aula 15 - testes de hipóteses

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 15: Testes de hipteses

1. INTRODUO AOS TESTES DE HIPTESES ..................................................................................... 2

2. TESTE SOBRE A MDIA ................................................................................................................... 6

3. P VALOR ........................................................................................................................................ 29

4. TESTE DE HIPTESES PARA PROPORES ................................................................................... 40

4.1. Teste de hipteses usando a distribuio binomial ............................................................................. 40

4.2. Teste para propores usando a distribuio normal ........................................................................ 44 5. DISTRIBUIO DE QUI QUADRADO .............................................................................................. 50

5.1. Distribuio de qui quadrado e varincia .......................................................................................... 51

5.2. Teste de Qui quadrado para propores ............................................................................................ 59 5.3. Teste de qui quadrado para vrias propores .................................................................................. 62

6. RESUMO ..................................................................................................................................... 75

7. QUESTES APRESENTADAS EM AULA .......................................................................................... 76

8. GABARITO ..................................................................................................................................... 88

9. TABELA I DISTRIBUIO NORMAL ............................................................................................. 89

10. TABELA II DISTRIBUIO T DE STUDENT ............................................................................... 90

11. TABELA III Qui-quadrado ....................................................................................................... 92



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1. INTRODUO AOS TESTES DE HIPTESES

Maria tem duas moedas. Cada uma delas tem uma face cara e outra face coroa.

Uma das moedas normal. As duas faces tm a mesma probabilidade de sair. Vamos cham-la de moeda honesta.

A outra uma moeda viciada. Nesta, a probabilidade de sair coroa de 2/3. Vamos cham-la de moeda viciada.

Maria escolhe uma das moedas. Jos, que tem conhecimento das probabilidades acima mencionadas, tem que adivinhar qual delas foi escolhida. Para tanto, Maria lana trs vezes a moeda escolhida. Ao final de cada lanamento, comunica a Jos o resultado.

Jos estabelece o seguinte critrio de deciso. Se os trs lanamentos resultarem em coroa, ele vai arriscar que se trata da moeda viciada. Caso contrrio, vai arriscar que se trata da moeda honesta.

O que Jos est fazendo um teste de hipteses.

Num teste de hipteses fazemos alguma considerao sobre um dado valor. No exemplo acima, Jos precisa decidir qual das duas moedas foi escolhida. No fundo, quer saber se, para a moeda escolhida, a probabilidade de sair coroa de 2/3 ou 1/2. Qualquer que seja a sua concluso, ela estar sujeita a erro.

Vamos comear a nos acostumar com os termos utilizados no teste de hiptese.

Jos quer testar a hiptese de, para a moeda escolhida por Maria, a probabilidade de sair coroa ser 1/2. Esta hiptese chamada de H0 (l-se ag zero). tambm chamada de hiptese nula.

Vamos escrever a hiptese H0:

H0: P(coroa) = 1/2. (hiptese nula)

Caso a probabilidade de sair coroa no seja de 1/2, ento a referida probabilidade ser de 2/3. Esta outra hiptese a hiptese alternativa. chamada de HA.

HA: P(coroa) = 2/3. (hiptese alternativa)

Algumas bancas costumam utilizar H1 em vez de HA.

Muito bem, agora Jos define um critrio de deciso. Seu critrio baseado no nmero de coroas que vo sair em trs lanamentos. Se sarem duas, uma ou zero coroas, Jos vai assumir que se trata da moeda honesta. Se sarem trs coroas, Jos vai assumir que se trata da moeda viciada.

Escolher o critrio de deciso a parte mais difcil de um teste de hipteses. Os clculos so um pouco mais complexos. E muitas vezes esto presentes alguns fatores difceis de quantificar.

Dada a dificuldade envolvida na escolha do critrio de deciso, as questes de concursos no cobram seu clculo. A questo sempre informa o critrio a ser adotado. Ou ento ela fornece todo o resultado do teste, de tal modo que seja fcil encontrar o critrio de deciso escolhido.



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Ok, definidas as hipteses que sero testadas (escolher entre H0 e HA), definido o critrio de deciso, agora s fazer a experincia e ver qual hiptese ser escolhida.

Muito bem. Vamos supor que Maria lana a moeda trs vezes e nas trs vezes o resultado coroa.

Neste caso, Jos rejeita a hiptese H0 e assume como verdadeira a hiptese HA.

Veja que a concluso de Jos est sujeita a erro. Isto porque possvel que, mesmo que a moeda seja honesta, tenhamos trs resultados coroa.

Vamos supor que Jos tenha errado. Neste caso, em que Jos rejeita a hiptese H0, dado que ela verdadeira, a probabilidade de ele cometer um erro :

= 12 = 12,5%

12,5% a probabilidade de, lanando uma moeda honesta trs vezes, sarem trs coroas.

Ou seja, caso a moeda lanada seja a moeda honesta, h uma probabilidade de 12,5% de Jos errar. Este erro chamado de erro do tipo I.

Erro tipo I: rejeitar H0 dado que ela verdadeira.

= 12 = 12,5%

A probabilidade acima tambm chamada de nvel de significncia do teste. O smbolo geralmente utilizado .

= 12,5% Nvel de significncia: probabilidade de cometer o erro do tipo I. Smbolo usual:

Ok, agora vamos alterar o exemplo. Agora, em vez de terem sado trs coroas, na verdade saram duas coroas e uma cara. Neste caso, utilizando seu critrio de deciso, Jos aceita H0 como verdadeira e rejeita HA.

Neste segundo exemplo, Jos tambm est sujeito a erro. Isto porque possvel que, lanando a moeda viciada trs vezes, tenhamos pelo menos um resultado cara.

Este segundo tipo de erro consiste em aceitar H0 dado que ela falsa. chamado de erro do tipo II.

Erro tipo II: aceitar H0 dado que ela falsa.

A probabilidade de ocorrer o erro do tipo II designada pelo smbolo . Vamos calcular esta probabilidade.

A probabilidade de, em trs lanamentos da moeda viciada, obtermos uma, duas ou trs caras :

= 13 + 3 1

3 2

3+ 3

1

3 2

3 = 0,7037

= 70,37%



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A probabilidade de aceitar H0, dado que ela falsa, de 70,37%.

O valor 1 chamado de poder do teste. %63,291 = (poder do teste).

O poder do teste a probabilidade de H0 ser rejeitada dado que ela falsa.

Note como o poder do teste foi baixo. Isto porque Jos privilegiou a hiptese H0. Ele s a rejeita num caso muito extremo, em que os trs resultados forem coroa. Por isto o valor de foi pequeno, garantindo uma baixa probabilidade de cometer o erro do tipo I. Contudo, em geral, quanto menor o valor de , maior o valor de (maior a probabilidade de se cometer o erro do tipo II). Da a dificuldade de escolher um bom critrio de deciso. comum que, ao reduzirmos a probabilidade de um tipo de erro, a do outro aumente.

Teste de hipteses apenas isto. Queremos testar se uma dada hiptese H0 verdadeira. O exerccio vai nos dizer o critrio de deciso. Vai nos fornecer um experimento. Com base no experimento, verificamos se o resultado foi extremo ao ponto de nos fazer rejeitar H0. Se for extremo, rejeitamos tal hiptese. Caso contrrio, aceitamos.

No exemplo que ns demos as hipteses eram:

H0: P(coroa) = 1/2

HA: P(coroa) = 2/3.

Neste exemplo acima, as duas hipteses atribuam probabilidade em estudo um valor nico. A hiptese nula atribua o valor 1/2. A hiptese alternativa atribua o valor 2/3.

Este tipo de teste no muito usual em concursos. As hipteses alternativas que vo aparecer nos exerccios, geralmente, tm outra forma. Nos testes realmente cobrados em concursos, a hiptese alternativa seria assim:

HA: P(coroa) 1/2.

Outra opo:

HA: P(coroa) < 1/2.

Ou ainda:

HA: P(coroa) > 1/2.

No primeiro caso (em que temos o sinal de diferena ) o teste dito bilateral. Nos outros dois casos (com os sinais de > e



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Poder do teste: probabilidade de rejeitar H0 dado que H0 falsa. (= 1 )

Questo 1 DNOCS 2010 [FCC]

Em um teste de hiptese estatstico, sendo H0 a hiptese nula e H1 a hiptese alternativa, o nvel de significncia do teste consiste na probabilidade de

(A) aceitar H0 dado que H0 verdadeira.

(B) rejeitar H0 dado que H0 falsa.

(C) aceitar H0, independentemente se H0 verdadeira ou falsa.

(D) aceitar H0 dado que H0 falsa.

(E) rejeitar H0 dado que H0 verdadeira.

Resoluo:

O nvel de significncia corresponde probabilidade de se cometer o erro de tipo I, ou seja, rejeitar a hiptese nula dado que ela falsa.

Gabarito: E

Questo 2 TRT 7 REGIO 2009 [FCC]

Considere um teste estatstico envolvendo uma populao normalmente distribuda em que se deseja testar, com relao a um parmetro da distribuio, a hiptese nula (H0) contra a hiptese alternativa (H1), ao nvel de significncia . Seja a probabilidade de aceitar H0 quando H0 for falsa. Ento,

(A) corresponde ao erro tipo I ou erro de primeira espcie.

(B) > .

(C) = 1 .

(D) a regio crtica do teste determinada em funo de .

(E) corresponde probabilidade de rejeitar H0 quando H0 for verdadeira.

Resoluo

corresponde probabilidade de se cometer o erro de tipo I, ou seja, de rejeitar H0 quando ela verdadeira. Isso est expresso na alternativa E.

Gabarito: E

J indica a probabilidade de se cometer o erro de tipo II, ou seja, de aceitar H0 quando ela falsa. Por isso a alternativa A est errada.

