Aula 14 - Cap. 19 Nilson - Circuitos de Duas Portas

Circuitos de Duas Portas - Quadripolos ® Clever Pereira / UFMG

1 de 19

CIRCUITOS DE DUAS PORTAS

QUADRIPOLOS

NOTAS DE AULA (CAP. 19 – LIVRO DO NILSON)

0. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

HIPÓTESES BÁSICAS

1) Não pode haver nenhuma energia armazenada no circuito. 2) Não pode haver fontes independentes no circuito, embora

fontes dependentes sejam permitidas. 3) A corrente que entra em um dos terminais de uma porta tem

que ser igual à corrente que deixa o outro terminal da mesma porta.

4) Todas as ligações externas devem ser feitas à porta de entrada ou à porta de saída; não é permitido fazer nenhuma ligação entre as portas, ou seja, entre os terminais a e c, a e d, b e c ou b e d.

Quadripolo

a

b

c

d

i1

i1

i2

i2

v1 v2 Porta de

Entrada (1) Porta de Saída (2)

Figura 1


2 de 19

1. MODELOS

Parâmetros de Quadripolos

1.1. Parâmetros IMITÂNCIA

(a) Parâmetros Impedância

1 11 12 1

2 21 22 2

V z z IV Z I

V z z I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1)

(b) Parâmetros Admitância

1 11 12 1

2 21 22 2

I y y VI Y V

I y y V⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2)

1.2. Parâmetros de TRANSMISSÃO

(a) Parâmetros A

1 2 1 11 12 2

1 2 1 21 22 2

V V V a a VA

I I I a a I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (3)

(b) Parâmetros B

2 1 2 11 12 1

2 1 2 21 22 1

V V V b b VB

I I I b b I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4)

Quadripolo Dom. Freq.

a

b

c

d

I1

I1

I2

I2

V1 V2 Porta de

Entrada (1) Porta de Saída (2)

Figura 2


3 de 19

1.3. Parâmetros HÍBRIDOS

(a) Parâmetros H

1 1 1 11 12 1

2 2 2 21 22 2

V I V h h IH

I V I h h V⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(5)

(b) Parâmetros G

1 1 1 11 12 1

2 2 2 21 22 2

I V I g g VG

V I V g g I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ → = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(6)

2. DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS IMPEDÂNCIA Expandindo as equações (1) vem que

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V z I z IV z I z I= +⎧

⎨ = +⎩ (7)

Desta forma, pode-se definir os parâmetros impedância da seguinte forma:

2

111

1 0

ZI

VI

=

=

1

112

2 0I

VzI

=

=

2

221

1 0I

VzI

=

=

1

222

2 0I

VzI

=

=

Impedância do ponto de vista da porta 1 com a porta 2 aberta

Impedância de transferência, definida como a relação entre a tensão na porta 1 e a corrente na porta 2 com a porta 1 aberta.

Impedância de transferência, definida como a relação entre a tensão na porta 2 e a corrente na porta 1 com a porta 2 aberta.

Impedância do ponto de vista da porta 2 com a porta 1 aberta.


4 de 19

Exemplo: Determinar os parâmetros z do circuito ao lado.

Sabe-se que

1 11 12 1

2 21 22 2

V z z IV z z I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(8)

Então

2

111

1 0

20 20 1020 20I

VzI

=

⋅= = = Ω

+ (9)

1

21

1222 0

2025 7,5

9,375I

VVz VI=

= = = Ω (10)

2

12

2111 0

1520 7,5

10I

VVz VI=

= = = Ω (11)

1

222

2 0

15 25 9,37515 25I

VzI

=

⋅= = = Ω

+ (12)

3. RELAÇÃO ENTRE OS PARÂMETROS DE UM QUADRIPOLO 3.1. Relação entre os parâmetros z e os parâmetros y São válidas as seguintes equações para quadripolos em termos dos parâmetros z e y:

1 11 12 1

2 21 22 2

1 11 12 1

2 21 22 2

V z z IV z z I

I y y VI y y V

⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎨⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩

(13)

V1 V2

5 Ω 15 Ω 20 Ω

I1 I2

Figura 3


5 de 19

Pode-se notar pelas equações (13) que

111 12 11 12

21 22 21 22

y y z zy y z z

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(14)

