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REDUÇÕES GRAVIMÉTRICAS Aula 11

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL DE MINAS GERAIS Câmpus Inconfidentes

CONSIDERAÇÕES Objetivos

Segundo Hofmann-Wellenhof e Moritz (2005) as reduções gravimétricas servem como uma ferramenta para três objetivos principais:

1.  Determinação do geoide;

2.  Interpolação e extrapolação da gravidade;

3.  Investigação da crosta terrestre.

Somente as duas primeiras propostas são de natureza direta da Geodésia.

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CONSIDERAÇÕES

De acordo com Gemael (2012) os valores medidos de g estão sujeitos a diferentes tipos de reduções. Por exemplo, a anomalia de Bouguer, tão importante do ponto de vista geológico, pouco ou nada significa se considerada isoladamente nas investigações sobre o geoide, enquanto as reduções isostáticas, que podem interessar a ambos, geólogo e geodesista, não se adequam aos trabalhos de prospecção de natureza local.

CONSIDERAÇÕES

Vimos também que a clássica fórmula de STOKES pressupõe a inexistência de massas externas ao geoide. Isso implicará em métodos de redução que eliminem ou transfiram para outras posições as “massas topográficas”. É óbvio que em tais circunstâncias o geoide sofrerá variações, maiores ou menores, consoante ao processo utilizado, o que, por sua vez, também exigirá um novo tratamento.

Por outro lado, nas reduções isostáticas são eliminadas tanto as massas externas ao geoide como as correspondentes massas internas de compensação, com o que se verifica uma alteração relativamente fraca do potencial gravífico (GEMAEL, 2012).

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CONSIDERAÇÕES

Para que possamos visualizar o problema na sua forma geral, iremos recordar a definição genérica de anomalia da gravidade.

Δg = g0 - γ

O índice na gravidade real visa enfatizar que ela refere-se à superfície do geoide; a gravidade teórica é obtida com a “fórmula internacional” em função da latitude do ponto observado, sobre a superfície do modelo.

CONSIDERAÇÕES A Fórmula Internacional

•  Fórmula internacional da gravidade – 1930: Em 1927 a Assembleia Geral da IUGG1 esteve reunida em

Praga com o objetivo de debater as diferentes fórmula para a obtenção da gravidade normal e, assim obter uma uniformização para Geodésia Física e definir a adoção de uma fórmula internacional da gravidade normal.

γ30 = 978049*(1 + 0,0052884*sen2(φ) – 0,0000059*sen2(2φ))

1 – International Union of Geodesy and Geophysics

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CONSIDERAÇÕES A Fórmula Internacional

•  Fórmula internacional da gravidade – 1967: Em 1964 a União Astronômica Internacional adotou o Sistema

de Constantes Astronômicas UAI e, em 1967 a UGGI, decorrido quase meio século da “internacionalização”, recomendou o Sistema Geodésico de Referência 1967, resultando na fórmula internacional de 1967. γ67 = 978031,846*(1 + 0,005278895*sen2(φ) – 0,000023462*sen4(φ))

γ80 = 978032,7*(1 + 0,0053024*sen2(φ) – 0,0000058*sen2(2φ))

CONSIDERAÇÕES A Fórmula Internacional

Designação Símbolo Valor

Unidade Astronômica A 149600*106 m

Velocidade da Luz C 299792,5 km/s

Semieixo maior do elipsoide a 6378137 m

Fator dinâmico de forma J 10826,3*10-7

Constante geocêntrica da gravitação GM 398600,5*109 m3s-2

Relação entre as massas lunar e terrestre u 1:81,3

Paralaxe solar 8,794”

Velocidade de rotação w 7292115*10-11 rad/s

Sistemas de Constantes Astronômicas U.A.I. Fonte: Gemael, 2012

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CONSIDERAÇÕES Correção do ar livre

Para “reduzirmos ao nível médio do mar” a gravidade observada na superfície física da Terra, introduzimos a chamada “correção ao ar livre” Cf. A anomalia resultante recebe o mesmo nome da correção. Assim temos:

Δgf = g + Cf - γ

CONSIDERAÇÕES Correção de Bouguer

A remoção das massas topográficas ou massas externas ao geoide, para legitimar a aplicação da integral de STOKES, se obtém empregando, além da redução anterior, a chamada correção de Bouguer (Cb). A anomalia resultante é designada com o nome do cientista francês, que foi o primeiro a considera-la. Assim temos:

Δgb = g + Cf + Cb - γ

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CONSIDERAÇÕES Correção isostática

Se quisermos ainda considerar a circunstancia de achar-se a maior parte da crosta terrestre em equilíbrio isostático, impomos, além das correções anteriores, mais uma correção (Ci). A anomalia resultante é conhecida como anomalia isostática. Assim temos:

