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Aula 2 – Sistemas Discretos
Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva
www.cear.ufpb.br/juan
1
Universidade Federal da Paraíba – UFPB Centro de Energias Alternativas e Renováveis - CEAR
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica – PPGEE
Objetivos
• Objetivo Geral:
Revisão de análise sistemas discretos
Revisão de Conversores A/D
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT)
Revisão de análise de sinais periódicos em não periódicos
Teorema da Amostragem e Recuperação do Sinal
Transformada de Fourier
Transformada Discreta da Fourier
2
Sistemas de Controle Discreto
3
( )pG s
( )cG z( )pG s
Ts=1/fs
ZoH
Função de Transf. do Controlador
Sistema de Controle de Temperatura
Interface e D/A
Modulação PWM
Sensor
Atuador
Protocolos, RS232, RS 485, OPC
CLP
Modulação PWM
Sensor
Atuador
Protocolos, RS232, RS 458, OPC
Computador
Sistema de Controle de Temperatura
Interface e D/A
Sinais de Tempo Discreto
6
Tempo Discreto
Tempo Contínuo
x[n]
x(t)
t
n
Conversão Analógico/Digital
A/D
fsampling
#bits
Conversão de Sinais Analógico/Digital
• Componentes de um Conversor A/D
– Amostragem
– Quantização
– Codificação
7
• Amostragem de Sinais – Define-se uma frequencia de amostragem do switch
8
Ts
• Quantizador – O número de níveis de quantização é inversamente proporcional ao
número de bits.
9
Sinal Analógica Sinal Quantizada Erro de Quantização
Vmax
Níveis de Quantização
1,761 6* ( )SQNR Bits dB Relação Sinal a Ruído de Quantização
• Codificação – Codificação binaria dos níveis de quantização
10
Co
dif
icaç
ão
0101
Saída Digital
Taxa de comunicação Serial/Paralelo/Protocolos bps (bit per second)
Protocolos versus Taxa de Comunicação (bps)
11
Exemplo 1
( ) cos(2 ) cos( )
Para uma frequencia de amostragem
[ ] cos(2 ) cos 2
[ ] cos 2
[ ] cos
s
s
s
x t ft t
f
fx n fnT n
f
x n Fn
x n n
Frequencia digitals
fF
f
12
100 1000 /
20
0 :1: ( 1)
[ ] cos(2 )
s
s
Para f Hz f amostras s
N amostras
n N
x n fnT
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x(n
)
13
20N amostras
W sA janela do tempo de aquisiçãoé t N T
14
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
x(t
)
1sT ms
1000
1
s
s
amostrasf
s
T ms
W s
A janela de tempo de aquisiçãoé
t N T
W st N T
15
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t(s)
x(t
)
• Considerando-se que cada amostra tem “B” bits
• A taxa de transferência de dados através de uma comunicação
serial é dada por fsB
• janela de tempo de aquisição: tw
fsB
Sinal Discreta com “N” amostras
Transferência de dados por amostra (bps)
W s
W
s
t N T
tN amostras
T
1 byte = 8 bits 1 Kilobyte (KB) = 1024 bytes 1 Megabyte (MB) = 1024 kilobytes 1 Gigabyte (GB) = 1024 megabytes
Memória
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLIT)
16
Sistemas Invariantes de Tempo
Deslocamento na saída
Deslocamento na entrada
• Um sistema é invariante no tempo se para um deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um deslocamento no tempo na sinal de saída
0 0
17
( ) { ( )}y t T x t
0 0( ) { ( )}y t t T x t t
Representação de Sistemas Lineares e Invariantes (SLIT)
• Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo são descritos utilizando equações diferenciais com coeficientes constantes.
• Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância no tempo em cada operação.
18
0 0
( ) ( )k kN M
k kk kk k
d y t d x ta b
dt dt
Exemplo – Sistema Mecânico
19
2
2( )
y ym b ky u t
t t
Equação Diferencial
0
1
tempo (s)0
tempo (s)
0
1
tempo (s)0
tempo (s)
x(t-t0)
x(t)
y(t-t0)
y(t)
É um sistema Invariante no tempo
Exemplo: Motor de Corrente Continua
20
Controle de velocidade para uma ampla faixa
de valores acima e abaixo do valor nominal;
É possível acelerar, frear e reverter o sentido
de rotação de forma rápida;
Não está sujeito à harmônicos e não
possui consumo de potência reativa;
Permite variar a sua velocidade mantendo seu
torque constante;
Possui um alto conjugado de partida, que
também conhecido como torque ou força de
arranque;
Os conversores necessários para o seu
controle são menos volumosos
Possui maior manutenção devido aos desgastes
entre as escovas com o comutador, exceto para os
motores brushless;
Em relação aos motores de indução CA de mesma
potência possuem um preço e tamanho maiores;
Por causa da centelha que ocorre entre suas
escovas e os comutadores, com exceção dos
motores brushless, os motores de corrente contínua
não podem operar em ambientes explosivos.
