzyx
2222 rzyx 222 zyxr
Desejamos o valor de , masz = r.cos , assim:Desejamos o valor de , masz = r.cos , assim: r
zcos
RAZÃO SIMPLES DE TRÊS PONTOS
Dados os pontos A, B e P de uma reta r, denominamos razão simples desses pontos, nessa ordem, ao quociente entre AP e BP que é simbolizado:
Se (ABP) = k diz-se que P divide o segmento AB na razão k.
6
r
zcos
222cos
zyx
z
r
zcos
222cos
zyx
z
CART® ESF. ESF. ® CART
222
2222
coszyx
zarc
x
yarctg
zyxr
x = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos
CART® ESF. ESF. ® CART
222
2222
coszyx
zarc
x
yarctg
zyxr
x = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos
rBPA
(ABP) = -
rPBA
(ABP) = +
rBPA
(ABP) = -
rPBA
(ABP) = +
Se P A
00
)( BP
ABP
rBPMA
r
Se P M ponto médio a razão simples vale - 1
1)(
AP
AP
BP
APABP
Se P divide um segmento AB em média e extrema razão então:
PBABAP .2
7
rP2P1O
Distância entre dois pontos no eixo das abscissas
x1 x2
1221 xxPP
Razão simples de 3 pontos por suas abscissas
rP2P1O
x1 x2 x = ?
P
(P1 P2 P) = k
PP
PPk
2
12
1
xx
xxk
k
kxxx
1
21
Se k = - 1 x é abscissa do ponto médio:
221 xx
x
d
212
212 )()( yyxxd
d
212
212 )()( yyxxd
Baricentro ou centro de massa de um triângulo é o pontode aplicação de uma força para se levantar o triângulo emequilíbrio e também é o encontro das medianas.
21
2)(
NG
AGANG AN
3
2
AN3
1
N
G
A
BC
2
NG
AG
xx
xx
ou
3
2 NAG
xxx
mas 2
CBN
xxx
substituindo xN tem- se:
LISTA DE EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE COORDENADAS
1) Represente no plano IR2 os pares: A(2,3) B(-5,1) C(-2,-3) D(0,3) E(-5,0) F(-1/3,2/3)
2) Achar as coordenadas dos pontos simétricos dos pontos: A(2,3) B(a,b) C(-1,-1) em relação ao eixo Ox, em relação ao eixo Oy e em relação à origem das coordenadas.
3) Em qual quadrante se encontra o ponto M(x,y) se:a) x.y > 0 b) x.y < 0 c) x - y = 0 d) x - y > 0
4) Represente no plano R2 os pontos dados em coordenadas polares, em coordenadas cartesianas: A(3,/2) B(2, ) C(3,- /4)
5) Determine k para que o ponto B(k2 -1 ; 2k +1) pertença ao 20 quadrante.
6) Achar a equação polar da hipérbole x2 - y2 = 16 e da circunferência x2 + y2 = 4
7) Se um ponto P tem coordenadas esféricas (4, /3, /6), ache as coordenadas cartesianas e cilíndricas de P.
8) Escreva as equações dadas em coordenadas cilíndricas, em coordenadas cartesianas:a) z = 42 b) = 4 sen
9) Represente no plano, os pontos (x,y) tal que: 2 < x < 5 e y = 3
10) Represente no espaço R3 os ternos: A(3,4,6) B(-5,3,1) C(1,-3,-5) D(-3,-5,0)
11) Complete:
a) Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas tem ________________ nula. b) Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas tem ________________ nula.c) O ponto pertence ao _________ quadrante.
12) As raízes da equação x3 – 4x2 – x + 4 = 0 são as dos pontos A,B e C do eixo das abscissas e são de modo que xA > xB > xc . Determine a razão em que o ponto B divide o segmento orientado AC.
13) Um móvel se desloca sobre um eixo sendo sua posição, em cada instante, dada por x = 2t + 3. Calcule o espaço percorrido pelo móvel entre os instantes 2 s e 5 s.
8
AN3
2
AN3
1
N
G
A
B C
3CBA
G
xxxx
de modo análogo para y
3CBA
G
yyyy
Baricentro ou centro de massa de um triângulo é o pontode aplicação de uma força para se levantar o triângulo emequilíbrio e também é o encontro das medianas.
14) Determine o ponto do eixo dos x eqüidistante dos pontos A(3,1) e B(5, -1).
15) Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partesiguais, sendo A(-7,0) e B(2,3).
16) Num triângulo ABC são dados A(2,0), M(-1,4) ponto médio de AB, medida dos lados AC = 10 e BC = 10. Determine:
a) o perímetro do triângulo;b) o vértice B.
17) Verifique se o triângulo de vértices A(1, 2,3), B(2, 3,1) e C(3, 1,2) é eqüilátero. Dê o seu perímetro.
18) As coordenadas esféricas de um ponto são , determine suas coordenadas
cartesianas.19) Determine as coordenadas cilíndricas correspondentes ao ponto em coordenadas cartesianas P(3, 2,4).
20) Passe do sistema polar para o sistema cartesiano:
a)
b)
c)
LEITURA COMPLEMENTAR
René Descartes (1596-1650) – criador da Geometria Analítica
Filósofo e matemático francês, estudou com os Jesuítas e posteriormente formou-se em Direito. Alista-se no exército de Maurício de Nassau. Viajou por muitas cidades da Europa. Uma noite depois de beber demais como fazia em todas as festas, teve um pesadelo constituído de 3 sonhos: no 10 viu o diabo, soprando da torre de certa igreja, no 20 via com os olhos da ciência uma tempestade que não podia lhe fazer mal, no 30 viu-se recitando um poema que começava assim: “Que caminho na vida devo tomar...”Segundo Descartes, esse pesadelo influenciaria definitivamente as conclusões finais do seu livro Geometria Analítica. Plano cartesiano é uma homenagem a ele. A ele se deve a utilização sistemática das letras x, y e z para indicar as letras de um problema; os símbolos a2 e a3 e os sinais de + e – para representar a soma e subtração. Teve também contribuições na divisão de polinômios e na Ótica. Em 1649 vai a Estocolmo dar aulas para a rainha Cristina, morre 5 meses depois de problemas pulmonares (tinha saúde frágil).
Frases:“Cogito ergo sum” – Duvido logo penso. “O bom senso é o que há de mais bem distribuído no mundo, pois cada um pensa estar bem provido dele.”
9