Quanto s alternativas B e C, elas pretendem fixar determinadas relaes entre e . Contudo, sem maiores informaes sobre o teste de hipteses, no temos como saber, a



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priori, qual a relao entre e . No sabemos qual das duas probabilidades maior, qual menor, nem estabelecer qualquer outra relao entre ambos.

Finalmente, a alternativa D fala em regio crtica. Falaremos sobre isso posteriormente. Contudo, j fica a informao que a rea da regio crtica coincide com o valor de . Ou seja, esta regio determinada em funo de .

Questo 3 PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO]

No caso de um teste estatstico clssico, com a hiptese nula H0 e a alternativa H1, cometer o erro do tipo II consiste em

(A) rejeitar H0, sendo H0 verdadeiro.

(B) aceitar H0, sendo H0 falso.

(C) aceitar H1, sendo H1 verdadeiro.

(D) rejeitar H1, sendo H1 falso.

(E) aceitar H0 e aceitar H1.

Resoluo:

O erro de tipo II consiste em aceitar a hiptese nula, dado que ela falsa.

Gabarito: B

2. TESTE SOBRE A MDIA

Para entendermos como fazer o teste de hipteses sobre a mdia, vejamos alguns exemplos.

Nos primeiros exemplos, eu vou dar todas as contas prontas. O objetivo que vocs no precisem quebrar a cabea fazendo as contas. No quero que se preocupem com isso, no por enquanto. A proposta que apenas entendam a ideia geral do teste.

Depois, nos exemplos posteriores, a sim entraremos mais a fundo nas contas envolvidas, certo?

1 tipo de exemplo: entendendo os tipos de teste: bilateral e unilateral

Exemplo 1

Estamos analisando o preo pelo qual a Administrao Pblica compra um certo produto. Sabemos que, em licitaes honestas (livres de fraudes), para uma certa regio do pas, o preo mdio de R$ 220,00.

Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns rgos em que h suspeita de fraudes em licitaes. As duas fraudes em anlise so as seguintes:



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H prvio acerto entre as licitantes, de forma que o preo contratado consideravelmente maior que R$ 220,00;

H acerto prvio entre a licitante vencedora e o rgo, de tal forma que o preo contratado muito inferior a R$ 220,00. Nestes casos, o grande problema se dar na execuo do contrato tendo em vista que, sendo o preo inexeqvel, o contrato no ser regularmente cumprido.

Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado rgo pblico. A mdia para esta amostra foi de R$ 230,00.

Queremos testar a hiptese de as licitaes terem sido honestas contra a hiptese alternativa de as licitaes terem sido fraudadas.

Escreva as hipteses a serem testadas.

Resoluo.

natural esperar que, se em um dado rgo ocorrem fraudes a licitaes, elas so sistemticas. Assim, vamos testar a hiptese de as licitaes terem sido honestas contra a hiptese alternativa de as licitaes terem sido fraudadas.

No fundo queremos testar a hiptese de a mdia da populao da qual foi retirada esta amostra ser igual a R$ 220,00.

H0: 220=

HA: 220

Este primeiro tipo de teste da mdia chamado de teste bilateral. Ele caracterizado pela hiptese alternativa ser do tipo k (a mdia diferente de alguma coisa).

Por que a palavra bilateral? Porque h duas formas de rejeitarmos a hiptese H0. Se a mdia da amostra for consideravelmente maior que R$ 220,00, rejeitamos a hiptese por ser mais provvel que tenha havido conluio entre as empresas e o preo esteja superfaturado.

De outra maneira, se o valor obtido for consideravelmente menor que R$ 220,00, tambm rejeitamos a hiptese H0. Desta vez seria mais provvel estarmos diante do segundo tipo de irregularidade: h conluio entre a licitante e o rgo contratante.

Ou seja, analisamos os valores nos dois sentidos. Tanto os que so muito menores que 220 quanto os que so muito maiores que 220. Por isto o teste chamado de bilateral. Tanto em um caso quanto em outro, conclumos que a amostra no foi retirada da populao das licitaes honestas.

A finalidade do teste de hipteses apenas isto. Neste caso, queremos avaliar se 230 consideravelmente diferente de 220 ou no. At poderamos fazer isto de forma intuitiva. H casos em que a diferena tanta que nem precisaramos de teste algum. Se a mdia da amostra fosse de 500 (mais que o dobro de 220), certamente estaramos diante de fraudes.

J no caso do exerccio, queremos avaliar se 230 consideravelmente diferente de 220. Intuitivamente, algumas pessoas podem dizer que no . Essas pessoas tenderiam a aceitar a hiptese de que essas licitaes so honestas (hiptese nula). Outras pessoas tenderiam a achar que a diferena considervel, sendo levadas a rejeitar a hiptese nula.



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O teste de hipteses nos fornece uma forma sistemtica de testar se os valores envolvidos so consideravelmente diferentes ou no.

Bem, encerrando este exerccio, a resposta fica:

H0: 220=

HA: 220

TOME NOTA!!!

Teste de hipteses para a mdia bilateral

Hiptese alternativa: a mdia diferente de alguma coisa.

:

Exemplo 2


Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns rgos em que h suspeita de fraudes em licitaes. H um nico tipo de fraude em anlise, que consiste em acerto entre as licitantes, de forma que o preo contratado consideravelmente maior que R$ 220,00.




Resoluo.

Agora, o nico tipo de fraude ocorre quando a mdia dos preos contratados significativamente maior que 220,00.

Ou seja, valores significativamente menores que 220,00 no nos fazem mais rejeitar a hiptese nula, a exemplo do que ocorria no exerccio anterior. O teste unilateral, pois s analisarmos a reta real em um sentido: s valores significativamente maiores que 220,00 nos fazem rejeitar H0.

A resposta fica:

H0: 220=

HA: 220>



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Exemplo 3


Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns rgos em que h suspeita de fraudes em licitaes. H um nico tipo de fraude em anlise, que consiste acerto prvio entre a licitante vencedora e o rgo, de tal forma que o preo contratado muito inferior a R$ 220,00. Nestes casos, o grande problema se dar na execuo do contrato tendo em vista que, sendo o preo inexeqvel, o contrato no ser regularmente cumprido.




Resoluo.

Agora, apenas valores significativamente menores que 220,00 nos fazem rejeitar a hiptese nula. Ficamos com:

H0: 220=

HA: 220 2 tipo - Hiptese alternativa: a mdia menor que alguma coisa

: <

2 tipo de exemplo: entendendo a ideia do teste de hiptese

(por enquanto, no se preocupe em fazer contas!!!)



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Exemplo 4

Estamos analisando o preo pelo qual a Administrao Pblica compra certo produto. Sabemos que, em licitaes honestas (livres de fraudes), para certa regio do pas, o preo mdio de R$ 220,00.

Sabemos tambm que a varincia da varivel preo, nas licitaes honestas, de 120 R$2.

Foram feitos levantamentos de auditoria recentes em alguns rgos em que h suspeita de fraudes em licitaes. As duas fraudes em anlise so as seguintes:

H prvio acerto entre as licitantes, de forma que o preo contratado consideravelmente maior que R$ 220,00;

H acerto prvio entre a licitante vencedora e o rgo, de tal forma que o preo contratado muito inferior a R$ 220,00. Nestes casos, o grande problema se dar na execuo do contrato tendo em vista que, sendo o preo inexequvel, o contrato no ser regularmente cumprido.

Num caso concreto, nos deparamos com 30 compras de um determinado rgo pblico. A mdia para esta amostra foi de R$ 230,00. Teste a hiptese de as licitaes terem sido honestas contra a hiptese alternativa de as licitaes terem sido fraudadas. Considere um nvel de significncia de 5%.

Resoluo.

J vimos que este um teste bilateral:

H0: 220=

HA: 220

Se a mdia da amostra for significativamente diferente de 220, rejeitaremos a hiptese nula. Consideraremos que a mdia da populao da qual foi extrada a amostra no tem mdia 220.

Caso contrrio, aceitamos a hiptese nula. Assumiremos que a mdia da populao sim igual a 220.

Ou seja, nosso teste se resume a determinar se 230 significativamente diferente de 220 ou no.

Mas, em termos objetivos: a partir de qual valor j podemos considerar que estamos significativamente afastados de 220?

Esta pergunta respondida pelos valores crticos.

Para fazer um teste de hipteses, a gente sempre d um crdito para a hiptese nula. Sempre partimos do pressuposto de que ela verdadeira. Ou seja, iniciamos supondo que a mdia da populao realmente 220,00.

Feito isso, j temos condies de estudar a mdia amostral ( X ).



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Vimos na aula passada que X uma varivel aleatria. Sua esperana coincide com a mdia da populao. Sua varincia igual varincia da populao dividida por n (onde n o tamanho da amostra).

Conhecendo o comportamento de X , podemos determinar os valores crticos. So valores que delimitam os casos raros.

O nvel de significncia est intimamente relacionado com os casos raros.

Se o nvel de significncia de 5%, ento os casos raros so aqueles que s ocorrem em 5% das vezes.

Por enquanto, no vamos fazer contas ainda. Certo? Vou dar todas as contas prontas.

Supondo que a mdia populacional seja 220,00, podemos concluir que X tem o seguinte comportamento:

em 95% das vezes, X assume valores entre 216,08 e 223,92

em 5% das vezes, X assume valores fora deste intervalo.

Estes so os valores crticos. So os valores que separam os casos usuais (que ocorrem em 95% das vezes) dos casos raros (que ocorrem em 5% das vezes).

Observem que os casos raros foram delimitados de forma que a probabilidade de ocorrncia seja igual ao nvel de significncia (5%).

O resultado obtido especificamente para o experimento realizado chamado de estatstica teste.

