Aula 10 esquemas numéricos para a resolução dos sistemas de equações de conservação.

Aula 10

esquemas numéricos para a resolução dos sistemas de equações de

conservação

• diferenças finitas e volumes finitos

métodos de resolução

diferenças finitas, exemplo: explícito, 1ª ordem no espaço e no tempo)

t x U F G

11

n n n n ni i i i i

tt

x

U U F F G

esquemas explícitos de 1ª ordem no tempo para a

resolução de

i i+1i1

n

n+1

funções U e F, e respectivas derivadas, discretizadas e transformadas em funções de malha.

derivadas substituídas por acréscimos finitos: diferenças finitas centradas, progressivas, regressivas ou combinações entre estas.



diferenças finitas, fórmula geral:

t x U F G

11 0; , ; ,n n

i it x t x U U 0


resolução de

bibliografia: Richtmyer e Morton 1967, Cunge et al. 1980, Hirsh 1989, 1990.



volumes finitos

t x U F G

1 12 2

1 * *n n n n ni i ii i

tt

x

U U F F G

12

*2 1 1,..., , ,n n n n n

i i i ii F F F F F F

fluxos avaliados nas fronteiras entre volumes centrados em i1, i, i+1...


resolução de

i1 i+1ii+3/2i+1/2i1/2i3/2

12

*iF1

2

*iF

12

iU



volumes finitos, em geral

t x U F G

1 12 2

1 * * * 1 1 11 1 1 1, , , , ,n n n n n n n n n n

i i i i i i i i ii it

tx

U U F F G G G G G G G


resolução de

bibliografia: Leveque 1980, Hirsh 1990, Toro 1998, Leveque 2002.

conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas


• ordem (ver acetatos)


2

3121 1 1O

2!i i

i i x i i x i iì ì

x xf f f x x f x x

1

erro de truncatura

Oi ix ì

f ff x

x

exemplo: discretização por diferenças progressivas

“segunda ordem”: erro de truncatura proporcional a x2

exemplo: discretização por diferenças centradas

2

3121 1 1O

2!i i


x xf f f x x f x x

2

3121 1 1O

2!i i


x xf f f x x f x x

31 1 2 Oi i x ì

f f f x 21 1 O2

i ix ì

f ff x

x




• consistência (ver acetatos)exemplo: esquema upwind não conservativo

aplicado a t x g

11( )n n n n

i i i i i it

tgx

1 2On ni i t i

t t 21 On n

i i x ìx x ecomo

2 21 1O ( O )n n n n

i t i i i x i ii ì

tt t x x tg

x

O Ot i x ii ìt g x

e, quando x → 0 t x g ou seja, obtém-se a equação inicial.

logo, é consistente.




• estabilidade (ver acetatos)exemplo: esquema upwind não conservativo aplicado a 0t x

11

n n n ni i i i i

t

x

( 1)1 ˆ eI n t i xni

esendo

ˆ eI n t i xni

( 1) ( 1)1

1 ˆ eI n t i xni

( 1)

1 ˆ eI n t i xni

( 1) ( 1)ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆe e e e e e e eI n t I i x I n t I i x I n t I i x I n t I i xCr

obtém-se

verificar a frequência angular e o factor de ampliação associados às perturbações propagadas no domínio de cálculo

it

Crx

em que


• diferenças finitas e volumes finitos• estabilidade exemplo: esquema 1

1n n n ni i i i i

t

x

1 1e e eR II t t I xCr

R II

cos sin 1 cos sin 1e I tR Rt I t Cr x I x

cos 1 cos 1e I tR t Cr x

sin sine I tR t Cr x

a frequência angular numérica poderá ter componente imaginária (ao contrário das frequências angulares do sistema hiperbólico)

assim

dividindo a equação nas suas partes real e imaginária

1 1e eI t I xCr

dividindo por ˆ ˆe eI n t I i x obtém-se


22 22 21 sin 1 cos 1e eI It tCr x Cr x

sintan

1 1 cosR

Cr xt

Cr x

2 2 21 cos 1 sine I t Cr x Cr x

sintan

1 1 cosR

Cr xt

Cr x


1n n n ni i i i i

t

x

combinando as equações


1 2 1 cos 1e I t Cr Cr x

sintan

1 1 cosR

Cr xt

Cr x


1n n n ni i i i i

t

x

se 1i i it x

Crx t

1e I t

R t x 1R

não há ampliação/atenuação

não há dispersão, celeridade numérica não depende do número de onda

assim, se 1Cr o esquema reproduz a forma de propagação hiperbólica: sem dissipação e sem dispersão.