Δgi = g + Cf + Cb + Ci - γ

ANOMALIA DO AR LIVRE

A correção do ar livre para um ponto de altitude ortométrica (H) é dada por: Cf = (δg/δH)*H

Sendo δg/δH o gradiente vertical da gravidade. Nos trabalhos rotineiros de Geodesia e Geofísica podemos utilizar o gradiente gradiente da gravidade normal: Cf = 0,3086*H. Com H em metros e Cf em miligals. Resulta numa anomalia do ar livre:

Δgf = g + 0,3086*H - γ

Nos casos de maior precisão podemos usar:

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ANOMALIA DO AR LIVRE

Segundo Gemael (2012), a determinação relativa de g em uma estação terrestre utilizando o gravímetro é uma operação relativamente simples que se conclui em poucos minutos com notável precisão. Porém, no caso da anomalia do ar livre pressupõe a definição cartográfica do ponto: latitude para o cálculo da gravidade teórica e altitude para a correção do gradiente. De acordo com Miranda et al (2012), o gradiente vertical da gravidade teórica coloca a necessidade de ser conhecida com muito rigor a altitude dos pontos de medida utilizados para os estudos gravimétricos. Os melhores gravímetros disponíveis podem medir a gravidade com uma precisão de 0.001 mgal. Neste caso, para ser utilizada toda a precisão disponível nesta medida, torna-se necessário conhecer a altitude com uma precisão melhor que 3 mm.

EXERCÍCIO 1.  Considere os dados abaixo das estações gravimétricas e

calcule o valor da anomalia do ar livre. •  Datum SIRGAS2000

1.  Ponto g = 978017,80 mGal φ = -06º 45’ 17” λ = -38º 57’ 56” H = 245,116 m

2.  Ponto g = 978018.50 mGal φ = -06º 46’ 12” λ = -38º 58’ 29” H = 239,659 m

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ANOMALIA DE BOUGUER

Mencionamos anteriormente que a fórmula de STOKES pressupõe a inexistência de massas externas ao geoide. A remoção de tais massas topográficas, bem como o preenchimento das bacias oceânicas por material de mesma densidade que o da crosta terrestre, será executada em duas fases:

1.  Redução modificada de BOUGUER: é a que elimina as massas da região “próxima” à estação (“zonas literais de HAYFORD”); é constituída por uma calota esférica cujo o polo é a estação e cujo o raio é igual a 166,7 km.

2.  Redução topoisostática: é a que elimina as massas topográficas das

regiões “distantes”, que se estendem até o ponto oposto simetricamente da estação. Esta redução se processa juntamente com a correção isostática.

ANOMALIA DE BOUGUER Redução modificada de BOUGUER

A anomalia BOUGUER considera a massa existente entre o geóide e a superfície física da Terra. A remoção das massas topográficas pode ser expressa por:

O primeiro termo (A) constitui a correção de BOUGUER propriamente dita: corresponde à componente vertical da atração exercida por um platô horizontal de espessura H sobre um ponto de massa unitária situado à sua superfície.

FONTE: MOLINA (2014)

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ANOMALIA DE BOUGUER Redução modificada de BOUGUER

Correção Topográfica. FONTE: MOLINA (2014)

A componente (A), na realidade, se aproxima da que seria produzida por uma calota de mesma espessura e com raio esférico de 166,7 km. Esta, aliás, é a função do segundo termo (B); converter o platô em calota. O terceiro termo (C), que designaremos por correção topográfica, considera as irregularidades da topografia em relação à calota.

ANOMALIA DE BOUGUER Redução modificada de BOUGUER

ΔgB = g – γ + 0,3086*H - 0,1119*H – B + C

O segundo termo (B) fornecido pela seguinte tabela:

O terceiro termo (C) é a correção topográfica e assume valores relativamente pequenos. Em escala regional, esta correção pode ser negligenciada desde que a topografia seja plana ou moderada. Em escala local, no entanto, ela tem que ser considerada pois as anomalias envolvidas, neste caso, normalmente são pequenas.

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H Calota Platô B (10-4 Gal)

100 11,26 11,18 0,8

200 22,62 22,36 2,6

300 33,98 33,54 4,4

400 45,24 44,72 5,2

500 56,60 55,90 7,0

600 67,86 67,08 7,8

700 79,12 78,26 8,6

800 90,48 89,44 10,4

900 101,74 100,62 11,2

1000 113,00 111,80 12,0

1100 124,26 122,98 12,8

1200 135,52 134,16 13,6

1300 146,78 145,34 14,4

1400 158,04 156,52 15,2

1500 169,20 167,70 15,0

1600 180,46 178,88 15,8

1700 191,72 190,06 16,6

1800 202,98 201,24 17,4

1900 214,14 212,42 17,2

2000 225,30 223,60 17,0

FONTE: MOLINA (2014)

ANOMALIA DE BOUGUER Redução modificada de BOUGUER

O cálculo da correção topográfica envolve boas cartas topográficas da região vizinha à estação. Por meio de circunferências concêntricas, cujos raios são tabelados. A partir da localização da estação, a região é dividida em zonas denominadas zonas leterais de Hayford. São designadas com letras maiúsculas desde A (pequena calota que envolve a estação) até O, que representa a região mais afastada (com raio de 166,7 km) e que precisamente delimita a calota de Bouguer. As zonas C, D, E, F, e O às vezes são subdivididas em C1, C2, D1, D2, etc. As zonas de Hayford, por sua vez, são subdivididas por radiais, em compartimentos.