No nosso exemplo, a mdia amostral foi de 230,00.

possvel que a populao tenha mdia 220,00 e, ainda sim, seja extrada uma amostra com mdia 230,00?

Sim, possvel. Mas um caso raro. Na grande maioria das vezes, a mdia amostral estar entre 216,08 e 223,92.

Ns no aceitamos casos raros. Neste caso, conclumos que a amostra no foi retirada de uma populao com mdia 220,00. Por isso, rejeitamos a hiptese nula.

O valor da mdia amostral obtido para o experimento realizado (=230,00) chamado de estatstica teste.

Resposta: deve-se rejeitar a hiptese nula.



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TOME NOTA!!!

Teste de hipteses para a mdia

- Calculamos os valores crticos (que separam os casos raros daqueles que ocorrem frequentemente)

- Analisamos se a estatstica teste um caso raro ou no. Se for raro, rejeitamos a hiptese nula.

Agora sim, vamos s contas!!!

Vamos refazer o mesmo exerccio. Mas vamos nos concentrar em como calcular os valores crticos.

Como as provas geralmente fornecem a tabela para a distribuio normal reduzida (com mdia 0 e varincia 1), ento comum que todo teste de hipteses seja feito com base na varivel Z, que estudamos nas aulas anteriores.

Vamos colocar o passo a passo do teste, para j comearmos a gravar.

Primeiro passo: determinar o valor crtico de Z.

Valor crtico o valor extremo at onde aceitamos a hiptese H0. No exemplo das moedas de Maria, o valor crtico era dois. At o limite de dois resultados coroa, aceitaramos a hiptese H0. Aps este limite, rejeitvamos H0.

Quando o teste for sobre mdias, vamos fazer o seguinte. Vimos na aula passada que a

mdia amostral ( X ) pode ser vista como uma varivel aleatria de mdia e desvio padro

X . Relembrando a nossa simbologia:

X uma varivel aleatria que representa os diversos valores de mdia amostral que podem ser obtidos, caso fizssemos inmeras amostras.

a mdia da populao. o desvio padro da populao.

n o tamanho das amostras.

X

o desvio padro de X . Ele pode ser calculado assim: n

X

= .

Vimos tambm que X uma varivel normal (caso a populao tenha distribuio normal) ou aproximadamente normal (caso a populao no seja normal, mas as amostras sejam suficientemente grandes).

Assim, para X ns podemos utilizar a tabela de reas da varivel normal. S que para utilizar esta tabela, ns precisamos trabalhar com a varivel normal reduzida. Para obter a varivel reduzida Z, ns estudamos a seguinte transformao:



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X

XZ

=

Z tem mdia zero e desvio padro unitrio.

Vamos, a partir da tabela de reas para a varivel normal reduzida, obter o intervalo centrado na mdia que contm 95% dos valores de Z.

Por que 95%?

Porque estamos delimitando os casos frequentes.

Com isso, automaticamente, os casos raros correspondero a 5%, coincidindo com o nvel de significncia.

Consultamos a tabela I ao final da aula. Verificamos que 47,5% dos valores de Z esto entre 0 e 1,96. Como a distribuio simtrica, 47,5% dos valores esto entre 0 e 96,1 .

Juntando os dois, temos que a probabilidade de Z estar entre -1,96 e 1,96 de 95% (= rea verde da figura abaixo).

Estes so os valores crticos de Z. So os valores que delimitam a rea de 95%.

Valores crticos de Z (Zc): = 1,96 = 1,96

Segundo passo: obter a estatstica teste.

A estatstica teste o valor de Z para o experimento realizado. Vamos cham-la de Zt.

=



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Para o experimento feito, 230=X . A mdia populacional ( ), esta ns no sabemos. Assim, neste segundo passo, ns vamos supor que a hiptese nula seja verdadeira. Supondo que realmente a mdia da populao seja de 220 ( )220= , a estatstica teste fica:

= 230 220

Precisamos calcularX

. Lembrando a sua frmula (estudada na aula anterior):

= = 12030 = 4 = 4 = 2

Continuando o clculo da estatstica teste (Zt):

= 230 220 = 230 2202 = 5

Terceiro passo: comparar a estatstica teste com os valores crticos. Verificamos que 5 (estatstica teste) maior que 1,96. Portanto, est fora do intervalo -1,96 a 1,96. Est significativamente afastado da mdia de Z.

Ou seja, se pudssemos fazer inmeras amostras de tamanho 30, a partir de uma populao com mdia 220 e varincia 120, em 95% dos casos o valor de Zt estaria entre -1,96 e 1,96.

A regio verde da figura acima delimitada pelos valores crticos de Z.

Se o valor de Zt casse dentro do intervalo -1,96 a 1,96, estaramos dentro da regio verde. Ela contm 95% dos valores da varivel normal reduzida. Esta regio chamada de regio



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de aceitao. Se, para o experimento em anlise, o valor de Zt estivesse na regio de aceitao, ns aceitaramos a hiptese H0. Consideraramos que o valor de Zt no significativamente diferente de zero (e, portanto, X no significativamente diferente de 220).

No foi o caso. Vimos que Zt cai fora da regio de aceitao. O Zt cai na rea amarela (regio crtica).

A rea amarela pode ser chamada de regio crtica. a regio alm dos valores crticos. a regio em que os valores de Z nos fazem rejeitar a hiptese H0.

Concluso: rejeitamos a hiptese nula.

Por curiosidade, vejamos os valores de que correspondem a -1,96 e 1,96. = 220

2 = 2 + 220

Quando Z vale -1,96, vale: = 2 1,96 + 220 = 216,08

Quando Z vale +1,96, vale: = 2 1,96 + 220 = 223,92

Se a mdia da populao realmente fosse igual a 220, e se fosse possvel fazer infinitas amostras de tamanho 30, a mdia amostral, em 95% dos casos, estaria entre 216,08 e 223,92 (o que implica em Zt entre -1,96 e 1,96). No foi o caso. Ou estamos diante de um caso raro ou a mdia populacional no 220.

Diante deste quadro, rejeitamos a hiptese nula.

Pergunta: qual a probabilidade de cometer o erro do tipo I?

Em outras palavras: qual a probabilidade de rejeitar a hiptese H0, dado que ela verdadeira?

Cometemos o erro do tipo I numa das raras vezes em que, apesar da mdia populacional ser realmente 220, o valor de Zt cai na regio amarela.

Lembrem-se do que dissemos acima: se a mdia da populao realmente fosse igual a 220, e se fosse possvel fazer infinitas amostras de tamanho 30, a mdia amostral, em 95% dos casos, estaria entre 216,08 e 223,92 (o que implica em Z_teste entre -1,96 e 1,96). Como conseqncia, em 5% das vezes a mdia amostral estaria fora do intervalo entre 216,08 e 223,92 (o que implica em Z_teste fora do intervalo entre -1,96 e 1,96).

Nessas raras ocasies (em 5% das vezes), ns rejeitaremos a hiptese nula, mesmo que ela seja verdadeira. Logo, a probabilidade de se cometer o erro do tipo I de 5%. Portanto:

%5= Interessante notar que a soma das reas amarelas exatamente igual ao valor de (=5%).



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Esta igualdade deixa claro porque no incio do problema procuramos o intervalo que continha 95% dos valores. Isto fez com que a rea verde fosse de 0,95. Como consequncia, a soma das duas reas amarelas de 0,05. As reas amarelas correspondem aos valores mais afastados da mdia de Z. Nestas reas temos os valores mais extremos, mais afastados de zero. So os valores que nos fazem rejeitar a hiptese nula.

TOME NOTA!!!

Resumo do teste de hipteses para a mdia quando a varincia populacional conhecida

1 Passo: encontrar os valores crticos de Z. Isto deve ser feito de modo que a regio crtica tenha rea igual ao nvel de significncia.

2 Passo: encontrar a estatstica teste. Usar a frmula:

= 3 Passo: ver se a estatstica teste cai na regio de aceitao ou na regio crtica

Pronto. Teste de hipteses apenas isso.

Caso o teste seja unilateral, s o que muda que a regio crtica estar toda de um lado s da reta real (em vez de dividida em duas partes).

Vamos mudar um pouco o exerccio acima. Agora, vamos supor que no conhecemos mais a varincia da populao.

Exemplo 5

Obtivemos uma amostra de 30 compras de um rgo pblico. A mdia para esta amostra foi de R$ 230,00. A varincia desta amostra foi 120 R$2. Teste a hiptese de que a mdia da populao da qual foi extrada esta amostra seja igual a R$ 220,00, considerando um nvel de significncia de 5% ( %5= ).

Resoluo:

A grande diferena deste exerccio para o anterior que agora no sabemos a varincia da populao. Nestes casos, no podemos utilizar a varivel Z, que tem distribuio normal. Utilizamos a varivel t, que tem distribuio T de Student.

A situao bem semelhante da aula passada, quando tnhamos intervalos de confiana para a mdia. Se soubermos a varincia populacional, usamos a varivel Z (normal reduzida). Caso contrrio, usamos a distribuio T.

De resto, o passo a passo bem semelhante.



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Primeiro passo: determinar os valores crticos da varivel t.

A tabela para a distribuio T est ao final desta aula (tabela II).

Na distribuio T precisamos do nmero de graus de liberdade. Vimos isto na aula anterior. No caso da distribuio T, o nmero de graus de liberdade igual a 1n . Vamos consultar a tabela para 29 graus de liberdade e para o nvel de significncia de 5%.

O valor de t correspondente : 2,045.

= 2,045 = 2,045 Segundo passo: obter a estatstica teste.

A estatstica teste o valor de t para o experimento realizado.

Para o experimento feito, o valor de t vale:

= Onde Xs o estimador de X .

