AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

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SISTEMAS DE COORDENADAS HISTÓRICO Descoberta por René Descartes (1596-1650), estabeleceu relações entre Geometria e Álgebra. Criou o sistema de coordenadas cartesianas (homenagem a Descartes, CARTESIUS forma latina). Serviu de base para Newton fundamentar o Cálculo Diferencial e Integral. A idéia básica da Geometria Analítica é fazer com que cada ponto no plano ou no espaço seja caracterizado por suas distâncias (x, y e z) em relação aos eixos de coordenadas e estudar o relacionamento entre x e y quando o ponto se encontra sobre diferentes tipos de linhas geométricas (curvas). Exemplos: Quando um ponto P de coordenadas x e y encontra-se sobre uma linha reta. Ax + By + C = 0 Quando um ponto P de coordenadas x e y encontra-se sobre uma circunferência. (x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2 1 x P x y x P x y x y P x y a b r x y P x y a b r

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SISTEMAS DE COORDENADAS

HISTÓRICO

Descoberta por René Descartes (1596-1650), estabeleceu relações entre Geometria e Álgebra. Criou o sistema de coordenadas cartesianas (homenagem a Descartes, CARTESIUS forma latina). Serviu de base para Newton fundamentar o Cálculo Diferencial e Integral.

A idéia básica da Geometria Analítica é fazer com que cada ponto no plano ou no espaço seja caracterizado por suas distâncias (x, y e z) em relação aos eixos de coordenadas e estudar o relacionamento entre x e y quando o ponto se encontra sobre diferentes tipos de linhas geométricas (curvas).

Exemplos:

Quando um ponto P de coordenadas x e y encontra-se sobre uma linha reta.

Ax + By + C = 0

Quando um ponto P de coordenadas x e y encontra-se sobre uma circunferência.

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Quando um ponto P de coordenadas x , y e z encontra-se sobre um parabolóide hiperbólico.

z = x.y

1

x

P

x

y

x

P

x

y

x

yP

x

y

a

br

x

yP

x

y

a

br

Page 2: AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

Localização de pontos numa superfície esférica

Cálculo de áreas e volumes através de coordenadas.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS OU RETANGULARES

a) no plano IR2

Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa do plano cartesiano:

x ® abscissay ® ordenada

1º quadrante = x > 0 e y > 0 2º quadrante = x < 0 e y > 0 3º quadrante = x < 0 e y < 0 4º quadrante = x > 0 e y < 0

2

x

y

y

z

x

x

y

y

z

x

Page 3: AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

Exemplo:

b) No espaço IR3

Exemplo:

3

- 4 x

y

- 3

- 4

2

- 3

1

2

- 4 x

y

- 3

- 4

2

- 3

1

2

1

2

x

y

z

x

y

z

P(x,y,z)

x ® abscissay ® ordenadaz ® cota

x ® abscissay ® ordenadaz ® cota

x

y

z

x

y

z

P(x,y,z)

x ® abscissay ® ordenadaz ® cota

x ® abscissay ® ordenadaz ® cota

x

y

z

x

y

z

P(x,y,z)

x ® abscissay ® ordenadaz ® cota

x ® abscissay ® ordenadaz ® cota

x

y

z

3

4

2

P(3,4,2)

x

y

z

3

4

2

P(3,4,2)

Page 4: AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES

Exemplo: Nas abelhas a fonte de alimento é comunicada pela abelha campeira às demais abelhas, por uma dança, que toma como referência a nascente do sol, o leste. Se a fonte de alimento P estiver a 400 m da colméia e formando um ângulo de 600 no sentido horário em relação à direção do sol nascente (leste), pode-se saber, através das coordenadas polares sua posição exata:

Tabela resumo:

4

x

y

(

P(x,y)

x

y

® argumento ® distância polar ® argumento ® distância polar

x

y

(

P(x,y)

x

y

® argumento ® distância polar ® argumento ® distância polar

sul

leste

(300

400 m

P

x

y

oeste

colméia sul

leste

(300

400 m

P

x

y

oeste

colméia

x

CART® POLAR POLAR ® CART

x

yarctg

x

ytg

yx

22

cos.

sen.

x

y

x

CART® POLAR POLAR ® CART

x

yarctg

x

ytg

yx

22

cos.

sen.

x

y

Page 5: AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

COORDENADAS CILÍNDRICAS

COORDENADAS ESFÉRICAS

5

x

y

z

x

y

z

P(,,z)

y

x

y

z

x

y

z

P(,,z)

y

CART® CIL. CIL. ® CART

zzx

yarctg

yx

22

zz

x

y

cos.

sen.

