Aula 2 – Sistemas de Numeração...

Anderson Moreira Arquitetura de Computadores 1

Aula 2 – Sistemas de Numeração (Revisão)

Anderson L. S. [email protected]

http://dase.ifpe.edu.br/~alsm


O que fazer com essa apresentação

Anderson Moreira Arquitetura de Computadores

Agenda

• Breve revisão da aula anterior• Introdução• Sistemas de Numeração• Conversão de Bases• Representação de números• Exemplos


Breve evolução dos componentes

Válvula

Transistores

Circuito Integrado


Evolução dos processadores


Introdução

• Não tem como fugir:– Matemática Computação

• Com Arquitetura de Computadores o sistema se torna o mesmo:– Tudo depende em parte de sistemas matemáticos de estudo;

• Porém qual o método mais prático de contagem?


Introdução

• No início utilizou-se o sistema de correspondência um-para-um, para cada objeto e os dedos das mãos;

• Aprimoramento foi o uso de traços:

• Os primeiros algarismos encontrados consistiam de marcas horizontais e verticais (como os acima). Podemos considerar os romanos como a evolução dos traços:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

• Além disso utilizou uma série de regras para formar números de grandeza maior:VI = 5+1 = 6 IV = 5-1 = 4 CXVI = 100+10+5+1 = 116


Introdução

• A realização de cálculos com esse sistema, especialmente para operações como multiplicação e divisão era extremamente complexa e de aplicação praticamente impossível:

Exercício 1 – Procurar como realizar operações matemáticas com algarismos romanos.

• Posteriormente os árabes utilizaram-se de um sistema originário da Índia, que possuía 10 algarismos (0 a 9)


Introdução


Introdução

• Esse sistema começou a ser utilizado na Europa no século 12. Destaca-se pelas seguintes características:

– Existe um símbolo para o valor nulo;– Cada algarismo utilizado é uma unidade maior que seu

predecessor;– A notação é posicional;– Cada posição possui um determinado peso.


Representação de números

• Os sistemas atuais formam os números pela fórmula a seguir, onde a representa o número propriamente dito; B representa a base do sistema de numeração (B >= 2); xi representa os algarismos (0 ≤ xi ≤ B); e o intervalo de –m a n-1 representa o número de posições utilizadas. Com B=10 tem-se o sistema decimal.

∑−

−=

⋅=1

)(n

mi

ii Bxa


Representação de números

• Para os sistemas de numeração utilizam-se as seguintes regras:– A base B de um sistema é igual à quantidade de algarismos

distintos utilizados. Para a base decimal, tem-se 10 algarismos distintos (de 0 a 9);

– Quando uma posição é ocupada pelo maior algarismo e ela deve ser aumentada de uma unidade, esta posição recebe o símbolo nulo e a posição seguinte deve ser aumentada de uma unidade;

– O algarismo mais à direita (digito menos significativo) tem peso 1, o imediatamente a esquerda tem peso B, o seguinte peso B ao quadrado e assim sucessivamente;

– O valor de cada algarismo de um número é determinado multiplicando-se o algarismo pelo peso de sua posição;

– O valor de um número é determinado pela soma dos valores de cada algarismo.


• Os computadores manipulam dados (sinais brutos e sem significado individual) para produzir informações.

• A conversão de dados em informações, e estas novamente em dados, é uma parte tão fundamental em relação ao que os computadores fazem que é preciso saber como a conversão ocorre para compreender como o computador funciona.

• Infelizmente os computadores não usam nosso sistema de numeração.

A Informação e sua Representação


Sistema de Numeração

• Conjunto de símbolos utilizados para representação de quantidades e de regras que definem a forma de representação.

• Cada sistema de numeração é apenas um método diferente de representar quantidades.

• As quantidades em si não mudam, mudam apenas os símbolos usados para representá-las.

• A quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração é chamada de base.

• Representação numérica mais empregada: notação posicional.

A Informação e sua Representação


Não Posicionais Valor atribuído a um símbolo é inalterável,

independente da posição em que se encontre no conjunto de símbolos que representam uma quantidade.