Aplicações Típicas de Motor CC
• Máquinas de Papel
• Bobinadeiras e desbobinadeiras
• Laminadores
• Máquinas de Impressão
• Extrusoras
• Prensas
• Elevadores
• Movimentação e Elevação de Cargas
• Moinhos de rolos
• Indústria de Borracha
• Mesa de testes de motores
21
Modelagem de um Motor CC
22
Modelagem elétrica
Modelagem mecânica
Modelagem Elétrica
23
Inicialmente é construída o modelo do equivalente elétrico da armadura:
Quando a armadura está girando é induzida nesta uma tensão proporcional ao produto do fluxo e da velocidade angular.
Modelagem Elétrica
24
Em seguida tem-se o circuito equivalente completo do motor com campo separado.
Modelagem Elétrica
25
Corrente em função da diferença da tensão terminal aplicada e a contraforça eletromotriz de armadura.
Modelagem Elétrica
26
Modelagem Mecânica
27
28
Modelagem Mecânica
29
Modelagem Completa Elétrica-Mecânica
Controle da velocidade do motor em função da tensão terminal do motor de corrente contínua.
input
output
30
Parâmetros para simulação
Ra=7.9969 La=172.4836e-3 J=11.983398e-3 B=2.77315e-3 kw=0.521149 kt=0.521149 TL = 0
31
Resposta do Modelo do Motor CC a uma entrada Degrau
Tensão +
motor
modelo
Erro do Modelo
32
Tensão
motor
modelo
Constante de Tempo Sistema de primeira ordem (aproximadamente) 63%*1,8 = 1,13
33
Resposta do Modelo do Motor CC a uma entrada Impulso
Tensão
motor
modelo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
1
2
3
4
5
6Impulse Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
Resposta ao impulso finito Sistema que depende somente das entradas atuais e passada (causal) 0
34
Resposta em Frequência do Modelo do Motor CC
Tensão
motor
modelo
_( )
_ ( )
Velocidade RotaçãoFT f
Tensão Entrada f
Análise da Função de Transferência no domínio da Frequência
Frequência Variável
35
Resposta em Frequência do Motor CC
-30
-20
-10
0
10
Magnitude (
dB
) System: sys
Frequency (rad/s): 0.115
Magnitude (dB): 4.97
System: sys
Frequency (rad/s): 3.07
Magnitude (dB): 1.97
10-1
100
101
102
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
w
=-3 dB
2 f
Análise de Sinais e Sistemas Contínuos
Tempo-Frequência
36
Análise de Sinais no Tempo
37
Outliers
Transitórios Média Móvel
Histogramas
• A Serie de Fourier permite descompor um sinal periódico x(t), em um conjunto de ondas sinusoidais com frequências k0 denominados “harmónicos”
38
t (seg)
0
20
30
40
( ) ojk t
k
k
x t a e
Análise na Frequência Sinais Periódicos
• Decomposição da Serie de Fourier
39
2o
o
T
0 0 0 02 2
2 1 0 1 2
( )
( ) ... ...
