Aula 14 Sistemas Lineares Sinais Aleatorios
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10/04/2011 1 DEPEN - Departamento de Ensino COEEL – Coordenação de Engenharia Elétrica SISTEMAS LINEARES COM SINAIS ALEATÓRIOS Profa. Andrea Ferreira [email protected]
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SISTEMAS LINEARES COM SINAIS ALEATÓRIOS
Profa. Andrea Ferreira
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Sinais: Definição e classificação
• Do ponto de vista do destinatário– Todos os sinais de comunicação são aleatórios e
imprevisíveis – O receptor conhece
• Características gerais dos sinais usados: largura de banda, densidade espectral de potência, código e técnica de modulação
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Sinais: Definição e classificação
• Impossibilidade de descrição matemática determinísticas para sinais de informação– Lida-se com descrições probabilísticas em que os sinais
são modelados por processos aleatórios;• Em qualquer sistema de transmissão estão presentes
outros sinais indesejáveis designados por ruído, que não é possível eliminar totalmente;
• Sinais aleatórios são a manifestação de processos aleatórios ou estocásticos que têm lugar ao longo do tempo.
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Sinais: Definição e classificaçãoConsidere um conjunto de formas de onda correspondentes à emissão de diferentes mensagens por uma fonte de informação.A mensagem concreta que é emitida a cada instante é desconhecida à priori, sendo portanto imprevisível a forma de onda que irá ser produzida.
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• Os sinais podem ser de valor real ou complexo mas o tempo (variável independente) é sempre real.
• Pode-se classificar os sinais:– Sinais de tempo contínuo e tempo discreto– Sinais pares e ímpares– Sinais periódicos e não-periódicos– Sinais determinísticos e sinais aleatórios
Sinais: Definição e classificação
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Classificação de Sinais: sinais de tempo contínuo e de tempo discreto
Um sinal x(t) é um sinal de tempo contínuo se ele for definido para todo tempo t
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Classificação de Sinais: sinais de tempo contínuo e de tempo discreto
• Um sinal de tempo discreto x[n] é definido somente em instantes isolados de tempo e pode ser derivado de um sinal de tempo contínuo x(t) fazendo amostragem a uma taxa uniforme , tal que , de modo que
y~ ynt ~
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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares
• Um sinal é dito ser Par se ele satisfaz a condição
x(-t)=x(t),
Isto é, simétrico ao eixo vertical.
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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares
• Um sinal é dito ser Ímpar se ele satisfaz a condição
x(-t)=-x(t),
Isto é, antissimétrico ao eixo do tempo.
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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares• Para sinal de valor complexo, diz-se que ele
tem conjugado simétrico se
Onde:
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Classificação de Sinais: sinais pares e ímpares
• Ou seja, um sinal complexo é conjugado simétrico se sua parte real for par e a parte imaginária for ímpar
• Uma observação similar se aplica a um sinal de tempo discreto
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Exemplo: sinais pares e ímpares
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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos
• Um sinal periódico satisfaz a condição x(t)=x(t+T), em que T é uma constante positiva
• Se esta condição valer para T=T0, então vale para T=2T0, 3T0, ..., onde T0 é o período fundamental de x(t), cuja frequência fundamental é f=1/T e a frequência angular é dada por ω=2π/T
• Já o sinal aperiódico ou não-periódico não satisfaz a condição acima.
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Sinal Periódico, com amplitude A=1 e período T
Sinal Aperiódico
Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos
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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos
• Sinais discretos são periódicos se x[n]=x[n+N], para todos os números inteiros de n, sendo N um número inteiro positivo
• O menor valor inteiro de N para o qual a equação acima é satisfeita é chamado de período fundamental, cuja frequência angular é dada por
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Sinal Periódico Discreto
Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos
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Classificação de Sinais: sinais periódicos e não-periódicos
Sinal Aperiódico Discreto
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Classificação de Sinais: sinais determinísticos e sinais aleatórios• Um sinal determinístico é um sinal sobre o qual não existe
nenhuma incerteza com respeito a seu valor em qualquer instante. Podem ser modelados por uma função.