Sistema de numeração Romano

XXI XIX

10 10 1 10 1 10

Sistemas de Numeração


Posicionais Valor atribuído a um símbolo dependente da posição

em que se encontre no conjunto de símbolos que representa uma quantidade.

Sistema de Numeração Decimal

5 7 3 3 5 7

500 70 3 300 50 7



• Sistema de numeração – código• Operação básica – contagem• Grupo com um determinado número de objetos –

base (raiz)

• Sistemas de numeração básicos:– Decimal– Binário– Octal– Hexadecimal



Exemplos de Sistemas de Numeração

Sistema Base Algarismos

Binário 2 0,1

Ternário 3 0,1,2

Octal 8 0,1,2,3,4,5,6,7

Decimal 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Duodecimal 12 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B

Hexadecimal 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Como os números representados em base 2 são muito extensos e, portanto, de difícilmanipulação visual, costuma-se representar externamente os valores binários emoutras bases de valor mais elevado (octal ou hexadecimal). Isso permite maiorcompactação de algarismos e melhor visualização dos valores.



Padrões de Representação

• Letra após o número para indicar a base;• Número entre parênteses e a base como um

índice do número.

• Exemplo: – Sistema Decimal – 2763D ou (2763)10

ou 276310



• Sistema mais utilizado.

• 10 símbolos para representar quantidades.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

• Peso – representar quantidades maiores que a base.

• Peso trouxe: unidade, dezena, (dez unidades), centena (cem unidades), milhar (mil unidades), dezena de milhar, centena de milhar, etc.

• Exemplo: 2574 é composto por 4 unidades, 7 dezenas, 5 centenas e 2 milhares, ou 2000 + 500 + 70 + 4 = 2574

Sistema Decimal (Base 10)



• Utiliza dois símbolos para representar quantidades.

0 e 1

• Segue as regras do sistema decimal - válidos os conceitos de peso e posição. Posições não têm nome específico.

• Cada algarismo é chamado de bit. Exemplo: 1012

• Expressão oral - diferente dos números decimais. – Caractere mais à esquerda - Most-Significative-Bit -

“MSB”. – Caractere mais à direita - Least-Significative-Bit - “LSB”.

Sistema Binário (Base 2)



• Utiliza 8 símbolos.

0 1 2 3 4 5 6 7

• Exemplo: 5638

• Expressão oral - similar ao sistema binário.

Sistema Octal (Base 8)



• Possui 16 símbolos (algarismos) para representar qualquer quantidade.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

• Uso das letras - facilidade de manuseio.

• Exemplo: 5A316

• Expressão oral - similar ao sistema binário.

Sistema Hexadecimal (Base 16)



Ao trabalhar com sistemas de numeração, em qualquer base, deve-se observar o seguinte:

• O número de dígitos usado no sistema é igual à base.• O maior dígito é sempre menor que a base.• O dígito mais significativo está à esquerda, e o menos

significativo à direita• Um “vai-um” de uma posição para outra tem um peso

igual a uma potência da base.• Em geral se toma a base decimal como referência.



Decimal Binário Octal Hexadecimal 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9

10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.



Conversão entre Sistemas de Numeração• Procedimentos básicos: - divisão

(números inteiros) - polinômio- agrupamento de bits

OCTAL



• Divisão (Decimal outro sistema)

– Divisão inteira (do quociente) sucessiva pela base, até que resto seja menor do que a base.

– Valor na base = composição do último quociente (MSB) com restos (primeiro resto é o bit menos significativo - LSB)

Conversão entre Sistemas de Numeração



• Divisão (Decimal outro sistema)

• Dividir o número por b (base do sistema) e os resultados consecutivas vezes.

Ex.: (125)10 = (? )2 (538)10 = (? )16




Notação Polinomial ou Posicional

• Válida para qualquer base numérica.

