Aula 10 - Excita+º+úo pela base e Transmissibilidade de For+ºa
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1 2.3.4. SISTEMAS EXCITADOS PELA BASE (OU SUPORTE) Freqüentemente, máquinas são excitadas através de suas montagens elásticas, as quais podem ser modeladas por molas e amortecedores. Um exemplo seria um sistema de suspensão de um automóvel excitado pela superfície de uma estrada. Modelo de ¼ de Veículo com 1 GDL
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Vibrações mecânicas.
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2.3.4. SISTEMAS EXCITADOS PELA BASE (OU SUPORTE)
Freqüentemente, máquinas são excitadas através de suas montagens elásticas, as quais podem ser modeladas por molas e amortecedores.
Um exemplo seria um sistema de suspensão de um automóvel excitado pela superfície de uma estrada.
Modelo de ¼ de Veículo com 1 GDL
2
Modelo de ½ Veículo com 2 GDL
Modelo de ½ Veículo com 4 GDL
3
Outros exemplos de sistemas com 1 GDL:
Para cada tipo de sistema abaixo, a Equação do movimento será diferente
4
Modelo de 1 GDL: Diagrama de Corpo Livre (supondo xy):
c x(t)
y(t)=Ysent
m
cF kF
)(
)(
yxkF
yxcF
k
c
m
kc
kyyckxxcxm
yxkyxcxm
FFxm kc
)()(
tkYtYckxxcxm sencos
Aplicando a 2a Lei de Newton:
Eq. do movimento
5
ou
)sen()()( 22 tkYYckxxcxm
sendo
k
carctg
A resposta em regime permanente é dada por:
)sen()( tXtx eb
sendo)sen()( tXtx eb
6
222
2
)2()1(
)2(1
rr
rYXeb
)sen()( tXtx eb
32
3
)2(1
2
rr
rarctg
222
2
)2()1(
)2(1
rr
r
Y
Xeb
Transmissibilidade de Deslocamento
tgtg1
tgtgtg
Amplitude da resposta
Ângulo de fase entre a excitação e a resposta
7
Gráfico Xeb/Y versus r e ângulo de fase () versus r
8
* Observações:
1) Na região de r 1 , Xeb/Y 1. A amplitude da massa é praticamente igual a da base
2) Na região de r 1 (região da ressonância), a amplitude da massa é controlada pelo amortecimento
3) Na região de r 1, Xeb/Y 0. A massa quase não se move.
4) Para r 2 Sempre Xeb Y
O amortecimento aumenta Xeb !!
9
31 21 2 3
1 2 3
22 2
n n nkk k
M M M
k k k
Exemplo Animado:
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Exercícios
1ª) Um oscilador harmônico possui massa igual a 2 kg e rigidez 4.500 N/m. O suporte do oscilador é colocado em um shaker, que vibra a 50 Hz com amplitude de 0,5 mm. Determinar a amplitude em metros da vibração resultante no oscilador.
Vibração Vertical
ShakerAmplificador de Potência
Gerador de Sinais
Oscilador harmônico (Sistema Massa-Mola)
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2ª) A suspensão de um automóvel pode ser representada pelo sistema mostrado na figura abaixo. O automóvel de massa 1200kg se desloca a uma velocidade de 100 km/h sobre uma estrada de seção longitudinal senoidal como ilustrado. Dados k=400kN/m, = 0,4, L = 4 m e Y = 8 cm, determinar a amplitude de vibração do automóvel.
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3ª) Determine as equações do movimento do sistemas abaixo.
(a)
(b)
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2.3.5. TRANSMISSIBILIDADE DE FORÇA
Devido à excitação pela base móvel
Da massa vibratória à base fixa
1. Transmissibilidade de Força Devido à Excitação pela Base
Estudamos o deslocamento da massa m devido ao deslocamento de sua base. Agora, iremos estudar qual a força transmitida à massa devido a este deslocamento harmônico da base.
x(t)
y(t)
F(t)
x(t)
A força transmitida para a massa principal é efetuada através da mola e do amortecedor. Então, a força transmitida à massa é a soma da força na mola e no amortecedor, ou seja:
m
m
c
c k
k
)()()( yxkyxctftr
14
)()()( tfyxkyxcxm tr Logo,
xmtftr )( )]sen([)(2
2 tX
dt
dmtf ebtr
2
22 )sen()(
n
nebtr tXmtf
)sen( )( 2 tXrktf ebtr
)sen()2()1(
)2(1 )(
222
22
t
rr
rYrktftr
Expressão da força transmitida da base à massa
)sen()( tFtf trtrou
15
Em que a amplitude da força transmitida é dada por:
222
22
)2()1(
)2(1
rr
rrkYFtr
Define-se então:
rftr T
rr
rr
kY
F
222
22
)2()1(
)2(1
Transmissibilidade de Força
(Da base móvel à massa principal)
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Exercício
1ª) Uma máquina (máquina 1) causa o piso de uma fábrica oscilar
harmonicamente. Uma outra máquina (máquina 2) irá ser montada no
mesmo piso. O deslocamento do piso onde será montada esta segunda
máquina é medido ser y(t)=0,1sen(t) [cm]. Calcule a força máxima
transmitida à máquina 2 na ressonância se esta pesa 30.000 N e é
montada sobre isoladores de vibração cuja rigidez e coeficiente de
amortecimento equivalentes são 40.000 N/m e 900 Ns/m,
respectivamente.
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2. Transmissibilidade de Força da Massa Vibratória à Base Fixa
A força transmitida à base fixa é a força agindo através da mola e do amortecedor, ou seja:
)sen()( tXtx
tFtF sen)( 0
m
c k
)()()( txctkxtftr
)sen()( tXtx )cos()( tXtx
)cos()sen()( tXctkXtftr
)sen()()()( 22 tXckXtftr
Amplitude da força transmitida:22 )()( XckXFtr
22
222022 )(
)2()1(
/)(
ck
rr
kFckXFtr
18
222
20
)2()1(
)2(1
rr
rFFtr
rftr T
rr
r
F
F
222
2
0 )2()1(
)2(1
2
Transmissibilidade de Força (da massa principal à base fixa)
r > (2)1/2, há atenuação da força transmitida
r < (2)1/2, há ampliação da força transmitida
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Exercícios
1ª) Um equipamento de massa 3 kg opera a 500 rpm. Calcule
o valor da rigidez de seu isolador de modo que este transmita
à base apenas 5% da força gerada na massa do equipamento
(considere c=0)..
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2ª) Um motor operando a 1200 rpm aciona uma bomba que opera a 600 rpm. Os dois elementos são montados sobre uma base retangular comum com quatro isoladores de vibração, cada um localizado em uma das extremidades da base.
Uma vez que o motor é mais pesado que a bomba, a distribuição de carga é tal que os dois isoladores abaixo do motor suportam um peso de 200N cada um, enquanto que os dois abaixo da bomba suportam, cada um, um peso de 100N.
Calcule então o valor da rigidez de cada isolador, para que se obtenha uma eficiência de 80% no isolamento da vibração. Desprezar o amortecimento.
