Aula 2 de Fenômemo de

transporte II

Cálculo de condução

Parede Plana

Parede Cilíndrica

Parede esférica

Cálculo de condução • Vamos estudar e desenvolver as equações da condução

em nível básico para regime permanente, unidimen-

sional em parede plana.

• Equação de Fourier.

A = área

2

1

1 2

0

1 2

Separando as variáveis, temos:

integrando

Fazendo T = e x = L, temos:

T T T ou ainda

xx

x

x

TL

x x

T

x x

dTq kA

dx

q dx kAdT

T Tq dx kA dT q kA

L

T T

q kA qL

kA kA

Cálculo de condução • Resistência Térmica.

• Circuito térmico. A “força motriz” que gera a taxa de transf. de calor

é o potencial térmico.

• Analogia com circuito elétrico.

• Na transferência de calor.

:

= intensidade da corrente elétrica.

U= = diferença de potencial elétrico.

resistência elétrica.

A B

e e

A B

e

V VUi

R R

Sendo

i

V V

R

A B Re

i

T1 T2

,

,

x

t c

t c

T T Tq

L x R

kA kA

L xR

kA kA

Cálculo de condução • Perfil de temperatura da parede plana.

• Após ter sido calculada a taxa de transferência de calor, pode-se

calcular o perfil de temperatura no sólido, em vez de integrar de 0 a

L e de T1 a T2. Agora se faz:

• Para x = 0 T = T1 e para um valor definido de x, T=T(x).

• Condição de regime permanente.

( )

1

( ) 1 ( ) 1

0

( ) 1

"

( ) 1

Portanto, temos:

q ou em termos de fluxo de calor, q"= , então:

Perfil de Temperatura (equação linear),

do ti

x

x

Tx

xx x x x

T

xx

x

q xq dx kA dT q x kA T T T T

kA

qT T x

kA A

qT T x

kA

po y = a - bx

Cálculo de condução • Parede Cilíndrica.

qr

Área = 2rL = dL

k

2r r

dT dTq kA q k rL

dr dr

Cálculo de condução. Parede cilíndrica

2 2

1 1

1 1

2 2

22 1

1

2 separando as variáveis, temos:

2 integrando nas CC.

1 para r = r T = T

r = r T = T

2 ln 2 ( )

r r

r

r T

r r

r T

dT dTq kA q k rL

dr dr

drq k LdT

r

CC

rdrq k L dT q kL T T

r r

q

1 2 1 2

2 2

1 1

2 1 2,

1 2

1

2 ( ) ( ) ou ainda então

1ln ln

2

( )1R ln em f(d)

2 1ln

r r

t

t cilindrica d

kL T T T T Tq

Rr r

r kL r

r T Tq

kL r d

kL d

Cálculo de condução • Perfil de temperatura da parede cilíndrica.

• Novamente vamos integrar passando os limites:

• Para r = r1 T = T1 e para r qualquer, tal que, r1 ≤ r ≤ r2 T = T(r).

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

2 ln 2 ( )

1( ) ln

2

ln fazendo q =2

ln perfil de temperatura2

r T

r r r

r T

r

r rr r

rr

dr rq k L dT q kL T T

r r

rT T q

kL r

q qrT T

kL r L

q rT T

k r

Cálculo de condução • Parede Esférica.

• Perfil de temperatura.

qr

A(r) = 4r2

2 2

1 1

2

2

1 2

2 1

,

1 2

4

integrando com os limites, temos:

4

1 14 ( )

1 1 1

4

r r

r T

r

r T

r

r

t esf

dT dTq kA q k r

dr dr

drq k dT

r

q k T Tr r

T Tq

R

k r r

( ) 1

1

1 1

4

rr

qT T

k r r

Cálculo de condução • Paredes Compostas.

• Circuito térmico – Analogia com circuito elétrico.

• Primeiramente vamos determinar a resistência térmica de

convecção.

• Circuito térmico.

,

,

( )( ) ou

1

Neste caso a resistência térmica de convecção é

1

p f

p f

t conv

t conv

T T Tq hA T T q

R

hA

RhA

Valores típicos do coeficiente de transferência de calor por

convecção.