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Classificação de Sinais: sinais determinísticos e sinais aleatórios
• Um sinal aleatório é um sinal sobre o qual há incerteza antes de sua ocorrência real
• Um sinal aleatório pertence a um grupo de sinais onde cada sinal é diferente do outro e tem sua probabilidade de ocorrência
• O conjunto de sinais aleatórios é chamado de processo aleatório.
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Sinais aleatórios
• Um processo aleatório s(t)=s(t,a) não é mais que uma família de variáveis aleatórias s(t1), s(t2), s(t3),....s(ti) – cujas funções densidade de probabilidade (fdp) descrevem o
processo aleatório nos respectivos instantes de tempo
1)1())1(( 1 dsspAtsp
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Sinal estacionário e ergódico
• Para efeitos de análise de sistema de informação– A função densidade de probabilidade p(s) de um sinal
aleatório ergódico substitui a sua descrição temporal• Os sinais de comunicação são razoavelmente bem modelados
por processos estocásticos ergódicos.
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Ruído branco e gaussiano
Caracterizam-se por: • Uma fdp gaussiana;• Um densidade espectral constante ao longo de quase
todo o espectro.• Chamado Ruído Branco por analogia com a luz branca
– Nas comunicações o ruído branco e gaussiano é um modelo aceitável para o ruído total presente.
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Características do ruído branco e gaussiano
ruído de fontes todasde combinação
watt/Hz2
)(2
fN
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Análise de Sistemas Lineares
Sistemas lineares: Podem ser analisados pela Teoria de Processos Estocásticos – fornecem soluções mais genéricas.
H()h(t)
x(t) y(t)
Sistema linear com sinal aleatório de entrada
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Análise de Sistemas Lineares
A transformada de Fourier da resposta do impulso h(t) é:
dtethH jwt)()(
A resposta Y(t) é obtida pela convolução do sinal de entrada com a função de transferência temporal:
dthXdhtXtYthtXtY )()()()()()(*)()(
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Valor Esperado do Sinal de Saída
O valor médio do sinal aleatório de saída do sistema linear pode ser calculado por:
dhtXEdhtXEtYE )()]([])()([)]([
Considerando X(t) estacionário no sentido estrito, E[X(t–) = E[X(t)] = X, portanto:
)0(])()]([ HdhtYE XX
Assim, o valor médio do sinal de saída depende apenas da média do sinal de entrada e do valor da função de transferência na origem.
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Resposta de Sistemas Lineares a Sinais Aleatórios
O cálculo da auto-correlação do sinal de saída, dada a auto-correlação do sinal de entrada, obedece o seguinte procedimento:
H()h(t)
x(t) y(t)
RY()R X()Y() = H()X()
Sistema linear e suas relações entre as medidas
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Resposta de Sistemas Lineares a Sinais Aleatórios
A relação entre a entrada e a saída e dada por:
)()()()()()()( thtXdhtXdthXtY
A função auto-correlação é calculada a partir da definição:
dhtXtXE
dhtXdhtXEtYtYERY
)()].()([
)()(.)()()()([)(
ddhhRR XXY )()()]()(
ou seja:
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)]()([)( tYtXERXY
Resposta de Sistemas Lineares a Sinais Aleatórios
A correlação entre a entrada e a saída é dada por:
A correlação entre a saída e a entrada é dada por:
)]()([)( tXtYERYX
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Resposta de Sistemas Lineares a Sinais AleatóriosPara um sistema linear, a correlação entre a saída e a entrada é:
)](.)()([)( tXdhtXERYX
Pela linearidade das operações:
dhRdhtXtXER XYX )()()()]()([)(
Da mesma maneira:
dhRR XXY )()()(
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Resposta de Sistemas Lineares a Sinais Aleatórios
Ou seja:
)(*)()(
)(*)()(
hRR
e
hRR
XYX
XXY
As DEP cruzadas entre a entrada e a saída e entre a saída e a entrada são:
)()()(
)()()(
*
HSS
e
HSS
XYX
XXY