ojk t
k
k
j t j t j t j t
x t a e
x t a e a e a a e a e
0
1( )
oo
Tjk t
k
o
a x t e dtT
Combinação Linear de Harmónicos
Cálculo de Coeficientes
Sinais Periódicos
0
0
x(t)A
Acos()
T0=2/w
0
• Cada elemento da somatória da Serie de Fourier, define uma harmónica, com frequência ko
• ko define o sentido de giro e a frequência de cada armónica
40
ojk t
ka e
Sinais Periódicos
Decomposição de um sinal e Largura de Banda
• Largura de banda de um sistema pode ser definido como a faixa de valores de frequências em que o sistema responde a sinais de entrada
41
( ) ojk t
k
k
x t a e
t(s)
42
Sinais Não Periódicos
• Para um sinal não periódico x(t):
Pode-se construir um sinal periódico , assumindo-se que x(t) sejá periódico quando To
( )x t
43
• Para To , x(t)
• Para To , o0
• Baseada nestas considerações, a somatória é transformada para uma operação integral, definindo-se a TRANSFORMADA DE FOURIER
1( ) ( )
2
( ) ( )
j t
j t
x t X e d
X x t e dt
( )x t
( ) ojk t
k
k
x t a e
( ) ( )
F
x t X Notação:
Sinais Não Periódicos
Representação de Sistemas usando a Transformada de Fourier
44
( )h t
( )X ( )Y
( )H
Transformada de Fourier
Função de
Transferência
45
( )X ( )Y
( )H
Função de
Transferência
( )( ) ( ) j XX X e
( )( ) ( ) j HH H e
( )( ) ( ) j YY Y e
( )( )
( )
YH
X
Función de Transferencia
Magnitude da Transformada de Fourier
46
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
j H j X
j H j X
Y H e X e
Y H X e e
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
YH Y H X
X
| ( ) | | ( ) || ( ) |Y H X
( ) ( ) ( )Y H X
Magnitude e Fase do sinal de saída do Sistema
Fase da Transformada de Fourier
Exemplo: Resposta em Frequência de um Circuito RC
• Circuito RC Resposta em Frequência
47
1/ 1 1( )
1/ 1 1
j CH
R j C RCj j
1
j C
RC Constante de tempo
Função de Transferência
48
1
j C
1/ 1 1( )
1/ 1 1
j CH
R j c Rcj j
0.1 1( ) | ( ) | 0.995 20 | ( ) | 0.04
0.1 1
1 1( ) | ( ) | 0.7071 20 | ( ) | 3
1 1
10 1( ) | ( ) | 0.0995 20 | ( ) | 20
10 1
H H Log H dbj
H H Log H dbj
H H Log H dbj
Exemplo: Resposta em Frequência de um Circuito RC
Magnitude e Fase do Sistema
49 Prof. Juan Mauricio
Teorema da Amostragem e Reconstrução de Sinais
50
51
Sinal no tempo continuo
Função de amostragem
Sinal amostrado no tempo discreto
2s
T
Amostragem (Sampling)
1sf
T
• O sinal amostrado pode ser representado como um trem de impulsos ponderados com período T
52
( )p
n
x t x nT t nT
Amostragem (Sampling)
• Considerando que o espectro de Fourier do sinal x(t) é:
Com frequência máxima de M
53
Análise da Amostragem na Frequência
• Ao realizar a amostragem do sinal x(t), o resultado na frequência é equivalente a replicar o espectro original em múltiplos da frequência de amostragem s
54
Análise da Amostragem na Frequência
1( )X
T
1( )sX
T
1( 2 )sX
T
• O espectro do sinal amostrado xp(t) é representado por Xp()
55
( )p
n
x t x nT t nT
Sequência Amostrada no Tempo
Sequência Amostrada na Frequência
Análise da Amostragem na Frequência
1
( )p s
k
X X kT
1( )X
T
1( )sX
T
1( 2 )sX
T
56
2
M s M
M s
M=Freq. Máxima
s=Freq. Amostragem
Condição para que não haja superposição de espectros
57
Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos
• Os filtros eletrônicos restringem o passo de alguns componentes de frequência.
( )( ) | ( ) | jH H e
Filtro Passa-Baixa
58
1c
RC
H(): Função de transferência do sistema c : Frequência de corte
59
Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos
A recuperação do espectro original X() pode ser realizada utilizando um filtro passa-baixa com frequência de corte:
2
Sc
Transf. Inversa de
Fourier
60
• Se:
“Efeito Aliasing”
• Neste caso existe superposição entre os espectros repetidos de X()
2
s M M
s M
Efeito Aliasing (Superposição de Espectros)
61
• Define-se o Teorema da Amostragem:
– Se x(t) é um sinal de largura de banda limitada, X()=0 para ||>M.
– Então x(t) é únicamente determinada por suas amostras no dominio discreto x(nT), se:
22 :s M scom
T
12 :s M sf f com f
T
Teorema da Amostragem
62
• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possível reconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostras discretas.
Teorema da Amostragem
63
Reconstrução de Sinais
• A reconstrução de sinais, é o procedimento de recuperação do sinal analogico a partir das amostras do sinal.
• Este procedimento pode fazer uso de um filtro passa-baixo.