Resolvendo (14) vem que

22 12 22 12

11 12 21 11 21 11

11 1221 22

21 22

z z z zy y z z z z

z zy y zz z

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= =⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ (15)

Exemplo: Determinar os parâmetros y do circuito do exemplo anterior No exemplo anterior foram determinados os parâmetros z do quadripolo definido pelo circuito elétrico da figura 1, dados por

10 7,57,5 9,375

Z ⎡ ⎤= Ω⎢ ⎥⎣ ⎦

(16)

Desta forma

19,375 7,5

10 7,5 7,5 1010 7,57,5 9,3757,5 9,375

9,375 7,50, 25 0, 207,5 100, 20 0, 266737,5

Y

S

−−⎡ ⎤

⎢ ⎥−⎡ ⎤ ⎣ ⎦= = =⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥ −− ⎡ ⎤⎣ ⎦= = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

(17)


6 de 19

4. ANÁLISE DE CIRCUITOS DE DUAS PORTAS COM TERMINAÇÕES

A figura 4 abaixo mostra um quadripolo com terminações Vg, Zg e ZL.

Tal tipo de quadripolo pode ser analisado através do cálculo de seis características principais:

1. Impedância de entrada ou admitância de entrada ; 2. Corrente de saída I2; 3. Tensão e impedância de Thévenin (VTh e ZTh) do ponto de vista da

porta 2; 4. Ganho de corrente ; 5. Ganho de tensão ; 6. Ganho de tensão .

5. DETERMINAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS DE CIRCUITOS

DE DUAS PORTAS EM FUNÇÃO DOS PARÂMETROS z As equações (18) estabelecem as relações entre as grandezas terminais de um quadripolo, descrito pelos seus parâmetros z e pelos parâmetros da fonte Vg, Zg e da carga ZL.

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

1 1

2 2

g g

L

V z I z IV z I z IV V Z I

V Z I

= +⎧⎪ = +⎪⎨ = −⎪⎪ = −⎩

(18)

Quadripolo Domínio da Freqüência

a

b

c

d

I1

I1

I2

I2

V1 V2

+Vg

−

Zg

ZL

Figura 4

1 1inZ V I= 1 1inY I V=

2 1I I

2 1V V

2 gV V


7 de 19

A impedância de entrada vista da porta 1 Zin(1) é dada pela relação

1(1)

1in

VZI

= (19)

Da equação (18.b) vem que

2 21 12

22

V z IIz−

= (20)

Substituindo (18.d) em (20) resulta em

2 21 12

22

LZ I z IIz

− −= (21)

Ou seja

212 1

22 L

zI I

z Z= −

+ (22)

Substituindo (22) em (18.a) vem que

211 11 1 12 2 11 1 12 1

22 L

zV z I z I z I z Iz Z

= + = −+ (23)

Ou

1 21(1) 11 12

1 22in

L

V zZ z zI z Z

= = −+ (24)

Ou também que

1 11(1)

1 22

Lin

L

V z z ZZI z Z

∆ += =

+ (25)

A corrente I2 pode ser obtida substituindo (18.c) e (18.d) nas equações (18.a) e (18.b), ou seja

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

g g

L

V Z I z I z I

Z I z I z I

− = +⎧⎨− = +⎩

(26)


8 de 19

Rearranjando os termos em (26) resulta que

( )( )

11 1 12 2

21 1 22 2 0g g

L

z Z I z I V

z I z Z I

⎧ + + =⎪⎨

+ + =⎪⎩ (27)

Resolvendo (27) para I2 resulta que

( )( )

11

21212

11 12 11 22 12 21

21 22

0g g

g

g g L

L

z Z Vz Vz

Iz Z z z Z z Z z z

z z Z

+

= = −+ + + − ⋅

+ (28)

A tensão de Thevenin VTh vista da porta 2 é igual a V2 quando I2 é nula, ou seja

( )2

2 21 1 22 2 21 10Th IV V z I z I z I

== = + = (29)

Utilizando as expressões (18.a) e (18.c) com I2 nula vem que

1 11 1

1 1g g

V z IV V Z I=⎧

⎨ = −⎩ (30)

Rearranjando os termos vem que

1 11 1

1 1

0

g g

V z IV Z I V− =⎧

⎨ + =⎩ (31)

