Aula 12 intervalo de confiança

Intervalo de Confiança

Profa. Dra. Juliana Garcia

Cespedes

Quando o interesse é um determinado

parâmetro de uma população:

– Retira-se uma amostra aleatória dessa

população

– E, através desta amostra, estima-se o

parâmetro populacional.


A partir de amostras aleatórias de tamanho n

estima-se os parâmetros populacionais e 2

através de estimadores:

que produzem, para a amostra selecionada, as

estimativas pontuais.

São chamadas pontuais, pois são únicas para

cada amostra selecionada.


n

i

ixn

x1

1

1

)(1

2

2

n

xx

S

n

i

i

Um estimador T do parâmetro é qualquer

função das observações da amostra. (É uma

estatística T, porém associada a um parâmetro

populacional)

Estimativa é o valor assumido pelo estimador em

uma particular amostra.


Contudo, o valor estimado geralmente não será exatamente igual ao valor verdadeiro.

Seria interessante medir o possível erro cometido na estimação.

Uma maneira de expressar a precisão da estimação é estabelecer limites, que com certa probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro.


Esses limites são chamados de limites de confiança e determinam um intervalo de confiança que forneça um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro baseado nos dados amostrais.

Como obter estimativas intervalares para o parâmetro de interesse, isto é, como determinar intervalos com limites que abranjam o valor do parâmetro populacional, com uma margem de segurança prefixada?


Seja (X1,X2,...,Xn) uma amostra aleatória de

tamanho n de uma população e o parâmetro de

interesse. Sejam 1 e 2 estatística tais que:

Então o intervalo (1; 2) é chamado intervalo de

100(1-)% de confiança para o parâmetro .

Usualmente assume-se 1- = 0,95 ou 0,99


1)ˆˆ( 21P

^

^

^

^

=1- é

chamado de

coeficiente de

confiança

Um intervalo de confiança de 95% fornece um

intervalo no qual estaríamos 95% confiantes da

cobertura do verdadeiro valor do parâmetro

Tecnicamente, 95% de todos os intervalos de

confiança que construirmos conterão o verdadeiro

valor do parâmetro (dado que todas as suposições

envolvidas estejam corretas).

Interpretação - Intervalo de Confiança

1 2 3 4 ..... 100 amostras

X

Se obtivermos um intervalo de confiança para o

parâmetro para cada uma dentre 100 amostras

aleatórias da população, somente 5, em média

destes intervalos de confiança não conterão .

Como encontrar os limites de confiança?

Se n > 30

Do Teorema do limite central sabe-se que:

Intervalo de confiança para média

nNX

2

,~

1,0~ N

nS

X

n

XZ

O intervalo de confiança para X é dado por:


12/2/

n

SzX

n

SzXP

2/2/21ˆ

z

nS

XzPXXXP

n

SzX

n

SzXIC 2/2/ ;

Se n 30

Sabe-se que:

O IC para a média é dado por:


1~

nt

nS

Xt

111

n

StX

n

StXP nn

n

StX

n

StXIC nn 11 ;

Considere uma amostra de 9 elementos de uma

população:

10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13, 9

Determinar:

A estimativa da média populacional

A estimativa da variância populacional

O intervalo de 95% de confiança para a média

populacional.

Exemplo 1

Exemplo 1

98

)109(...)104()1010(

109

9...8410

2222

S

X

p

2

1-p

-t 0 t

p

2

306,2819 t

)31,12;69,7(

3

3306,210

%95,

%95,

IC

n

StXIC

• Um estimador pontual para é dado pela média amostral.

• Um estimador intervalar, ou intervalo de confiança, para tem a forma:

• Sendo chamado de erro amostral calculado a partir da distribuição de probabilidade de .

Conclusões

n

XXXX n

...21

XX ;

X

A partir do teorema do limite central, se X tem distribuição Normal com média e variância 2, então X tem distribuição normal exata para todo n com média e variância 2/n, chamado de erro padrão da média.

Conhecendo-se o coeficiente de confiança = 1- obtém-se o valor de z.

Então, da equação do intervalo de confiança para a média tem-se a equação do erro amostral:

Conclusões

nz

Uma amostra de 9 elementos de uma população

forneceu os seguintes valores:

1, 2, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 9

Determinar:

A estimativa da média populacional

A estimativa da variância populacional

Os intervalos de 90%, 95% e 99% de confiança para

a média populacional e interprete o resultado.

Exercício 1

Seja X uma v.a. com distribuição normal de média e variância desconhecidas, considere que a variância amostral é igual a 36.

a) Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média amostral 18,5. Construa um intervalo de confiança com coeficientes de confiança 91%, 94% e 99% para a média populacional.

b) Para uma confiança de 96%, construa intervalos de confiança supondo três tamanhos de amostra 25, 50 e 100 (admita que todos forneceram média amostral igual a 18,5).

c) Comente sobre a precisão dos intervalos construídos em (a) e (b).

Exercício 2

O intervalo [34,81 ; 36,38], com confiança 95%

foi construído a partir de uma amostra de

tamanho 25, para a média de uma população.

O desvio padrão amostral foi igual a 2.

a. Qual o valor encontrado para a média dessa

amostra?

b. Se utilizássemos essa mesma amostra, mas

com uma confiança de 90%, qual seria o novo

intervalo de confiança?

Exercício 3

O tempo de permanência de contadores recém

formados no primeiro emprego, em anos, foi estudado

considerando um modelo normal com média e variância

desconhecidas.

Deseja-se estimar a média populacional. Para uma

amostra de 15 profissionais, a média obtida foi de 2,7

anos e o desvio padrão foi de 1,4 anos.

a. Encontre um intervalo para o tempo médio populacional

de permanência com uma confiança de 90%.

b. Refaça o item a. considerando que a amostra era

formada por 150 profissionais.

Exercício 4

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