Precisamos calcular o valor de Xs . A frmula (matria da aula passada):

= = 12030 = 2 Agora obtemos o valor da estatstica teste:

=

= 230 2202 = 5

Terceiro passo: comparamos os valores crticos de t com a estatstica teste. Verificamos que a estatstica teste est fora do intervalo definido pelos valores crticos. Portanto, rejeitamos a hiptese H0.

TOME NOTA!!!

Resumo do teste de hipteses para a mdia quando a varincia populacional desconhecida

1 Passo: encontrar os valores crticos de t. Definir a regio de aceitao e a regio crtica.

2 Passo: encontrar a estatstica teste. Usar a frmula:

= 3 Passo: ver se a estatstica teste cai na regio de aceitao ou na regio crtica



AFRFB e AFT


Exemplo 6

Trabalhamos em uma indstria. Precisamos saber se um dado produto resiste a uma temperatura de 200C (para verificar se atende a alguns requisitos tcnicos). Para tanto, selecionamos uma amostra de 100 produtos e o submetemos a temperaturas cada vez maiores, at que o produto comece a derreter. Para esta amostra de 100 produtos, a temperatura mdia na qual comeou o derretimento foi de 195C. A varincia da amostra foi de 25 C2.

Teste a hiptese de que a mdia da populao de onde foi retirada a amostra seja de 200 C, contra a hiptese alternativa de a mdia seja inferior a 200C, para um nvel de significncia de 5%.

Dados:

05,0)66,1( =tP

Resoluo.

As hipteses so:

H0: 200=

HA: 200



AFRFB e AFT


isto que a tabela fornece. Ela indica que a probabilidade de t estar fora do intervalo de -1,98 a 1,98 igual ao nvel de significncia de 5%. uma tabela para ser utilizada em testes bilaterais. Ela indica que a rea da regio crtica (=soma das duas reas amarelas) igual a 0,05. H duas regies crticas. Uma para valores consideravelmente maiores que zero. Outra para valores consideravelmente menores que zero.

S que nosso teste unilateral. Ele no tem duas reas amarelas. Ele tem uma s. Queremos achar um valor de t crtico tal que a rea verde da abaixo seja de 95%.

Note que a regio crtica est toda ela do lado esquerdo do grfico.

Por qu?

Porque a hiptese nula do tipo: a mdia menor que alguma coisa. No caso, a hiptese alternativa a mdia menor que 200.

Ou seja, os valores que nos fazem rejeitar a hiptese nula so aqueles consideravelmente menores que 200.

Consequentemente, os valores da varivel t que compem a regio crtica so aqueles consideravelmente menores que 0.

No grfico acima sim, temos apenas uma rea de rejeio (rea amarela).

Se a rea verde igual a 95%, a rea amarela 5%.

Ou seja, nossa tarefa achar um valor crtico (tc) tal que a rea amarela da figura acima seja de 5%. Tal que sua esquerda tenhamos 5% dos valores.

Para acharmos o tc, vamos consultar a tabela para 99 graus de liberdade e nvel de confiana de 10% (sempre assim, quando o teste unilateral e a tabela para testes bilaterais, consultamos o dobro do nvel de significncia). Consultando a tabela, obtemos 1,66.

Isto significa que a rea verde da figura abaixo de 0,9.



AFRFB e AFT


O que a tabela da distribuio T nos indica que a soma das duas reas amarelas acima 0,10, que corresponde a um nvel de significncia de 10% em um teste bilateral.

S que nosso teste unilateral. E o t crtico que procurvamos exatamente -1,66, pois sua esquerda temos 5% dos valores.

Segundo passo: encontrar a estatstica teste.

=

Precisamos encontrar Xs .

= = 25100 = 0,5

Continuando o clculo da estatstica teste:



AFRFB e AFT


= 195 2000,05 = 10

Terceiro passo: comparar a estatstica teste com o valor crtico.

Verificamos que a estatstica teste est alm do valor crtico. Se a estatstica teste assumisse valores at -1,66, consideraramos que a temperatura mdia para a amostra no significativamente menor que 200C. Contudo a estatstica teste foi de -10, nmero este abaixo de -1,66. Rejeitamos a hiptese H0 e consideramos que a populao de onde foi retirada a amostra no atende especificao de suportar temperaturas de 200C. A estatstica teste caiu na regio amarela (regio crtica).

TOME NOTA!!!

Testes unilaterais: s h uma regio crtica; s h um valor crtico.

Cuidado para as informaes fornecidas na questo. Se a questo trouxer dados sobre o teste bilateral, preciso adaptar a informao.


Para uma experincia realizada com referncia medio do comprimento de determinada pea fabricada por uma grande indstria, utilizou-se uma amostra aleatria de 16 peas, apurando-se uma mdia de 0,9 m e um desvio padro de 0,2 m. Supondo que os

comprimentos das peas tenham uma distribuio normal, com mdia e varincia desconhecida, deseja-se saber, ao nvel de significncia de 5%, se o comprimento da pea

no inferior a 1 m. Seja H0 a hiptese nula do teste ( = 1 m), H1 a hiptese alternativa ( < 1 m ) e t0,05 = 1,75 o quantil da distribuio t de Student tabelado para teste unicaudal, com 15 graus de liberdade. Ento, pelo teste t de Student,

(A) a concluso obtida seria a mesma para qualquer nvel de significncia.

(B) H0 no pode ser aceita, indicando que os comprimentos so inferiores a 1 m.

(C) o nmero de graus de liberdade, no caso 15, no interferiu na obteno de t0,05.

(D) para um nvel de significncia superior a 5%, a concluso poderia no ser a mesma.

(E) o valor da estatstica obtido por meio da amostra para comparao com t0,05 igual a 5,0

Resoluo:

Primeiro passo: encontramos o valor crtico de t.

Notem que a hiptese alternativa do tipo: a mdia menor que alguma coisa.

Isto significa que a regio crtica formada por valores na extremidade esquerda do grfico da fdp. Ou seja, pelos valores da varivel t significativamente menores que zero.



AFRFB e AFT


O exerccio nos informou o valor crtico:

= 1,75 Logo, a regio crtica, delimitada pelo valor crtico, corresponde ao intervalo:

(; 1,75)

Segundo passo: encontramos a estatstica teste, ou seja, o valor de t para o experimento feito.

=

= 0,9 1

Antes de continuarmos o clculo, precisamos encontrar o valor de . = = 0,216 = 0,24 = 0,05

Agora podemos continuar com o clculo da estatstica teste:

= 0,9 10,05 = 0,10,05 = 2 Terceiro passo: comparamos a estatstica teste com o valor crtico.

Vemos que a estatstica teste est a esquerda do valor crtico. A estatstica teste cai na regio crtica. Rejeitamos a hiptese nula. Isso indica que os comprimentos verificados na amostra so significativamente menores que 1 m.

Gabarito: B

Questo 5 SEFAZ SP 2009 [FCC]

O gerente de uma indstria de determinado componente eletrnico garante que a vida mdia do produto fabricado igual a 100 horas. Um comprador desta indstria decide testar a afirmao do gerente e faz um teste estatstico formulando as hipteses H0: = 100 e H1 : < 100, sendo que H0 a hiptese nula, H1 a hiptese alternativa e a mdia da populao considerada de tamanho infinito com uma distribuio normal. O desvio padro populacional igual a 10 horas e utilizou-se a informao da distribuio

normal padro (Z), segundo a qual a probabilidade P(Z > 1,64) = 5%. H0 foi rejeitada com base em uma amostra aleatria de 64 componentes em um nvel de significncia de 5%. Ento, o valor da mdia amostral foi, em horas, no mximo,

(A) 94,75

(B) 95,00

(C) 96,00

(D) 96,50

(E) 97,95



AFRFB e AFT


Resoluo:

Notem que a hiptese alternativa do tipo: a mdia menor que alguma coisa.

Isto significa que a regio crtica formada por valores na extremidade esquerda do grfico da fdp. Ou seja, pelos valores da varivel Z significativamente menores que zero.

Primeiro passo: obter o valor crtico de Z. Segundo o enunciado, temos:

> 1,64 = 5% Logo:

< 1,64 = 5% Ou seja:

= 1,64 Segundo passo: encontramos a estatstica teste.

= = 100

1064= 100

1,25

A hiptese nula foi rejeitada. Logo, a estatstica teste menor que o valor crtico.

1001,25

< 1,64

100 < 1,64 1,25 100 < 2,05 < 2,05 + 100

< 97,95 Gabarito: E

Questo 6 TRT 4 REGIO 2009 [FCC - adaptada]

Um atributo X tem distribuio normal com mdia e varincia populacional igual a 3.600. Uma amostra aleatria de tamanho 100 extrada da populao, considerada de tamanho

infinito, forneceu uma mdia de X para X. Um teste estatstico realizado sendo formuladas as hipteses H0: = 200 (hiptese nula) contra H1: > 200 (hiptese alternativa). Sabe-se que H0 foi rejeitada a um nvel de significncia de 5%. Utilizando a

informao da distribuio normal padro (Z) em que a probabilidade P ( ) 05,064,1 =ZP , tem-se que o valor encontrado para X foi, no mnimo,

(A) 219,68

(B) 214,76

(C) 209,84



AFRFB e AFT


(D) 204,92

(E) 200,00

Resoluo:

A questo est adaptada. Na minha opinio, o enunciado original continha uma falha que deveria resultar na anulao da questo. No tenho o gabarito definitivo para saber se a questo foi de fato anulada.

Primeiro passo: encontramos o valor crtico.

Notem que a hiptese alternativa do tipo: a mdia maior que alguma coisa.

Isto significa que a regio crtica formada por valores na extremidade direita do grfico da fdp. Ou seja, pelos valores da varivel Z significativamente maiores que zero.

O enunciado disse que:

= 1,64 Segundo passo: encontramos a estatstica teste.