Resolvendo para I1 vem que

111 11

1 01

11

g g

g

g

V VI

z Z zZ

= =− + (32)


9 de 19

Substituindo (32) em (29) vem que

21

11Th g

g

zV VZ z

=+ (33)

A impedância de Thevenin ZTh vista da porta 2 é igual à relação V2 / I2 quando Vg é nula. Para Vg = 0, a equação (18.c) fica na forma

1 1gV Z I= − (34)

Substituindo (34) em (18.a) vem que

1 11 1 12 2gZ I z I z I− = + (35)

Rearranjando os termos vem que

121 2

11g

zI IZ z

= −+ (36)

Substituindo (36) na equação (18.b) resulta que

12 122 21 2 22 2 22 21 2

11 11g g

z zV z I z I z z IZ z Z z

⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(37)

Ou finalmente que

2 1222 21

2 110g

ThgV

V zZ z zI Z z

=

= = −+ (38)

O ganho de corrente I2 / I1 pode ser obtido diretamente a partir da equação (22), ou seja

212 1

22 L

zI Iz Z

= −+

2 21

1 22 L

I zI z Z= −

+ (39)

Para se calcular o ganho de tensão V2 / V1 é necessário substituir o valor de I2 da equação (18.d) na equação (18.b), ou seja

2 222 21 1 22 21 1 2

L L

V zV z I z z I VZ Z

⎛ ⎞= + − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (40)


10 de 19

Em seguida determinar o valor de I1 na equação (18.a), também utilizando (18.d), ou seja

211 1 1 12 2 1 12

L

Vz I V z I V zZ

⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (41)

Rearranjando os termos em (41) e resolvendo para I1 vem que

121 1 2

11

1

L

zI V Vz Z

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (42)


12 222 21 1 2 2

11

1

L L

z zV z V V Vz Z Z

⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ (43)

A expressão (43) é função apenas de V1 e V2. Desta forma, rearranjando os termos vem que

22 21 12 212 2 2 1

11 11L L

z z z zV V V VZ z Z z

+ − = (44)

Ou ainda que

22 21 12 212 1

11 11

1L L

z z z zV VZ z Z z

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (45)

Ou

21 21

2 11 11

22 21 12 11 11 22 21 121

11 11

1 L

L L L

z zV z z

z z z z Z z z z zVZ z Z z Z

= = =+ −

+ − (46)

Ou finalmente

( )2 21 21

1 11 22 21 12 11

L L

L L

V z Z z ZV z z Z z z z Z z

= =+ − + ∆ (47)

Fica a cargo do leitor provar que

( )( )2 21

11 22 21 12

L

g g L

V z ZV z Z z Z z z

=+ + − (48)


11 de 19

Exemplo: Determinar as seis características básicas do circuito ao lado considerando que este quadripolo está sendo alimentado por uma fonte de tensão de 10 V com resistência interna de 2 Ω e está alimentando uma carga de 3 Ω.

Inicialmente é necessário o cálculo dos parâmetros z do quadripolo em questão. Assim procedendo vem que:

( )( )2

111

1 0

3 // 9 10 // 8 4,840I

VzI

=

= = + = Ω (49)

( )( ) ( )

( )2

12 1

211 1 10

3//93//9 10 3//9

0,184 4,84 0,8893// 9 10

I

VV VzI I I

=

+= = = ⋅ = ⋅ = Ω

+ (50)

( )( )1

222

2 0

3//9 // 10 8 2,0I

VzI

=

= = + = Ω (51)

1

21 2

122 2 20

888 10 0, 444 2, 0 0,889

8 10I

VV VzI I I

=

+= = = ⋅ = ⋅ = Ω+ (52)

Os valores das seis características são então obtidos utilizando-se as expressões determinadas anteriormente, ou seja:

212 21

(1) 1122

0,8894,84 4,682,0 3,0in

L

z zZ zz Z

= − = − = Ω+ + (53)

( )( )20,889 10 0,266

4,84 2 2 3 0,889 0,889I A⋅= − =

+ + − ⋅ (54)

V1 10 Ω

8 Ω 9 Ω

I1 I2

V23 Ω

Figura 5

+ 10 V

−

2 Ω

3 Ω


12 de 19

21

11

0,889 10 1,302 4,84Th g

g

zV V VZ z

= = ⋅ =+ + (55)