• LEI DE FORMAÇÃO(Notação ou Representação Polinomial):

Número =

an = algarismo, b = base do númeron = quantidade de algarismo - 1

00

22

11 . . .babababa n

nn

nn

n ++++ −−

−−




Ex.:

a) (1111101)2 = (? )10

b) (21A)16 = (? )10

(21A)16 = 2x162 + 1x161 + 10x160 = 53810

(1111101)2 = 1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 12510




Agrupamento de Bits

• Sistemas octal e hexa binário (e vice versa)• associando 3 bits ou 4 bits (quando octal

ou hexadecimal, respectivamente) e vice-versa.

Ex.: (1011110010100111)2 = ( ? )16 (A79E)16 = ( ? )2




Conversão octal hexadecimal

• Não é realizada diretamente - não há relação de potências entre as bases oito e dezesseis.

• Semelhante à conversão entre duas bases quaisquer - base intermediária (base binária)

• Conversão em duas etapas:1 - número: base octal (hexadecimal) binária.2 - resultado intermediário: binária hexadecimal (octal).




Ex.:

a) (175)8 = ( ? )16

(175)8 = (1111101)2 = (7D)16

b) (21A)16 = (? )8

(21A)16 = (001000011010)2 = (1032)8




Conversão de Números Fracionários

• Lei de Formação ampliada (polinômio):


Exemplo: (101,110)2 = ( ? )10

1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 +1 × 2-1 + 1 × 2-2 + 0 × 2-3 = (5,75)10



Conversão de Números Fracionários

• Operação inversa: multiplicar a parte fracionária pela base até que a parte fracionária do resultado seja zero.

♦ Decimal outro sistema

Exemplo: (8,375)10 = ( ? )2



• Mostre que:

– 5,810 = 101,11001100... 2 (uma dízima).

– 11,610 = 1011,10011001100... 2• a vírgula foi deslocada uma casa para a

direita, pois 11,6 = 2 x 5,8 .



• Uma caixa alienígena com o número 25 gravado na tampa foi entregue a um grupo de cientistas. Ao abrirem a caixa, encontraram 17 objetos. Considerando que o alienígena tem um formato humanóide, quantos dedos ele tem nas duas mãos?



• Solução:1710 = 25b17 = 2xb1 + 5xb0

17 = 2b + 5b = (17-5)/2 b = 6



• Elabore um programa que realiza conversões entre sistemas de numeração, conforme descrição apresentada na figura abaixo.



Como um computador “identifica” que um número é negativo?



• A resposta a esta pergunta é que isso depende da convenção usada na representação de números.

• As convenções mais usuais são as seguintes :

– Representação de grandeza com sinal (sinal e magnitude)

– Representação em complemento de 2



Exemplo : (8 bits)

001010012 = 4110

11010111c2 = - 4110

Exemplo : (8 bits)

000011002 = 1210

11110100c2 = -1210

Representação de números inteiros positivos– igual à representação usual já apresentada

Representação de números inteiros negativos– mantém-se os bits menos significativos da direita para a esquerda

até à ocorrência do primeiro bit igual a 1 (inclusive), sendo os bits restantes complementados de 1.

– Esta operação equivale a: complemento de 1 + 1.

Representação de Números Inteiros (Complemento de 2)


♦ Exemplo: Números inteiros codificados em binário de 8 bitsem um sistema que utiliza complemento de 2:

(-128, -127, ..., -2. -1, 0, +1, +2,..., +127)

{10000000, 10000001, ..., 11111110, 11111111, 00000000,

00000001, 00000010, ..., 01111111}

♦ Bit mais significativo informação de sinal (0 = positivo e 1 = negativo)



Requer um só circuito (somador) para fazer a adição e a subtração.

Há apenas uma representação para o valor 0 (disponibilidade para mais uma representação) - mais um número negativo pode ser representado (para 8 bits, pode-se representar o número –12810 ⇒100000002) .

A quantidade de números positivos é diferente da quantidade de números negativos.



Exemplo:

Escreva os números decimais abaixo na representação em complemento de 2 (utilizando 8 bits, se existir representação).a) -1b) –20c) –127 d) –128



• Até meados dos anos 1980, cada fabricante de computador tinha seu próprio formato para representar números em ponto flutuante.

