Aula 2

Óptica geométrica

(reflexão e refração)

F-428: Física Geral IV

1

A frente de onda é o lugar geométrico dos pontos onde

Frente de onda plana:

Ondas eletromagnéticas planas no vácuo

E(r,t) = E0 sen (k . r - t)

k . r - t = constante

k x - t = constante para k = k x ^ ^

O vetor de propagação k

definirá a direção e

sentido do raio associado

na óptica geométrica.

2

Ondas eletromagnéticas em meios materiais

No vácuo

Em meios materiais

Em geral

t

tt

tt 2

tt 3

raios

frentes de onda

Permissividade de um meio linear:

= 0 (1 + e) , P = e0 E (polarização)

Permeabilidade de um meio linear:

= 0 (1 + m) , M = m H (magnetização)

(r) (r) v(r) =

1

Índice de refração:

0 0

= > 1 (em geral, depende de )

c > v

0 0

1

= c

1 = v

v

c n

3

Óptica geométrica Reflexão e refração

1v

2v

Índice de refração

http

://ww

w.p

hy.n

tnu

.ed

u.tw

/ntn

ujava/view

top

ic.ph

p?t=3

2

Óptica geométrica: propagação retilínea da luz

em meios isotrópicos, homogêneos e lineares

pode ser descrita em termos de raios ou feixes.

Distâncias d envolvidas » .

> 1 (não vale quando há dispersão anômala)

raio refletido raio incidente

raio

refratado

plano de

incidência

definido pela

normal à interface

e pelos vetores k

kr ki

kt

t

r i

n1

n2

^ ^ n

^ ^ n

v

c n

4

reflexão especular

Lei da reflexão

i r

r i =

AD

t v

AD

BD i

1 sen = = AD

t v

AD

AC r

1 sen = =

5

Grécia antiga

especular x difusa

Tipos de reflexão

6

reflexão especular IR

5 µm em lago de

hidrocarbonetos

(metano, etano e

propano) em Titan

(satélite de Saturno)

http://en.wikipedia.org

/wiki/Lakes_of_Titan

Sahl 984, Snell 1621 (não publicado),

Descartes 1637 (c = ),

Fermat 1661 (princípio de Fermat:

percurso de tempo mínimo)

1v

2v

onde

i

t

i

i v

c n

2 2 1 1 sen sen n n =

Lei da refração

7

AD

t v

AD

BD i i

= = sen

AD

t v

AD

AE t t

= = sen

i =

1

t =

2

Derivação através de tratamento ondulatório

n1 sen i = n2 sen t

raio ou feixe incidente: Ei (r,t) = Ei0 sen (ki .r - t)

raio ou feixe refletido: Er (r,t) = Er0 sen (kr .r - t)

raio ou feixe refratado / transmitido: Et (r,t) = Et0 sen (kt .r - t)

Na interface de separação z = 0: r = r + r , Ei (r,t) + Er (r,t) = Et (r,t)

como deve valer (r com z = 0,t) Ei0

+ Er0

= Et0 , ki .r = kr .r = kt .r

Como (ki , kr , kt , r , ) estão no mesmo plano (plano de incidência)

ki sen i = kr sen r = kt sen t

Mas ki = kr = /v1 = n1/c , kt = /v2 = n2/c kr ki

kt

t

r i

n1

n2

refletido incidente

refratado

i = r

Amplitudes determinadas pela continuidade de E , B , E e B/ .

r r

^ ^ n

^ ^ n

Leis da reflexão e da refração

8

21nn

12

21

nn

1

2

1

2 sen sen

n

n =

Lei da refração (Snell-Descartes)

9

12

21

nn

1

2

1

2 sen sen

n

n =

Lei da refração (Snell-Descartes)

12

21

nn

10

Curiosidades

vidro com mesmo n

do tetracloroetileno (C2Cl4):

não há reflexão e/ou refração

(vidro imerso se torna invisível)

por que o homem invisível seria

cego?

metamateriais (índice de refração n < 0) microondas em Fe, Ni, Co na presença de campo magnético

J. B. Pendry, D. R. Smith, Phys. Today 57(6), 37 (2004).

http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.

php?artigo=indice-negativo-refracao-metais

numa piscina preenchida

com líquido de n < 0 seria

possível ver o canto oculto

Refração

11

Reflexão interna total e ondas evanescentes: Feynman Lectures on Physics, vol.II, seção 33-6

ondas evanescentes com

decaimento exponencial

em distâncias da ordem

de da interface ar-água

Reflexão interna total

12

Se a incidência se dá de um meio mais refringente para outro

menos refringente, ou seja, , há um ângulo crítico

acima do qual só há reflexão. 21

nn

n1

n2

n1 > n2

c

1

2

= -

1

2 1 sen n

n c

2 2 1

2 sen sen n n n

c = =

p

2 2 1 1 sen sen n n =

Reflexão interna total

13

Aplicação: fibras ópticas

Reflexão interna total

14

vava nn 22

Dependência com ou : )(nn =

luz branca Em geral,

12

211

i

ii nn

E(r,t) = E(k) sen (k . r - t) k ()

)()(se 2121 nn

1

2

1 2 sen sen

i

i i

n

n = Dispersão cromática

15

)()(se 2121 nn Em geral,

12

21 1

i

ii nn

vava nn 22

12

211

i

ii nn

vava nn 11

luz branca k ()

Dependência com ou : )(nn = E(r,t) = E(k) sen (k . r - t)