64
Reconstrução de Sinais
• fs≥2fmax
A frequência de corte do filtro passa-baixo é definida por
2
s
c
fB f
Recuperação do espectro do sinal original
65
Reconstrução de Sinais
• fs<2fmax
Perda da informação do sinal original Espectro original recortado
66
Transformada de Fourier Discreta (DFT)
Transformada de Fourier em Tempo Discreto
• Para um sinal discreta não periódico x[n], de tamanho L:
67
2, 0,..., 1
kk L
L
[ ] ( )Fx n X
1
0
( ) [ ] , 0,1,2,...., 1L
j n
n
X x n e k L
68
t
x(t)
A/D
fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem
n
x(n)
0 1 n
x(n)
0 1
N = número de amostras
N-1
Sinal amostrada utilizando um conversor Análogo para Digital
69
Exemplo 1: fs = 10 kHz Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras twindow = (N)*Ts=100*0.1ms = 10 ms
twindow
t
x(t)
A/D
fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem
n
x(n)
0 1 n
x(n)
0 1
N = número de amostras
N-1
70
1
0
( ) [ ] ,
20,1,2,...., 1,
Nj n
n
X x n e
kk N
N
fs = 10 kHz Ts = 1/fs = 0.1 ms (Período de amostragem) N = 100 amostras twindow = N*Ts=100*0.1ms = 10 ms
twindow
t
x(t)
A/D
fs = Frequência de amostragem (sampling) Ts = 1/fs = Período de amostragem
n
x(n)
0 1 n
x(n)
0 1 N-1
DFT
Exemplo de avaliação da DFT
L = 5 k = 0,1,2,3,4
71
4
0
42 /5
0
44 /5
0
46 /5
0
48 /5
0
0 0 (0) [ ]
21 (2 / 5) [ ]
5
42 (4 / 5) [ ]
5
63 (6 / 5) [ ]
5
84 (8 / 5) [ ]
5
n
j n
n
j n
n
j n
n
j n
n
k X x n
k X x n e
k X x n e
k X x n e
k X x n e
2, 0,..., 1
kk L
L
Módulo e Fase da DFT
72
0
1
2
3
4
0
42 /5
0
44 /5
0
46 /5
0
48 /5
0
0 0 (0) [ ] (0)
21 (2 / 5) [ ] (2 / 5)
5
42 (4 / 5) [ ] (4 / 5)
5
63 (6 / 5) [ ] (6 / 5)
5
84 (8 / 5) [ ] (
5
j
n
jj n
n
jj n
n
jj n
n
j n
n
k X x n X e
k X x n e X e
k X x n e X e
k X x n e X e
k X x n e X
48 / 5)j
e
• A resolução da frequência digital é dada como:
73
0
1
2
3
4
0 0 (0)
21 (2 / 5)
5
42 (4 / 5)
5
63 (6 / 5)
5
84 (8 / 5)
5
j
j
j
j
j
k X e
k X e
k X e
k X e
k X e
0
2
L
Resolução da Frequência Digital
Resolução
Definição da Transformada de Fourier Discreta
• A DFT para o sinal x[n], de tamanho N, é definido por:
• A DFT inversa é definido por
74
2, 0,..., 1
kk N
N
1
0
( ) [ ] , 0,1, 2, ...., 1N
j n
n
X x n e k N
1
0
1[ ] ( ) , 0,1,2,..., 1
Nj n
k
x n X e n NN
[ ] ( )Fx n X Notação:
Propriedades da DFT • Linearidade
• Deslocamento no tempo
75
1 1
Fx n X
2 2
Fx n X 1 2 1 2
Fax n bx n aX bX
0
0
j nFx n n e X
• Deslocamento na frequência
• Convolução
76
0j n F
oe x n X
h[n]x[n] y[n]
Fy n x n h n Y X H
k
y n x n h n x k h n k
Propriedades da DFT
Exemplo 2
77
• Para um sinal Sinusoidal s(t)=sin(2πft)
• Frequência do sinal f= 50Hz
• Frequência de amostragem fs=1000Hz
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1señal
Tamanho do sinal L = 20 amostras
Exemplo 2
78
• Incrementando 100 zeros
0 20 40 60 80 100 120-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1señal+ruido
20 amostras
100 zeros
O novo tamanho do sinal é N = 120 amostras
Exemplo 2
79
• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta
0 1 2 3 4 5 6 70
2
4
6
8
10
12
rad/s
|DF
T|
199
0
( ) [ ] , 0,1,2,....,199j n
n
X x n e k
0
2 20.052 /
120rad seg
N
Resolução:
Exemplo 2
80
• Transformação de escala (rad) x (Hz)
2 1000
. 1000( )
2 2
s
s
A Transformada de Fourier Discreta é Períodica
f
f
ff Hz
Exemplo 2
81
• Aplicando a Transformada de Fourier Discreta (escala em Hz)
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
2
4
6
8
10
12
Hertz
|DF
T|
Frequência do sinal f=50Hz
Exemplo 2
82
• Simetria da Transformada de Fourier Discreta
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
2
4
6
8
10
12
Hertz
|DF
T|
Simetria
Considerações na Avaliação da DFT
83
• A adição de zeros não proporciona nenhuma informação adicional acerca do espectro de X() da sequencia x[n].