• Solução: criação do Padrão 754 (IEEE 1985).

• O Padrão IEEE 754 procurou uniformizar a maneira como as diferentes máquinas representam os números em ponto flutuante, bem como devem operá-los.

• O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) flutuante é a representação mais comum para números reais em computadores de hoje, incluindo PC's compatíveis com Intel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux.

Representação de Números Reais


O padrão IEEE 754 define três formatos:

• Precisão simples (32 bits)• Precisão dupla (64 bits)• Precisão estendida (80 bits)

• Os formatos de precisão simples e precisão dupla usam a base 2 para o significando e a notação em excesso para o expoente.

O Padrão IEEE 754 para Números em Ponto Flutuante


Bits 1 8 23

Significando

Sinal Expoente

Bits 1 11 52

Significando

Sinal Expoente

Precisão simples

Precisão dupla



• Sinal: 0 = + e 1 = -• Combinações: Sinal + Expoente + Significando• Notação em excesso de 127 (bit de polarização): precisão

simples.• Notação em excesso de 1023 (bit de polarização): precisão

dupla.

Precisão Sinal Expoente(+/-) Significando

Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00]

Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00]


Anderson Moreira Arquitetura de Computadores José Delgado ©

Grandes números

Símbolo Lê-se Equivale a

Valorbinário Valor decimal Valor decimal

aproximado

Factor multiplicador :1024

K Kilo 1024 210 1 024 103

M Mega 1024 K 220 1 048 576 106

G Giga 1024 M 230 1 073 741 824 109

T Tera 1024 G 240 1 099 511 627 776 1012

• Utilizam-se mais frequentemente para expressar a capacidade de memória de um computador (em bytes). Exemplos: 512 MB, 40 GB, 2 TB.

Anderson Moreira Arquitetura de Computadores José Delgado ©

Cálculo de potências de 2

Potência 2 Decomposição Ou seja… Resultado

212 1K * 4210 * 22

220 64K * 16216 * 24 1M

4K214

227

64K / 4216 / 22

1M * 128220 * 27

16K128M

230

220

1M * 1K220 * 210

1K * 1K210 * 210

1G

1M


Essencial saber!

• O computador é a verdadeira “caixa que mudou o mundo”, mas não por mérito próprio;

• Computador executa cegamente as instruções que lhe dão sem saber o que está fazendo;

• A inteligência aparente de alguns programas é apenas do programador;

• O código de máquina consiste numa seqüência de instruções básicas que o computador sabe executar diretamente e que refletem diretamente os recursos internos que o processador dispõe;

• Os computadores atuais atuam utilizando a base binária com apenas dois símbolos: 1 e 0. Não entendem a linguagem natural;

• É preciso converter nossas idéias em código de máquina.


Exercícios

Considere o número A3F9 C05BH.

a) Quantos bits são necessários para o representar?

b) Em complemento para 2 com 32 bits, é positivo ou negativo?

c) Determine o seu complemento para 2 (apresente-o em hexadecimal).


Exercícios

1. Que gama de números em decimal é possível representar em binário com 12 bits:

a) sem sinalb) em complemento para 2? Justifique.

2. Indique a que número decimal corresponde o número binário 1100111001B, supondo que este:

a) não tem sinalb) está em complemento para 2.

3. Considere o número decimal –20. Represente-o:a) em complemento para 2 com 8 bits (binário)b) em hexadecimal com 2, 4 e 8 dígitos.


Exercícios

4. Qual o maior e o menor número que consegue representar com 8 dígitos em hexadecimal?a) sem sinalb) em complemento para 2?

5. Quantos bits no total têm 12 Kbytes (resposta em decimal) ?

6. Qual o valor do expoente da potência de 2 equivalente a K, M, G e T?

7. Utilizando estes factores de escala, indique o valor das seguintes potências de 2 (exemplo: 214 = 16 K): 226, 219, 238, 245.


Dúvidas

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