CART® CIL. CIL. ® CART

zzx

yarctg

yx

22

zz

x

y

cos.

sen.

x

y

z

x

yz

P(r,,)

r

y

O

A P’

(

® colatitude de P ® longitude ouazimute de P

® colatitude de P ® longitude ouazimute de P

x

y

z

x

yz

P(r,,)

r

y

O

A P’

(

® colatitude de P ® longitude ouazimute de P

® colatitude de P ® longitude ouazimute de P

(

OP’

zr

P’

O

A

(

x

y

OA = OP’.cosmas

AP’ = OP’.sen

z = r.cosmas

OP’ = r.senx = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos

Se elevarmos x, y e z aoquadrado teremos: Se elevarmos x, y e z aoquadrado teremos:

(

OP’

zr

P’

O

A

(

x

y

OA = OP’.cosmas

AP’ = OP’.sen

z = r.cosmas

OP’ = r.senx = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos

Se elevarmos x, y e z aoquadrado teremos: Se elevarmos x, y e z aoquadrado teremos:

x = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos

x = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos

22222222222 cos...cos.. rsensenrsenrzyx

222222222 cos.).(cos. rsensenrzyx 2222222 cos.. rsenrzyx )cos.( 222222 senrzyx

2222 rzyx 222 zyxr

Desejamos o valor de , masz = r.cos , assim:Desejamos o valor de , masz = r.cos , assim: r

zcos

Page 6: AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

RAZÃO SIMPLES DE TRÊS PONTOS

Dados os pontos A, B e P de uma reta r, denominamos razão simples desses pontos, nessa ordem, ao quociente entre AP e BP que é simbolizado:

Se (ABP) = k diz-se que P divide o segmento AB na razão k.

6

r

zcos

222cos

zyx

z

r

zcos

222cos

zyx

z

CART® ESF. ESF. ® CART

222

2222

coszyx

zarc

x

yarctg

zyxr

x = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos

CART® ESF. ESF. ® CART

222

2222

coszyx

zarc

x

yarctg

zyxr

x = r.sen.cosy = r.sen.senz = r.cos

rBPA

(ABP) = -

rPBA

(ABP) = +

rBPA

(ABP) = -

rPBA

(ABP) = +

Se P A

00

)( BP

ABP

rBPMA

r

Se P M ponto médio a razão simples vale - 1

1)(

AP

AP

BP

APABP

Se P divide um segmento AB em média e extrema razão então:

PBABAP .2

Page 7: AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

7

rP2P1O

Distância entre dois pontos no eixo das abscissas

x1 x2

1221 xxPP

Razão simples de 3 pontos por suas abscissas

rP2P1O

x1 x2 x = ?

P

(P1 P2 P) = k

PP

PPk

2

12

1

xx

xxk

k

kxxx

1

21

Se k = - 1 x é abscissa do ponto médio:

221 xx

x

d

212

212 )()( yyxxd

d

212

212 )()( yyxxd

Baricentro ou centro de massa de um triângulo é o pontode aplicação de uma força para se levantar o triângulo emequilíbrio e também é o encontro das medianas.

21

2)(

NG

AGANG AN

3

2

AN3

1

N

G

A

BC

2

NG

AG

xx

xx

ou

3

2 NAG

xxx

mas 2

CBN

xxx

substituindo xN tem- se:

Page 8: AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

LISTA DE EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE COORDENADAS

1) Represente no plano IR2 os pares: A(2,3) B(-5,1) C(-2,-3) D(0,3) E(-5,0) F(-1/3,2/3)

2) Achar as coordenadas dos pontos simétricos dos pontos: A(2,3) B(a,b) C(-1,-1) em relação ao eixo Ox, em relação ao eixo Oy e em relação à origem das coordenadas.