= = 200

Antes de continuarmos o clculo, precisamos encontrar o valor do desvio padro da mdia amostral:

= = 3.600100 = 6 Agora podemos continuar o clculo da estatstica teste:

= 2006 A hiptese nula foi rejeitada. Portanto, a estatstica teste maior que o valor crtico.

2006

> 1,64

200 > 6 1,64 200 > 9,84 > 200 + 9,84 > 209,84

Gabarito: C



AFRFB e AFT



Os lucros brutos anuais das empresas de um determinado ramo de atividade apresentam

uma distribuio normal com mdia e varincia populacional 2 desconhecidas. A partir de uma amostra aleatria de tamanho 25 da populao considerada de tamanho infinito,

deseja-se testar a hiptese H0: = 20 milhes de reais contra a alternativa H1: > 20 milhes de reais, com a realizao do teste t de Student. A mdia e o desvio padro da

amostra so iguais a 23 e 8, respectivamente, em milhes de reais. Seja ct o valor calculado

correspondente para comparar com o valor tabelado tt da distribuio t de Student, com n graus de liberdade, ao nvel de significncia . Ento, correto afirmar que:

(A) H0 no ser rejeitada, ao nvel de significncia , se 875,1>tt com n = 24.

(B) Se H0 foi rejeitada, ao nvel de significncia , tem-se que 375,9>tt com n = 24.

(C) Se H0 foi rejeitada, ao nvel de significncia , ento para um nvel de significncia superior a H0 no seria rejeitada.

(D) 1,875 < ct < 9,375 e n = 23.

(E) ct = 9,375 e n = 23.

Resoluo:

O nmero de graus de liberdade, que o exerccio chamou de n, igual ao tamanho da amostra menos 1.

Graus de liberdade: 25 1 = 24.

Com isso, j podemos descartar as alternativas D e E.

(A) H0 no ser rejeitada, ao nvel de significncia , se 875,1>tt com n = 24.

(B) Se H0 foi rejeitada, ao nvel de significncia , tem-se que 375,9>tt com n = 24.

(C) Se H0 foi rejeitada, ao nvel de significncia , ento para um nvel de significncia superior a H0 no seria rejeitada.

(D) 1,875 < ct < 9,375 e n = 23.

(E) ct = 9,375 e n = 23.

S relembro que, de acordo com a simbologia que usamos, n geralmente indica o tamanho da amostra, e no o nmero de graus de liberdade.

De agora em diante, no restante desta soluo, voltarei a utilizar n para indicar o tamanho da amostra.

O valor crtico, que a questo chamou de tt, no foi dado pela questo.



AFRFB e AFT


A estatstica teste, chamada de tc, fica:

=

= 23 20

= 23 20825=

3

85

= 1,875

Vamos agora analisar as alternativas remanescentes.

Para tanto, devemos notar que a hiptese alternativa do tipo: a mdia maior que alguma coisa.

Ou seja, a regio crtica formada pelos valores de Z significativamente maiores que zero.

Assim, a hiptese nula ser:

- aceita, se a estatstica teste for menor que o valor crtico

- rejeitada, se a estatstica teste for maior que o valor crtico.

Letra A: H0 no ser rejeitada, ao nvel de significncia , se 875,1>tt com n = 24.

De fato, se o valor crtico for maior que 1,875, ento o valor crtico maior que a estatstica teste. Logo, a hiptese nula aceita.

J achamos a alternativa correta.

Gabarito: A

Letra B: Se H0 foi rejeitada, ao nvel de significncia , tem-se que 375,9>tt com n = 24.

Isso est errado. Se a hiptese nula foi rejeitada, ento sabemos que o valor crtico menor que a estatstica teste. Logo, menor que 1,875.

Letra C: Se H0 foi rejeitada, ao nvel de significncia , ento para um nvel de significncia superior a H0 no seria rejeitada.

Isso est errado. Se aumentarmos o nvel de significncia, aumentamos a regio crtica. A estatstica teste, que inicialmente j caa dentro da regio crtica, continuar pertencendo a tal regio, aps o aumento do nvel de significncia.



AFRFB e AFT


Questo 8 BACEN/2006 [FCC]

Uma amostra aleatria de 100 valores de aluguis em uma cidade forneceu um valor mdio de R$ 600,00. O desvio padro da populao, considerada normal e de tamanho infinito, de R$ 250,00. Deseja-se saber se o valor mdio encontrado na amostra superior ao valor

de R$ 550,00, que se supe ser a verdadeira mdia, ao nvel de significncia de . Seja Z o escore da curva normal padro tal que => )( ZZP , H0 a hiptese nula do teste (

550= ). Sabendo-se que H0 foi rejeitada, tem-se que:

a) o valor do escore reduzido referente ao valor mdio encontrado para a amostra e necessrio para comparao com Z igual a 0,2.

b) 2>Z

c) 2 550.

e) A um nvel de significncia , > , H0 no teria sido rejeitada

Resoluo.

O teste unilateral. S rejeitamos a hiptese nula se o valor da mdia amostral for consideravelmente maior que R$ 550. Isso implica em valores de Z significativamente maiores que zero.

Primeiro passo: determinar o valor crtico.

O exerccio j informou que o valor crtico Z . Ou seja, Z tal que a rea amarela da figura abaixo igual a .

Segundo passo: determinar a estatstica teste.

=



AFRFB e AFT


= = 25010 = 25 = 600 55025 = 2


Como a hiptese nula foi rejeitada, tem-se que:

> 2 > < 2

Portanto a alternativa C est correta, pois afirma que 2



AFRFB e AFT


1,71 = 5% Como a fdp simtrica, ento:

1,71 = 5% Assim, o valor crtico igual a -1,71.

Segundo passo: encontramos a estatstica teste.

=

= 1

Precisamos encontrar o valor do desvio padro da mdia amostral.

= = 0,0425 = 0,25 = 0,04

= 10,04

Terceiro passo: comparamos a estatstica teste com o valor crtico.

Como a hiptese nula foi rejeitada, ento a estatstica teste menor que o valor crtico. 10,04

< 1,71

1 < 0,04 1,71 1 < 0,0684 < 1 0,0684 < 0,9316

Gabarito: C

3. P VALOR

Questo 10 IPEA 2004 [ESAF]

Um fabricante de lanternas operadas com gs butano anuncia que o reservatrio de gs de seu produto tem durao esperada de pelo menos 40 horas. Face reclamao de alguns consumidores, uma agncia independente resolve verificar a veracidade da afirmao do fabricante por meio do teste estatstico da hiptese H0: 40 contra a alternativa HA: < 40 com controle do erro do tipo I em 5%. Uma amostra aleatria de 49 reservatrios produziu o valor mdio X de 38 horas. Suponha que a distribuio dos tempos de durao do gs seja aproximadamente normal com desvio padro de 7 horas.



AFRFB e AFT


A tabela abaixo d os valores da funo de distribuio F(Z) da normal padro para alguns valores selecionados de Z.

Z F(Z)

0,34 0,633

0,54 0,705

0,64 0,739

2,00 0,977

3,00 0,999

Assinale a opo que d o valor probabilstico (p-valor) do teste constitudo com base na

estatstica 40X a) 5%

b) 2,3%

c) 3%

d) 4%

e) 2,5%

Resoluo.

Pede-se o p-valor.

Esta questo est a justamente para falarmos do p-valor (ou probabilidade de significncia; ou ainda, nvel descritivo). um termo que vez ou outra aparece em testes de hipteses.

Uma definio do p-valor seria: a probabilidade de a varivel reduzida assumir valores iguais ou mais extremos do que a estatstica teste observada, dado que a hiptese nula verdadeira.

Entendeu?

Pois , a definio pode no ser muito clara primeira vista.

Uma forma mais fcil de entender pensarmos em reas.

Vimos que a rea delimitada pelo valor crtico igual ao nvel de significncia. Assim, se o nvel de significncia de 5%, o valor crtico delimita uma rea de 5%.

Aqui parecido.

O p-valor a rea delimitada pela estatstica teste.

Se o p-valor de 4%, ento a estatstica teste delimita uma rea de 4%. isso.

Vamos fazer o teste de hipteses indicado na questo.



AFRFB e AFT


Notem que se trata de um teste unilateral. S h uma regio crtica.

Primeiro passo: calcular o valor crtico de Z. o valor tal que a regio de aceitao seja de 95% e a regio crtica seja de 5%. O exerccio no forneceu informaes para calcular este valor. porque no precisa. Mas fica a informao de que este valor igual a -1,645.

= 1,645 Segundo passo: calcular a estatstica teste.

= O exerccio disse que 38=X . Disse tambm que 7= . Podemos calcular o desvio padro da mdia amostral.

= = 749 = 1 = 38 401 = 2


A estatstica teste menor que o valor crtico. Ela cai na rea amarela (rea crtica). Rejeitamos a hiptese nula.



AFRFB e AFT


Por que rejeitamos a hiptese nula? Porque a estatstica teste caiu na rea crtica. Aceitaramos a hiptese nula para valores at -1,645. Este valor considerado crtico. Valores alm dele (ou seja, mais extremos que ele) nos fazem rejeitar a hiptese nula. E foi exatamente isto que aconteceu. O valor -2 est alm de -1,645. um valor significativamente menor que zero.

Supondo que a hiptese nula seja verdadeira, qual a probabilidade de obtermos valores, para a varivel reduzida, menores ou iguais a -2?

Queremos saber a rea abaixo da curva esquerda de -2. Queremos a rea vermelha da figura abaixo:

Esta probabilidade justamente o p-valor. Supondo que a hiptese nula seja verdadeira, a probabilidade de Z assumir valores iguais ou mais extremos que a estatstica teste ( 2= ). Neste caso, a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais a 2 .