2

1222 21

11

0,8892 1,8842 4,84Th

g

zZ z zZ z

= − = − = Ω+ + (56)

2 21

1 22

0,889 0,1782 3L

I zI z Z= − = − = Ω

+ + (57)

2 21

1 11

0,889 3 0,1144,84 3 8,89

L

L

V z ZV z Z z

⋅= = =

+ ∆ ⋅ + (58)

( )( ) ( )( )2 21

211 22 21 12

0,889 3 0,0804,84 2 2 3 0,889

L

g g L

V z ZV z Z z Z z z

⋅= = =

+ + −+ + − (59)

6. CIRCUITOS DE DUAS PORTAS RECÍPROCOS Um quadripolo é dito recíproco quando seus parâmetros satisfazem as seguintes equações:

12 21

12 21

11 22 12 21

11 22 12 21

12 21

12 21

11

z zy y

a a a a ab b b b b

h hg g

=⎧⎪ =⎪⎪ ∆ = − =⎪⎨ ∆ = − =⎪⎪ = −⎪

= −⎪⎩

(60)

Nos quadripolos recíprocos, a troca de uma fonte ideal de tensão em uma das portas por um amperímetro na outra porta resulta na mesma leitura do amperímetro. Nestes circuitos são necessários apenas três cálculos ou medidas para determinar um conjunto de parâmetros.


13 de 19

Um quadripolo recíproco é simétrico (ou bilateral) se seus parâmetros satisfazem as seguintes equações adicionais:

11 22

11 22

11 22

11 22

11 22 12 21

11 22 12 21

11

z zy ya ab b

h h h h hg g g g g

=⎧⎪ =⎪⎪ =⎪⎨ =⎪⎪ ∆ = − =⎪∆ = − =⎪⎩

(61)

Neste tipo de circuito, a troca de uma porta pela outra não tem nenhum efeito sobre as tensões e correntes e são necessários apenas dois cálculos ou medidas para se determinar seus parâmetros.

NOTA: Linhas de transmissão de energia elétrica são exemplos de circuitos recíprocos e simétricos, também chamados de bilaterais. 7. CIRCUITOS DE DUAS PORTAS INTERLIGADOS - FORMAS

BÁSICAS A figura 6 abaixo mostra as formas de se interligar quadripolos.

Cascata

Série Paralela

Série-Paralela Paralela-Série

Figura 6


14 de 19

6.1. Análise da ligação em cascata de dois quadripolos

Considere a ligação de dois quadripolos QA e QB em série, como mostra a figura 7 abaixo

Utilizando os parâmetros de impedância Z, pode-se escrever para os dois quadripolos que

1 11 12 1

2 21 22 2

A A A AA AA

A A A A

V z z IV Z I

V z z I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ ⇒ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(62)

1 11 12 1

2 21 22 2

B B B BB BB

B B B B

V z z IV Z I

V z z I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ ⇒ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(63)

Pela figura 7 o leitor pode verificar que

1 1 1

2 2 2

A BA B

A B

V V VV V V

V V V= +⎧

⇒ = +⎨ = +⎩ (64)

1 1 1

2 2 2

A BA B

A B

I I II I I

I I I= =⎧

⇒ = =⎨ = =⎩ (65)

Figura 7

1AV

1AI 2 AI

2 AVQA

1AI 2 AI

2BVQB

1I

1V 2V

2I


15 de 19

Assim, substituindo (62) e (63) em (64) vem que

A A B BV Z I Z I= ⋅ + ⋅ (66)


( )A B A BV Z I Z I Z Z I Z I= ⋅ + ⋅ = + ⋅ = ⋅ (67)

A equação (67) mostra que a matriz Z do quadripolo equivalente é a soma das matrizes Z dos quadripolos individuais ligados em série.