• Ao preencher a sequencia x[n] com (N-L) zeros e avaliar a DFT de N pontos, se obtém uma melhor representação gráfica, devido principalmente à melhora na resolução da DFT.
Exemplo 2
• Simetria e Periodicidade
Propriedades da DFT
84
85
Propriedades da DFT
86
Propriedades da DFT
• Simetria
• Período igual a 2*
87 0 1 2 3 4 5 6 70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
omega (rad)
|FF
T|
Espectro de x(n)
2
1
0
( ) [ ] ,
20,1,2,...., 1,
Nj n
n
X x n e
kk N
N
DFT
N=100 fs=10 kHz fo = 1 kHz
Exemplo 3
Transformação de escalas de (rad) para frequência em Hertz
88
2 fs
Omega f(Hz)
( )2
sff Hz
0 1 2 3 4 5 6 70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
omega (rad)
|FF
T|
Espectro de x(n)
2
Realizando a Transformação
89
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
f(Hz)
|FF
T|
Espectro de x(n)
fs/2 fsfo
Simetria com respeito a fs/2 Período igual a fs A Largura de Banda de interesse é igual ao intervalo [0, fs/2]
BW = [0, fs/2]=[0, 5kHz]]
DFT de um sinal ruído branco Gaussiano
• Valor médio = 0
• Desvio padrão = 0.1
90
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40
5
10
15
20
25
30
35
40
r = 0 + 0.1*randn(1,1000); figure,hist(r,100)
A DFT do ruído branco Gaussiano
91
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FF
T|
Espectro de x(n)
DFT do ruído
DFT de 2 sinais sinusoidais
• fs = 10 kHz (Frequência de amostragem)
• Frequência dos sinais f0=1 kHz e f1=3 kHz
92
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FF
T|
Espectro de x(n)
Que acontece se a frequência do sinal de entrada f1 é superior a fs/2 = 5000 Hz ?
• Por exemplo, para fo = 1000 Hz e f1 = 6000 Hz
• Sendo que a largura de banda vá de [0, 5000]Hz, o espectro do sinal de 6000 Hz produzirá um espectro espelhado com frequência de 4000 Hz. Por tanto, tem-se um espectro de frequência errado.
93
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
10
20
30
40
50
60
f(Hz)
|FF
T|
Espectro de x(n)
fo Simetria de fo f1
Simetria de f1
Com a finalidade de garantir que a análise de espectros seja realizado respeitando a largura de banda de interesse [0, fs/2], deve-se colocar na entrada do sistema de processamento do sinal um filtro passa baixo com frequência de corte fs/2. Este filtro limitara a largura de banda dos sinais de entrada.
fc=fs/2
Filtro Passa Baixo
1
0
( ) [ ] ,
20,1,2,...., 1,
Nj n
n
X x n e
kk N
N
twindow
t
x(t)
A/D
n
x(n)
0 1 n 0 1 N-1
DFT
94
• Se realiza o truncamiento da resposta ao impulso ideal h[n]
por uma janela w[n]:
[ ] [ ] [ ]wh n h n w n
( ) ( ) ( )wH F H F W F
95
Multiplicação em
tempo discreto
Convolução na
Frequência
Análise em Frequencia usando Janelas
• Características das Funções que caracterizam Janelas
96
M n M
[ ] 1w n
[ ] 1n
w nM
[ ] 0.5 0.5cosn
w nM
[ ] 0.54 0.46cosn
w nM
2[ ] 0.42 0.5cos 0.08cos
n nw n
M M
JANELAS
Boxcar
Blackman
Barlett
Hanning
Hamming
Análise em Frequencia usando Janelas