Em outras palavras: a rea delimitada pela estatstica teste.



AFRFB e AFT


Agora sim vamos utilizar a tabela fornecida no exerccio. Fomos informados que a funo distribuio para Z igual a 2 0,977. Ou seja, a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais a 2 de 97,7%.

Portanto, a probabilidade de Z assumir valores maiores que 2 de 2,3%. Como a funo densidade de probabilidade da varivel normal simtrica, a probabilidade de Z assumir valores menores que -2 tambm de 2,3%.

Portanto o p-valor de 2,3%.

Gabarito: B.

Questo 11 SEFAZ MS 2006 [FGV]

Um teste de hiptese apresentou p-valor igual a 0,03. Portanto, nos nveis de significncia de 1% e 5%, respectivamente, a hiptese nula:

a) deve ser aceita e aceita

b) deve ser aceita e rejeitada

c) deve ser rejeitada e aceita

d) deve ser rejeitada e rejeitada

e) pode ou no ser rejeitada, dependendo de a hiptese ser simples ou no.

Resoluo.

Vamos desenhar alguns grficos da funo densidade de probabilidade (fdp) da varivel normal para entendermos melhor o problema.

Embora o problema no tenha dito, vamos supor que se trata de um teste unilateral. S para facilitar o desenho. Mas para o teste bilateral o raciocnio seria o mesmo.

Vamos primeiro considerar o nvel de significncia de 1%. Neste primeiro caso, vamos chamar o valor crtico de Z_crtico_1.

Este valor tal que a rea crtica (rea amarela) seja igual a 0,01.



AFRFB e AFT


Do jeito que desenhamos, a hiptese alternativa do tipo k



AFRFB e AFT


A estatstica teste cai fora da regio amarela (regio crtica). Portanto, devemos aceitar a hiptese nula. Isto ocorre porque a rea amarela est contida na rea vermelha.

Um resumo de tudo o que fizemos pode ser assim: se o p-valor for maior que o nvel de significncia, devemos aceitar a hiptese nula.

Vamos para o segundo caso. Agora o nvel de significncia de 5%. A regio crtica (rea amarela) maior.

Agora o valor crtico ser Z_crtico_2.

A rea amarela (regio crtica), agora, igual a 0,05.

O p-valor continua sendo o mesmo. Portanto, a rea esquerda da estatstica teste de 3%.



AFRFB e AFT


Juntando as duas figuras:

A estatstica teste cai dentro da regio crtica. Rejeitamos a hiptese nula. Isto porque a regio vermelha est contida na regio amarela. Resumindo: sempre que o p-valor for menor que o nvel de significncia, rejeitamos a hiptese nula.

Gabarito: B.

TOME NOTA!!!

Se o p-valor for maior que o nvel de significncia, devemos aceitar a hiptese nula.

Sempre que o p-valor for menor que o nvel de significncia, rejeitamos a hiptese nula.



AFRFB e AFT


Questo 12 MPE PE/2006 [FCC]

Para resolver a questo abaixo, considere as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da distribuio F(x). A tabela 1 refere-se varivel normal padro, as tabelas 2 e 3 referem-se varivel t de Student com 15 e 16 graus de liberdade, respectivamente:

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3

X F(x) X F(x) x F(x)

1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,95

1,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,98

2,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99

Seja X uma varivel aleatria, com distribuio normal, com mdia e desvio padro 6. Para o teste da mdia 11= contra 13= , retirou-se uma amostra aleatria de 100 elementos de X, tendo-se observado para a mdia amostral o valor 12,2. O nvel descritivo do teste :

a) 0,012 b) 0,023 c) 0,055 d) 0,064 e) 0,077.

Resoluo.

As hipteses so:

: = 11 : = 13

Note que o teste unilateral. Apenas valores significativamente maiores que 11 nos fazem rejeitar a hiptese nula.

= = 6100 = 0,6 A estatstica teste fica:

= = 12,2 110,6 = 2 O nvel descritivo igual probabilidade de a varivel reduzida assumir valores mais extremos que 2. Portanto, o nvel descritivo igual rea vermelha da figura abaixo:



AFRFB e AFT


Consultando a tabela 1 do enunciado, temos que a rea esquerda de 2 igual a 0,977. Portanto, a rea vermelha igual a 0,023.

Desse modo, o p-valor igual a 2,3%

Gabarito: B

Questo 13 TRF 1 REGIO 2001 [FCC]

Para responder questo seguinte, considere as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da funo de distribuio F(x). A tabela 1 refere-se varivel normal padro, as tabelas 2 e 3 referem-se varivel t de Student com 10 e 15 graus de liberdade, respectivamente.

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3

x F(x) X F(x) x F(x)

1,20 0,885 1,37 0,90 1,75 0,95

1,60 0,945 1,81 0,95 2,25 0,98

1,64 0,950 2,36 0,98 2,60 0,99

Seja X: N( ,25). Para o teste da mdia 15= contra 12= , retirou-se uma amostra aleatria de 16 elementos de X, tendo-se observado para a mdia amostral o valor 13. Determine o nvel descritivo do teste.

a) 0,065

b) 0,060

c) 0,055

d) 0,010

e) 0,005

Resoluo:



AFRFB e AFT


As hipteses so:

: = 15 : = 12 Note que, aqui, a hiptese alternativa atribui mdia um valor nico. Mas o teste continua sendo unilateral. Apenas valores significativamente menores que 15 nos fazem rejeitar a hiptese nula.

A notao X: N( ,25) uma forma de indicar que a varivel X tem distribuio normal com mdia desconhecida e varincia 25.

O p-valor (ou nvel descritivo do teste) a probabilidade de a varivel reduzida assumir um valor igual ou mais extremo que a estatstica teste observada, dado que a hiptese nula verdadeira.

Vamos calcular a estatstica teste:

= = 516 = 1,25 = = 13 151,25 = 1,6

Qual a probabilidade da varivel reduzida assumir valores mais extremos que -1,6? Em outras palavras, qual o valor da rea vermelha abaixo?

Consultando a tabela 1 do enunciado, temos que:

055,0945,01)6,1(945,0)6,1( ==>= ZPZP Como, para a varivel normal, o grfico de fdp simtrico, a probabilidade de Z assumir valores menores ou iguais a -1,6 tambm de 5,5%. Conclumos que a rea vermelha, que corresponde ao p-valor, de 5,5%.



AFRFB e AFT


Gabarito: C

4. TESTE DE HIPTESES PARA PROPORES

4.1. Teste de hipteses usando a distribuio binomial

Vimos que as propores esto intimamente relacionadas com a distribuio binomial. Esta relao pode ser utilizada para testarmos hipteses relacionadas a propores.

Exemplo 7

Em uma dada populao, deseja-se estudar a proporo de pessoas com uma dada caracterstica gentica.

Deseja-se testar a hiptese de proporo de pessoas com a referida caracterstica ser igual a 0,5, contra a hiptese alternativa de ser maior que 0,5.

Para a realizao do teste, selecionaram-se 4 pessoas. Decidiu-se rejeitar a hiptese nula caso todas as 4 tivessem a caracterstica em anlise.

Calcule o nvel de significncia do teste.

Resoluo:

Vamos escrever as hipteses:

: = 0,5 : > 0,5 Onde p a proporo de pessoas com a caracterstica na populao.

Na amostra, a cada pessoa com a caracterstica ns temos 1 sucesso. E a cada pessoa entrevistada, ns temos 1 experimento.

Seja X a varivel que designa o nmero de sucessos em 5 experimentos. X uma varivel binomial.

Caso a hiptese nula seja verdadeira, sua mdia dada por:

= = 4 0,5 = 2 E sua varincia fica:

= = 4 0,5 05 = 1 Consequentemente, seu desvio padro dado por:

= 1 O nvel de significncia corresponde probabilidade de rejeitar H0, dado que ela verdadeira. Vamos calcular o valor desta probabilidade.



AFRFB e AFT


S rejeitaremos H0 caso tenhamos uma amostra com 4 pessoas que possuam a caracterstica. Caso H0 seja verdadeira, a probabilidade de isso ocorrer :

?)4( ==XP E como X uma varivel binomial, basta usarmos a frmula da varivel binomial.

knk qpkn

kXP

== )(

1615,05,0

44)4( 04 =

==XP

O nvel de significncia igual a 1/16.

Para responder Questo 14, Questo 15 e Questo 16, considere o enunciado a seguir.

A proporo de pessoas com uma determinada caracterstica numa populao p. Sortearam-se 5 pessoas ao acaso e com reposio dessa populao e calculou-se a proporo p de pessoas com a caracterstica na amostra. Desejando-se testar: H0: 5,0=p contra H1: 6,0=p , com base nesta amostra, decidiu-se rejeitar H0 se o nmero de pessoas com a caracterstica na amostra for maior ou igual a 4.

Questo 14 MPU/2007 [FCC]

O nvel de significncia associado ao teste :

a) 6/64;

b) 5/32

c) 1/16;

d) 5/64;

e) 6/32

Resoluo.

O nvel de significncia a probabilidade de rejeitarmos a hiptese nula, dado que ela verdadeira. Corresponde probabilidade de ocorrncia do erro de tipo I.

Vamos supor que a hiptese nula seja verdadeira. Neste caso, dado que a hiptese nula verdadeira (logo, 5,0=p ), possvel que a gente a rejeite? Sim, basta que, numa dada amostra de 5 pessoas, tenhamos 4 ou 5 pessoas com a dada caracterstica. Vejamos a probabilidade de isso ocorrer.

Seja X a varivel que indica o nmero de pessoas com a caracterstica na amostra de tamanho 5. X uma varivel binomial.