6.2. Análise da ligação em cascata de dois quadripolos

Considere a ligação de dois quadripolos QA e QB em cascata, como mostra a figura 8 abaixo

Utilizando os parâmetros de transmissão, pode-se escrever para os dois quadripolos que

1 11 12 2

1 21 22 2

A A A A

A A A A

V a a VI a a I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (68)

1 11 12 2

1 21 22 2

B B B B

B B B B

V a a VI a a I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (69)

onde

11 12

21 22

A AA

A A

a aA

a a⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(70)

1AI

1AV

2 AI

2 AV

Figura 8

QA 1BV

1BI 2BI

2BV QB

1I

1V

2I

2V


16 de 19

e

11 12

21 22

B BB

B B

a aA

a a⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

(71)

Substituindo (70) e (71) em (68) e (69) vem que

1 2

1 2

A AA

A A

V VA

I I⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (72)

1 2

1 2

B BB

B B

V VA

I I⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (73)


1 2

1 2

B A

B A

V VI I⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (74)


1 1

1 1

A BA

A B

V VA

I I⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(75)


1 1 2

1 1 2

A B BA A B

A B B

V V VA A A

I I I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ = ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (76)


1 1

1 1

2 2

2 2

A

A

B

B

V VI I

V VI I

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(77)

Substituindo (77) em (76) resulta que

1 2 2

1 2 2

A BV V V

A A AI I I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (78)


17 de 19

A equação (78) mostra que a matriz de transmissão A do quadripolo resultante da associação em cascata dos quadripolos QA e QB é dada pela multiplicação das matrizes AA e AB dos quadripolos originais.

Exemplo: Projetar um circuito LC terminado com um resistor de 1 Ω que possua a função de transferência de um filtro passa-baixa de Butherworth dada por

3 2

1( )2 2 1

H ss s s

=+ + + (79)

De início é adequado agrupar o denominador em partes pares e ímpares, ou seja

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2

3 3

23 2

33

1 1( )2 2 1 2 2 1

1 12 2

2 12 2 1 122

H ss s s s s s

s s s sss s s

s ss s

= = =+ + + + + +

+ += =++ + + +

++

(80)

Utilizando os parâmetros y de um quadripolo pode-se escrever que

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I y V y VI y V y V= +⎧

⎨ = +⎩ (81)

Com o quadripolo terminado por uma resistência YL tem-se também que

2 2LI Y V= − (82)

Substituindo (82) em (81.b) vem que

2 21 1 22 2LY V y V y V− = + (83)

BAAA

A


18 de 19

Ou seja, a função de transferência do filtro vai ser dada por

21 21

2 21

22 221 22

( )( )( ) 1

L L

LL

L L

y yV s y Y YH s Y y yV s Y y

Y Y

= = − = − = −++ + (84)

Desta forma

213

222

3

12

2 12

L

L

yY s s

y sY s s

⎧ =⎪ +⎪⎨

+⎪ =⎪ +⎩

(85)

Como YL = 1 S, então

21 3

2

22 3

12

2 12

ys s

sys s

⎧ =⎪⎪ +⎨

+⎪ =⎪ +⎩

(86)

Como o filtro é de terceira ordem, será utilizado o circuito mostrado na figura 9 abaixo

Para este filtro o valor de y22 é da forma

1

21

1 2 1 2222 2

2 10

1 2 1 2

11 1 1

11 1 1V

s L CsCsL sL sL sLIy

V s L CsCsL sL sL sL

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞++ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞+

+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(87)

Fig. 9 – Filtro de Butherworth de 3ª ordem

V2(s)

L1 L2

CV1(s)


19 de 19

Desenvolvendo um pouco mais resulta em

( )

( ) ( )

1

21

22 1 2

22 22 2 1 10

21 2

2 21 1

321 2 2 12 1 1

1

1

1 11

V

s L CI s L LyV sL s L C sL

s L L

s L C s L Cs L L C s L LsL s L C sL

=

+

= = =+ +

+ += =

+ ++ +

(88)

Comparando as equações (88) e (80) vem que

1

1 2

2 1

212

L CL L CL L

=⎧⎪ =⎨⎪ + =⎩

(89)

Resolvendo a equação (89) resulta finalmente que

2

1

0,51,52 1,33

1.5

L HL H

C F F

==

= = (90)

Fica a cargo do leitor provar que a implementação de y22 irá implementar y21 automaticamente, visto que, como y22 é a admitância de curto-circuito vista da porta 2, ela já fornece uma informação integral de todo circuito.

Aula 14 - Cap. 19 Nilson - Circuitos de Duas Portas

Documents

Transcript of Aula 14 - Cap. 19 Nilson - Circuitos de Duas Portas