1

2

1 2 sen sen

i

i i

n

n = Dispersão cromática

16

Formação do arco-íris

~ 42°

Dispersão cromática

17

arco-íris

principal

arco-íris

secundário

Formação do arco-íris

Dispersão cromática

18

Cachoeira da Fumaça – Jalapão, TO – julho/2011

arco-íris

principal

arco-íris

secundário

Formação do arco-íris

Dispersão cromática

19

Arco-íris: faixa escura de Alexandre (de Aphrodisias)

http:www.flickr.com/photos/28255146@N00/9804840606

http://www.coffeeshopphysics.com/articles/2011-10/30_the_discovery_of_rainbows/

http://www.nature.com/scientificamerican/journal/v236/n4/pdf/scientificamerican0477-116.pdf

Dispersão cromática

20

A luz refletida por uma interface

é totalmente polarizada na direção

perpendicular ao plano de incidência

quando ocorre

Então

: ângulo de Brewster

n2

n1

r

t

i =B

= 2

p t B =

2

p t r

1

2 1 tg n

n B i

- =

Polarização por reflexão

- = i i

n n p

2

sen sen 2 1

1

2 tg n

n i

= B

21

Espalhamento = absorção + reirradiação

Terra: céu azul, crepúsculo vermelho Marte: céu vermelho, crepúsculo azul

Composição da atmosfera terrestre: 78% N2 , 21% O2 (ressonância em UV)

Composição da atmosfera marciana: 96% CO2 , 2,1% Ar , 1,9% N2 (ressonância em IR)

onda incidente não

polarizada pode ser

decomposta em duas

componentes ortogonais

onda espalhada é

parcialmente polarizada

não há E vertical

não há E horizontal

Polarização por espalhamento

k e E devem ser ortogonais

k

k

22

Lentes: refração de radiação por diversas interfaces

Curiosidade: lente gravitacional

Cruz de Einstein

Miragem astronômica: imagem quadruplicada do

quasar QSO 2237+0305 localizado atrás da lente de

Huchra ZW 2237+030

http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_Cross

prismas como

lente convergente prismas como

lente divergente

Refração da luz: aplicações

23

24

Miragem de refração (virtual)

2211sinsin nn =

25

Miragem de refração (virtual)

26

Miragem de refração (virtual)

Miragem de imagem (real)

27

http://courses.umass.edu/plecprep/optics/6a2035.html 28

Miragem de imagem (real)

http://www.optigone.com/m2000.htm

29

Miragem de imagem (real)

• Óptica geométrica: d » , ondas planas descritas como feixes/ raios em meios isotrópicos, homogêneos e lineares.

• Lei da reflexão:

• Lei da refração (Snell-Descartes):

• Reflexão interna total (ângulo crítico):

• Polarização por reflexão (ângulo de Brewster):

i = r

2 1 2 sen n 1

sen n =

=

- 2 1 sen

n

n c

= -

1

2 1 tg

n

n B

i

=

30

2 2 1 2

sen sen n n n c

= = p

-

i

p

2 2 1 sen sen n n

i =

1

Resumo da 2ª aula

Problema 7 (Cap.33; Ex.53)

Na Fig. 33-57 um raio incide em uma das faces de um prisma triangular de vidro imerso no ar. O ângulo de incidência é escolhido de tal forma que o raio emergente faz o mesmo ângulo com a normal à outra face. Mostre que o índice de refração n do vidro é dado por:

n=

sen1

2(ψ+Φ)

sen1

2(Φ)

Onde é o ângulo do vértice superior do prisma e é o ângulo de desvio, definido como o ângulo entre o raio emergente e o raio incidente. (Nessas condições, o ângulo de desvio tem o menor valor possível, que é denominado ângulo de desvio mínimo).

θ

ψ

θ

Φ

No ar n = 1 senθ= n senα→n=

senθ

senα

Do triângulo temos:

θ= α+ψ

2→θ=

ϕ

2+ψ

2

β+ ψ/2+β+ ψ /2+Φ= 180º→α=ϕ

2

α+ ψ/2+β= 90→β= 90− α− ψ/2

Substituindo temos:

Problema 7 (Cap.33; Ex.55)

n=

sen1

2(ψ+Φ)

sen1

2(Φ)

Φ

Φ

Ondas eletromagnéticas

Problema 8 (Cap.33; Ex.55)

Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da

superfície de uma piscina. Calcule o diâmetro do

círculo, na superfície, através do qual a luz emerge

da água.

Uma fonte luminosa pontual está 80,0 cm abaixo da superfície de uma piscina.

Calcule o diâmetro do círculo, na superfície, através do qual a luz emerge da água.

d

R

h

2/122 Rdh

m0,8d

=

=

ararcOH nnn == 90sensen2

1/222 )R(d

R

h

R752,0

33,1

1sen

2

====OH

arc

n

n

)565,01(R),80(565,0R)R(d565,0 22222 -==

cm182D

m1,8242RD;m0,912R832,0R2

=

Na Figura, um raio luminoso que estava se propagando inicialmente no ar incide em um material 2 com um índice de refração n2 = 1,5. Abaixo do material está o material 3, com um índice de refração n3. O raio incide na interface ar – material com o ângulo de Brewster para essa interface e incide na interface material 2 – material 3 com o ângulo de Brewster para essa interface. Qual é o valor de n3?

Problema 9 (Cap.33; Ex.66)

θ1

θ2

β

(ar)

n2

n3

Pela definição do ângulo de Brewster nas duas interfaces:

1

321

2

32

1

21

)tan()tan( :seja ou

)tan(;)tan(

n

n

n

n

n

n

=

==

)(ar também1 :ou;1 : logo

)tan(

1)tan(

2 :mas

3

1

3

1

212

==

=-=

nn

n

p

θ2

1n