21 2 1 cos 1e I t x

Cr CrL


1n n n ni i i i i

t

x

para quaisquer outros valores de Cr é necessário traçar os retratos de amplitude...

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1 10 100 1000L / x (-)

fact

or a

mpl

iaçã

o (-

)

Cr = 0.5

Cr = 1.1

Cr = 0.9Cr = 1.0

L : comprimento de onda das perturbações para quaisquer outros valores de Cr é necessário traçar os retratos de amplitude



sin 2atan

21 1 cos 2

R

xCr

L Lx x

CrL


1n n n ni i i i i

t

x

... e de fase...

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1 10 100 1000L / x (-)

cele

rida

de n

umér

ica

adim

ensi

onal

(-)

Cr = 1.1

Cr = 1.0

Cr = 0.9

Cr = 0.5




• estabilidade (ver acetatos)

condição de Courant–Friedrichs–Lewis

i i+1i1

n

n+1

1 it x

Crx t




• convergência (ver acetatos)

teorema de equivalência de Lax: convergente sse é consistente, estável e bem condicionado

• esquemas de discretização por diferenças finitas


• tipo upwind

upwind não conservativo

• tipo Lax-Wendroff

Lax-Wendroff 2ª ordem, MacCormack

• tipo “box”

Preissmann

1990’s, actual com complemento de 2ª ordem

finais 1980’s, 1990’s com TVD, actual...

anos 70, 80 e início 90’s

• esquema upwind (1ª ordem, explícito) para


1 12 2

11 1( ) ( )n n n n n n

i i i i i i ii it t

tgx x

)(21 )(

21

i i+1i1

n

n+1

i i+1i1

n

n+1

com

0 0

1 notar que 0t t

Cr Crx x

estabilidade condicionada a

t x g


• esquema Lax-Wendroff (2ª ordem, explícito) para

221

1 1 1 1( ) ( 2 )2 2

n n n n n n ni ii i i i i i i i

t ttg

x x

i i+1i1

n

n+1esquema instável

1t

Crx


necessita viscosidade artificial ou correcção TVD (total variation diminishing)

t x g


• esquema tipo box (Preissmann, implícitio) para

t

ni

ni

ni

ni

t

11

11 )1(

)(

x

ni

ni

ni

ni

x

111

1 )1()(

ni

ni

ni

)1(121

1 12 2

1 12 2

1 11

1 1

1

(1 ) 1

n n n ni ii i

n n n n n ni i i ii i

t x t x

gt t x

1 11 1

1n n n ni i i ix x

1 11 1

1n n n ni i i it t

t x g


i i+1

n

n+1

1 12 2

1 12 2

1 11

1 1

1

(1 ) 1

n n n ni ii i

n n n n n ni i i ii i

t x t x

gt t x

0212

1

Crestabilidade condicionada a

valores usuais:

12

0.7

• esquema tipo box (Preissmann, implícitio) para

t x g


• notas:

- o esquema upwind é muito difusivo porque o erro de truncatura é da ordem de x2;

- os esquemas de Lax-Wendroff são muito dispersivos e, sendo de 2ª ordem, são oscilatórios; necessitam sempre correcções TVD ou de viscosidade artificial;

- os esquemas implícitos do tipo Preissmann são dispersivos e difusivos (a disfusão esconde a dispersão); sendo implícitos apresentam bom desempenho no que diz respeito ao tempo de cálculo (t pode ser independente de );



com

t x U U GM

12

12

12

(1)

( )

0

0

i

i

k

i

Λ

1 1 12 2 2

( ) ( ) ( )121 1 1

k k k

1 1 12 2 2

( ) ( ) ( )121 1 1

k k k

1 12 2

11 1( ) ( )n n n n n n

i i i i i i ii it t

tx x

U U U U U U GΛ Λ

ver: diagonalização da matriz = S1A1BS Λ



1 12 2

11 1( ) ( )n n n n n n

i i i i i i ii it t

tx x

U U U U U U GΛ Λ

i i+1i1

n

n+1

i i+1i1

n

n+1

( ) 0k ( ) 0k

( )

,max 1k

ik i

tCr

x


t x U U GM

• esquema MacCormack (2ª ordem, explícito)

para


1p n n n n

i i i iit

tx

U U F F G

t x U U GM

1p p pc n

i i i iit

tx

U U F F G

1 1

2pn c

i ii U U U

i i+1i1

n

n+1

p

( )

,max 1k

ik i

tCr

x


nota: o desempenho do esquema é melhorado se se alternar a aplicação das diferenças progressivas e regressivas

• esquemas de discretização por volumes finitos


• tipo Godunov

HLLC (com Riemann solvers)

• quasi-2ª ordem

Ying (2000)

final década 1990, actualmente

proposto em 2000

• esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para


1 12 2

1 * *n n n n ni i ii i

tt

x

U U F F G

t x U F G

t

x

LURU

*S

*LU

LS

*RURS

x

t valores médios nos volumes de cálculo

problema de Riemann local

12

i 32

i 12

i 32

i 52

i estrutura da solução para o problema de Riemann local

stencil de Godunov

LR



t x U F G

t

x

LURU

*S

*LU

LS

*RURS

Riemann solvers para o esquema HLLC (podem ser aproximados)

1 12 2

Ln ni iS u c 1 1

2 2R

n ni iS u c

12

* *niS u

12

1 1

1

n n n ni i i in

i n ni i

h u h uu

h h

12

2 21

12

1

9.8 n ni i

ni n n

i i

h hc

h h

1

2

1* 1 1

1

1 19.8 9.8

2 2

n ni in n n n n

i i i ii n ni i

h hu u u h h

h h

1

2

1* 1 1

1

1 1

2 4

n ni in n n n n

i i i ii n ni i

h hh h h u u

gh gh

nota: não há descontinuidade em u e h através da onda de contacto



t x U F G

t

x

LURU

*S

*LU

LS

*RURS

expressão alternativa para as velocidades das ondas

12

L Ln ni i iS u c 1

2R R

n ni i iS u c

12

* *niS u

12

12

1 12 2

*

L 21

* *2

1 se

se

n nii

in n n n n ni i i ii i

h h

h h h h h h

12

12

1 12 2

1*

R 21

1 1 1 1* *2

1 se

se

n nii

in n n n n ni i i ii i

h h

h h h h h h



t x U F G

1

2

L L

*L L L *L L L **

*R R R *R R * R

R R

if 0

if 0

if 0

if 0

i

S

S S S

S S S

S

F

F F U UF

F F U U

F

t

x

LURU

*S

*LU

LS

*RURS

fluxos:

12

*L 11

2n n n

b bi biiY Y Y

12

*R 11

2n n n

b bi biiY Y Y

12

*Ln n

iiC C 1

2*R 1

n nii

C C



t x U F G

12

L

*R L 1 R L 1 R L L R

1 L R

if 0

if 0 and 0

if 0 and 0

ni

n n n ni i i ii

ni

S

S S S S S S S S

S S

F

F F F U U

F

t

x

LURU

*S

*LU

LS

*RURS

fluxos, expressões alternativas:

12

12

12

1 *L *

*

1 1 *R *

0

0

nni

i

inn

ii

F C S

F C S

F

k = 3:

k = 1, 2:

• esquema de Ying (quasi 2ª ordem, quasi-implícito)

para


1 12 2

1 * * 1n n n n n ni i i ii i

tt t

x

U U F F H G

t x U F S

nota: o vector de fluxo contém apenas os termos de fluxo físicos, eg. 2

uh

u h

Cuh

F

o vector H contém o declive da superfície livre, i.e. a soma do declive do fundo e da altura do escoamento


esquemas de diferenças e volumes finitos, notas:

- os diferenças finitas upwind e volumes finitos Godunov simples são equivalentes; são ambos altamente difusivos, não dispersivos e possuem grande aptência para capturar choques;

- o esquema MacCormack é do tipo Lax-Wendroff; é de 2ª ordem no espaço e, logo, oscilatório; só se obtém soluções de qualidade se se controlar as oscilações com viscosidade artificial ou com algoritmos TVD com limitadores de fluxo;


esquemas de diferenças e volumes finitos, notas:

- o esquema HLLC é adequado para escoamentos que desenvolvem choques fortes; a sua aplicação a problemas quasi-estacionários tem vindo a ser tentada com resultados encorajadores

- o esquema de Ying parece simular satisfatoriamente escoamentos transitórios e escoamentos permanentes; todavia é bastante difusivo e pode gerar oscilações na presença de choques fortes.


condições de fronteira (ver acetatos)

- método das características (ver acetatos)

- células “fantasma”

- difícil de aplicar em problemas com leito móvel;

- implementável com trechos fictícios a montante e jusante;

- resolução das equações nos nós de fronteira (requer nós fictícios a montante e a jusante);

- fácil de implementar; matematicamente, pode representar um problema mal condicionado;


condições de fronteira (ver acetatos)

- modelos em equilíbrio, condição de fronteira para as equações de conservação da massa de sedimentos

- não desejável:

11 1 1( )

1n n n

b b s st B

Y Y q t qx p

- preferível, integrar na primeira célula de cálculo:

0

(1 ) d d 0

x t t

t b x s

t

p Y q t x

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