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Segundo MOLINA (2014), em regiões pouco acidentadas, como no caso do Brasil, a correção topográfica é relativamente pequena (em grande parte do território brasileiro é inferior a 3 mGal).

Zonas e Compartimentos. FONTE: MOLINA (2014)

EXERCÍCIO 1.  Considere os dados abaixo das estações gravimétricas e

calcule o valor da anomalia BOUGUER. •  Datum SIRGAS2000

1.  Ponto g = 978017,80 mGal φ = -06º 45’ 17” λ = -38º 57’ 56” H = 245,116 m

2.  Ponto g = 978018.50 mGal φ = -06º 46’ 12” λ = -38º 58’ 29” H = 239,659 m

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ANOMALIA ISOSTÁTICA

A isostasia estuda o estado de equilíbrio da litosfera sob os efeitos da gravidade. Aos excessos (montanhas) e às deficiências (oceanos) de massa em relação ao geóide corresponde massas internas de compensação.

O equilíbrio isostático pode estar plenamente atingido em certas regiões, por isso ditas compensadas. Em outras pode se achar em fase de processamento (são as regiões ditas sub-compensadas) ou ter sido ultrapassado (regiões super compensadas), daí um processamento no sentido inverso.

Uma anomalia isostática aproximadamente nula indicaria equilíbrio isostático; as anomalias fortemente negativas corresponderiam regiões super compensadas e às positivas, regiões sub-compensadas.

ANOMALIA ISOSTÁTICA O sistema PRATT-HAYFORD

Segundo MOLINA (2014) o sistema de Pratt postula a igualdade entre as massas topográficas e as chamadas massas de compensação, que se estendem do geóide até uma determinada profundidade, denominada profundidade de compensação. O equilíbrio isostático ocorreria através da variação de densidade do material subjacente ao geóide: sob as montanhas (excesso de massa em relação ao geóide) haveria uma deficiência de densidade e sob o leito dos oceanos (as massas oceânicas representariam uma deficiência de massa) haveria um excesso em relação ao valor médio atribuído às massas superficiais.

Em outras palavras, blocos prismáticos de seção unitária conteriam a mesma massa, quer fossem eles: continentais (a), litorâneos (b) ou oceânicos (c), delimitados inferiormente pela superfície de compensação de profundidade H.

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Sistema PRATT-HAYFORD. FONTE: MOLINA (2014)

Onde: ρ é a densidade da camada superficial (massa topográfica); ρ1 é a densidade da parte subjacente ao geoide; A diferença ρ’1 = ρ – ρ1 é denominada densidade de compensação.

ANOMALIA ISOSTÁTICA O sistema PRATT-HAYFORD

A isostasia postula que:

ou seja, às massas topográficas do bloco correspondem massas internas de compensação iguais, mas de sinal contrário, logo, a densidade de compensação é expressa por:

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ANOMALIA ISOSTÁTICA O sistema PRATT-HAYFORD

Em um bloco oceânico de profundidade p, designando por:

Uma vez arbitrado o valor de H, a densidade de compensação resultante conhecida é a correção isostática, isto é, a componente vertical da atração produzida pelas massas de compensação pode ser calculada, em essência, de maneira análoga ao efeito das massas topográficas.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARANA, J. Introdução a Geodésia Física. FCT-UNESP – Presidente Prudente, 2009. CATALÃO, J. Geodésia Física. Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa – Lisboa, 2000. GEMAEL, C. Introdução à Geodesia Física. Ed. UFPR – Curitiba, 2012. HOFMANN-WELLENHOF, B. e MORITZ, H. Physical Geodesy. Ed. SpringerWienNewYork – Austria, 2005. MIRANDA, J. M., LUIS, J. F., COSTA, P. T. e SANTOS, F. M. Fundamentos de Geofísica. 2012. MOLINA, E. C. Gravimetria e Geomagnetismo - notas de aula. <disponível em: http://www.iag.usp.br/~eder/agg0333/>, 2014. SNEEUW, N. Physical Geodesy. Institude of Geodesy Universität Stuttgart – Stuttgart, 2006.

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DÚVIDAS

e-mail: luciano.barbosa@ifsuldeminas.edu.br

Fonte: BOLSTAD P., 2012.