Cálculo de condução • Parede Parede Plana em Série.

• Circuito térmico – Analogia com circuito elétrico.

• Vamos aplicar a equação:

Para quaisquer dois pontos que formam um trecho do circuito

térmico dado.

t

Tq

R

Circuito Térmico equivalente para uma parede composta em série

,1 ,4x

t

T Tq

R

1 4

1 1 1C totA Bt tot

A B C

L RL LR R

A h k k k h A

,t c

L xR

kA kA

Circuito Térmico equivalente para uma parede composta série-paralela.

a) Considera-se que

as superfícies

normais à direção

x sejam

idotérmicas.

b) Supõem-se que

as superfícies

paralelas à

direção x sejam

adiabáticas.

Resistência de Contato

• Em sistemas compostos, a queda de temperatura entre

as interfaces dos vários materiais podem ser

considerável.

• Essa mudança de temperatura é atribuída ao que é

conhecido por Resistência térmica de contato (Rt,cont).

,A B

tcx

T TR

q

t ct c

c

RR

A

,,

Resistência térmica de contato

depende:

Rugosidade superficial;

propriedades dos materiais;

pressão de contato e

tipo de fluído nos vazios.

Resistência térmica de contato para (a) interfaces metálicas sob condições de

vácuo e (b) Interface de alumínio (rugosidade superficial de 10 mm, 105 N/m2)

com diferentes fluídos interfaciais.

Resistência térmica em interfaces sólido/sólido representativas

Associação em série para parede cilíndrica

• A distribuição de temperatura associada à condução radial através

de uma parede cilíndrica é logarítmica, não linear.

2,

1

1R ln

2t cilindrica

r

kL r

t

Tq

R

Exercícios:

1) Considere uma parede plana composta constituída por dois materiais com

condutividade térmicas kA = 0,1 W/(m.K) e kB = 0,04 W/(m.K) e espessuras

LA = 10 mm e LB = 20 mm. A resistência de contato na interface entre os

dois materiais é conhecida, sendo 0,30 m2.K/W. O material A está em

contato com um fluído a 200 C com h = 10 W/(m2.K) e o material B está

em contato com um fluído a 40 C, no qual h = 20 W/(m2.K).

a. Descreva o circuito térmico do sistema.

b. Qual a taxa de transferência de calor para uma parede de 2 m de altura por

2,5 m de comprimento.

c. Calcule as temperaturas nas interfaces esboce a distribuição de

temperatura.

b) Calculando a resistência total do circuito térmico e q, temos:

c) Calculando as temperaturas nas interfaces, temos:

2) Na figura abaixo é mostrada um conjunto de paredes planas

composta.

a. Calcule o fluxo de calor unidimensional, permanente.

b. Determine a temperatura em todas a s interfaces.

Considere: Ab = Ac e ka = 170 W/(m.K), kb = 40 W/(m.K), kc = 55

W/(m.K) e kd = 80 W/(m.K).

a

b

c

d

2,5 cm 7,5 cm 5,0 cm

T = 370 C

q”

T = - 10C

3) Um aquecedor elétrico delgado é enrolado ao redor da superfície

externa de um longo tubo cilíndrico cuja superfície interna é mantida

a uma temperatura de 5 C. A parede do tubo possui raios interno e

externo iguais a 25 e 75 mm, respectivamente, e um condutividade

térmica de 10 W/(m.K). A resistência térmica de contato entre o

aquecedor e a superfície externa do tubo (por unidade de

comprimento do tubo) é R’t,c = 0,01 m.K/W. A superfície externa do

aquecedor está exposta a um fluído com T = - 10 C e com um

coeficiente convectivo de h = 100 W/(m2.K).

a. Esboce o circuito térmico do sistema.

b. Determine a potência do aquecedor, por unidade de comprimento

do tubo, requerida para mantê- lo a T0 = 25 C.

Resolução:

a) O Circuito térmico será:

b) A potência (q’) do aquecedor será: