Aula 10 sistemas de particulas e colisoes

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLÓGICO CURSO DE ENGENHARIA FLORESTAL CAMPUS MARABÁ FÍSICA GERAL I Profº André Scheidegger Laia

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁCENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E TECNOLÓGICO

CURSO DE ENGENHARIA FLORESTALCAMPUS MARABÁ

FÍSICA GERAL IProfº André Scheidegger Laia

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AULA 8

Sistemas de partículas e ColisõesCentro de massa e sistemas de partículasCorpos rígidosLei de Newton para sistemas de partículasMomento linearO momento linear de um sistema de partículasConservação do momento linearColisõesImpulso e momento linearColisões elásticasColisões inelásticasColisões em duas dimensões

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Quem nunca viu!

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Sistemas de partículas• Em física temos um importante ponto de analise e

que tem grande aplicação na resolução de muitos problemas físicos.

• Este ponto é o centro de massa. Um ponto imaginário que representa uma posição em um corpo na qual toda a massa pode ser condensada e a partícula ainda pode se comportar do mesmo modo e inclusive seguir a mesma trajetória.

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Centro de massa

• Se considerarmos o nosso sistema constituído por duas partículas de massa m1 e m2 estando m1 na origem do eixo x e separada de m2 por uma distancia d. Por definição o centro de massa será:

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Centro de Massa

Se a massa m1 não estiver na origem do eixo x, o centro de massa passa a ser representado por:

Podemos ainda substituir m1 e m2 por M:

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Centro de Massa

• O sistema ainda pode ser formado por n partículas todas em posições diferentes ao longo do eixo x. Neste caso:

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Centro de Massa

• Se as n partículas estiverem distribuída em três dimensões, a posição do centro de massa deve ser especificada por três coordenadas.

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Vetor posição do Centro de Massa

• Usando vetores para representar a posição da partícula em 3D o vetor posição do centro de massa passa a ser:

• O que simplificando é:

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• Objetos comuns como um martelo, um machado, um prego ou qualquer outro objeto é uma junção de “bilhões” de átomos que se comportam cada como uma partícula minúsculas do sistema (objeto) que são distribuídas de forma contínua.

• Neste caso cada partícula possui massa infinitesimal dm e no lugar de uma somatória agora iremos integrar essa partículas.

• onde M é a massa do objeto.

Corpos Maciços

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Corpos Maciços

• Fazer este calculo para objetos comuns como TV, mesa, cadeira, machado, etc, se tornaria muito difícil e trabalhoso, daí a necessidade de considerarmos apenas objetos uniformes onde a massa especifica (densidade = ) é a mesma para qualquer partícula e também para o objeto como um todo.

• Onde dV é o volume ocupado por uma partícula de massa dm e V é o volume total do objeto.

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Eixo de simetria

• Se o corpo possuir algum eixo de simetria o trabalho é reduzido sendo que o centro de massa se encontra sobre este eixo de simetria.

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Exemplo

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A segunda lei de Newton para sistemas de partículas

• Na colisão de duas partículas tais como duas bolas de sinuca, ocorre freqüentemente situações diferentes. As bolas seguem em linha reta, se dirigem para direções diferentes, uma para e a outra passa a se mover...

• Porem nestes casos algo que não muda e permanece constante é a velocidade do centro de massa, uma vez que após a tacada o sistema não sofre influencia de nenhuma força externa e as forças internas se anulam (desconsiderando o atrito).

• Embora seja um ponto imaginário, o centro de massa move-se como uma única partícula cuja massa é igual à massa total do sistema, podendo ser associado a este uma posição, uma velocidade e uma aceleração.

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A segunda lei de Newton para sistemas de partículas

• Considerando a massa do sistema igual a M e a aceleração deste ponto igual a acm , a resultante das forças externas será:

• E em relação aos três eixos de coordenadas temos:

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Caso semelhante ao da colisão de duas bolas de sinuca acontece também com a explosão de fogos de artifícios. Se lançado em uma trajetória parabólica como na figura ele tenderá a permanecer na trajetória caso não exploda, porem as forças envolvidas na explosão são forças internas ao sistema realizada por parte do sistema sobre outras, portanto mesmo após a explosão o centro de massa dos fragmentos do foguete segue a trajetória normalmente sendo influenciados apenas pela força g.

A segunda lei de Newton para sistemas de partículas

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Exemplo

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Momento Linear

• Em física momento linear de uma partícula é uma grandeza vetorial definida através da equação:

onde m é a massa e V a velocidade da partícula.Sua unidade no SI é o (kg . m/s)

• Derivando essa expressão temos que:

• Isso nos comprova que aplicando uma força sobre uma partícula provocamos uma variação em seu momento.

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Momento linear de um sistema de partículas

Considerando um sistema constituído por n partículas cada uma com massa, velocidade e momento próprios e sujeitas tanto a forças internas como externas. Podemos representar o momento linear total destas partículas por P.

Lembramos porem que esta expressão pode ser reduzida a:

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Momento linear de um sistema de partículas

• Derivando a expressão anterior temos que:

• O que retorna a Lei fundamental da dinâmica.

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ColisõesO momento de uma partícula só pode sofrer

variação com a ação de uma força externa. Em colisões com outros corpos (alvos) a partícula (projétil) é sujeita a uma força de curta duração e de grande intensidade.

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Colisões Simples

• Em colisões simples tais como a de uma bola em um taco de beisebol, onde a colisão dura poucos instantes mas é suficiente para inverter o movimento do projétil. A força responsável pela variação do movimento e conseqüentemente do momento muda de intensidade durante a colisão e pode ser definida como:

Como a força é variável durante a colisão podemos determiná-la integrando a expressão:

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Colisões Simples

• Esta expressão nos mostra que a variação do momento entre os instantes i e f são iguais tanto a intensidade quanto a duração da força da colisão, conhecido como impulso (J).

ou

• Calculando a força média com a qual a colisão acontece temos que o impulso será:

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Colisões em Série

Em diversas colisões com projeteis de momentos iguais sobre um mesmo alvo é certo que o impulso total destes projeteis no intervalo de tempo t é n.p. Pela 3ª lei de Newton a força a que o alvo é submetido tem modulo igual a dos projeteis e portanto o impulso sofrido pelo alvo também é igual ao dos projeteis porem com sentido oposto:

Combinando as duas ultimas equações temos que:

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Colisões em Série

• Se os projeteis param após a colisão a variação da velocidade é:

v = Vf – Vi = 0 – V = -V

• Se porem o projétil ricocheteia e volta com a mesma velocidade em sentido oposto a variação da velocidade é:

v = Vf – Vi = -V – V = - 2V

• Num intervalo de tempo t há a colisão de n projeteis de massa m, sendo m = nm a variação desta massa no decorrer do tempo. Sendo Fméd :

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Conservação do momento linear

• Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o momento linear total P do sistema não pode variar. Ou seja em um sistema isolado o momento se conserva.

EXEMPLO:

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Momento e Energia Cinética em Colisões (elásticas)

• Em uma colisão elástica o momento total do sistema é conservado de tal forma que tendo um sistema fechado e isolado de forças externas, podemos admitir que em todo o percurso o momento total sempre será o mesmo. Neste caso o projétil retorna com a mesma velocidade que estava antes do choque. E não tendo outra força dissipativa envolvida, nenhuma energia é perdida e a energia cinética também se conserva.

• Em colisões perfeitamente elásticas temos que:

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Momento e Energia Cinética em Colisões (inelásticas)

• Já em colisões inelásticas o momento total é conservado, porem parte da energia do sistema é dissipada, de forma que parte da energia cinética sempre é transformada em outra forma de energia tal como térmica, sonora, etc.

• Quando parte da energia cinética do projétil é perdida na colisão e os corpos ficam unidos com a mesma velocidade chamamos de colisões perfeitamente inelásticas.

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EXEMPLO

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Colisões projétil & alvo

• Com alvo estacionário:

• Alvo em movimento:

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Colisões em duas dimensões

• Nem sempre as colisões são frontais, e não sendo frontal a direção do movimento depois do choque não é igual a direção de antes, porem mesmo assim, sendo um sistema isolado de forças externas o momento das partículas são conservados e a colisão agora é bidimensional.

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Colisões em duas dimensões

• Note que as partículas após a colisão formam ângulos 1e 2 com o eixo x, sendo a componente momento no eixo x:

• E no eixo y:

• Podemos ainda ter a equação da energia cinética dada pela expressão:

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Problemas

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Problemas