Se a hiptese nula for verdadeira, a probabilidade de termos 4 pessoas com esta caracterstica na amostra dada por:



AFRFB e AFT


knk qpkn

kXP

== )(

3255,055,05,0

45)4( 5454 ==

==

XP

A probabilidade de termos 5 pessoas com esta caracterstica na amostra :

knk qpkn

kXP

== )(

3215,05,0

55)5( 555 =

==

XP

A probabilidade de X ser igual a 4 ou igual a 5 igual ao nvel de significncia:

?)54( === XXP Como os dois eventos so mutuamente excludentes, a probabilidade da unio igual soma das probabilidades.

)5()4()54( =+==== XPXPXXP

326

321

325)54( =+=== XXP

Gabarito: E.


Se o nmero observado de pessoas com a caracterstica na amostra foi 5, o nvel descritivo associado ao teste :

a) 5/16

b) 5/32

c) 3/16

d) 1/32

e) 1/16.

Resoluo.

Nvel descritivo sinnimo de p-valor.

O p-valor est relacionado com a estatstica teste, ou seja, com o resultado obtido para o experimento realizado.

Seja X a varivel que designa o nmero de pessoas com a caracterstica em estudo, na amostra de tamanho 5. X uma varivel binomial.

Para o experimento feito, vimos que X assumiu o valor 5. Se a hiptese nula for verdadeira, a probabilidade de isso ocorrer :



AFRFB e AFT


3215,05,0

55)5( 555 =

==

XP

Alis, nem precisvamos fazer esta conta novamente. J a tnhamos feito no exerccio anterior.

O p-valor igual probabilidade de X assumir valores iguais ou mais extremos que o obtido para o experimento realizado.

O p-valor igual a:

)5(_ = XPvalorp Note que, em uma amostra de tamanho 5, o valor mximo que X assume justamente 5.

32/1)5()5(_ ==== XPXPvalorp Gabarito: D.


A probabilidade de se rejeitar H0 quando H1 verdadeira :

a) 56,04

b) 56,0

c) 46,06,2

d) 56,01

e) 46,04,05

Resoluo.

H0 ser rejeitada se, na amostra de tamanho 5, tivermos 4 ou 5 pessoas com a caracterstica.

Se H1 for verdadeira, a probabilidade de isso ocorrer fica:

)5()4()54( =+==== XPXPXXP

555454 4,06,055

4,06,045)54(

+

=== XXP

0514 4,06,04,06,05)54( +=== XXP 54 6,06,02)54( +=== XXP )6,02(6,0)54( 4 +=== XXP

)6,2(6,0)54( 4 === XXP Gabarito: C



AFRFB e AFT



Uma experincia consiste em verificar se uma moeda honesta. Em 10 lanamentos da moeda, decide-se pela honestidade da moeda se o nmero de caras (n) for tal que 4 n 6 . A probabilidade de rejeitar a hiptese da moeda ser honesta, quando ela for correta

(A) 21/32

(B) 18/32

(C) 15/32

(D) 11/32

(E) 9/32

Resoluo:

A questo pede a probabilidade de cometermos o erro do tipo I, ou seja, de rejeitarmos a hiptese nula, dado que verdadeira.

Isso ocorrer quando lanamos uma moeda honesta e o nmero de caras for 0, 1, 2, 3, 7, 8, 9, ou 10.

S que este clculo d muito trabalho. Vamos trabalhar com o evento complementar.

Primeiro vamos calcular a probabilidade de o nmero de caras ser igual a 4, 5 ou 6.

= 4 = 5 = 6 = = = 4) + = 5 + ( = 6 =

= 104 0,5 0,5 + 10

5 0,5 0,5 + 10

6 0,5 0,5

= 104 + 10

5 + 10

6 0,5

= 210 + 252 + 210 0,5 = 672 0,5 672

2=

21

2=

21

32

Logo, a probabilidade de obtermos 0, 1, 2, 3, 7, 8, 9, ou 10 caras de:

1 21

32=

11

32

Gabarito: D

4.2. Teste para propores usando a distribuio normal

Quando o tamanho da amostra cresce (ou seja, para valores de n grandes), depender da frmula da probabilidade para a distribuio binomial fica muito trabalhoso.



AFRFB e AFT


Neste caso, podemos utilizar a aproximao que estudamos na aula sobre as principais distribuies de probabilidade. Vimos que, se X binomial, e o nmero de experimentos bem grande, ento X aproximadamente normal.

Com isso, podemos realizar o teste de hipteses para propores utilizando a distribuio normal em vez da binomial.

Vamos ver como fica.

Seja X a varivel que designa o nmero de casos favorveis na amostra de tamanho n. X seria uma varivel binomial.

A proporo de casos favorveis na amostra fica:

n

Xp =

Usando propriedades da mdia, temos que a mdia de p ser igual mdia de X, dividida por n.

pn

nppE ==)(

Usando as propriedades da varincia, a varincia de p ser igual varincia de X dividida por n2.

n

pqn

npqpV == 2)(

Consequentemente, o desvio padro de p ser:

n

pqp =

Estes so exatamente os resultados apresentados na aula passada, quando estudamos intervalo de confiana para uma proporo.

Se n for grande, ento X aproximadamente normal. Como consequncia, p tambm aproximadamente normal.

Sabendo disso, podemos obter a varivel normal reduzida. Para tanto, fazemos o seguinte:

- tomamos a varivel em estudo ( p )

- subtramos de sua mdia

- dividimos pelo seu desvio-padro

n

pqppZ =

= npq

nppn

Vamos ver um exemplo.



AFRFB e AFT


Exemplo 8

Uma moeda foi lanada 100 vezes. Em 20% das vezes o resultado foi cara. Em 80% das vezes, o resultado foi coroa. Teste a hiptese da moeda ser honesta, considerando um nvel de significncia de 19,7%.

Dado: %15,40)29,10( =



AFRFB e AFT


Os valores que se pretendem testar para a populao so: 5,0=p e 5,0=q (pois pq = 1).

Para a amostra feita, obteve-se 2,0 =p . Foram 100 lanamentos (n = 100).

Primeiro passo: obter os valores crticos de Z.

Queremos obter os valores de Z de tal forma que a soma das duas reas amarelas da figura abaixo seja de 19,7%.

Consequentemente, a rea verde seria de 80,3%.

A rea verde a regio de aceitao. As reas amarelas formam a regio crtica. Caso o valor de Zt caia na regio verde, aceitaremos a hiptese H0. Caso contrrio, rejeitamos.

Se a rea verde vale 0,803, ento a metade da rea verde igual a 0,4015.

O exerccio nos disse que 40,15% dos valores de Z esto entre zero e 1,29.

Logo, a regio verde da figura acima de 80,3%.



AFRFB e AFT


Os valores crticos de Z so:

= 1,29 = 1,29

Segundo passo: obter a estatstica teste.

No caso de propores, a estatstica teste dada por:

=

= 0,2 0,50,5 0,5

100

=0,3

0,05= 6

Terceiro passo: comparar a estatstica teste com os valores crticos. Vemos que a estatstica teste menor que o valor crtico Zc. A estatstica teste cai na regio crtica (rea amarela). Rejeitamos a hiptese nula.

Questo 18 PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO]

Um fabricante deseja fazer um estudo, com uma confiana de 95%, a respeito da aceitao de um dos seus produtos com a finalidade de lan-lo em um novo mercado. Esse novo lanamento somente ser comercialmente vivel se o ndice de aceitao do produto for, pelo menos, de 90%. Para tal, realizou uma pesquisa de mercado em uma das cidades onde seu produto j comercializado. Foi perguntado aos consumidores se gostaram (aceitaram) do produto. O resultado foi o seguinte: 850 consumidores responderam que gostaram do produto e 150 consumidores responderam que no gostaram do produto. Qual ser a estatstica de teste a ser utilizada nesse teste?

(A) -5,27

(B) -1,96

(C) -1,65

(D) 1,96

(E) 5,27

Resoluo:

A estatstica teste dada por:

/ =

0,85 0,9

0,9 0,1/1000 =0,05 1.000

0,3=

0,05 10 100,3



AFRFB e AFT


Vamos aproximar a raiz quadrada de 10.

10 3 Logo:

0,05 10 100,3

0,05 10 3

0,3= 5

A estatstica aproximadamente -5. Com isso, conseguimos marcar a alternativa a.

Se no tivssemos aproximado a raiz quadrada de 10, teramos obtido -5,27.

Gabarito: A


Em uma cidade realizada uma pesquisa sobre a preferncia dos eleitores com relao a um determinado candidato, que afirma ter 60% da preferncia. Uma amostra aleatria de tamanho 600 foi extrada da populao, considerada de tamanho infinito, sendo que 330 eleitores manifestaram sua preferncia pelo candidato. Com base nesta amostra, deseja-se

testar a hiptese H0 : p = 60% (hiptese nula) contra H1 : p 60% (hiptese alternativa), em que p a proporo dos eleitores que tm preferncia pelo candidato. Para a anlise considerou-se normal a distribuio amostral da frequncia relativa dos eleitores que tm preferncia pelo candidato e que na distribuio normal padro Z a probabilidade P(|Z|

1,96) = 95% e P(|Z| 2,58) = 99%. A concluso que H0

(A) no rejeitada tanto ao nvel de significncia de 1% como ao nvel de significncia de 5%.

(B) rejeitada ao nvel de significncia de 5%.

(C) rejeitada ao nvel de significncia de 1%.

(D) no rejeitada para algum nvel de significncia superior a 5%.

(E) rejeitada para algum nvel de significncia inferior a 1%.

Resoluo:

Primeiro passo: determinar os valores crticos para a varivel Z.

Caso seja adotado um nvel de significncia de 5%, os valores crticos so -1,96 e 1,96

Caso seja adotado um nvel de significncia de 1%, os valores crticos so -2,58 e 2,58.