3) Em qual quadrante se encontra o ponto M(x,y) se:a) x.y > 0 b) x.y < 0 c) x - y = 0 d) x - y > 0

4) Represente no plano R2 os pontos dados em coordenadas polares, em coordenadas cartesianas: A(3,/2) B(2, ) C(3,- /4)

5) Determine k para que o ponto B(k2 -1 ; 2k +1) pertença ao 20 quadrante.

6) Achar a equação polar da hipérbole x2 - y2 = 16 e da circunferência x2 + y2 = 4

7) Se um ponto P tem coordenadas esféricas (4, /3, /6), ache as coordenadas cartesianas e cilíndricas de P.

8) Escreva as equações dadas em coordenadas cilíndricas, em coordenadas cartesianas:a) z = 42 b) = 4 sen

9) Represente no plano, os pontos (x,y) tal que: 2 < x < 5 e y = 3

10) Represente no espaço R3 os ternos: A(3,4,6) B(-5,3,1) C(1,-3,-5) D(-3,-5,0)

11) Complete:

a) Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas tem ________________ nula. b) Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas tem ________________ nula.c) O ponto pertence ao _________ quadrante.

12) As raízes da equação x3 – 4x2 – x + 4 = 0 são as dos pontos A,B e C do eixo das abscissas e são de modo que xA > xB > xc . Determine a razão em que o ponto B divide o segmento orientado AC.

13) Um móvel se desloca sobre um eixo sendo sua posição, em cada instante, dada por x = 2t + 3. Calcule o espaço percorrido pelo móvel entre os instantes 2 s e 5 s.

8

AN3

2

AN3

1

N

G

A

B C

3CBA

G

xxxx

de modo análogo para y

3CBA

G

yyyy

Baricentro ou centro de massa de um triângulo é o pontode aplicação de uma força para se levantar o triângulo emequilíbrio e também é o encontro das medianas.

Page 9: AULA 1 - SISTEMAS DE COORDENADAS

14) Determine o ponto do eixo dos x eqüidistante dos pontos A(3,1) e B(5, -1).

15) Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partesiguais, sendo A(-7,0) e B(2,3).

16) Num triângulo ABC são dados A(2,0), M(-1,4) ponto médio de AB, medida dos lados AC = 10 e BC = 10. Determine:

a) o perímetro do triângulo;b) o vértice B.

17) Verifique se o triângulo de vértices A(1, 2,3), B(2, 3,1) e C(3, 1,2) é eqüilátero. Dê o seu perímetro.

18) As coordenadas esféricas de um ponto são , determine suas coordenadas

cartesianas.19) Determine as coordenadas cilíndricas correspondentes ao ponto em coordenadas cartesianas P(3, 2,4).

20) Passe do sistema polar para o sistema cartesiano:

a)

b)

c)

LEITURA COMPLEMENTAR

René Descartes (1596-1650) – criador da Geometria Analítica

Filósofo e matemático francês, estudou com os Jesuítas e posteriormente formou-se em Direito. Alista-se no exército de Maurício de Nassau. Viajou por muitas cidades da Europa. Uma noite depois de beber demais como fazia em todas as festas, teve um pesadelo constituído de 3 sonhos: no 10 viu o diabo, soprando da torre de certa igreja, no 20 via com os olhos da ciência uma tempestade que não podia lhe fazer mal, no 30 viu-se recitando um poema que começava assim: “Que caminho na vida devo tomar...”Segundo Descartes, esse pesadelo influenciaria definitivamente as conclusões finais do seu livro Geometria Analítica. Plano cartesiano é uma homenagem a ele. A ele se deve a utilização sistemática das letras x, y e z para indicar as letras de um problema; os símbolos a2 e a3 e os sinais de + e – para representar a soma e subtração. Teve também contribuições na divisão de polinômios e na Ótica. Em 1649 vai a Estocolmo dar aulas para a rainha Cristina, morre 5 meses depois de problemas pulmonares (tinha saúde frágil).

Frases:“Cogito ergo sum” – Duvido logo penso. “O bom senso é o que há de mais bem distribuído no mundo, pois cada um pensa estar bem provido dele.”

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