Segundo passo: calcular a estatstica teste.

A proporo verificada na amostra :

= 330600

= 0,55

A estatstica teste fica:



AFRFB e AFT


=0,55 0,6

0,6 0,4600

=0,05

0,24600

=0,05

0,02= 2,5

Terceiro passo: comparamos a estatstica teste com os valores crticos.

Se o nvel de significncia for de 5%, a estatstica teste cai na regio crtica. Rejeitamos a hiptese nula.

Se o nvel de significncia for de 1%, a estatstica teste cai na regio de aceitao. No rejeitamos a hiptese nula.

Gabarito: B

5. DISTRIBUIO DE QUI QUADRADO

A partir de agora veremos uma distribuio muito importante para realizarmos diversos tipos de teste de hipteses. Trata-se da distribuio de qui-quadrado. uma distribuio diferente da distribuio normal.

Considere diversas variveis normais reduzidas ( 1Z , 2Z , 3Z , ..., kZ ). Todas elas tm a mesma distribuio normal de mdia zero e desvio padro unitrio.

Seja 2 uma varivel tal que:

=

=

k

iiZ

1

22

Ou seja, a varivel 2 igual a uma soma dos quadrados de k variveis normais de mdia zero e desvio padro unitrio. Dizemos que 2 tem distribuio de qui-quadrado com k graus de liberdade.

Ento vai funcionar assim. Sempre que tivermos uma situao em que a varivel envolvida puder ser expressa como uma soma de quadrados de variveis normais reduzidas, tal varivel ter distribuio de qui-quadrado. E para ela ns podemos consultar a tabela especfica para a distribuio de qui-quadrado. Trata-se da Tabela III, anexada ao final desta aula, gerada com o Excel.

Questo 20 CGU 2008 [ESAF]

Sejam n variveis aleatrias N(0,1) independentes. A soma de seus quadrados tem uma distribuio de:

a) t de Student com n-1 graus de liberdade

b) t de Student com n graus de liberdade

c) qui quadrado com n graus de liberdade

d) qui quadrado com 2n graus de liberdade

e) F com 1 grau de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador.

Prof. Vtor Menezes

Resoluo.

O smbolo N(0,1) uma forma de repa varivel aleatria normal. Dentro do parntesis, o primeiro nmero indica a mdia e o segundo nmero indica a varincia.

Ento o que temos na questo uma soma de quadrados de variveis normais comzero e desvio padro unitrio.

J sabemos que esta soma tem distribuio de qui

Gabarito: C.

Um grande cuidado que temos que ter com a distribuio de quisimtrica (ao contrrio da distri

Apenas para se ter uma ideia

Quando o nmero de graus de liberdade aumenta, o grfico tende a ficar simtrico

Uma das utilizaes para a distribuio de Qpara a varincia. Outra utilizao realizar testes de hipteses sobre a varincia.

5.1. Distribuio de qui quadrado e varincia

A distribuio de qui-quadrado pode ser utilizada para determinao de intervalosconfiana para a varincia ou ainda para testarmos valores para a varincia de uma varivel aleatria.

Seja X uma varivel aleatria, com mdia varincia populacional, baseado em uma amostra aleatria de tamanho n.


Matemtica e Matemtica Financeira

Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br

O smbolo N(0,1) uma forma de representar variveis aleatrias normais. O N indica que a varivel aleatria normal. Dentro do parntesis, o primeiro nmero indica a mdia e o segundo nmero indica a varincia.

Ento o que temos na questo uma soma de quadrados de variveis normais comzero e desvio padro unitrio.

J sabemos que esta soma tem distribuio de qui-quadrado com n graus de liberdade.

Um grande cuidado que temos que ter com a distribuio de qui-quadrado que ela no simtrica (ao contrrio da distribuio normal e da distribuio T).

do grfico, segue exemplo abaixo, para 4 graus de liberdade.


Uma das utilizaes para a distribuio de Qui Quadrado construir intervalos de confiana para a varincia. Outra utilizao realizar testes de hipteses sobre a varincia.

Distribuio de qui quadrado e varincia

quadrado pode ser utilizada para determinao de intervalosconfiana para a varincia ou ainda para testarmos valores para a varincia de uma varivel

uma varivel aleatria, com mdia e varincia 2 . Seja varincia populacional, baseado em uma amostra aleatria de tamanho n.



AFRFB e AFT

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resentar variveis aleatrias normais. O N indica que a varivel aleatria normal. Dentro do parntesis, o primeiro nmero indica a mdia e o

Ento o que temos na questo uma soma de quadrados de variveis normais com mdia

quadrado com n graus de liberdade.

quadrado que ela no

do grfico, segue exemplo abaixo, para 4 graus de liberdade.

Quando o nmero de graus de liberdade aumenta, o grfico tende a ficar simtrico.

ui Quadrado construir intervalos de confiana para a varincia. Outra utilizao realizar testes de hipteses sobre a varincia.

quadrado pode ser utilizada para determinao de intervalos de confiana para a varincia ou ainda para testarmos valores para a varincia de uma varivel

2s o estimador da

varincia populacional, baseado em uma amostra aleatria de tamanho n.

Prof. Vtor Menezes

possvel demonstrar que (n

liberdade. Ou seja, a varivel

tem distribuio de qui-quadrado e, para ela, ns podemos consultar a tabela III (colocada ao final da aula). Esta informao til para testarmos hipteses acerca da varincia, bem como para definirmos intervalos de confiana para a mesma.

Um grande cuidado que temos que ter com a distribuio de quisimtrica (ao contrrio da distribuio normal e da distribuio T).

Apenas para se ter uma idia do grfico, segue exemplo abai


Questo 21 SEFAZ MS 2006 [FGV]

Uma amostra aleatria simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a mdia desconhecida de uma populao normal. varincia amostral foi 1,44.

O intervalo de 95% de confiana para a varincia populacional :

a) (0,88; 2,79)

b) (0,72; 3,05)

c) (0,64; 3,20)

d) (0,55; 3,16)

e) (0,44; 3,44)




2

2)1

sn tem distribuio de qui-quadrado com

2 , tal que:

=2 2

2)1(

sn

quadrado e, para ela, ns podemos consultar a tabela III (colocada ao final da aula). Esta informao til para testarmos hipteses acerca da varincia, bem

os intervalos de confiana para a mesma.

Um grande cuidado que temos que ter com a distribuio de qui-quadrado que ela no simtrica (ao contrrio da distribuio normal e da distribuio T).

Apenas para se ter uma idia do grfico, segue exemplo abaixo, para 4 graus de liberdade.


SEFAZ MS 2006 [FGV]

Uma amostra aleatria simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a mdia desconhecida de uma populao normal. A mdia amostral encontrada foi de 4,2 e a

O intervalo de 95% de confiana para a varincia populacional :



AFRFB e AFT

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quadrado com 1n graus de

quadrado e, para ela, ns podemos consultar a tabela III (colocada ao final da aula). Esta informao til para testarmos hipteses acerca da varincia, bem

quadrado que ela no

xo, para 4 graus de liberdade.

Quando o nmero de graus de liberdade aumenta, o grfico tende a ficar simtrico.

Uma amostra aleatria simples de tamanho 25 foi selecionada para estimar a mdia A mdia amostral encontrada foi de 4,2 e a

Prof. Vtor Menezes

Resoluo.

Temos um exerccio de intervalo de confiana para a varincia.

Na aula passada, estudamos como construir intervalos de confiana para a mdia e para a proporo.

Agora que j estudamos a distribuio de quide confiana tambm para a va

O tamanho da amostra foi 25.

A varincia amostral foi 1,44.

Sabemos que a varivel =2de liberdade.

Substituindo o valor de n:

Tem distribuio de qui-quadrado com 24 graus de liberdade.

Abaixo segue o grfico para a fdp da distribuio de quiliberdade (gerado com o excel).

Note como o grfico j tem uma assimetria menor que aquele com 4 graus de liberdade, apresentado durante a parte terica.




rvalo de confiana para a varincia.

Na aula passada, estudamos como construir intervalos de confiana para a mdia e para a

Agora que j estudamos a distribuio de qui-quadrado, temos condies de fazer intervalos de confiana tambm para a varincia populacional.

O tamanho da amostra foi 25.

25=n

44,12 =s

= 2

2)1(

sn tem distribuio de qui-quadrado com

=2 2

2)1(

sn

=2 2

2)125(

s

quadrado com 24 graus de liberdade.

Abaixo segue o grfico para a fdp da distribuio de qui-quadrado com 24 graus de liberdade (gerado com o excel).

ico j tem uma assimetria menor que aquele com 4 graus de liberdade, apresentado durante a parte terica.



AFRFB e AFT

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Na aula passada, estudamos como construir intervalos de confiana para a mdia e para a

quadrado, temos condies de fazer intervalos

quadrado com 1n graus

adrado com 24 graus de

ico j tem uma assimetria menor que aquele com 4 graus de liberdade,



AFRFB e AFT


Queremos descobrir valores que delimitam uma rea de 95%.

Consultando a tabela III, para 24 graus de liberdade, vemos que apenas 2,5% dos valores so superiores a 39,364.

Consultando a mesma tabela, para 24 graus de liberdade, vemos que 97,5% dos valores so superiores a 12,401. Portanto, 2,5% dos valores so inferiores a 12,401.

As duas reas amarelas da figura acima so iguais a 2,5%. As duas somadas valem 5%. Portanto a rea verde tem 95%.

Assim, em 95% dos casos a varivel 2 estar entre 12,401 e 39,364.

364,39401,12 2

364,39)1(401,12 22

sn

Substituindo 2s pelo valor especfico da amostra (1,44) ficamos com:

364,3944,1)125(4

aula 15 - testes de hipóteses

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